Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (GARCH) - USD Repository
i
MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL
HETEROSCEDASTIC (GARCH)
S K R I P S I
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Disusun Oleh :
NANIN FERYANTI NIM : 053114011
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2009 ii
GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL
HETEROSCEDASTIC (GARCH) MODEL
T H E S I S
Presented as A Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics
By : NANIN FERYANTI
Student Number : 053114011 MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
2009 iii
iv v
TEMBIKAR
Terlalu gigih kucoba Menjalani hidup ini dengan bermegah diri
Hingga suatu hari Hidupku terlepas jatuh dari tanganku dan hancur berantakan di sekelilingku
Hancur Aku menanti Allah membentakku dengan keras
“Sudah Kubilang!” Namun,
Dia justru menghampiri ke tempat aku terjatuh dan memungut kepingan-kepingan itu Lalu berkata, “Jangan menangis.
Itu hanya tembikar biasa, Hanya tembikar biasa.”
(Alma Barkman) vi
ABSTRAK
Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) merupakan model Autoregresif dengan variansi bersyarat tidak konstan. Variansi ini dipengaruhi oleh data masa lalu. Model Generalized Autoregressive Conditional
Heteroscedastic (GARCH) merupakan perumuman dari model ARCH. Variansi
dalam model GARCH dipengaruhi oleh data dan variansi masa lalu. Model GARCH yang paling sederhana adalah model GARCH(1,1). Model tersebut diharapkan mampu menggantikan model ARCH dengan orde tinggi sehingga model menjadi lebih sederhana. Penduga parameter dari model ini dapat diperoleh dengan metode kemungkinan maksimum.
Model ini dapat digunakan dalam peramalan harga saham. Aplikasi model ini menggunakan data harga saham Matahari Putra Prima Tbk dan ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk. vii
ABSTRACT
Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) model is autore- gressive model and its conditional variance is not constant. This variance depend on past observations. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (GARCH) model is generalization of ARCH model. Its variance depend on past observations and past variance. The simplest GARCH model is GARCH (1,1). It might replace a high order ARCH(q) giving a more parsimonious model. Parameters estimator is found by maximum likelihood method.
GARCH model can be applied in asset prices forecasting. Its applications use Matahari Putra Prima Tbk and ASTRA Agro Lestari Indonesia Tbk. viii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan pada Allah Bapa di Surga karena telah melimpahkan berkat dan kesehatan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam pembuatan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan baik moril maupun materiil dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan banyak waktu, membimbing dan mendorong penulis dengan penuh kesabaran.
2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
3. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika.
4. Hongki Julie, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan-masukan dan koreksi.
5. Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.
6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis. ix
7. Zaerilus Tukija dan Erma Linda Santyas Rahayu yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis kuliah.
8. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.
9. Kedua orang tua yang selalu mendukung penulis dengan doa, semangat, dan materi.
10. Agustinus Joko Pramudi (adik) dan Yano Kristianto (kemenakan) yang selalu memberikan semangat dan dorongan, serta doa.
11. Herningtyas Kurniawati, Wiwin Kartika Putri, Vincentius Prabowojati Wicaksana, dan Maria Endah Savitri yang selalu memberikan semangat dan dorongan.
12. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun dan menyempurnakan skripsi ini. Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca demi perkembangan ilmu pengetehuan, khususnya matematika.
Yogyakarta, 30 September 2009 Penulis x xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL …………………………………………………. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………. iii HALAMAN PENGESAHAN………………………………………… iv HALAMAN KEASLIAN KARYA…………………………………... v HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………. vi ABSTRAK……………………………………………………………. vii ABSTRACT…………………………………………………………... viii KATA PENGANTAR………………………………………………… ix DAFTAR ISI………………………………………………………….. xii DAFTAR TABEL…………………………………………………….. xv DAFTAR GAMBAR………………………………………………… xvi
BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………
1 A. Latar Belakang Masalah……………………………………………
1 B. Perumusan Masalah………………………………………………...
3 C. Batasan Masalah……………………………………………………
4 D. Tujuan Penulisan……………………………………………………
4 E. Manfaat Penulisan…………………………………………………..
5 F. Metode Penulisan…………………………………………………...
5 G. Sistematika Penulisan………………………………………………
5 BAB II. DASAR-DASAR TEORI PROBABILITAS………………..
7 A. Variabel Random dan Distribusi Probabilitasnya…………………..
7 1. Variabel Random Diskret dan Kontinu………………………….
7 2. Distribusi Probabilitas…………………………………………...
9 3. Nilai Harapan dan Variansi……………………………………...
11 B. Distribusi Normal…………………………………………………..
16 C. Distribusi Probabilitas Bersama…………………………………….
26 D. Sifat-Sifat Variabel Random -Dimensi…………………………...
31
31
1. Nilai Harapan dan Variansi dari Variabel Random -Dimensi… xii
2. Nilai Harapan Bersyarat dan Variansi Bersyarat………………..
37 3. Korelasi………………………………………………………….
38 A. Metode Maximum Likelihood (Kemungkinan Maksimum)………..
42 BAB III. DASAR-DASAR ANALISIS RUNTUN WAKTU DAN DERET WAKTU LINEAR…………………………………………...
44 A. Stasioneritas………………………………………………………...
44 B. Fungsi Autokorelasi………………………………………………...
49 C. Deret White Noise…………………………………………………..
55 D. Deret Waktu Linear………………………………………………...
56 E. Model Autoregresif (AR)…………………………………………..
60 1. Sifat-sifat Model AR (1)………………………………………...
60 2. Sifat-sifat Model AR (2)………………………………………...
69 3. Sifat-sifat Model AR (p)………………………………………...
75 4. Identifikasi Model AR (p)……………………………………….
80 F. Model Moving-Average (MA)……………………………………...
83 1. Sifat-sifat Model MA (1)………………………………………..
85 2. Sifat-sifat Model MA (2)………………………………………..
90 3. Sifat-sifat Model MA (q)………………………………………..
95 G. Model Autoregresif Moving-Average (ARMA)…………………....
97 1. Sifat-sifat Model ARMA (1,1)…………………………………..
97
2. Sifat-sifat Model ARMA (p,q)………………………………….. 101
3. Peramalan dengan Model ARMA (p,q)………………………… 104
BAB IV. MODEL HETEROSKEDASTIK BERSYARAT…………. 107 A. Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH)…….. 109
1. Sifat-sifat Model ARCH (1)……………………………………. 109
2. Sifat-sifat Model ARCH (m)……………………………………. 116
3. Langkah-langkah Menyusun Model ARCH……………………. 120
a. Menentukan persamaan rata-rata yang sesuai……………….. 120
b. Pengujian efek ARCH……………………………………….. 120
c. Menentukan orde m………………………………………….. 122
d. Pendugaan parameter………………………………………... 122 xiii
e. Pemeriksaan model…………………………………………... 125
f. Peramalan dengan menggunakan model ARCH (m)………... 125
B. Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (GARCH)…………………………………………………………... 127
1. Sifat-sifat model GARCH (m,s)………………………………… 128
2. Sifat-sifat model GARCH (1,1)………………………………… 134
3. Langkah-langkah Menyusun Model GARCH………………….. 140
4. Peramalan dengan menggunakan model GARCH (1,1)………... 142
BAB V. APLIKASI MODEL GARCH PADA DATA HARGA SAHAM MATAHARI PUTRA PRIMA DAN ASTRA AGRO LESTARI INDONESIA……………………………………………… 145 A. Aplikasi pada Harga Saham Matahari Putra Prima………………... 145 B. Aplikasi pada Harga Saham ASTRA Agro Lestari Indonesia…….. 157 BAB VI. PENUTUP…………………………………………………. 170 A. Kesimpulan………………………………………………………… 170 B. Saran……………………………………………………………….. 171 DAFTAR PUSTAKA………………………………………………… 172 LAMPIRAN xiv
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 3.2. Runtun Waktu dari Permintaan Produk A………………Tabel 5.1. Hasil Peramalan Data Harga Saham Matahari Putra Prima Tbk dengan Menggunakan Model MA (1)-GARCH(1,1)…..Tabel 5.2. Hasil Peramalan Data Harga Saham ASTRA Agro LestariIndonesia Tbk dengan Menggunakan Model AR(1)- GARCH(2,1)………………………………………………...
51 156 169
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Kurva normal…………………………………………17 Gambar 3.1.1. Deret waktu yang tidak stasioner dalam rata-rata…...
47 Gambar 3.1.2. Deret waktu yang tidak stasioner dalam variansi…...
47 Gambar 3.1.3. Deret waktu yang stasioner………………………….
48
68
φ
Gambar 3.5.1.1. Grafik ACF dari model AR(1) dengan > ……1
φ <
Gambar 3.5.1.2. Grafik ACF dari model AR(1) dengan1
68 …….
Gambar 3.5.2.1. Grafik ACF dengan akar-akar karakteristik berni-74 lai real…………………………………………………
Gambar 3.5.2.1. Grafik ACF dengan akar-akar karakteristik berni-75 lai kompleks………………………………………….. 145
Gambar 5.1.1. Grafik Harga Saham Matahari Putra Prima…………Gambar 5.1.2. Grafik Return dari Harga Saham Matahari Putra146 Prima………………………………………………….
Gambar 5.1.3. Grafik ACF Return dari Harga Saham Matahari147 Putra Prima……………………………………………
Gambar 5.1.4. Grafik PACF Return dari Harga Saham Matahari147 Putra Prima……………………………………………
149
Gambar 5.1.5. Grafik ACF galat kuadrat dari model ARMA(1,1)…149 Gambar 5.1.6. Grafik PACF galat kuadrat dari model ARMA(1,1).. 153 Gambar 5.1.7. Grafik ACF galat kuadrat dari model MA(1)………. 153 Gambar 5.1.8. Grafik PACF galat kuadrat dari model MA(1)……... 157 Gambar 5.2.1. Grafik Harga Saham AALI.JK……………………... 158
Gambar 5.2.2. Grafik Return dari Harga Saham AALI.JK…………159 Gambar 5.2.3. Grafik ACF Return dari Harga Saham AALI.JK…... 159 Gambar 5.2.4. Grafik PACF Return dari Harga Saham AALI.JK…. 160 Gambar 5.2.5. Grafik ACF galat kuadrat dari model AR(1)……….. 161
Gambar 5.2.6. Grafik PACF galat kuadrat dari model AR(1)………165 Gambar 5.2.7. Grafik ACF galat kuadrat dari model MA(1)………. 165 Gambar 5.2.8. Grafik PACF galat kuadrat dari model MA(1)……... xvi
BAB I. PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Beberapa analis pada sebuah media memaparkan bahwa seorang calon
investor (individu yang akan bertransaksi saham pada suatu perusahaan) sangat memerlukan pengetahuan yang luas tentang perusahaan tersebut. Apa nama perusahaan tersebut, bisnis apa yang dijalankan, seberapa besar hutangnya, bagaimana perkembangan perusahaan tersebut adalah informasi- informasi yang seharusnya diketahui. Tak kalah pentingnya perlu diketahui juga informasi tentang pergerakan harga saham perusahaan tersebut dalam beberapa tahun terakhir, 1, 5, sampai 10 tahun yang lalu. Menurut beberapa data di lapangan, harga saham sekarang dipengaruhi oleh harga saham sebelumnya. Untuk selanjutnya, data yang dipengaruhi oleh data sebelumnya disebut data runtun waktu.
Dalam pergerakan harga saham, volatilitas berperan penting. Volatilitas merupakan besaran yang menentukan seberapa besar data berubah menurut waktu. Salah satu sifat volatilitas adalah tidak dapat diukur secara langsung, tetapi ada beberapa besaran yang dapat mengukurnya. Salah satunya adalah variansi.Variansi mengukur seberapa besar nilai suatu data runtun waktu berbeda terhadap rata-rata keseluruhan.
Salah satu model yang dikembangkan untuk memodelkan data runtun
y , y , K , y waktu adalah Autoregresi. Misalkan t adalah data runtun waktu. 1 2 Berdasarkan asumsi terhadap variansinya, model autoregresi dibagi menjadi dua kelompok, yaitu: 2
1. Autoregresi dengan Var y = σ (variansi konstan), contohnya:model
( ) t Autoregressive (AR), Moving-Average (MA), Autoregressive Moving- Average (ARMA). 2 Var y =
2. Autoregresi dengan ( ) σ (variansi berubah terhadap waktu) t t contohnya: model Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) dan Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic (GARCH).
Model AR, MA, dan ARMA kurang sesuai jika dihadapkan pada data yang variansinya berubah terhadap waktu. Model ARCH sebagai model yang diasumsikan variansinya berubah menurut waktu pun kurang sesuai jika ada kemungkinan perubahan variansi data yang tidak hanya dipengaruhi oleh sejumlah data sebelumnya, tetapi juga dipengaruhi oleh variansi data sebelumnya. Model GARCH yang diperkenalkan pertama kali oleh Bollerslev (1986) sebagai perkembangan dari model ARCH menawarkan untuk memodelkan suatu data yang berubah variansinya dan perubahan variansinya dipengaruhi oleh sejumlah data sebelumnya dan variansi data sebelumnya. Perubahan variansi ini menandakan adanya efek GARCH dalam data tersebut. Model GARCH dengan orde (m,s) dapat digambarkan sebagai berikut :
- = =
B. RUMUSAN MASALAH
?
, ,
β α α
dan
4. Bagaimana cara mendapatkan koefisien-koefisien j i
3. Bagaimana cara mendapatkan orde (m,s) yang sesuai?
2. Bagaimana cara menguji ada dan tidaknya efek GARCH pada suatu data?
1. Apakah model GARCH itu?
adalah konstanta Setelah mendapatkan modelnya, selain dapat melihat pergerakan harga saham (yang diperlihatkan oleh variansi) pada masa lalu, model tersebut juga dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham pada periode berikutnya.
2 1 2 1 2 j t s j j i t m i i t t t t a u a
, ,
β α α
{ } t u = suatu barisan dari variabel random iid (independent and identically distributed ) j i
= galat pada waktu ke-t 2 t σ = variansi pada waktu ke-t
a
σ β α α σ σ dengan t = indeks waktu t
∑ ∑
− = − =
5. Bagaimana penerapannya dalam peramalan pergerakan harga saham?
6. Apakah jika semakin tinggi ordenya, maka semakin tepat peramalan- nya? C. BATASAN MASALAH 1. Pembahasan masalah hanya akan dibatasi pada model GARCH.
2. Sifat-sifat fungsi Gamma tidak dibuktikan.
3. Statistik -rasio tidak dibuktikan.
4. Pendekatan fungsi kriteria informasi tidak dibahas.
5. Aturan Cramer tidak dijelaskan secara rinci.
6. T-statistic tidak dibuktikan.
7. Statistik Ljung-Box tidak dibuktikan.
8. Statistik uji efek ARCH tidak dibuktikan.
D. TUJUAN PENULISAN Tujuan yang akan dicapai dalam penulisan ini adalah: 1. Memahami model GARCH.
2. Mengetahui bagaimana cara mendapatkan orde yang sesuai.
3. Mengetahui bagaimana cara mendapatkan koefisien-koefisien dalam model GARCH.
4. Menerapkan model GARCH pada pergerakan harga saham.
5. Mengetahui pengaruh orde yang tinggi dalam peramalan. E. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang dapat diambil dari penulisan ini adalah dengan pengetahuan yang ada tentang model GARCH kita dapat meramal pergerakan harga saham pada suatu perusahaan.
F. METODE PENULISAN Metode yang digunakan adalah studi pustaka, baik dari buku-buku juga dari jurnal-jurnal ilmiah. Data akan diolah dengan software MATLAB.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I : menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.
BAB II : menjelaskan tentang variabel random dan distribusi probabilitasnya, distribui normal, distribusi probabilitas bersama, sifat-sifat variabel random k- dimensi, dan metode kemungkinan maksimum BABIII : stasioneritas, fungsi autokorelasi (ACF), proses white noise, model Autoregresi (AR), model Moving-Average (MA), dan kombinasi model Autoregresi-Moving Average (ARMA).
BAB IV : menjelaskan tentang model ARCH dan model GARCH.
BAB V : menjelaskan tentang penerapan model GARCH pada harga saham suatu perusahaan, pengujian efek GARCH, dan penentuan orde dan koefisien- koefisien model GARCH.
BAB VI : menjelaskan tentang kesimpulan dan saran.
BAB II. DASAR-DASAR TEORI PROBABILITAS A. VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PROBABILITASNYA
1. Variabel Random Diskret dan Kontinu Suatu model matematika dari suatu kejadian dalam ruang sampel diekspresikan dalam bentuk nilai-nilai numeris daripada hasil percobaan.
Misalnya, dalam sebuah percobaan pelemparan uang logam sebanyak tiga kali, ruang sampel yang dihasilkan dapat dituliskan sebagai berikut , , , , , , , dengan =ruang sampel; =sisi gambar; =sisi angka. Bila yang diperhatikan adalah kemunculan sisi gambar sebagai suatu fungsi, maka setiap titik sampel dapat dipetakan pada bilangan
0,1,2, atau 3.
Definisi 2.1.1.1
Sebuah variabel random merupakan fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuah ruang sampel.
Suatu variabel random dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya , sedangkan nilai-nilainya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya . Variabel random dibedakan atas diskret dan kontinu. Berikut adalah definisi dari kedua variabel random.
Definisi 2.1.1.2
Variabel random diskret adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang sampel yang berhingga atau tak berhingga terbilang.
Contoh 2.1.1
Jika adalah variabel random yang menyatakan banyaknya pelemparan uang logam yang diperlukan sampai sisi angka muncul, menyatakan sisi gambar, dan menyatakan sisi angka. Maka ruang sampel dari percobaan pelemparan uang logam berulang-ulang sampai sisi angka muncul adalah
, , , … Banyaknya titik sampel pada himpunan tersebut tak berhingga, tetapi himpunan tersebut dapat dikorespondesikan satu-satu dengan himpunan bilangan cacah sehingga dapat dikatakan bahwa tak berhingga terbilang. Oleh karena itu, merupakan variabel random diskret.
Pandang curah hujan harian pada suatu titik geografis tertentu. Secara teoritis, agar pengukuran menjadi akurat maka jumlah curah hujan dapat dipetakan ke titik tertentu pada suatu interval. Dengan demikian, lebih meyakinkan bila suatu variabel random mengambil nilai setiap titik dalam suatu interval jumlah curah hujan daripada menganggapnya bernilai diskret.
Definisi 2.1.1.3
Suatu variabel random kontinu adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang sampel yang tidak diskret.
2. Distribusi Probabilitas
Definisi 2.1.2.1
Fungsi , , , … yang menyatakan probabilitas untuk semua kemungkinan nilai variabel random diskret disebut fungsi probabilitas diskret.
Fungsi probabilitas tersebut dapat dinyatakan dalam rumus fungsi atau tabel pasangan nilai variabel random berikut dengan peluangnya (disebut distribusi probabilitas).
Sifat 2.1.2.1
Fungsi adalah fungsi probabilitas diskret jika dan hanya jika memenuhi (i)
0, untuk semua (ii)
∑
1 Bukti:
(i) Sifat (i) merupakan akibat langsung dari definisi probabilitas yang harus tidak negatif.
(ii) Nilai
, 1,2, … merupakan semua kemungkinan nilai , maka kejadian , 1,2, … merupakan partisi dari ruang sampel , sehingga
∑ ∑
1 Definisi 2.1.2.2 Fungsi disebut fungsi probabilitas kontinu (fungsi densitas) bagi variabel random jika dan hanya jika memenuhi syarat: (i) 0 untuk semua nilai bernilai real
∞
(ii)
1 Cara lain untuk menyatakan distribusi probabilitas adalah dengan menyatakannya dalam interval, misalnya ∞, untuk semua bernilai real. Distribusi yang dinyatakan dengan cara demikian disebut fungsi distribusi kumulatif yang dibedakan atas diskret dan kontinu.
Definisi 2.1.2.3
Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret didefinisikan sebagai untuk semua nilai real .
Definisi 2.1.2.4
Suatu variabel random mempunyai fungsi densitas , maka fungsi distribusi kumulatif kontinu dari didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi densitas dapat diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif melalui diferensiasi, yaitu
3. Nilai Harapan dan Variansi Dalam statistika, konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat penting. Rata-rata dan variansi adalah contoh yang paling mudah dan keduanya hampir selalu muncul dalam teknik-teknik analisis statistika elementer maupun lanjut. Nilai harapan dapat dinyatakan dalam definisi berikut.
Definisi 2.1.3.1
Andaikan X variabel random, maka nilai harapan dari variabel random X yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai berikut (i) , jika X diskrit dengan fungsi probabilitas ,
∑ (ii) , jika X kontinu dengan fungsi densitas .
Sifat 2.1.3.1 Jika .
adalah konstanta, maka Bukti: Pembuktian untuk variabel random kontinu.
. 1 Pembuktian untuk variabel random diskret dapat dikerjakan secara analog.
Sifat 2.1.3.2 Jika variabel random dan konstanta, , konstanta.
Bukti: Pembuktian untuk variabel random kontinu.
Pembuktian untuk variabel random diskret dapat dikerjakan secara analog
Definisi 2.1.3.2
Andaikan X variabel random dan adalah fungsi dari X, maka nilai harapan dari fungsi variabel random X yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai berikut (i) , jika X diskrit dengan fungsi probabilitas .
∑ (ii) , jika X kontinu dengan fungsi densitas .
Sifat 2.1.3.3
Jika adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas , dan merupakan fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka Bukti: Menurut Definisi 2.3.2 (ii),maka
Pembuktian untuk variabel random diskret dapat dikerjakan secara analog.
Definisi 2.1.3.4
Andaikan X variabel random, maka variansi X yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai berikut (i) , jika X diskrit dengan fungsi probabilitas
∑ ,
(ii) , jika X kontinu dengan fungsi densitas .
Sifat 2.1.3.4 Jika variabel random, maka .
Bukti: Pembuktian untuk variabel random kontinu.
Ambil , Menurut Definisi 2.1.3.2 (ii), maka
Pembuktian untuk variabel random diskret dapat dikerjakan secara analog.
Sifat 2.1.3.5
Jika variabel random kontinu dan konstanta, maka . Bukti: Dengan menggunakan Sifat 2.1.3.4 diperoleh Dengan menggunakan Sifat 2.1.3.2 diperoleh
Definisi 2.1.3.5
Andaikan X variabel random kontinu dan fungsi densitas dari X . Momen ke-
ℓ dari X didefinisikan sebagai berikut ∞ ′
ℓ ℓ
,
ℓ ℓ 1,2, …
Definisi 2.1.3.6Andaikan X variabel random kontinu, fungsi densitas dari X, dan rata- rata dari X. Momen sentral ke-
ℓ dari X didefinisikan sebagai berikut ∞ ℓ ℓ
ℓ , ℓ 1,2, … Momen ke empat digunakan dalam formulasi kurtosis. Kurtosis mengukur keruncingan dari kurva distribusi frekuensi. Secara khusus, kurtosis dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.3.7
Andaikan X variabel random, rata-rata dari X , dan variansi dari X. Kurtosis dari X yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai berikut
Kuantitas dari 3 disebut excess kurtosis. Sebuah distribusi dengan
excess kurtosis bernilai positif membentuk kurva distribusi yang sangat runcing,
yang disebut leptokurtik. Dan sebaliknya jika excess kurtosis bernilai negatif membentuk kurva distribusi yang agak mendatar, disebut platikurtik.
B. DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal ditemukan oleh De Moivre pada tahun 1733. Kemudian
Gauss berhasil mendapatkan persamaan kurva normal melalui studi galat dalam pengukuran yang berulang-ulang terhadap benda yang sama. Sehingga distribusi normal sering disebut juga distribusi Gauss.
Suatu variabel random yang menyerupai lonceng seperti Gambar 2.1 disebut variabel random normal. Persamaan matematik bagi distribusi probabilitas variabel random normal ini bergantung pada rata-rata dan simpangan bakunya .
Gambar 2.1. Kurva normalDefinisi 2.2.1
Variabel random dikatakan berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku bila fungsi densitasnya berbentuk
1
∞
; , , ∞ √2
Untuk menunjukkan bahwa distribusi normal memenuhi sifat-sifat fungsi densitas diperlukan definisi dan sifat-sifat fungsi Gamma.
Definisi 2.2.2
Fungsi Gamma yang dinotasikan dengan , untuk semua Γ 0 didefinisikan sebagai berikut
∞
Γ
Sifat 2.2.1
(ii) Akan dicari
1 √2
Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.2 dan 2.2.3 pada Persamaan 2.2.1, maka diperoleh
(2.2.2) maka (2.2.3)
(2.2.1) Misalkan
∞
∞ √
; ,
1 √2 Syarat pertama menurut Definisi 2.1.2.2 dipenuhi.
Fungsi Gamma memenuhi sifat-sifat berikut: (i)
(i) Karena nilai dan selalu positif, maka diperoleh ; ,
1 √2
; ,
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa distribusi normal memenuhi sifat- sifat fungsi densitas. Fungsi densitas untuk variabel random yang berdistribusi normal menurut Definisi 2.2.1 adalah
Γ √
Γ 1 ! (iii)
1 (ii)
Γ 1 Γ 1 ,
∞
∞
1
1 2.2.4
√ √2 Misalkan
(2.2.5) maka (2.2.6)
√2 dan (2.2.7)
√2 Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.5 , 2.2.6 dan 2.2.7 pada Persamaan 2.2.4, maka diperoleh
∞
1
1 √2
√ √2
∞
1 2.2.8
√ Dengan menggunakan Definisi 2.2.2, maka persamaan 2.2.8 menjadi
1
1 Γ
2 √
Dengan menggunakan Sifat 2.2.1(iii), maka persamaan tersebut menjadi
1
1 √
√ Syarat ke dua menurut Definisi 2.1.2.2 dipenuhi.
Integran yang diperoleh dengan mensubstitusikan memegang peranan penting dalam menentukan probabilitas variabel random normal.
Perhitungan menjadi lebih sederhana karena nilai probabilitas telah ditabelkan. Fungsi densitas hasil transformasi dari ke disebut Distribusi normal standar dengan fungsi densitas sebagai berikut
1
∞
, ∞ √2
Berikut akan dicari rata-rata dan variansi serta nilai harapan dari dari variabel random yang berdistribusi normal standar.
(i) Rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal standar
∞
1 2.2.9
√2 Misalkan
(2.2.10) maka (2.2.11) dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.10 dan 2.2.11 ke dalam Persamaan 2.2.9, maka diperoleh
∞
1 √2
∞
1 √2
∞
1 √2
∞
1 √2
1 0 2.2.12
√2 (ii) Variansi dari variabel random yang berdistribusi normal standar Menurut Sifat 2.1.3.4 variansi dari adalah sebagai berikut Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.1.4.12 ke dalam persamaan tersebut, maka diperoleh Dengan menggunakan Definisi 2.1.3.5 diperoleh
∞
(2.2.13) Karena berdistribusi normal, maka
∞
1 2.2.14
√2 Misalkan
(2.2.15) maka (2.2.16)
√2 dan (2.2.17) dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.15, 2.2.16, dan 2.2.17 ke dalam
Persamaan 2.2.14, maka diperoleh
1 2 √2 √2
1
√
1 . 2
√ Dengan menggunakan Definisi 2.2.2, dapat diperoleh
2
3 Γ 2
√ Dengan menggunakan Sifat 2.2.1 (i) dan (iii) dapat diperoleh
2
1
1 2 Γ 2 √
1 1 2.2.18
√ √
(iii) Nilai harapan dari
∞
1 √2
Misalkan (2.2.19)
Maka (2.2.20)
dan (2.2.21)
√2 dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.19, 2.2.20, dan 2.2.21 dapat diperoleh
∞
1
4 √2 √2
∞
2 √
∞
2 . 2
√ Dengan menggunakan Definisi 2.2.2 dapat diperoleh
4
5 Γ
2 √
Dengan menggunakan Sifat 2.2.1 (i) diperoleh
4
3
3 Γ
2
2 √
6
1
1 Γ
2
2 √
Dengan menggunakan Sifat 2.2.1 (iii) diperoleh
3 3 2.2.22
√ √
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa dan adalah rata-rata dan variansi dari variabel random yang berdistribusi normal.
(i) Akan diperlihatkan bahwa
∞
1 2.2.23
√2 Misalkan
(2.2.24) maka (2.2.25) dan
2.2.26 Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.2.24, 2.2.25, dan 2.2.26 ke dalam Persamaan 2.2.23 maka diperoleh
∞
1
√2
∞
1
√2
∞ ∞
1
1
√2 √2
∞ ∞
1
1
√2 √2 Dengan menggunakan Persamaan 2.2.9 dan sifat fungsi densitas dapat diperoleh
. 1 Dengan menggunakan Persamaan 2.2.12 diperoleh