PERBANDINGAN PROGRAM DINAMIS DAN ALGORITMA GREEDY DALAM MENYELESAIKAN MASALAH CHINESE POSTMAN PROBLEM

  

PERBANDINGAN PROGRAM DINAMIS DAN ALGORITMA GREEDY

DALAM MENYELESAIKAN MASALAH CHINESE POSTMAN PROBLEM

Yudhi P M, Wamiliana dan Fitriani.

  E = {

  menemukan solusi optimum dalam persoalan optimasi dengan solusi langkah per langkah.[4] Program Dinamis (dynamic programming) adalah metode penyelesaian masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.

  Algoritma Greedy merupakan metode untuk

  sedikit satu kali. [2]

  Postman Tour dalam suatu graf G adalah closed walk yang melewati setiap edge nya dari G paling

  kali. [1] Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing- masing edge di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali ke simpul asal maka membentuk lintasan tertutup (sirkuit), sehingga lintasan tertutup itu dinamakan sirkuit Euler. [6]

  vertex nya dan setiap edgenya dilewati tepat satu

  graf yang mempunyai derajat genap untuk semua

  edge (garis) yang boleh kosong .Eulerian erupakan

  ; i, j ∈V } yang unsur-unsurnya disebut

  ௜௝

  ݁

  , … } yang disebut vertex / node (titik) yang tidak kosong, dan

  

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

  ଶ

  , ݒ

  ଵ

  Graf G = (V,E) terdiri dari V = { ݒ

  metode untuk menentukan jarak terpendek untuk memberikan solusi optimum pada permasalah tersebut seperti metode Program Dinamis dan Algoritma Greedy.

  Chinese Postman Problem terdapat beberapa

  Masalah Chinese Postman Problem (CPP) pertama kali diformulasikan dalam bentuk masalah untuk menentukan jalan terpendek bagi seorang tukang pos untuk melewati semua jalan yang ada dan kembali ke tempat semula. Masalah ini dikemukakan oleh Kwan Mei-Ko di awal 1960-an dalam jurnal Chinese Mathematics. Dalam istilah graf definisi CPP adalah mencari lintasan pada suatu graf berbobot yang terhubung yang melewati semua sisi (minimal sekali) dengan jumlah bobot minimum dari suatu simpul kembali ke simpul awal . Pada permasalahan

  PENDAHULUAN

  Kata Kunci. Chinese Postman Problem, Sirkuit Euler, algortima Greedy, program dinamis.

  

Postman dengan menggunakan peta wilayah kelurahan Kedaton Bandar Lampung sebagai contoh. Hasil penelitian

menunjukan bahwa metode Program Dinamis menghasilkan nilai yang lebih baik.

  ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah dan bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatannya dengan jarak / waktu / ongkos seminimal mungkin. Lintasan dan sirkuit yang digunakan dalam penelitian ini adalah lintasan dan sirkuit Euler. Pada penelitian ini algoritma Greedy dibandingkan dengan Program Dinamis untuk menyelesaikan permasalahan Chinese

  

Abstrak. Permasalahan Chinese Postman Problem adalah bagaimana seorang tukang pos akan mengantarkan surat

  Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin. Solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya. Persyaratan optimasi dan kendala digunakan untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap. Tulisan ini disusun sebagai berikut : Bagian 1 berisi Pendahuluan, Bagian 2 berisi Metode Penelitian, Bagian 3 merupakn Hasil dan Pembahasan dan Bagian 4 merupakan Kesimpulan.

6. Tentukan / konstru

• (s

  n+1

  n , x n

  ), yaitu kontribusi n fungsi tujuan . Pengoptimalan terhadap x

  n

  Setelah ditemukan x

  n

  n

  , prosedur penyelesaian s mundur satu tahap. Sala mengkategorikan masalah p deterministik adalah dengan Sebagai contoh, tujuanny meminimumkan jumlah k tahap individual, atau un jumlah tersebut, atau untuk produk, dan seterusnya.[3]

  Berikut ini diberikan conto masalah Chinese Postman P berarah peta wilayah konfig Lampung ka bagian solusi sampai rinsip optimalitas berarti tahap k ke tahap k + 1, hasil optimal dari tahap tahap awal. Ongkos pada dihasilkan pada tahap k e tahap k + 1).[5] kan berada pada suatu keputusan kebijakan x

  n

  proses keadaan s

  n+1

  pada usi sesudahnya terhadap kebijakan optimal telah sebagai f

  juga memberi beberapa gsi tujuan. Kombinasi benar akan memberikan

  n+1 ).

  f n

  n tahap kedepan kepada n f n

  n

  ) = f

  n

  (s

  n , x n * ). f n

  n

  ) untuk setiap nilai sekarang siap bergerak alah satu cara untuk lah pemrograman dinamis an bentuk fungsi tujuan. nnya mungkin adalah kontribusi dari tahap- untuk memaksimumkan uk meminimumkan suatu

  BAHASAN

  ntoh kasus penyelesaian

  n Problem pada graf tak

  figurasi Kedaton Bandar Dengan menggunakan bantu ntuan pencitraan Google

  (s

  ju kontribusi kepada funngs kedua nilai ini dengan ben

  1. Tentukan semua ver dalam graf.

  PENELITIAN

  2. Tentukan semua k pada vertex berderajat

  3. Tentukan matching minimum denga algoritma Greedy da

  4. Tambahkan edge y langkah 3 terhadap g

  5. Hitung panjang linta permasalahan Chin jumlah dari semu ditambah dengan pe Langkah 4.

  menyatakan Euler permasalahan Un

  Postman Problem.

  1. Himpunan Kandidat Himpunan ini berisi elemen-e peluang untuk pembentuk sol

  2. Himpunan Solusi Himpunan ini berisi solusi da diselesaikan dan elemennya dalam himpunan kandidat, na atau dengan kata lain himpu bagian dari himpunan kandida

  3. Fungsi Seleksi Fungsi seleksi adalah fun kandidat yang paling m himpunan kandidat untuk d himpunan solusi agar solus Kandidat yang sudah terpilih tidak akan dipertimbangkan selanjutnya

  4. Fungsi Kelayakan Fung fungsi yang memeriksa apak terpilih akan menimbulkan so kandidat tersebut bersama den yang terpilih tidak akan mel berlaku pada masalah.

  METODE P

  n

  ang digunakan dalam erikut :

  Adapun langkah-langkah yan penelitian adalah sebagai berik

  vertex berderajat ganjil

  kemungkinan pairing rajat ganjil.

  g yang memiliki bobot

  ngan menggunakan dan program dinamis. yang minimum pada p graf ntasan yang optimal dari

  hinese Postman adalah

  mua edge graf awal penambahan edge pada truksikan sirkuit yang

  ulerian tour dalam Undirected Chinese

  elemen yang memiliki solusi dari permasalahan yang ya terdiri dari elemen namun tidak semuanya punan solusi ini adalah idat fungsi yang memilih memungkinkan dari dimasukkan ke dalam lusi optimal terbentuk. ilih pada suatu langkah an lagi pada langkah ngsi kelayakan adalah pakah suatu calon yang solusi yang layak, yaitu dengan himpunan solusi elanggar kendala yang obyektif adalah fungsi lkan atau meminimalkan annya adalah memilih terbaik dari masing- impunan solusi.[7] ngkaian keputusan yang menggunakan prinsip alitas ini adalah : jika solusi total optimal, maka tahap ke-k juga optimal. Prin bahwa jika bekerja dari tah maka dapat menggunakan h

  k tanpa harus kembali ke tah

  tahap k +1 = (ongkos yang ) + (ongkos dari tahap k ke ta Pada tahap n proses aka keadaan s

  n

  . Pembuatan ke selanjutnya menggerakan pr tahap (n + 1). Kontribusi fungsi tujuan di bawah ke dihitung sebelumnya se Keputusan kebijakan x

• (s
• * dan f s
• * (s

HASIL DAN PEMBA

  5. Fungsi Obyektif Fungsi oby yang memaksimalka nilai solusi. Tujuan satu saja solusi ter masing anggota himp

  Pada program dinamis, rangk optimal dibuat dengan m optimalitas. Prinsip optimali

  Map , dapat diketahui jarak a k antara kelurahan yang terhubung berikut ini.

  Tabel 1. Kelurahan Kedaton

  Kode No Kelurah rahan Kecamatan Pos

  1 35143

  2 35141

  3 35142

   4 35141

   5 35148

  Kelurahan Kampung Baru – – Kelurahan Labuhan

   7 35146 Ratu = 3.2 km

   8 35148

  Kelurahan Sukamenanti – Ke Kelurahan Labuhan Ratu = 3.5 km Kelurahan Sepang Jaya – Ke Kelurahan Labuhan ratu = 3.2 km Kelurahan Kedaton – Kelura urahan Labuhan ratu = 2.6 km Kelurahan Sepang Jaya – Ke Kelurahan Permunas Way halim = 1.6 km Kelurahan Sepang jaya – Ke Kelurahan Kedaton = 1.4 km Kelurahan Perumnas Way ha halim – Kelurahan Kedaton = 1.4 km Kelurahan Sidodadi – Kelura lurahan Kedaton = 2.5 km

  Gambar 1 ar 1 Kelurahan Surabaya – Kelur lurahan Kedaton = 3.3 km

  Gambar di atas dapat direpres resentasikan kedalam graf yang merepresentasikan an peta konfigurasi Kelurahan Sukamenanti – Ke Kelurahan kedaton = 3.4 wilayah Kedaton sebagai berik erikut km Kelurahan Sidodadi – Kelura lurahan Surabaya = 2.1 km

  Gambar 2 ar 2

  Gambar 4 ar 4 Gambar bar 6

  Tahap-tahap Penyelesaian Masalah dengan Algoritma Greedy

  1. Pada setiap langka kah, ambil sisi yang Penyelesaian Masalah deng engan Metode Program berbobot minimum yang me menghubungkan sebuah Dinamis

  vertex yang sudah terpilih d ih dengan sebuah vertex lain yang belum terpilih.

  Misalkan v , v , …, v adalah lah simpul-simpul yang

  2. Lintasan dari vertex tex asal ke vertex yang

  1

  2

  4 dikunjungi pada tahap k (k = = 1, 2, 3, 4).

  baru haruslah merupak akan lintasan yang Pada persoalan ini,Tahap (k k ) adalah proses terpendek diantara semua l a lintasannya ke vertex- memilih simpul tujuan berik rikutnya vertex yang belum terpilih. ih.

  Berikut ini adalah tahap-tah tahap penelusuran jalur

  Status (s) yang berhubungan an dengan masing-

  dengan menggunakan Algor goritma Greedy: masing tahap adalah simpul ul-simpul di dalam graf.

  Relasi rekurensi berikut men enyatakan lintasan Tahap 1 : Penelusuran dim imulai dari vertex v

  1

  terpendek : pada Gambar 1

  16. Pada vertex v

  1 terdapat 1 vertex ertex tunggal yaitu v .

  3 f ( s )  c

  1 x s

  Sehingga, perjalan rjalanan harus melalui ₁

  vertex v yang m g memiliki bobot yang

  3

  bernilai 3,2

  ( ) min { ( ( )} , k = 2, 3, 4 f s  c  f x k x s k _{k } 1 k x _k

  Tahap 2 : Dari vertex v ter terdapat 3 edge yang

  3

  terhubung pada v vertex v yaitu v , v , Keterangan:

  3

  2

  5 v 7 . Dari ketiga v vertex tersebut vertex : peubah keputusan pada da tahap k (k = 2, 3, 4). x k

  yang memiliki b i bobot terkecil adalah vertex v bernilai ilai 2,6.

  2

  : bobot (cost) sisi dari ri s ke x

  k c sx _k

  Tahap 3 : Dari vertex v ter terdapat 6 edge yang

  2

  terhubung pada v vertex v yaitu v , v ,

  3

  3

  4 f (s, x ) : total bobot lintasan an dari s ke x k k k v 5 , v 6 , v 7 , v 8 . Dari keenam vertex

  tersebut yang d dapat diseleksi utnuk

  f (s) : nilai minimum dari f (s, x ) k k k k

  dilalui adalah 5 v vertex, karena terdapat satu vertex yang ang telah dilalui yaitu Tujuan program dinamis is maju adalah untuk

  vertex v . Dari ri kelima vertex yang

  8

  mendapatkan f (v ) dengan c n cara mencari f (s), f (s)

  2

  5

  1

  2

  memiliki bobot ter t terkecil adalah vertex terlebih dahulu

  . v 4 dan v 5 bernilai ilai 1,4, sehingga vertex

  yang dipilih ada dalah vertex v , karena

  5 vertex v adalah v vertex tujuan.

5 Total jarak yang dapat ditemp mpuh dari vertex v ke

  1 vertex v dengan menggunaka kan algoritma Greedy

  5 adalah 7,2 dengan path v - -v -v – v .

  1

  3

  2

  5 Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan n BKS PTN Barat 2013 Tahap 1 : f (s) = c Sehingga, didapat total bobot deng engan menggunakan

  1 x1s

• - metode program dinamis adalah 6 h 6,4 dengan path v

  1 v -v

  3 5.

  Solusi optimum m x

  1 f x * (s) x

  1

  1 s v 3,2 v

  3

  1 Gambar 7

  Tahap 2 : f (s) = min x {c + f (x )},

  x 2 x2s

  1

  2 Gambar 9 Solu olusi Dari perbandingan kedua metode de tersebut didapat f (x , s) = cx s + f (x ) x

  2

  2

  2

  1

  2

  2 path dengan bobot minimum adalah alah dengan optim timum

  menggunakan program dinamis de dengan total jarak

  s

  34,6 km, yang dapat dilihat pada gambar berikut :

• * v f (s) x

  3

  2

  2 v 5,8 5,8 v

  2

  3 v 6,4 6,4 v

  5

  2 v 6,7 6,7 v

  7

  2 Gambar 10

  atau Gambar 8

  Tabel diatas diperoleh dari hasil perhitu itungan berikut ini

  f (x , s) = cx s + f (x )

  2

  2

  2

  1

  2 x v f (v , v ) = 2,6 + 3,2 = 5,8 2 = 3 :

  2

  3

  2 Gambar 11 x v f (v , v ) = 3,2 + 3,2 = 6,4 2 = 3 :

  2

  3

5 Berikut adalah konstruksi yang me menyatakan jalan/rute

  x v f (v , v ) = 3,2 + 3,2 = 6,7 2 = 3 :

  2

  3

  7

  perjalanan Chinese Postman Prob oblem pada peta Kedaton Bandar Lampung

  5 FMIPA Universitas Lampung, 10 – 12 M Mei 2013 Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Barat 2013 FMIPA Universitas Lampung, 10 – 12 Mei 2013

DAFTAR PUSTAKA

  2 v

  Prima Infosarana Media, Jakarta

  [7] Setiadi, Robert. (2008). Algoritma Itu Mudah. PT.

  Struktur Diskrit 4 th , Bandung.

  Diterjemahkan Oleh Tim Editor Penerbit Erlangga, Jakarta. [4] Kurniasari, Yeni. 2006. Penerapan Algoritma Greedy . PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. [5] Munir, R. (2004). Diktat Kuliah IF2251 : Program Dinamis , Bandung. [6] Munir, R. (2008). Diktat Kuliah IF2091 :

  Pengantar Riset Operasi Jilid 1 .

  Prentice-Hall of India Private Limited, New Delhi. [2] Gross and Yellen. 2004. Graph Theory, CRC Press, LLC, New York. [3] Hillier, F.S and Lieberman, G.J. (1994).

  to Engineering and Computer Science ,

  [1] Deo, N. (1989). Graph Theory with Applications

  Untuk kasus penentuan CPP pada kelurahan Kedaton didapat hasil bahwa Program Dinamis lebih baik dalam mengambil keputusan dan menghasilkan nilai optimal karena metode ini menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah atau tahapan sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.

  3 v

  7 v

1 KESIMPULAN

  6 Gambar 12. Konstruksi garis Euler pada graf peta wilayah Kedaton.

  Solusi sirkuit dari Chinese Postman Problem telah diperoleh dengan menyelesaikan konstruksi garis

  8 v

  2 v

  3 v

  5 v

  4 v

  4 v

  2 v

  5 v

  3 v

  1 v

  v

  dengan sirkuit

  Euler pada graf tidak berarah dengan bobot 34,6 km

  6 v