soal osn matematika tingkat kabupaten kota tahun 2014
HAK CIPTA
DILINDUNGI UNDANG-UNDANG
SOAL SELEKSI
OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2014
CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2015
Bidang Matematika
Waktu : 120 menit
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2014
Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA
Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten
Tahun 2014
Waktu: 120 menit
Petunjuk: Untuk masing-masing soal, tulis jawab akhirnya saja (tanpa penjabaran) di
lembar jawab yang disediakan.
1. Garis berat AD pada segitiga ABC memotong garis berat CF di titik P , serta
perpanjangan BP memotong ABC di E. Jika diketahui segitiga ABC lancip dan
AB = 6, maka panjang DE adalah ...
2. Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama tetap, bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka ketiga
bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan
adalah ...
1 1
3. Misalkan a, b adalah bilangan riil sedemikian sehingga a + b = + = 6. Nilai dari
a b
a b
+ + 1980 adalah ...
b a
X k
1
4. Nilai dari
+
adalah ...
2015! k=1 (k + 1)!
2014
5. Untuk 0 < x < π, nilai minimum dari
16 sin2 x + 9
adalah ...
sin x
6. Misalkan S adalah himpunan bilangan asli yang digitnya tidak berulang dan dipilih
dari 1, 3, 5, 7. Jumlah digit satuan dari semua anggota S adalah ...
7. Misalkan x, y, z > 1 dan w > 0. Jika logx w = 4, logy w = 5, dan logxyz w = 2, maka
nilai logz w adalah ...
8. Terdapat tiga meja bundar yang identik. Setiap meja harus dapat ditempati minimal satu siswa. Banyaknya cara mendudukkan enam siswa pada meja-meja tersebut
adalah ...
9. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1 satuan. Titik E dan F berturutturut berada pada sisi BC dan CD sehingga AEF samasisi. Dibuat pula persegi
yang melewati B yang sisi-sisinya sejajar dengan ABCD dengan salah satu titik
sudutnya berada pada ruasgaris AE, namun
bukan A bukan pula E. Jika panjang
√
a− b
sisi persegi yang lebih kecil adalah
dengan a, b, c bilangan bulat positif dan b
c
bukan kuadrat sempurna, maka nilai a + b + c adalah ...
1
10. Suatu perusahaan permen memproduksi empat macam rasa permen. Permen dijual
dalam bungkus, setiap bungkus berisi 10 permen dengan setiap rasa permen ada
dalam bungkus. Banyaknya macam varasi isi bungkusan permen adalah ...
11. Bilangan-bilangan 1111, 5276, 8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagi N . Nilai N
terbesar yang memiliki sifat tersebut adalah ...
12. Ada sebanyak 6! permutasi dari huruf-huruf OSNMAT. Jika semua permutasi tersebut
diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke ...
13. Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan panjang AB = AC = 10 cm.
Titik D terletak pada garis AB sejauh 7 cm dari A dan E titik pada garis AC yang
terletak sejauh 4 cm dari A. Dari A ditarik garis tinggi dan memotong BC di F .
a
Jika bilangan rasional menyatakan perbandingan luas segi empat ADF E terhadap
b
luas segitiga ABC dalam bentuk yang paling sederhana, maka nilai a + b adalah ...
√
14. Hasilkali semua akar real dari persamaan 2x2 + 3x + 4 = 2 2x2 + 3x + 12 adalah ...
15. Diberikan segitiga ABC dengan AB = 360, BC = 240, dan AC = 180. Garis
bagi dalam dan garis bagi luar dari ∠CAB memotong BC dan perpanjangan BC
berturut-turut di P dan Q. Jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A, P , dan Q
adalah ...
16. Diberikan fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c yang didefinisikan pada himpunan
bilangan real dengan b 6= 0. Jika f (x) selalu positif, maka nilai terkecil yang mungkin
a+c
untuk
adalah ...
b
17. Semua pasangan bilangan prima (p, q) yang memenuhi persamaan
(7p − q)2 = 2(p − 1)q 2
adalah ...
18. Diberikan segitiga ABC yang sisi-sisinya tidak sama panjang sehingga panjang garis
√
berat AN dan BP berturut-turut 3 dan 6. Jika luas segitiga ABC adalah 3 15,
maka panjang garis berat ketiga CM adalah ...
19. Diketahui bahwa
20! + 14! = 243290a0953b4931200.
Nilai a dan b adalah ...
20. Semua bilangan bulat n sehingga n4 − 51n2 + 225 merupakan bilangan prima adalah
...
2
DILINDUNGI UNDANG-UNDANG
SOAL SELEKSI
OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2014
CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2015
Bidang Matematika
Waktu : 120 menit
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2014
Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA
Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten
Tahun 2014
Waktu: 120 menit
Petunjuk: Untuk masing-masing soal, tulis jawab akhirnya saja (tanpa penjabaran) di
lembar jawab yang disediakan.
1. Garis berat AD pada segitiga ABC memotong garis berat CF di titik P , serta
perpanjangan BP memotong ABC di E. Jika diketahui segitiga ABC lancip dan
AB = 6, maka panjang DE adalah ...
2. Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama tetap, bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka ketiga
bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan
adalah ...
1 1
3. Misalkan a, b adalah bilangan riil sedemikian sehingga a + b = + = 6. Nilai dari
a b
a b
+ + 1980 adalah ...
b a
X k
1
4. Nilai dari
+
adalah ...
2015! k=1 (k + 1)!
2014
5. Untuk 0 < x < π, nilai minimum dari
16 sin2 x + 9
adalah ...
sin x
6. Misalkan S adalah himpunan bilangan asli yang digitnya tidak berulang dan dipilih
dari 1, 3, 5, 7. Jumlah digit satuan dari semua anggota S adalah ...
7. Misalkan x, y, z > 1 dan w > 0. Jika logx w = 4, logy w = 5, dan logxyz w = 2, maka
nilai logz w adalah ...
8. Terdapat tiga meja bundar yang identik. Setiap meja harus dapat ditempati minimal satu siswa. Banyaknya cara mendudukkan enam siswa pada meja-meja tersebut
adalah ...
9. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1 satuan. Titik E dan F berturutturut berada pada sisi BC dan CD sehingga AEF samasisi. Dibuat pula persegi
yang melewati B yang sisi-sisinya sejajar dengan ABCD dengan salah satu titik
sudutnya berada pada ruasgaris AE, namun
bukan A bukan pula E. Jika panjang
√
a− b
sisi persegi yang lebih kecil adalah
dengan a, b, c bilangan bulat positif dan b
c
bukan kuadrat sempurna, maka nilai a + b + c adalah ...
1
10. Suatu perusahaan permen memproduksi empat macam rasa permen. Permen dijual
dalam bungkus, setiap bungkus berisi 10 permen dengan setiap rasa permen ada
dalam bungkus. Banyaknya macam varasi isi bungkusan permen adalah ...
11. Bilangan-bilangan 1111, 5276, 8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagi N . Nilai N
terbesar yang memiliki sifat tersebut adalah ...
12. Ada sebanyak 6! permutasi dari huruf-huruf OSNMAT. Jika semua permutasi tersebut
diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke ...
13. Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan panjang AB = AC = 10 cm.
Titik D terletak pada garis AB sejauh 7 cm dari A dan E titik pada garis AC yang
terletak sejauh 4 cm dari A. Dari A ditarik garis tinggi dan memotong BC di F .
a
Jika bilangan rasional menyatakan perbandingan luas segi empat ADF E terhadap
b
luas segitiga ABC dalam bentuk yang paling sederhana, maka nilai a + b adalah ...
√
14. Hasilkali semua akar real dari persamaan 2x2 + 3x + 4 = 2 2x2 + 3x + 12 adalah ...
15. Diberikan segitiga ABC dengan AB = 360, BC = 240, dan AC = 180. Garis
bagi dalam dan garis bagi luar dari ∠CAB memotong BC dan perpanjangan BC
berturut-turut di P dan Q. Jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A, P , dan Q
adalah ...
16. Diberikan fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c yang didefinisikan pada himpunan
bilangan real dengan b 6= 0. Jika f (x) selalu positif, maka nilai terkecil yang mungkin
a+c
untuk
adalah ...
b
17. Semua pasangan bilangan prima (p, q) yang memenuhi persamaan
(7p − q)2 = 2(p − 1)q 2
adalah ...
18. Diberikan segitiga ABC yang sisi-sisinya tidak sama panjang sehingga panjang garis
√
berat AN dan BP berturut-turut 3 dan 6. Jika luas segitiga ABC adalah 3 15,
maka panjang garis berat ketiga CM adalah ...
19. Diketahui bahwa
20! + 14! = 243290a0953b4931200.
Nilai a dan b adalah ...
20. Semua bilangan bulat n sehingga n4 − 51n2 + 225 merupakan bilangan prima adalah
...
2