Inflasi oleh Dua Medan Skalar dalam Skala Sub-Planckian

  Standar model yang sekarang digunakan untuk alam semesta adalah model "Hot Big Bang" atau dikenal "Standar Big Bang", yang mana menyatakan bahwa alam semesta telah mengembang dari keadaan panas dan padat hingga ke keadaan sekarang yang mendingin dengan alam semesta mengembang hingga saat ini. Keadaan awal alam semesta yang panas dan padat tersebut dikenal dengan istilah "Big Bang" atau "Singularitas Big Bang", dikarenakan pada keadaan tersebut alam semesta memiliki energi densitas yang tak terhingga[1]. Alam semesta mengembang yang isotropik dan homogen dapat dijelaskan melalui metrik Friedman-Lemaitre- Robertson-Walker atau dikenal FLRW metrik, yakni

  Terlepas dari kesuksesannya menjelaskan bagaimana keadaan awal alam semesta, teori Big Bang menyisakan beberapa permasalahan. Pada tahun 1980, fisikawan Amerika, Alan Guth, mengemukakan gagasannya yaitu inflasi kosmis, yang mana dapat menyelesaikan permasalahan horizon dan permasalahan geometri datar. Inflasi adalah gagasan yang menyatakan bahwa pada keadaan awal alam semesta mengalami sebuah periode percepatan, mengembang secara eksponensial dalam waktu yang sangat singkat. Inflasi bukanlah pengganti dari teori Big Bang, melainkan keadaan tambahan pada teori Big Bang [2].

  —Inflasi, Medan Skalar, dan Standar Big Bang Kosmologi.

  Inflasi oleh Dua Medan Skalar dalam Skala Sub-Planckian

Afidah Zuroida dan Bintoro Anang Subagyo

Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

e-mail : b_anang@physics.its.ac.id

  Abstrak — pada standar Big Bang kosmologi, di antaranya permasalahan horizon dan permasalahan geometri datar. Teori inflasi bukanlah pengganti dari teori standar Big Bang kosmologi, melainkan fase tambahan pada keadaan awal alam semesta, di mana alam semesta mengembang sangat cepat dalam waktu yang singka. Inflasi diakibatkan oleh medan skalar. Salah satu model inflasi paling sederhana yang diakibatkan medan skalar tunggal adalah model inflasi chaotic yang mana medan skalar berada pada skala Planck. Kemudian pada tugas akhir ini dimodelkan inflasi oleh dua medan skalar, namun dalam skala sub- Planckian. _{Kata Kunci}

  A. Persamaan Friedmann

  II. TINJAUAN PUSTAKA

I. PENDAHULUAN

  Sebelumnya alam semesta sangat panas sehingga proton dan elektron berupa ion-ion bebas dan foton terperangkap, hingga suhunya menurun dan cukup bagi proton dan elektron

  (CMB) pada 1964 oleh Penzias dan Wilson. CMB merupakan radiasi yang dipancarkan sekitar 380.000 tahun setelah Big Bang.

  Cosmic Microwave Background

  Teori Big Bang menjelaskan bagaimana alam semesta mengembang dari keadaan yang sangat padat dan panas kemudian mendingin dan menjadi keadaan seperti sekarang. Teori Big Bang semakin dikuatkan dengan ditemukannya

  Pada tahun 1931, di sebuah pertemuan British Association di London, Lemaitre mengemukakan gagasan bahwa alam semesta telah mengembang dari sebuah titik awal. Lemaitre berpendapat bahwa apabila semua materi bergerak saling menjauh di manapun, maka pada masa lalunya berdekatan satu sama lain. Sehingga, di masa lalu ada saat di mana seluruh alam semesta ada pada keadaan sangat panas dan sangat padat. Kemudian teori ini dikenal dengan istilah "Big Bang" [1].

  = − +

  − 2

  Alam semesta yang mengembang dapat dijelaskan melalui persamaan Friedmann yang diperoleh dari persamaan medan Einstein dan metrik FLRW. Persamaan Medan Einstein dapat dituliskan

  − + = , (2) dengan

  ʋ

  adalah tensor Ricci, R adalah Ricci skalar, dan

  ʋ

  adalah tensor energi-momentum. Persamaan ini adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan antara tensor kelengkungan ruangwaktu (tensor Einstein) dan tensor kehadiran massa atau energi dalam ruangwaktu. Tensor Einstein memberi informasi bahwa ruangwaktu lengkung dan tensor energi-momentum memberi informasi kehadiran massa atau energi dalam ruangwaktu. Jadi persamaan medan Einstein memperlihatkan bahwa setiap benda bermassa mengakibatkan ruangwaktu sekitarnya melengkung [3]. Tensor energi- momentum pada alam semesta dimodelkan sebagai fluida ideal dapat dinyatakan:

  EBELUM adanya bukti alam semesta mengembang dari pengamatan yang dilakukan Hubble pada tahun 1929, beberapa fisikawan telah mencoba meyelesaikan persamaan medan Einstein dengan solusi alam semesta mengembang, yang mana Einstein meyakini bahwa alam semesta pada keadaan statik. Pada tahun 1922, Alexander Friedmann menemukan solusi alam semesta mengembang tanpa menggunakan konstanta kosmologi pada persamaan medan Einstein. Einstein menambahkan konstanta kosmolgi pada persamaan medan-nya untuk melawan gravitasi, yang menyebabkan alam semesta runtuh pada dirinya sendiri, agar diperoleh alam semesta yang statik. Pada tahun 1927, Georges Lemaitre juga menemukan solusi alam semesta mengembang dari persamaan medan Einstein, terpisah dari Friedmann [1].

  S

• sin . (1) Dikarenakan FLRW metrik memenuhi prinspi kosmologi, maka hanya berlaku pada alam semesta skala besar[2].

  (12)

  T (  p U U ) pg a & & 

    

  (3)

     

  Sehingga selama inflasi, alam semesta mengembang Dari metrik FLRW dan persamaan medan Einstein diperoleh sangat cepat. ₂

8 G

  H   

  2. Radius Hubble comoving menyusut. Selama inflasi (4)

  3 −

  berlangsung radius Hubble comoving akan dan menyusut terhadap waktu

  a & & 4  G  d ¹

      ( 3p), aH 

  (5) 0.

    a

  3

  (13)

  dt

  yang mana pers. (3) merupakan persamaan Friedmann

  3. Tekanan negatif. Dari pers. (5) agar > , maka pertama pada geometri alam semesta datar dan pers. (4) merupakan persamaan Friedmann kedua [4].

  p  .

   

  (14)

  3 B. Persamaan Fluida

  Inflasi kosmologi pada awal alam semesta disebabkan oleh Pada alam semesta yang mengembang yang dimodelkan medan skalar. Hal ini dikarenakan, medan skalar dapat sebagai fluida ideal, konservasi energi-momentum dinyatakan menghasilkan tekanan yang negatif. Untuk kasus medan skalar, aksi medan skalar dengan potensial

       

  dinyatakan  T   T   T   T  0,

      ₄  1   S  d x  g  g      V  .

     

  (6)  

  

  (15)

  2   dengan tensor energi-momentum kontravarian

  Untuk metrik FLRW pada geometri datar, maka √− =

        ₂

  = . Tensor energi-momentum didefinisikan √−det⁡ ʋ

  a (t) p 

    T  .

   ₂

   

  a (t) p S

    2 

   ₂ T   . a (t) p 

  

   

   g (16) g

  Pada komponen ʋ = akan diperoleh

  a & &     3 (  3p). Dari pers. (15) dan pers. (16), pada komponen

  = ʋ = akan (8)

  a

  diperoleh Kemudian, didefinisikan parameter keadaan

  1 ₂ &

      V 

  ( ),

  p

  (17)

  2

  w 

  (9)

  

  sedangkan pada komponen = ʋ = , , diperoleh

  Dari persamaan fluida dapat diperoleh keterkaitan energi densitas dan faktor skala

  1 ₂ &

  p    V  ( ).

  (18) _w

  2

   3(1  )

  (10)   a .

  Bentuk lain dari persamaan Friedmann dapat dinyatakan ₂ 8   1  ₂ &

  H    V ( ) , 

  Dari pers. (3) dan pers. (7) diperoleh keterkaitan faktor skala _{2  } (19)

  3 Mp

  2   terhadap waktu _{2/3(1 w) }

  9

(11) dengan

  = = , × . Selain itu persamaan

  a t ( )  t ,

  gerak medan skalar, yaitu: untuk ≠ . Pada alam semesta yang didominasi materi

  & & & maka  

  3 H  

  V '   0, (20)

  = . Sedangkan untuk alam semesta didominasi

   

  radiasi maka = / [5]. dengan ′ ≡ / .

  Berdasarkan pers. (18), agar tekanan bernilai negatif, maka energi kinetik bernilai lebih kecil dari energi potensial

  . Selain itu,

  III. INFLASI agar inflasi berlangsung pada waktu yang diperlukan, maka Pada tahun 1980, Alan Guth memberikan gagasannya percepatan medan skalar haruslah kecil. Keadaan-keadaan mengenai inflasi, bahwa alam semesta mengembang sangat ini dikenal sebagai keadaan slow-roll, yaitu: cepat dalam waktu yang singkat pada keadaan awalnya. Inflasi

  (21) bukanlah pengganti dari teori Big Bang, melainkan sebuah

  ′

  | | | | , | |. (22) gagasan yang perlu ditambahkan pada keadaan awal Dengan demikian persamaan Friedmann dan persamaan gerak pengembangan alam semesta. Dengan demikian setelah alam menjadi semesta mengalami peristiwa inflasi, maka standar Big Bang ₂ 8  kosmologi dapat dimulai[1]. Keadaan alam semesta yang H  ₂ V ( )  Mp (23)

  3 mengalami inflasi dapat dijelaskan sebagai berikut. &

  3 H  

  V '  

  0. (24)

  1. Mengembang dipercepat. Inflasi merupakan sebuah   periode pada evolusi alam semesta dengan keaadaan faktor

  Dari keadaan slow-roll, maka dapat dikenalkan istilah parameter slow-roll, yang mana dinyatakan terhadap energi potensial dari medan skalar yaitu [6]:

  Dari persamaa di atas dapat diketahui bahwa pada model ini, inflasi terjadi dalam skala Planck. Pada model ini, faktor skala dapat dinyatakan

  2 (t) (t ) exp . a a t t

  Mp   

     

     

  (32) Seberapa besar alam semesta mengembang akibat inflasi dapat diketahui melalui number e-foldings. Didefinisikan number e-

  foldings    

    ^{2 2 2} ln .

  ( )

  N t t a t Mp   

     (33)

      ^{2 2}

  INFLASI

    (26)

   

  V  

  Mp

  8 V

  '' 1.

      ²

  (25)

       

     

   

  V  

  Mp

  16 V

  1

  '

        ^{2 2 2}

IV. MODEL

A. Inflasi Chaotic

  ,

  (39) Ketika

        , , | | , _A V f

  Energi potensial pada model ini dapat dinyatakan:

  B. Inflasi Dua Medan dalam Skala Sub-Planckian

  spectral index dari model inflasi chaotic mendekati hasil pengamatan[9].

  = , ± , . Hal ini berarti nilai

  = , . Dari data Planck [8] diperoleh

  = , akan diperoleh nilai

   

    (40) di mana

  2 1 . _s n N

    (38) Pada model inflasi chaotic, spectral index diperoleh

  

  10 s. _f

  = , akan diperoleh waktu minimum terjadinya inflasi pada model inflasi chaotic, yakni: ₃₆ t t

  (37) Dengan

     

      

  V    

    ^{1 2}

  Mp t mMp

  ^{A m} 2 ^m

  Inflasi dapat dimodelkan melalui bentuk energi potensial . Salah satu model inflasi yang sederhana adalah inflasi

  , maka

  | |⁡diasumsikan sebanding dengan | |

    (42) , ⁡merupakan funggi modulasi yang menghasilkan aperiodik minimum lokal pada potensial, sehingga minimum terhadap fungsi menggambarkan bentuk seperti spiral. Potensial

    

       

  A f   

  | | , 1 sin .

  1 e

   

  (41)

     

       

    

  i 

  2 ⁱ

  2

    

  4 ^f

  4

  (28) ₂

  1 ( ) .

  2 V m    (27)

  Pada model inflasi chaotic, persamaan Friedmann dan persamaan gerak medan skalar dapat dinyatakan

  Gambar. 1. Diagram energi potensial dan medan skalar pada model inflasi chaotic. _{2 2 2 2}

  4

  3 H m

  Mp   

  3

  Pada inflasi terdapat dua pamater yang dapat diperoleh dari pengamatan, yaitu power spectrum dan spectral index. Persamaan dari power spectrum dapat dinyatakan ₄

  0. H m     &

  (29) Kemudian, dari persamaan tersebut diperoleh kecepatan medan skalar

   (31)

  Mp  

  4 ^{f t}

  (30) yang mana tanda negatif menandakan nilai medan skalar berkurang semakin bertambahnya waktu. Inflasi akan berakhir, ketika kedua parameter slow-roll bernilai 1, sehingga diperoleh nilai medan skalar di akhir inflasi .

    &

  mMp  

  yang digagas oleh Linde pada tahun 1983, digambarkan pada Gambar 1. Medan skalar, , pada awalnya dimulai pada Planck density dan perlahan-lahan menurun menuju potensial minimum. Inflasi terjadi pada daerah B dan akan berakhir pada daerah C, di mana medan berosilasi pada potensial minimum. Pada daerah C, terjadi reheating, atau pembentukan partikel dan kemudian standar big bang kosmologi dimulai. Pada inflasi chaotic, energi potensial dinyatakan _{2 2}

  8 .

  12 t t .

      

   

    (36) Dari pers. (30) diperoleh waktu berapa lama terjadinya inflasi.

  m 

  . Nilai number e-foldings minimum selama inflasi sebesar 60, sehingga diperoleh massa inflaton ₆ 1, 2 10 Mp.

  −

  = , ×

  /

  (35) Berdasarkan data dari WMAP [7], diperoleh nilai

    

  3 V

  m P N 

  2 Mp

  2

  1

  3 .

  chaotic

   (34)

  P Mp 

  Kemudian dapat diperoleh nilai massa inflaton _{1/ 2}

  n m ^{m  1}

    m 

   |  | A  |  |  a  V    ˆ .

     ,   _{n  m } 1 sin   . _m  ⁴

   

  m  Mp

  2 

  1  

    (43) 2  (50)

   

  Potensial minimum terjadi dengan syarat _m Pers. (48) dapat dinyatakan ₁    

     _{m m }

     ¹ 2 n   ,  

   m   

     2 (44)  2 a ˆ .

  2  

        (51)

  m 

   1   

  Saat minimum, nilai potensial terhadap _{m m } ̂ diperoleh _{1 1}   m 

   

  V a   a

  ˆ 2 ˆ .

    n _{n  4}       m 

  1  

   

  2 Mp (52)

   

  Parameter slow-roll terhadap number e-foldings, yaitu 1 n

  

  

  4 N m

  1  (53)

   

  1 n  2 m 

  2  

    .

   

  4 N m 

  1   (54)

  Spectral index terhadap number e-foldings pada model ini Gambar 2. Potensial termodulasi sebagai fungsi sepanjang tetap.

  dapat dinyatakan  

    1 n 2 m

  2

  n   _{s  } 1 .

   

  N

  2 m 

  1

   

    (55) Agar diperoleh nilai spectral index yang sama pada model inflasi chaotic, dengan membandingkan pada pers. (39), maka berlaku

  n 

  2 m 

  2 (56)

  Misalkan untuk = dan = , dari pers. (34) dan potensial minimum pers. (52), maka power spectrum diperoleh ₂

    16  

  P  N . ₃  

  (57)

  Mp

  3 2   

  Gambar. 3. Potensial termodulasi sebagai fungsi sepanjang tetap. / −

  Dari nilai power spectrum dan = , × = akan diperoleh nilai

  , yaitu dengan n bilangan bulat. Persamaan di atas merupakan sebuah  

    ^{6  1/ 2} pendekatan apabila , dengan lebih kecil

  /√ 2, 29 10  .

     

  Mp (58)

  dari 1. Jarak minimum a pada medan sebanding dengan   ₂ Medan skalar ̂ terhadap dapat dinyatakan ₂  d   ₁ da   d  .

     ₂ (45)

  d  a  nN 

    ˆ .

      

  Kemudian pers. (44) diturunkan, sehingga Mp 16  m

  1 

    _m

    (59)  

  d 

  2   Disubstitusikan nilai ̂ dari pers. (50) dan untuk = dan    .

    = , maka diperoleh

  d m   (46)

    _{1 4 2 1} Dikarenakan , maka pers. (45) menjadi  N     

  √ /  .

     

  d 

    Mp  Mp 

     (60) da     d d  .   

    

  d  (47)

  Setelah itu, dengan dan nilai  

  = dari pers. (58), didapatkan Setelah diintegralkan, akan diperoleh ₁

    m

  1 m  m  _{1 1 4}  0, 003  .

  a     . _{m  } Mp (61)

  

  m

  1 

  2 (48)

   

  Pada fisika partikel nilai pada kisaran , − . Sehingga,

  Didefinisikan sebuah medan slow-roll ̂, yaitu akan diperoleh nilai medan skalar kompleks _m

  | |/ =

   ¹ m 

  , − , , yang mana hal ini berarti inflasi berlangsung   a ˆ a . _m m  pada skala di bawah skala Planck yaitu skala sub-Planckian.

  1 2  (49)

   

  Dengan demikian, pada kasus = dan = energi

  Dikarenakan saat

    ⁴

  = dan = diperoleh

  Relativity, US: Addison Wesley (2004).

  [1] A. Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, London: Wiley (1999). [2] B. Ryden, Introduction to Modern Cosmology, US: Addison Wesley (2002) [3] C. Bernard, "Metrik Reisner dan Nordstöm dalam Teori Gravitasi Einstein," Jurnal Fisika dan Aplikasinya, vol. 13, no. 1, 2017. [4] S. Dodelson, Modern Cosmology, US: Academic Press (2003) [5] S. Caroll, Spacetime and Geometry : An Introduction to General

  DAFTAR PUSTAKA

     

      

          

  V    

  2 A

  | | , | | 1 sin .

    ⁴

  detik. Pada model inflasi chaotic inflasi berlangsung pada skala Planck. Kemudian dimodelkan inflasi diakibatkan dua medan skalar pada skala sub- Planckian. Diperoleh medan skalar berada pada rentang | | = , − , Mp untuk = dan = ,. Dengan demikian, persamaan energi potensial dengan

  | | , | | 1 sin .

  −

  = inflasi dapat berlangsung selama

  V. KESIMPULAN DAN SARAN Dalam penelitian ini, telah diturunkan persamaan energi potensial pada inflasi diakibatkan oleh dua medan skalar dalam skala sub-Planckian. Pada model inflasi paling sederhana, inflasi chaotic, dengan

  index pada kasus inflasi chaotic dengan medan skalar [10].

  Hasil dari spectral index pada kasus ini, sama dengan spectral

      (62)

    

       

      

  V    

  2 A

  [6] D. Baumann, (2009) doi:10.1142/9789814327183-0010 [arXiv:0907.5424 [hep-th]]. [7] E. Komatsu et al. [WMAP Collaboration], Astrophys. J. Suppl.192, 18 (2011) doi:10.1088/0067-0049/192/2/18 [arXiv:1001.4538 [astro- ph.CO]]. [8] P. A. R. Ade et al. [Planck Collaboration], Astron. Astrophys. 594, A20 (2016) doi:10.1051/0004-6361/201525898 [arXiv:1502.02114 [astro- ph.CO]]. [9] D. Visser, Inflation by a Massive Scalar Field, (2008). [10] J. McDonald, JCAP 1409, no. 09, 027 (2014) doi:10.1088/1475- 7516/2014/09/027 [arXiv:1404.4620 [hep-ph]].