Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks
Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev
(Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)
1
2 F. Aryani dan Tika Rizkiani 1,2
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293
Email:
ABSTRAK Penelitian ini membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dan Hermit
menggunakan metode invers matriks. Invers matriks pada penelitian ini menggunakan metode Faddeev.
Metode Faddeev merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan invers dari suatu
matriks. Algoritma metode Faddeev mempunyai beberapa langkah yang sederhana. Dalam prosesnya
diperlukan Trace untuk setiap matriks hingga ke pada setiap langkah, sampai ditemukan invers
matriks. Berdasarkan pembahasan ini bahwa solusi dari sistem persamaan linier kompleks dan Hermit
berbentuk bilangan kompleks juga. Penelitian ini juga melakukan contoh kasus dalam penyelesaian sistem
persamaan linier kompleks dan Hermit untuk ukuran matriks . danKatakunci :Sistem Persamaan Linier, Metode Faddeev, Matriks Kompleks, Matriks Hermit, Invers Matriks.
ABSTRACT
This paper the settlement system of linear equations with complex and Hermit matrix inverse methoduses Faddeev . Metod e Faddeev is one method that can be used to determine the inverse of a matrix . The
algorithm determines the inverse of a matrix using Faddeev method has several steps simple. In the proces
Trace required for each matrix to at each step , until it was discovered the inverse matrix . Based on
this discussion that the solution of the complex system of linear equations and Hermit shaped complex
numbers as well . In this paper also observe case example for complex matrices and Hermit size 4 × 4 and
5 × 5 .Keyword : System of Linear, Faddeev Method, Complex Matrix, Hermit Matrix, Matrix Invers
Pendahuluan Aljabar merupakan salah satu cabang ilmu yang membahas permasalahan pada bidang
matematika, salah satunya yaitu matriks. Aplikasi matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan
berbagai macam solusi misalnya pada penyelesaian sistem persamaan linier, baik sistem
persamaan linier riil maupun sistem persamaan linier kompleks. Sistem persamaan linier jika
dibentuk kedalam , maka kita akan dapat menyelesaiakan sistem persamaan linier dengan menggunakan invers yaitu . Artinya sistem persamaan linier dapat ditentukan apabila matriks mempunyai invers.Ada beberapa metode yang digunakan untuk menentukan invers dari suatu matriks
diantaranya yaitu dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer, Metode Leverrier
Faddeev, dan metode Faddeev. Pada penelitian ini untuk menentukan invers matriks menggunakan
metode Faddeev. Metode Faddeev merupakan metode untuk menetukan invers dengan cara
menyederhanakan perhitungan koefisien polinomial karakteristik dari suatu matriks yang
dimodifikasi khusus dari metode Leverrier- Takeno oleh Faddeev dkkPenelitian mengenai invers ini telah diteliti oleh beberapa peneliti dianatranya, J.H. Caltenco
dkk dalam jurnalanya yang berjudul “ Charakteristic Polinomia of A and Faddeev’s Method for
” Tahun 2007. Selanjutnya diteliti oleh MR Milan B. Tasic dalam jurnalnya yang berjudul “ Generalisasi Invers “ Tahun 2003 menggunakan metode Levverier-Faddeev.
Sistem persamaan linier yang akan dibahas pada makalah ini adalah sistem persamaan linier
dengan koefisien bilangan kompleks. Bilangan kompleks dapat didefinisikan sebagai keseluruhan
semua besaran yang berbentuk , yang dalam hal ini dan adalah bilangan nyata dan.
Beberapa jenis matriks kompleks salah satunya adalah matriks Hermit. Menurut Anton dan Rorres (2005) matriks Hermit adalah matriks bujursangkar yang entri-entrinya bilangan kompleks jika berlaku , dengan adalah matriks dari konjugat-konjugat matriks
, yang didefinisikan sebagai .
Bahan dan Metode Penelitian Berikut langkah-langkah metodologi penelitian untuk penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dengan invers matriks menggunakan metode Faddeev adalah sebagai berikut:
2.1 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier untuk Matriks Kompleks dan Hermit: a. Diberikan sistem persamaan linier dengan koefisien bilangan kompleks dan Hermit.
b. Kemudian membentuk sistem persamaan linier kompleks ke dalam bentuk matriks
kompleks .c.
Menentukan invers matriks komplek menggunakan metode Faddeev. Adapun langkah untuk menentukan invers menggunakan metode Faddeev yaitu: ; dengan ; matriks kompleks atau matriks Hermit .
; ; .
; ; . ; dengan , , . . . , adalah Trace Matriks yaitu: Penjumlahan elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar. Akhirnya diperoleh invers matriksnya yaitu:
1
1
A B n
1 q n
d. Setelah mendapatkan invers, kemudian menentukan solusi dari sistem persamaan linier kompleks dengan rumus .
Hasil dan Pembahasan
Pembahasan yang dilakukan pada penelitian ini adalah memberikan contoh kasus untuk
penyelesaian SPL kompleks dan Hermit yang sesuai dengan metodologi penelitian.Contoh 1: Diberikan sitem persamaan linier kompleks dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev.
( 2 i ) x ( 1 1 i ) x ( 2 1 i ) x ( 3 2 i ) x 4 1 i ( i ) x ( 2 i ) x ( 2 i ) x ( i ) x 2 i 1 2 3 4
( 1 i ) x ( i ) x ( 2 i ) x ( 2 i ) x 2 i 1 2 3 4
( 2 i ) x ( 2 i ) x ( 1 i ) x ( 1 i ) x 1 i 1 2 3 4 Langkah pertama adalah membentuk sistem persamaan linier kompleks ke dalam matriks, yaitu:
1 Langkah selanjutnya adalah menentukan invers dari matriks
5
6
1
3
7
6
3
5
6
3
7
7
i i i i i i i i i i i i i i i i
2
2
8
5
4
7
2
6
4
13
1
14
6
4
7
1
2
3
6 maka didapat
2 q , yaitu: i A i i i Tr q
3
2 ) 4 ) 1 (
6 ) 9 ( 4 ) 12 (
6 (
2 ) (
2
2
dan nilai
2 B adalah:
7
3
2
3
1
5
31
10
18
6
12
11
8
11
8
maka didapat
3 q
, yaitu: i A i i i i Tr q
29
3 ) 3 ) 15 (
2 ) 30 ( 5 ) 31 (
3 11 ( 3 ) (
3
3 dan nilai
7
3
4
i i i i i i i i i i i i i i i i
3
8 Selanjutnya menentukan
3 A , yaitu: A B A
2
3
3
2
15
7
4
12
5
15
4
2
30
3
12
4
2
i i i i i i i i i i i i i i i i
A A
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2 1
maka didapat
1 q yaitu: i A i i i i Tr q
2
7
) 1 ( ) 2 (
2
i i i i i i i i i i i i A
1
1
2
2
2
2
1
menggunakan metode Faddeev, yaitu:
1
2
,
i i i i b
1
2
1 )
) 2 ( 2 (
5
7
2
i i i i i i i i i i i i i i i
4
1
6
1
3
6
2 A , yaitu: A B A
3
5
6
6
9
7
7
2
2
8
1
5 Selanjutnya menentukan
1 ) ( 1 1
6
dan nilai
1 B adalah:
i i i i i i i i i i i i i i i i
1
1
2
2
2
5
1
2
3
5
2
1
3 B adalah :
11
4
i i i i
11
2
11
2
2
4 A , yaitu A B A
11
2
Selanjutnya4 q , yaitu: i i i i i A Tr q
11
2
3 ) 11 ) 2 (
11 ) 2 ( 11 ) 2 (
11 2 ( 4 ) (
4
4
3
18 Selanjutnya menentukan
4
i i i i i i i i i i i i i i i i
4
14
7
4
12
5
15
8
2
7
1
4
2
10
18
6
12
11
8
Maka inversnya adalah:
58 Selanjutnya akan menentukan nilai
1 q
3
2
1 i x i x i x i x i x i
) ) 2 (
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 (
2 (
5
4
2
4
1 i x i x i x i x i x i
Dengan langkah yang sama pada contoh sebelumnya maka diperoleh invers matriks nya adalah:
1 n1 q
1
n
B A
3
5
) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 (
2 (
5
4
3
2
1 i x i x i x i x i x i
) ) 3 (
3 (
) 3 ( ) 2 ( 1 (
5
4
3
2
1 i x i x i x i x i x i
)
2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 (
) ) 1 (
97
151 388
73
97
1
97
22 388 121 388
151
17 194 69
388
23 194 55
388
55
338 337 388133 388 275
97
33
97
47 388 81 338
133
63
388 263 38897
970 163
388
175
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
161 191
127
4071639 317 7 154
653 1639 485 147
388 261 1940 317
9 970 683
1940 1271 485 331
485
7 1940 301 1940
317 485 104
485 137
194
85
194 167 970683 970 9 485
122 485 226 970
) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (
1 i x i x i x i x i x i
1
33
25
1
25
7 125
16 125
37 125
6 125
25
2 125
18
25
1
5
1
5
3
11
125
6
125 162
n
B A
i i i i i i i i i i i i i i i i
125
14 125 173
16
25
6
25
17 125
79 125 122
125
25
25
2
14 125 828
2
, i x 125
22 125
51
3
, i x
25
4 .
25
Selanjunya akan diberikan contoh sistem persamaan linier kompleks ukuran sebagai berikut: Contoh 2:
Diberikan sitem persamaan linier kompleks dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev.
) ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (
2 ) 1 ( ) 2 ( 1 (
5
4
3
48
14
8
7 125
25
4
25
22 125 102
125 186
25
26 125
66 125 137
25
124 194
125
ke dalam bentuk , yaitu: i x
25 186
1 n
52
1
, i x
5 Solusi dari SPL tersebut adalah: , i x
194
1 Langkah pertama adalah membentuk sistem persamaan linier kompleks ke dalam matriks, yaitu:
1
2
1
3
2
6
2
2
5
2
1
3
2
1
7
i i i i i i i i i i i i
Selanjutnya menentukan
6
1
2
1
1
i i i i i i i i i i i i
A maka didapat
1 q yaitu:
8
1
2
3
1
1 ) (
1
1
A Tr q dan nilai
A B A
2
2 q , yaitu:
12
7
4
8
3
10
i i i i i i i i i i i i maka didapat
6
3
2
5 3 ) 6 (
10
2 ) (
2
2
A Tr q dan nilai
adalah:
11
8
45 194
11
5
8
3
2
12
6
8
3
3
7
4
3
2
3
2
3
1
4
3
2
1
4
3
2
1
3
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 (
2
1
4
3
2
4
) 2 ( ) 3 ( 1 ( 2 )
3
, , 970
271 1
, i x
194
19 194
67 2 , i x
485
92 485
84 3
113 970 1031 4
) 2 ( 2 ( ) 1 ( 1 )
i x i x
970
61 970 857 5
.
Selanjunya akan diberikan contoh sistem persamaan linier kompleks Hermit ukuran dengan persamaan dan variabel 4 sebagai berikut: Contoh 3: Diberikan sitem persamaan linier kompleks Hermit dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev. i x x i x i x i i x i x i x i i x i x i x x i i x i x i x i x
) 2 ( 1 ) ) 2 ( ) 1 (
3 ( 1 ) ) 2 ( ) 2 (
2
2
1
2 Langkah selanjutnya adalah menentukan invers dari matriks menggunakan metode Faddeev, yaitu:
2
1
1
3
2
2
2
2
1
2
2
1
i i i i b
3
1
3
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
1
i i i i i i i i i i i i
A ,
1 A
1 B adalah:
2 A , yaitu:
2 B
4
3 8 i
4 7 i
12 11 i
3 8 i
12 3 i
2 3 i
4 7 i 3 i
3 8 i
12 11 i 2 3 i 8 i
1
Selanjutnya menentukan A , yaitu:
3 A B A
3
2
63 3 7 i 1 11 i 2 5 i
3 7 i
45
25 7 i
12 3 i
1
11 i 25 7 i 32 14 19 i
2 5 i 12 3 i 14 9 i
58
Tr ( A ) ( 63 ) (
45 ) (
32 ) ( 58 )3 : maka didapat q , yaitu q
66
3
3
3
3 : dan nilai B adalah
3
i i i
3
3
7
1
11
2 5
i i i
3
7 21 25
7 12
3
i i i 1
11 25
7 34 14
19
i i i
2
5 12 3 14
9
8
Selanjutnya menentukan A , yaitu:
4 A B A
4
3
5
5
5
5
Tr ( A ) 5 5 5
5
4 q
5
4
4
4 Maka inversnya adalah:
1
1 A B n
1 q n
3
3
7
1
11 2 i i i
5
5
5
5
5
5
3
7
21
7
12
3
i i i
5
5
5
5
5
5
5
1
11
7
34
14
9
i i i
5
5
5
5
5
5
5
2
12
3
14
9
8 i i i
5
5
5
5
5 5
Selanjutnya akan menentukan nilai ke dalam bentuk , yaitu: x
5 2 i , x
1 13 i , , x
1 8 i . x 6 16 i
1
2
3
4 Contoh 4:
Diberikan sitem persamaan linier kompleks Hermit dengan persamaan dan variabel sebagai berikut dan akan diselesaikan dengan metode invers matriks menggunakan Metode Faddev.
( 2 ) x ( 1 i ) x ( 2 i ) x ( 1 i ) x (
2 i ) x (
1
2
3
4
5
1 2 i )
( 1 i ) x ( 4 ) x ( 2 i ) x ( 2 i ) x (
2 i ) x (
2 i )1
2
3
4
5 ( 2 i ) x ( 2 i ) x ( 2 ) x ( 1 i ) x (
2 i ) x (
2 i )1
2
3
4
5 ( 1 i ) x ( 2 i ) x ( 1 i ) x ( 5 ) x (
3 i ) x (
3 i )1
2
3
4
5 ( 2 i ) x ( 2 i ) x ( 2 i ) x ( 3 i ) x ( 3 ) x ( 3 i )
1
2
3
4
5 Dengan langkah yang sama pada contoh sebelumnya maka diperoleh invers matriks nya adalah:
1
1 A B n
1 q n
16
12
21
13
61
58
41
7
12 i i i i
47 235 235 235 235 235 235
47
47
12
21
69
6
8
1
8
12
4 i i i i 235 235 235 47 235 47 235 235
47
13
61
6
8
31
26
6
5
16 i i i i
235 235
47 235 235 235
47
47
47
58
41
1
8
26
6
66
3
1 i i i i 235 235 47 235 235 47 235
47
47
7
12
12
4
5
16
3
1
15 i i i i
47
47
47
47
47
47
47
47 47 Solusi dari SPL tersebut adalah:
,
176 148
116
3
4
24
4
55 31 117 , , , . x i x i x i , x i x i 1 2 3 4 5
47 47 235 231 235 235 235 235
47
47 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan sebelumnya maka dapat diperoleh kesimpulan, yaitu:
1. Penyelesaian SPL kompleks dan Hermit dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks menggunkan metode Faddeev.
2. Penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dan Hermit pada penelitian ini merupakan contoh
kasus untuk matriks ukuran dan ukuran matriks , solusinya berupa bilangan kompleks.Daftar Pustaka [1]Anton, dan Rorres. ”Aljabar Linear Elementer”, jilid 1. Erlangga:Jakarta.2004.
[2] Anton, dan Rorres. ”Aljabar Linear Elementer”, jilid 2. Erlangga:Jakarta.2005. [3] Anton, Howard. “Alajabar LinierElementer”, Edisi kelima. Erlangga: Jakatra. 1987.
[4] Gazali, Wikaria. “Matriks dan Transformasi Linier”. Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005. [5] J. Supranto. ”Pengantar Matriks”. PT Rineka Cipta: Jakarta. 2003.
. 2007. [6] J.H. Caltenco dkk. “ Characteristic Polinomial of A and Faddeev’s Method for [7] John D.Paliouras dkk. “ Peubah Komplekd”. Erlangga:Jakarata. 1987.
[8] Kartono.”Aljabar Linier Vektor dan Aplikasinya Menggunakan Maple”.Graha Ilmu Yogyakatra.2003 [9] Khasanah, Lisnilwati dan Bambang Irawanto.
“Menentukan Invers Drazin dari Matrik Singular”. Jurnal Matematika, Vol.14 No.3. 2011.
[10] Ruminta. “Matriks Persamaan Linier dan Pemograman Linier”. Rekayasa Sains, Bandung
.2009.