Olimpiade Matematika Tk KabupatenKota 2008
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/ KOTA 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Prestasi itu diraih bukan didapat !!! SOLUSI SOAL Bidang Mat emat ika
Disusun oleh : Eddy Hermant o, ST
BAGIAN PERTAMA
1. (Jawaban : E) Akar dari suat u bilangan posit if adal ah j uga bilangan posit if , maka 2
a = a j ika a bilangan real posit if 2 a a j ika a bilangan real negat ive = − 2
∴ Karena a bilangan real maka = ⏐a⏐
a
2. (Jawaban : C) 3 5! = 120 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Banyaknya f akt or posit if = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 ∴ Banyaknya fakt or posit if dari 5! adalah 16.
3. (Jawaban : C) Agar huruf hidup t idak berdekat an maka ket iga huruf hidup t ersebut harus berada pada urut an ke-1, ke-3 dan ke-5. Sisanya harus diisi oleh huruf konsonan.
Maka banyaknya susunan = 3! ⋅ 2! = 12 ∴ Banyaknya susunan = 12.
4. (Jawaban : C) Misalkan j ari-j ari lingkaran t ersebut adalah R, sisi ∆ABC = x dan sisi ∆PQR = y.
x
= 2R sehingga 3x = 3R √3
sin
60 °
Luas 2 o ∆PQR = ½ ⋅ R ⋅ (3y) ⋅ R ⋅ 3y sehingga 3y = 6R√3
½ y sin 60 = ½ Keliling
∆ABC : Keliling ∆PQR = 3x : 3y = 1 : 2
1 ∴ Rasio keliling .
∆ABC terhadap keliling ∆PQR adalah
2
5.
(Jawaban : B) (n) + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 2(2n + 3) 2n + 3 adalah bilangan ganj il.
∴ Maka nilai p t erbesar adalah 2.
6.
(Jawaban : C) {1, 2} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} X t erdiri dari sedikit nya 2 unsur dan maksimal 5 unsur dengan 2 unsur di ant aranya harusl ah 1 dan 2. Sedangkan sisanya dipilih dari unsur-unsur 3, 4 at au 5.
Jika X t erdiri dari 2 unsur maka banyaknya himpunan X = 3 C = 1 Jika X t erdiri dari 3 unsur maka banyaknya himpunan X = 3 C 1 = 3
Jika X t erdiri dari 4 unsur maka banyaknya himpunan X = 3 C 2 = 3 Jika X t erdiri dari 5 unsur maka banyaknya himpunan X = C = 1 3 3 Banyaknya himpunan X = 1 + 3 + 3 + 1 = 8.
∴ Banyaknya himpunan X yang memenuhi adalah 8.
7.
(Jawaban : B) 2 Misalkan panj ang AB = AC = x maka panj ang BC = maka 2
2 x −
64 x + x − 2 64 = 16 2 2
x − 64 = (16 − x) = x − 32x + 256 32x = 320 x = 10 Panj ang AC = 10 ∴ Panj ang AC adalah 10.
8.
(Jawaban : E)
x
- 1
f (x) =
1 x −
1
1 − x x −
- 1
f ( −x) = = =
- 1
1 ( ) − x − x f x
1
∴ f(−x) =
( ) f x 9.
(Jawaban : D)
∆ABC dan ∆ACD memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas keduanya dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. AB : DC = 1 : 3 Misalkan panj ang sisi AB = x maka panj ang sisi DC = 3x. E adal ah pert engahan BC dan F pert engahan DA sehingga FE sej aj ar AB dan DC. Maka FE = ½ (x + 3x) = 2x Misalkan t inggi t rapesium = t .
AB FE t 3tx
- ( )
Luas ABEF = ⋅ =
2
2
4
FE DC t 5tx
- ( )
Luas EFDC = =
⋅
2
2
4 Rasio luas ABEF t erhadap luas EFDC = 3 : 5.
3
∴ Rasio luas ABEF t erhadap luas EFDC adalah .
5
10.(Jawaban : A)
c d Karena a < maka b > . b d a c b − a d − c a b − a
> sehingga < a c c d − c a b − a
∴
< c d c
−
BAGIAN KEDUA
11. Misal penont on dewasa = x dan penont on anak-anak = y maka 40. 000x + 15. 000y = 5. 000. 000 8x + 3y = 1000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) x = 40% (x + y)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 3x = 2y Subt it usikan persamaan (2) ke (1) 16y + 9y = 3000 y = 120 ∴ Banyaknya penont on anak-anak adalah 120 12. ⋅ 251 dan a = 251 ⋅ k dengan k dan 8 relat if prima sert a k bilangan asli.
2008 = 8 Karena k > 8 dan dua bil angan asli berurut an akan relat if prima maka k min = 9.
⋅ 251 a minimum = k min a minimum = 9 ⋅ 251 = 2259. ∴ Nilai a t erkecil yang mungkin adalah 2259.
13. Kalau persoalan t ersebut digambarkan dalam diagram venn maka ∴ Maka banyaknya dung adalah 7.
14. Pasangan bilangan yang muncul adalah 1 dan 6 at au 2 dan 5 at au 3 dan 4.
Banyaknya pasangan yang mungkin ada 6.
6
∴ Peluang =
36 15.
Banyaknya bilangan yang mungkin ada 4! = 24.
Masing-masing angka 1, 4, 7 dan 8 akan muncul 6 kali sebagai angka sat uan.
⋅ 1 + 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 7 + 6 ⋅ 8 Angka sat uan bilangan t ersebut = angka sat uan 6 ∴ Angka sat uan bilangan t ersebut adalah 0.
16. Misalkan koordinat A adalah (p, q) maka karena pert engahan AB adalah t it ik (0, 0) maka −p, −q). koordinat B adalah ( Tit ik A dan B t erlet ak pada parabol a maka 2 q = 4 + p − p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) 2
−q = 4 − p − p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) Jumlahkan persamaan (1) dan (2) didapat 2 0 = 8 − 2p sehingga p = ±2 2 Jika p = 2 maka q = 4 + 2 − 2 = 2 2 Jika p = −2 maka q = 4 − 2 − 2 = −2
Koordinat A dan B adalah (2, 2) dan ( −2, −2) 2 2
- Panj ang AB = (
2 ( 2 )) ( 2 ( 2 )) − − − −
∴ Panj ang AB = 4√2. 3 17. adal ah a dan konst ant anya adalah 1 maka harusl ah
Karena koef isien x 3 2 2 − x − 1)(ax − 1)
(ax + bx + 1) = (x 3 2 3 2 (ax + bx + 1) = ax − (a + 1)x + (1 − a)x + 1
− a = 0 sehingga a = 1 Maka 1 b = − (a + 1) sehingga
−(1 + 1) = −2 b = ∴ Nilai b yang memenuhi adalah b = 2.
18. Perhat ikan gambar.
Perpot ongan bidang yang melalui HF t ersebut dengan kubus adal ah segit iga PFH. Misalkan panj ang AP = x maka PE = 1 − x.
E. PFH adalah bangunan prisma dengan alas berbent uk segit iga sama kaki. Karena PF = PH dan FE = HE maka proyeksi E pada bidang PFH akan berada pada garis t inggi PK. Sudut ant ara garis EG dengan bidang PFH adalah ∠EKP.
1 EK =
2
2 Pada ∆KEP siku-siku di E.
1 EP
t an ∠EKP = =
EK
3
1
1 − x =
1
3
2
2
6
6 −
AP =
6
6
6 −
∴ Panj ang ruas AP adalah .
6 19. Misalkan bilangan t ersebut adalah N.
Misalkan N adalah bilangan n angka dengan angka-angka N adalah x n − 1 1 , x 2 , x 3 , ⋅⋅⋅, x n .
≥ 10 ⋅⋅⋅ + x ≤ 54n N + dan N = 6(x 1 + x 2 n ) Lemma : k 1 k
−
Akan dibukt ikan bahwa j ika t erbukt i 54k < 10 maka 54(k + 1) < 10 unt uk k bilangan asl i ≥ 3. k 1 − Andaikan bahwa 54k < 10 . k 1−
Karena k ≥ 3 maka 54 < 9 ⋅ 10 sehingga k 1 k 1
− −
⋅ 10 54k + 54 < 10 + 9 k 54(k + 1) < 10 k − 1 k
≥ 3 maka j ika 54k < 10 Terbukt i bahwa unt uk k asli maka 54(k + 1) < 10 .
Pembuktian di atas sama saj a dengan membuktikan bahwa untuk k ≥ 3 maka jika tidak ada N yang terdiri dari k angka yang memenuhi nilainya sama dengan 6 kali j umlah angka-angkanya maka tidak akan ada j uga N terdiri dari k + 1 angka yang memenuhi nilainya sama dengan 6 kali j umlah angka-angkanya.
- Jika N t erdiri dari 1 angka
N = x 1 = 6(x 1 ) sehingga t idak ada N asli yang memenuhi.
- Jika bilangan t ersebut adalah bilangan dua angka
N = 10x 1 + x 2 = 6(x 1 + x 2 ) 4x 1 = 5x 2 Karena x dan x asli maka pasangan (x , x ) yang memenuhi hanya (5, 4). 1 2 1 2 Bilangan yang memenuhi hanya 54.
- Jika N t erdiri dari 3 angka
Misalkan N = 100x 1 + 10x 2 + x 3 = 6(x 1 + x 2 + x 3 ) 94x + 4x = 5x 1 2 3
≥ 1 maka t idak ada t ripel (x Karena x 1 1 , x 2 , x 3 ) yang memenuhi.
Sesuai dengan lemma maka unt uk n ≥ 3 maka t idak ada N yang memenuhi nilainya sama dengan 6 angka j umlah angka-angkanya. Himpunan semua bil angan yang memenuhi hanya {54}. ∴ Himpunan semua bilangan yang memenuhi adalah {54}. 2 2
1
1 ⎛ ⎞
2
20. (sin a + sin b) = =
⎜ ⎟
2
2 ⎝ ⎠ 2 2
1
sin a + sin b + 2 sin a sin b = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) 2
2 2 ⎛ ⎞
1
3
(cos a + cos b) =
6 = ⎜ ⎟
2
2 ⎝ ⎠ 2 2
3
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) cos a + cos b + 2 cos a cos b =
2 2 2 Jumlahkan (1) dan (2) dan dengan mengingat sin α + cos α = 1 maka
2 + 2 (sin a sin b + cos a cos b) = 2 sin a sin b + cos a cos b = 0 cos (a − b) = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)
1
1
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
(sin a + sin b )(cos a + cos b) =
2 6 =
3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2
2
2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
3
sin a cos a + sin b cos b + sin a cos b + cos a sin b =
2
1
3
½ (sin 2a + sin 2b) + sin (a + b) =
2
1
sin (a + b) cos (a − b) + sin (a + b) =
3
2
1 Mengingat cos (a − b) = 0 maka sin (a + b) = 3 .
2
1
3 ∴ sin (a + b) = .
2 Cat at an : Jika yang dicari adalah nilai a dan b.
Tanpa mengurangi keumuman misal kan a ≥ b.
Berdasarkan cos (a − b) = 0 maka a − b = 90 o ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) Karena sin (a + b) =
3
2
1
maka :
- a + b = 60 o
- a + b = 120 o
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5) Berdasarkan (4) dan (5) maka didapat a = 75 o dan b = −15 o yang t idak memenuhi bahwa a dan b adal ah besar dua sudut pada sebuah segit iga.
Berdasarkan (4) dan (6) maka didapat a = 115 o dan b = 15 o . Tet api bila a = 115 o dan b = 15 o disubt it usikan ke persamaan sin a + sin b =
2
2
1
dan cos a + cos b =
6
2
1 t ernyat a t idak memenuhi keduanya.
Dapat disimpulkan bahwa t idak ada pasangan (a, b) yang memenuhi.