PENYELESAIAN SISTEM DESKRIPTOR LINIER DISKRIT BEBAS WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI KANONIK

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 52 – 59

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

PENYELESAIAN SISTEM DESKRIPTOR LINIER

DISKRIT BEBAS WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN

METODE DEKOMPOSISI KANONIK

USWATUN HASANAH

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

hasan.uswatunhasanah@gmail.com

  Abstract.

  The linear discrete descriptor systems are used in many applications, espe-

cially in mathematical modeling for biology, economics and electrical engineering. In this

paper, the solving of invariant time linear discrete descriptor systems using the canonical

decomposition method was studied. The canonical decomposition method reduces the

systems under consideration into two simple subsystems. The solution is obtained from

two simple subsystems. An example is given to illustrate this method.

  Kata Kunci : Linear discrete descriptor systems, canonical decomposition method.

1. Pendahuluan

  Diberikan sistem deskriptor linier diskrit berikut: Ex x ,

  (k + 1) = Ax(k) + Bu(k), (0) = x (1.1)

  n×n n×m

  . Dalam sistem deskriptor linier di mana E, A ∈ R , B ∈ R , dan k ∈ Z +

  n m

  menyatakan vek- (1.1), x(k) ∈ R menyatakan vektor keadaan (state), u(k) ∈ R tor input (kontrol), dan k menyatakan waktu.

  Hal yang menarik untuk dikaji dari sistem deskriptor linier diskrit bebas waktu adalah penentuan solusi dari sistem (1.1) apabila E adalah matriks singular. Sistem (1.1) dikatakan regular apabila det(γE − A) 6= 0 untuk suatu γ ∈ R. Sistem regular (1.1) dapat diselesaikan dengan banyak metode. Dalam [2], sistem regular (1.1) diselesaikan dengan menggunakan invers Drazin dan dengan mengam- bil transformasi z terhadap sistem (1.1) tersebut. Dalam tulisan ini akan dikaji tentang penyelesaian sistem deskriptor linier diskrit regular (1.1) dengan E adalah singular dengan menggunakan metode dekomposisi kanonik, yang diturunkan dari penyelesaian sistem deskriptor linier kontinu regular sebagaimana yang telah dikaji

  Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu

  53

  2. Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu dengan Menggunakan Metode Dekomposisi Kanonik Teorema 2.1.

  [1] Sistem (1.1) dikatakan regular jika dan hanya jika terdapat ma-

  n×n

  sedemikian sehingga triks nonsingular Q, P ∈ R

  I ^{1 A}

  n

  1 QEP dan QAP ,

  = = (2.1) ₂

  0 N

  0 I n

  n ^{1 × n 1 n 2 × n 2}

  di mana A , n + n = n, dan matriks N adalah nilpotent

  1

  1

  2

  ∈ R , N ∈ R dengan indeks nilpotensi h. Bukti. (⇒) Misalkan sistem (1.1) regular. Maka det(γE − A) 6= 0 untuk suatu ₋

  1

  ada. Misalkan γ ∈ R, sehingga (γE − A) _{− −}

  1

  1

  ˆ E = (γE − A) E dan ˆ A = (γE − A) A.

  Maka ₋

  1

  ˆ A

  = (γE − A) (γE + A − γE) ₋

  1

  = (γE − A) (−(γE − A) + γE) ₋

  1

  = −I + γ(γE − A) E = γ ˆ E − I. Karena E singular, maka ˆ E juga singular. Akibatnya, terdapat matriks nonsingular T ∈ R sedemikian sehingga ₋ E

  1

  1

  ˆ T ET ,

  =

  0 E

  2 n ^{1 × n}

^{1 n}

^{2 × n 2} di mana E adalah nonsingular dan E adalah nilpotent.

  1

  2

  ∈ R ∈ R Akibatnya, (γE − I ) adalah nonsingular. Perhatikan kesamaan berikut

  2

  (αE − A) = (α − γ)E + (γE − A) (2.2) ₋

  1

  . Maka untuk suatu α ∈ R. Kalikan kedua ruas kesamaan (2.2) dengan (γE − A) diperoleh _{− −}

  1

  1

  (γE − A) (αE − A) = (α − γ)(γE − A) E + I = (α − γ) ˆ E + I

  E ₋

  1

  1

  = (α − γ)T T + I. (2.3)

  0 E

  2 Dapat dilihat bahwa (2.3) ekivalen dengan _{− −} E

  1

  1

  1 T (γE − A) (αE − A)T = (α − γ) + I

  0 E

  2

  (α − γ)E + I n ¹

  1

  = ₂ (α − γ)E + I n ₁

  2

  (α − γ)E + I n

  1 .

  = (2.4)

  − − I ²

  54 Uswatun Hasanah

  Selanjutnya kalikan kedua ruas (2.4) dengan ₋

  1 E

  1 ₋ ,

  1

  − I ² 0 (γE n )

  

2

  sehingga diperoleh ₋

  1 E _{− −}

  1

  1

  1 ₋ T (γE − A) (αE − A)T

  1

  − I 0 (γE n ^{2 )} ₋

  2

  1 E

  (α − γ)E + I n ¹

  1

  1

  = ₋

  1

  − I − − I 0 (γE n ^{2 ) (γE n 2 ) + αE}

  2 ₋

  2

  2 ₁

  1

  (α − γ)I n + E

  1

  = ₋

  1

  α − I ^{2 E − I 2} (γE n ) n

  2

  2 ₋

  1 I ^{1 γI 1 − E} n n

  1 − .

  = α ₋

  1

  − I ^{2 E}

  I ² Tuliskan ₋

  1 E _{− −}

  

1

  1

  1 ₋ T (γE − A) = Q dan T = P. (2.5)

  1

  − I 0 (γE n ^{2 )}

  2 Dari (2.5) diperoleh

  I n ^{1 A}

  1 Q − ,

  (αE − A)P = α _{− −}

  0 N

  0 I n ²

  1

  1

  − I E − E di mana N = (γE n ^{2 ) dan A = γI n 1 . Jadi, diperoleh Q dan P ,}

  2

  2

  1

  1 sehingga (2.1) berlaku.

  (⇐) Misalkan terdapat matriks nonsingular Q, P ∈ R sedemikian sehingga (2.1) _{1 × 1 2 × 2}

  n n n n

  berlaku untuk suatu A , n +n = n, dan matriks N adalah

  1 ∈ R , N ∈ R

  1

  2

  nilpotent dengan indeks nilpotensi h. Misalkan γ 6∈ σ(A ). Tanpa mengurangi keu-

_{1 − A}

  1 n ) 6= 0. Tuliskan

  muman, misalkan γ ∈ R. Maka det(γI

  1 ₂ n

  det .

  (γN − I n ^{2 ) = (−1) (2.6)} Selanjutnya _{− − − −}

  1

  

1

  1

  1

  det (γE − A) = det(γQ QEP P − Q QAP P ) _{− −}

  1

  1

  = det(Q ) det(γQEP − QAP ) det(P ) _{− n}

  I A _{1 −}

  1

  1

  1

  = det(Q ) det γ − det (P ) (2.7) ₂

  0 N

  0 I n Karena (2.6), maka (2.7) dapat ditulis sebagai berikut _{− −}

  n ²

  1

  1

  det ^{1 − A det} (γE − A) = det(Q ) det(γI n _{− −} 1 ) (−1) (P ) n ²

  1

  1

  det ^{1 − A} = (−1) (Q ) det(γI n

  1 ) det(P ) = 0.

  6

  Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu

  55 Perhatikan kembali sistem deskriptor regular (1.1). Selanjutnya misalkan x(k) =

  B

  1 n

  P y (k) dan QB =

  . Maka untuk suatu Q, P adalah nonsingular, dan y ∈ R B

  2

  sistem (1.1) dapat ditulis menjadi B

  1 QEP y u (k + 1) = QAP y(k) + (k).

  B

  2 Dengan menggunakan Teorema 1, maka sistem (1.1) dapat ditulis menjadi

  I ^{1 A B}

  n

  

1

  1

  y (k + 1) = y (k) + u (k), (2.8) _{2 B}

  0 N ₋

  0 I n

  2

  1

  x dengan syarat awal y(0) = P (0). Hubungan (2.8) memperlihatkan bahwa sistem (1.1) dapat direduksi menjadi dua subsistem, yaitu y y u

  (k + 1) = A (k) + B (k), y (0) = y (2.9)

  1

  1

  1

  10

  dan N y ,

  (k + 1) = y (k) + B u (k), y (0) = y (2.10)

  2

  2

  2

  2

  20 n ^{1 n 2} .

  di mana y dan y ∈ R ∈ R

  1

2 Teorema 2.2.

  [1] Untuk sebarang vektor input u(k), solusi subsistem (2.9) adalah tunggal dan solusinya diberikan oleh

  k− _X

  1 k−j− k

  1 A B

  y (k) = A y (0) + u (j). (2.11)

  1

  1

  1

  1

  1 j =0

  Selanjutnya dengan mengambil transformasi z dari persamaan (2.9) diperoleh _{− −}

  1

  1 Y zy B U

  (z) = (zI − A ) (0) + (zI − A ) (z). (2.12)

  1

  1

  1

  1

  1 Dengan mengambil transformasi z invers dari persamaan (2.12) diperoleh _{− − − −}

  1

  1

  1

  1

  z B y (k) = Z [(zI − A ) ]y (0) + Z [(zI − A ) U (z)]. (2.13)

  1

  1

  1

  1

1 Dengan membandingkan persamaan (2.11) dengan (2.13) diperoleh

  _{− −}

  k

  1

  1 A = Z [(zI − A ) z ]

  1

  1

  dan

  k− _X

  1 k−j−

1 − −

  1

  1 A B u B U (j) = Z [(zI − A ) (z)].

  1

  1

  1

  1 j =0

  Teorema 2.3. [1] Untuk sebarang vektor input u(k), solusi subsistem (2.10) adalah tunggal, yaitu

  h− _X

  1 j

  y (k) = − N B u . (2.14)

• 2 (k + j), k ∈ Z

  2

56 Uswatun Hasanah

  Dari (2.11) dan (2.14), diperoleh solusi dari sistem (1.1), yaitu _{P !}

  1 k

  k− 1 k−j−

  A y A B u (0) + (j)

  1

  1

1 j =0

  1 x .

  (k) = P _{P h−}

  

1

j

  − N B u (k + j)

  2

j =0

  Berdasarkan Teorema 1, 2, 3, maka dapat diuraikan prosedur untuk menentukan penyelesaian sistem (1.1), yaitu sebagai berikut: (1) Periksa kekonsistenan kondisi awal x(0) = x terhadap sistem (1.1). (2) Periksa keregularan sistem (1.1) dengan memisalkan γ ∈ R sebagai suatu kon- stanta riil sebarang yang memenuhi det(γE − A) 6= 0. ₋

  1

  (3) Tentukan ˆ E = (γE − A) ₋ E.

  1

  ˆ (4) Tentukan matriks T ET untuk memperoleh E , E , dan T sedemikian se- ₋

  1

  2

  1

  ˆ E ET hingga ˆ dan T similar.

  (5) Tentukan Q dan P dengan menggunakan (2.5) dan selanjutnya tentukan QEP, QAP, , N, B , . dan QB untuk memperoleh A dan B

  (6) Misalkan didefinisikan sistem baru x(k) = P y(k) dengan kondisi awal y(0) = ₋

1 P x

  (0). Reduksi sistem baru tersebut menjadi dua subsistem, yaitu (2.9) dan (2.10), kemudian tentukan kondisi awal y (0) dan y (0) berturut-turut dari

  1

  2 subsistem (2.9) dan (2.10).

  (7) Tentukan penyelesaian dari subsistem (2.9) dan (2.10) tersebut berturut-turut dengan menggunakan (2.11) dan (2.14). (8) Dari poin 7 yang telah diperoleh, tentukan sistem x(k) = P y(k). Sistem x(k) yang diperoleh merupakan solusi akhir dari sistem (1.1).

3. Contoh

  Contoh berikut mengilustrasikan bagaimana proses penyelesaian sistem deskriptor linier diskrit bebas waktu, di mana contoh yang diberikan merupakan sistem yang regular, kondisi awal x(0) = x yang konsisten, dan vektor input berupa polinomial.

  Diberikan sistem deskriptor linier diskrit Ex

  (k + 1) = Ax(k) + Bu(k), (3.1) dengan _{           } 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 _{     } 0 1 0 0 1 0 0 0 1 −1 2 E , A , B ,

  = = = _{     } 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 _{ }

  − 1  

  2 _{ } k

  − _{ }

  1 x ,  k  (0) = dan u(k) = + 3 _{ }

  −

  1

  2

  k

• 1 −

  4 untuk k = 0, 1, 2, 3, ... . Akan ditentukan solusi dari sistem (3.1) ini. Misalkan γ = 1. Maka det Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu

  57 Selanjutnya misalkan _{   } 1 0 0 ₋

  1 1 0 0

  1

  ˆ _{ } E = (γE − A) E = . _{ } 0 0 − 1 −1 −1 0

  Karena setiap matriks bujursangkar similar dengan suatu matriks Jordan, maka

  n×n

  sedemikian sehingga terdapat matriks nonsingular T ∈ R _{  − E 0 1 0 0  } 1 1 0 0

  1

  1

  ˆ _{ } T ET .

  = = _{ }

0 E 0 0 0 1

  

2

  0 0 0 0 Dalam hal ini _{   } 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0

  E   .

  = , E = , dan T =

  1

  2 _{ }

  0 1 0 0 0 0 0 1 − 1 0 −1 0

  Dengan menggunakan (2.5) diperoleh _{       } 0 1 0 0 1 0 0 _{   } 1 0 0 −1 1 0 0 0 Q .

  = dan P = _{   } 0 0 −1 0 0 0 0 1 − 0 0 0

  1 1 0 −1 0 Selanjutnya _{           } 1 0 0 0 0 1 0 0 1 −1 2 _{     } 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 −1

  QEP = , QAP = , dan QB = , _{     } 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

  1 sehingga diperoleh 0 1 0 −1 1 −1 2 0 −1 0

  A .

  1 = , N = , B 1 = , dan B 2 =

  0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 Misalkan x (k) = P y(k), dengan y (k)

  1 y .

  (k) = y (k)

  2 Maka sistem (3.1) dapat ditulis menjadi _{ }

  2

  k 0 1 1 −1 2 y y  k 

  (k + 1) = (k) + + 3 (3.2)

  1

  1

  0 0 1 0 −1

  2

  k

  58 Uswatun Hasanah

  dan _{ }

  2

  k 0 −1 0 −1 0 y  k  ,

  (k + 1) = y (k) + + 3 (3.3)

  2

  2

  0 0 0 0 1

  2

  k

• 1 dengan kondisi awal

  −1

  5 y (0) = dan y (0) = .

  1

  2

  − −

  1

  1 Dengan menggunakan (2.11), maka solusi sistem (3.2) adalah _{ }

  2 k k− k−j− _X

  1 1 (k + j)

  0 1 −1 0 1 1 −1 2 ^{ }

• y (k) =

  k + j + 3

  1

  − 0 0 1 0 0 1 0 −1

  2 j =0 _{     } (k + j) + 1 ₂ z ₋ +z ₃

  1 ₋ (z−1) ₂

  1 0 0 1 −1 1 −1 2 −

  1

  z − z = Z _{   (z−1)   } ^{   3z 2z   } + _{3 2} ² 0 1 0 0 −

  1 1 0 −1 ₋

  z z +2z ₃ (z−1)

  2

  − 7k + 2 − 3δ (k) 3k .

  = −

  1 Dengan menggunakan (2.14), maka solusi sistem (3.3) adalah _{ }

  2 h− j _X 1 (k + j)

  0 −1 0 −1 0 _{ } y (k) = − k + j + 3

  2

  0 0 0 0 1

  2 j =0

  (k + j) + 1

  2

  k + 3k + 5 . =

  2

  −k −

  1 Jadi, solusi sistem (3.1) adalah _{ } −

  1 _{ − }

  

2

_{  .}

  3k 7k + 2 − 3δ (k) x (k) = P y(k) = _{ }

  2

  −k −

  1

  

2

  − 4k + 4k − 7 + 3δ (k)

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Muhafzan, Dr. Admi Nazra, Dr. Lyra Yulianti, Dr. Dodi Devianto, dan Bapak Efendi, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Duan, G.R. 2010. Analysis and Design of Descriptor Linear Systems. Springer,

  New York [2] Kaczorek, T. 1992. Linear Control Systems Volume 1. Research Studies Press

  Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu

  59

  [3] Yip, E.L., and R.F. Sincovec. 1981. Solvability, controllability, and observabillity of continuous descriptor systems. IEEE Trans. Automat. Control 26 (3) : 702 - 706