S MAT 0900347 Chapter3
BAB III
FUNGSI MIDKONVEKS
Pada bab ini akan dibahas tentang fungsi midkonveks, fungsi midkonveks
pada ruang linear bernorm, serta fungsi midkonveks pada bilangan real.
3.1
Pendahuluan
Diberikan fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval
memenuhi
+
untuk setiap
dan
[
]
+
(1)
pada . Fungsi
jika
[ë +
untuk setiap
−ë ]
dan
ë
⊂ ℝ yang
+
pada , ë ∈
∶ → ℝ dikatakan konveks jika dan hanya
−ë
(2)
, . Jika ë =
dapat ditunjukkan semua
fungsi yang memenuhi (2) juga memenuhi (1), tetapi tidak sebaliknya.
Melalui fungsi konveks yaitu fungsi yang memenuhi (2) selanjutnya akan
didefinisikan fungsi midkonveks yaitu fungsi yang memenuhi (1). Kedua definisi
ini hanya berlaku pada fungsi yang terdefinisi pada subset konveks � pada ruang
linear bernorm dan akan dilihat hubungan antara fungsi konveks dan fungsi
midkonveks
3.2
Fungsi Midkonveks pada Ruang Linear Bernorm
Definisi 3.2.1 (Fungsi Midkonveks)
Diketahui
ruang linear dan himpunan konveks �
disebut fungsi midkonveks jika untuk setiap ,
(
+
)
[
12
. Suatu fungsi
∈ �, berlaku
+
]
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
:� → ℝ
13
Contoh :
1.
(
2. ℎ
= | |. Akan ditunjukkan
+
=
)=|
+
midkonveks
|= | + |
| |+| | = [
. Akan ditunjukkan ℎ midkonveks
+
ℎ(
+
)=(
) =
+
]
+
+
+
berdasarkan ketaksamaan aritmatik-rataan geometri √
+
sehingga
ℎ(
+
)
=
+ (
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
8
8
+
+
+
+
+
+ (
8
+
8
+
8
+
8
8
8
+
+
6
6
+
)+
+
+
8
+
+
, maka
6
6
6
6
+
8
6
+
8
+
8
+
+
8
+ (
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
6
+
+
+
)+
+
+
6
+
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
+
6
+
+
(
+
)+
+
6
6
8
8
6
+
+
6
)
14
jika diteruskan akan ditemukan deret geometri tak hingga. Dan
berdasarkan rumus geometri tak hingga,
+
ℎ(
)
+
+
= [ℎ
8
+
+
6
+ℎ
6
+
]
8
+
+
+
=
6
+ ⋯+
+
6
Definisi 3.2.2 (Kombinasi Konveks Rasional)
Kombinasi ∑ á�
á�
�
disebut kombinasi konveks rasional pada titik
untuk � = , ⋯ ,
,⋯,
jika,
(1)
∑ á� =
(2)
á� bilangan rasional untuk � = , ⋯ ,
(3)
Contoh :
Akan ditunjukkan ∑
á� =
∑ á� = ∑
�
adalah kombinasi konveks rasional.
,
= ⏟+ + ⋯ + = = ,
�
dan á� = adalah bilangan rasional untuk � = , ⋯ , .
Teorema 3.2.3 Fungsi
dikatakan midkonveks pada himpunan konveks �
jika dan hanya jka untuk setiap kombinasi konveks rasional dari titik-titik
pada � berlaku
∑ á�
�
∑ á�
�
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
(4)
15
Bukti:
Jelas jika dipilih á = á = sembarang
akan memenuhi (4), karena diketahui
midkonveks. Pertama akan ditunjukkan bahwa
spesial dimana á = ⋯ = á =
(∑ á� � ) =
(∑
=
[ (
=
[
Akan ditunjukkan jika
∑ á�
�
=
(
Untuk � = , maka
Jika untuk � =
∑ á�
�
=
+
+
(
)+ (
+
+
+
+
= ∑ á�
�
=
+
�
+
)
(
)]
+
+
=
)+(
]= ∑
+
)
�
�
berlaku
+ ⋯+
�
�
)
�
[
+ ⋯+ (
�
�
)] = ∑ á�
�
= . Jelas karena merupakan definisi midkonveks.
benar, akan ditunjukkan untuk � = +
benar artinya
�
+
=
memenuhi (4). Saat
+
=∑
�
�)
fungsi midkonveks pada kasus
(
+ ⋯+
�
)
[
+ ⋯+
juga benar. � =
�
�
] = ∑ á�
benar. Sehinggga,
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
�
16
�+1
∑ á�
=
�
+ ⋯+
(
+
+ ⋯+
[ (
[
[
=
�+1
= ∑
Jadi ntuk setiap
�
(
Untuk
(∑ á� � ) =
(
�
sehingga,
( −
−
�
[
]+
�+1
�+1
+⋯+
�+
�
= ∑ á�
�
+⋯+
= ,
=
)+ (
+
�
+
�+ �
�+
+
)]
+ ⋯+
+ ⋯+
�+
]=
∙
+ ⋯+
�+
�+1
∑
�+ �
�+ �
]
�
�
[
+
+
(
+
(
) (
)
+ ⋯+
+
−
)
+
+
+
[
+
+
] = ∑ á�
+
+
+
)]
+
−
+
+
[
)
�
+
+
)
[
+
+
+
]
atau
(
�+ �
, berlaku
=
∑ á�
+ ⋯+
+
�
=
�
+ ⋯+
(
+ ⋯+
[
+
)=
+⋯+
[
∙
=
�+1
]
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
�
)
)
]]
17
kali dengan
maka
(∑ á� � ) =
+
(
+
[
)
≠
Dengan pola yang sama untuk setiap
Maka
(∑ á� � ) =
+ ⋯+
(
=
[
kita akan peroleh
−
−
kalikan dengan
+ ⋯+
+⋯+
(
�
] = ∑ á�
+
. Pilih
+ ⋯+
+
−
+
−
sehingga
)
(
[
+
−
)
[
[
+ ⋯+
<
+ ⋯+
+ ⋯+
(
+ ⋯+
�
<
.
) ]
)]
]
maka
(∑ á� � ) =
(
+ ⋯+
)
Diberikan sembarang himpunan
∑ á� = , pilih á� =
�⁄
dimana ∑
�
] = ∑ á�
�
bilangan rasional positif á� sehingga
= , maka
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
18
(∑ á� � ) =
(∑
=
=
=
�
�
�)
+ ⋯+
=
( [⏟ + ⋯ +
+ ⋯+ ⏟ + ⋯+
])
([⏟ + ⋯ +
+ ⋯+ ⏟ + ⋯+
])
� 1
� 1
∑
�
+ ⋯+
�
�
=∑
�
� �
(
�
�
(a) Untuk semua á� ⟺
+ ⋯+
= ∑ á�
�
�
Persamaan (4) disebut Ketaksamaan Jensen.
Teorema 3.2.4 Diberikan : → �, dan
� �
)
.∎
memenuhi ketaksamaan jensen
linear
(b) Untuk semua á� memenuhi persamaan (2) ⟺
affine
(c) Untuk semua á� memenuhi persamaan (1) dan (2) ⟺
konveks
(d) Untuk semua á� memenuhi persamaan (1), (2), dan (3) ⟺
midkonveks
Bukti:
(d) Sudah terbukti pada Teorema 3.2.3.
= ,
,
(∑ á� � ) =
á
(c) untuk
á
untuk
= ,
,
,
∈ � dan á + á = , maka
+á
+
=
−á
á
+
−á
=á
+á
∈ � dan á + á + á = , maka
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
= ∑ á�
�
�
.
19
(∑ á� � ) =
á
=
á
+á
[á
(
+ á +á
á
á +á
+ á +á
á
á +á
+ á +á
=á
untuk
�+
+á
= � benar artinya, [∑� á� � ]
karena ∑�+ á� =
�
(∑ á�
+ ⋯ + á�
�
[∑ á� � ]
�
+ á�+
. Karena
∑ á�
�+
�
+
)]
á
á +á
= ∑ á�
�
�
)
.
benar.
benar. Sehingga
]=
�
(∑ á�
�
)=
∑ á�
�
+ ( − ∑ á� )
= ∑ á�
�
+ á�+
�
(∑ á�
�
�+
(b) Sudah dibuktikan pada Teorema 2.4.3
�
�
á
á +á
+ á�+
�+
)
maka,
�
∑ á�
á
á +á
=�+
∑� á�
+ á�+
(
+
+á
= � benar, akan ditunjukkan untuk
[∑ á� � ] = [á
á
á +á
+ á +á
á
Jika untuk
+á
�
�
+ ( − ∑ á� )
�+
�+
)
�+
�+
= ∑ á�
�
affine jika dan hanya jika [∑ á� � ] =
memenuhi ketaksamaan Jensen, harus ditunjukkan
�
. Jika ∑ á� = , artinya minimal ada satu á� yang positif.
Misalkan á positif, perhatikan
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
20
á
á
dan karena á +
−á
á
=
= ∑ á�
á
+ ⋯+
=
+ ⋯+ á
−á
(∑ á� � ) +
−á
á
[
�
á
=á =
= ∑ á�
+ ⋯+ á
−á
á
(∑ á� � ) +
á
=
[
+ ⋯+
−á
á
á
1
∑ á�
−á
á
+ ⋯+
(∑ á� � ) + ∑
á
kalikan dengan á , sehingga
�
−á�
á
+∑
�
−á�
á
(∑ á� � ) + ∑ −á�
á
+ ∑ á�
á
∑ á�
]
�
]
�
�
(∑ á� � )
�
�
−á
á
(∑ á� � )
(a) Karena (4) dipenuhi oleh semua á� , jelas dipenuhi oleh semua á� yang terbatas
(2). Berdasarkan (b),
affine, berdasarkan definisi
fungsi linear
dan konstanta . Harus ditunjukkan
linear, maka
⊇ = ⊇ dan jika
dan
⊇ =
affine, maka
∙⊇+ ∙⊇
=
+
untuk suatu
= . Berdasarkan definisi,
⊇ = . Perhatikan
⊇ +
⊇
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
21
Jadi,
=
⊇ =
⊇ = . ∎
∙⊇
⊇ =
midkonveks pada himpunan buka �
Teorema 3.2.5 Diberikan fungsi
terbatas di atas pada persekitaran dari sebuah titik
konveks di �.
∈ �, maka
. Jika
kontinu dan
Bukti:
Pilih titik ⊇ ∈ �, misalkan
terbatas di atas pada
Pilih suatu bilangan rasional å ∈
dan
karena
midkonveks dan
=
⊇ =
⊇=
(
Akan ditunjukkan
−
å
+å å
+
−å
å
å
−
+
)
+å å
+å
å
+
+å
+å
Jadi, ‖ ‖ < å mengakibatkan |
= ⊇.
−å ⊇+ε
|
dan | (⊇)| = .
sehingga ‖ ‖ < å , perhatikan
dan suatu
⊇ = , maka
−å ⊇+ε
dan
=
,
(⊇) oleh
å
+å
⊇ +å
å
+å
+å =å
å
−
å
+
+å
å . Hal ini menunjukkan
terbatas di atas oleh
untuk setiap titik
kontinu pada
≠ ⊇ pada �.
Dengan mencontoh pembuktian pada Teorema 2.6.1, pilih ñ >
= ñ ∈ �, dan misalkan ë = ⁄ñ, maka
={ ∈ :
=
−ë
+ë ,
∈
}
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
sehingga
22
adalah persekitaran dari ë =
−ë
dengan jari-jari
Selanjutnya,
= (
Sehingga,
3.3
−ë
+ë )
terbatas di atas pada
. Jadi,
−ë
(gambar 2.3.1).
+ë
+
kontinu di . ∎
Fungsi midkonveks pada ℝ
Pada bagian ini akan dikaji apa yang akan terjadi jika domain dari fungsi
midkonveks yang awalnya adalah ruang linear bernorm diperluas menjadi ℝ.
Jensen (1905) telah membuktikan bahwa jika fungsi midkonveks terbatas di atas
,
pada
,
pada
, maka
kontinu. Prasyarat apa saja yang diperlukan agar
.
Teorema 3.3.1 Misalkan
fungsi midkonveks pada
∈
pada persekitaran dari sebuah titik
,
, maka
,
. Jika
Teorema 3.3.2 Diberikan
himpunan
kontinu pada
,
,
fungsi midkonveks pada
memiliki ukuran positif dimana
dan misalkan terdapat
terbatas di atas. Maka
, interval buka yang tidak tumpang tindih
, sehingga
ℓ
karena himpunan
.
adalah himpunan yang memiliki ukuran positif. Himpunan
dapat dibentuk menjadi himpunan
,
,
,
.
Misalkan himpunan
dari
terbatas di atas
kontinu pada
Bukti: teorema ini adalah kasus khusus dari Teorema 3.2.5
Bukti:
kontinu
∞
∑ℓ
< ℓ
semua terpisah dan terukur,
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
23
∞
∞
∑ ℓ(
) = ℓ ⋃(
haruslah terdapat minimal sebuah
, misalkan , sehingga
. Didefinisikan
dan
={ :
karena
|=|
| −
⊂
∈
− −
< å+|
ℓ[
|=|
− |
− å, + å . Karena ℓ
> , maka
persekitaran dari
(
+
)
=
, jelas ℓ
− |
=ℓ
|
−
= 6å.
|+|
− |
å. Perhatikan
−
+
[
. Sehingga
]=ℓ
tidak
sehingga
}
∈
= 6å, ℓ
=
Kontradiksi dengan
�
+
−
. Andaikan
6
,
=
Karena
ℓ
−
adalah refleksi dan translasi dari
Untuk sembarang
Jadi,
=
,
. Dapat dipilih
ℓ
| }. Untuk suatu
sembarang ë ∈
,
<
=
[
+ë
Oleh karena itu,
−ë ∈
, dan misalkan
+ë
>
dan
. Ekuivalen dengan, jika
dan −ë ∈
untuk semua ë ∈
dan
∈
[
]
−ë
− ,
+ë
={ : =
− , ∈
teorema pada measure theory (Natanson I, 1961)
∞
= ℓ (⋂
→∞
sehingga ⋂∞
≠ ∅. Artinya terdapat
untuk setiap , ini kontradiksi.
Perhatikan himpunan terukur
ë∈
, . Bentuk
[ , ] sehingga
= ℓ[ , ]
Jadi, terbukti
=
ℓ −
kontinu. ∎
,
dimana −ë ∈
− ,
+ℓ
∈
dan
=ℓ
+
> , artinya
, . Karena
lim ℓ
−
sedemikian sehiingga
=
adalah himpunan terukur dimana
pilih
−ë
+
,
=
+ℓ
+
. Untuk
−ë ]
+ë ∈
dan
} maka ë ∈
⋯ , berdasarkan
)
>
sedemikian sehingga
dan ë ∈
untuk setiap
, . Maka −
=ℓ
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
=
ℓ
FUNGSI MIDKONVEKS
Pada bab ini akan dibahas tentang fungsi midkonveks, fungsi midkonveks
pada ruang linear bernorm, serta fungsi midkonveks pada bilangan real.
3.1
Pendahuluan
Diberikan fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval
memenuhi
+
untuk setiap
dan
[
]
+
(1)
pada . Fungsi
jika
[ë +
untuk setiap
−ë ]
dan
ë
⊂ ℝ yang
+
pada , ë ∈
∶ → ℝ dikatakan konveks jika dan hanya
−ë
(2)
, . Jika ë =
dapat ditunjukkan semua
fungsi yang memenuhi (2) juga memenuhi (1), tetapi tidak sebaliknya.
Melalui fungsi konveks yaitu fungsi yang memenuhi (2) selanjutnya akan
didefinisikan fungsi midkonveks yaitu fungsi yang memenuhi (1). Kedua definisi
ini hanya berlaku pada fungsi yang terdefinisi pada subset konveks � pada ruang
linear bernorm dan akan dilihat hubungan antara fungsi konveks dan fungsi
midkonveks
3.2
Fungsi Midkonveks pada Ruang Linear Bernorm
Definisi 3.2.1 (Fungsi Midkonveks)
Diketahui
ruang linear dan himpunan konveks �
disebut fungsi midkonveks jika untuk setiap ,
(
+
)
[
12
. Suatu fungsi
∈ �, berlaku
+
]
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
:� → ℝ
13
Contoh :
1.
(
2. ℎ
= | |. Akan ditunjukkan
+
=
)=|
+
midkonveks
|= | + |
| |+| | = [
. Akan ditunjukkan ℎ midkonveks
+
ℎ(
+
)=(
) =
+
]
+
+
+
berdasarkan ketaksamaan aritmatik-rataan geometri √
+
sehingga
ℎ(
+
)
=
+ (
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
8
8
+
+
+
+
+
+ (
8
+
8
+
8
+
8
8
8
+
+
6
6
+
)+
+
+
8
+
+
, maka
6
6
6
6
+
8
6
+
8
+
8
+
+
8
+ (
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
6
+
+
+
)+
+
+
6
+
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
+
6
+
+
(
+
)+
+
6
6
8
8
6
+
+
6
)
14
jika diteruskan akan ditemukan deret geometri tak hingga. Dan
berdasarkan rumus geometri tak hingga,
+
ℎ(
)
+
+
= [ℎ
8
+
+
6
+ℎ
6
+
]
8
+
+
+
=
6
+ ⋯+
+
6
Definisi 3.2.2 (Kombinasi Konveks Rasional)
Kombinasi ∑ á�
á�
�
disebut kombinasi konveks rasional pada titik
untuk � = , ⋯ ,
,⋯,
jika,
(1)
∑ á� =
(2)
á� bilangan rasional untuk � = , ⋯ ,
(3)
Contoh :
Akan ditunjukkan ∑
á� =
∑ á� = ∑
�
adalah kombinasi konveks rasional.
,
= ⏟+ + ⋯ + = = ,
�
dan á� = adalah bilangan rasional untuk � = , ⋯ , .
Teorema 3.2.3 Fungsi
dikatakan midkonveks pada himpunan konveks �
jika dan hanya jka untuk setiap kombinasi konveks rasional dari titik-titik
pada � berlaku
∑ á�
�
∑ á�
�
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
(4)
15
Bukti:
Jelas jika dipilih á = á = sembarang
akan memenuhi (4), karena diketahui
midkonveks. Pertama akan ditunjukkan bahwa
spesial dimana á = ⋯ = á =
(∑ á� � ) =
(∑
=
[ (
=
[
Akan ditunjukkan jika
∑ á�
�
=
(
Untuk � = , maka
Jika untuk � =
∑ á�
�
=
+
+
(
)+ (
+
+
+
+
= ∑ á�
�
=
+
�
+
)
(
)]
+
+
=
)+(
]= ∑
+
)
�
�
berlaku
+ ⋯+
�
�
)
�
[
+ ⋯+ (
�
�
)] = ∑ á�
�
= . Jelas karena merupakan definisi midkonveks.
benar, akan ditunjukkan untuk � = +
benar artinya
�
+
=
memenuhi (4). Saat
+
=∑
�
�)
fungsi midkonveks pada kasus
(
+ ⋯+
�
)
[
+ ⋯+
juga benar. � =
�
�
] = ∑ á�
benar. Sehinggga,
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
�
16
�+1
∑ á�
=
�
+ ⋯+
(
+
+ ⋯+
[ (
[
[
=
�+1
= ∑
Jadi ntuk setiap
�
(
Untuk
(∑ á� � ) =
(
�
sehingga,
( −
−
�
[
]+
�+1
�+1
+⋯+
�+
�
= ∑ á�
�
+⋯+
= ,
=
)+ (
+
�
+
�+ �
�+
+
)]
+ ⋯+
+ ⋯+
�+
]=
∙
+ ⋯+
�+
�+1
∑
�+ �
�+ �
]
�
�
[
+
+
(
+
(
) (
)
+ ⋯+
+
−
)
+
+
+
[
+
+
] = ∑ á�
+
+
+
)]
+
−
+
+
[
)
�
+
+
)
[
+
+
+
]
atau
(
�+ �
, berlaku
=
∑ á�
+ ⋯+
+
�
=
�
+ ⋯+
(
+ ⋯+
[
+
)=
+⋯+
[
∙
=
�+1
]
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
�
)
)
]]
17
kali dengan
maka
(∑ á� � ) =
+
(
+
[
)
≠
Dengan pola yang sama untuk setiap
Maka
(∑ á� � ) =
+ ⋯+
(
=
[
kita akan peroleh
−
−
kalikan dengan
+ ⋯+
+⋯+
(
�
] = ∑ á�
+
. Pilih
+ ⋯+
+
−
+
−
sehingga
)
(
[
+
−
)
[
[
+ ⋯+
<
+ ⋯+
+ ⋯+
(
+ ⋯+
�
<
.
) ]
)]
]
maka
(∑ á� � ) =
(
+ ⋯+
)
Diberikan sembarang himpunan
∑ á� = , pilih á� =
�⁄
dimana ∑
�
] = ∑ á�
�
bilangan rasional positif á� sehingga
= , maka
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
18
(∑ á� � ) =
(∑
=
=
=
�
�
�)
+ ⋯+
=
( [⏟ + ⋯ +
+ ⋯+ ⏟ + ⋯+
])
([⏟ + ⋯ +
+ ⋯+ ⏟ + ⋯+
])
� 1
� 1
∑
�
+ ⋯+
�
�
=∑
�
� �
(
�
�
(a) Untuk semua á� ⟺
+ ⋯+
= ∑ á�
�
�
Persamaan (4) disebut Ketaksamaan Jensen.
Teorema 3.2.4 Diberikan : → �, dan
� �
)
.∎
memenuhi ketaksamaan jensen
linear
(b) Untuk semua á� memenuhi persamaan (2) ⟺
affine
(c) Untuk semua á� memenuhi persamaan (1) dan (2) ⟺
konveks
(d) Untuk semua á� memenuhi persamaan (1), (2), dan (3) ⟺
midkonveks
Bukti:
(d) Sudah terbukti pada Teorema 3.2.3.
= ,
,
(∑ á� � ) =
á
(c) untuk
á
untuk
= ,
,
,
∈ � dan á + á = , maka
+á
+
=
−á
á
+
−á
=á
+á
∈ � dan á + á + á = , maka
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
= ∑ á�
�
�
.
19
(∑ á� � ) =
á
=
á
+á
[á
(
+ á +á
á
á +á
+ á +á
á
á +á
+ á +á
=á
untuk
�+
+á
= � benar artinya, [∑� á� � ]
karena ∑�+ á� =
�
(∑ á�
+ ⋯ + á�
�
[∑ á� � ]
�
+ á�+
. Karena
∑ á�
�+
�
+
)]
á
á +á
= ∑ á�
�
�
)
.
benar.
benar. Sehingga
]=
�
(∑ á�
�
)=
∑ á�
�
+ ( − ∑ á� )
= ∑ á�
�
+ á�+
�
(∑ á�
�
�+
(b) Sudah dibuktikan pada Teorema 2.4.3
�
�
á
á +á
+ á�+
�+
)
maka,
�
∑ á�
á
á +á
=�+
∑� á�
+ á�+
(
+
+á
= � benar, akan ditunjukkan untuk
[∑ á� � ] = [á
á
á +á
+ á +á
á
Jika untuk
+á
�
�
+ ( − ∑ á� )
�+
�+
)
�+
�+
= ∑ á�
�
affine jika dan hanya jika [∑ á� � ] =
memenuhi ketaksamaan Jensen, harus ditunjukkan
�
. Jika ∑ á� = , artinya minimal ada satu á� yang positif.
Misalkan á positif, perhatikan
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
20
á
á
dan karena á +
−á
á
=
= ∑ á�
á
+ ⋯+
=
+ ⋯+ á
−á
(∑ á� � ) +
−á
á
[
�
á
=á =
= ∑ á�
+ ⋯+ á
−á
á
(∑ á� � ) +
á
=
[
+ ⋯+
−á
á
á
1
∑ á�
−á
á
+ ⋯+
(∑ á� � ) + ∑
á
kalikan dengan á , sehingga
�
−á�
á
+∑
�
−á�
á
(∑ á� � ) + ∑ −á�
á
+ ∑ á�
á
∑ á�
]
�
]
�
�
(∑ á� � )
�
�
−á
á
(∑ á� � )
(a) Karena (4) dipenuhi oleh semua á� , jelas dipenuhi oleh semua á� yang terbatas
(2). Berdasarkan (b),
affine, berdasarkan definisi
fungsi linear
dan konstanta . Harus ditunjukkan
linear, maka
⊇ = ⊇ dan jika
dan
⊇ =
affine, maka
∙⊇+ ∙⊇
=
+
untuk suatu
= . Berdasarkan definisi,
⊇ = . Perhatikan
⊇ +
⊇
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
21
Jadi,
=
⊇ =
⊇ = . ∎
∙⊇
⊇ =
midkonveks pada himpunan buka �
Teorema 3.2.5 Diberikan fungsi
terbatas di atas pada persekitaran dari sebuah titik
konveks di �.
∈ �, maka
. Jika
kontinu dan
Bukti:
Pilih titik ⊇ ∈ �, misalkan
terbatas di atas pada
Pilih suatu bilangan rasional å ∈
dan
karena
midkonveks dan
=
⊇ =
⊇=
(
Akan ditunjukkan
−
å
+å å
+
−å
å
å
−
+
)
+å å
+å
å
+
+å
+å
Jadi, ‖ ‖ < å mengakibatkan |
= ⊇.
−å ⊇+ε
|
dan | (⊇)| = .
sehingga ‖ ‖ < å , perhatikan
dan suatu
⊇ = , maka
−å ⊇+ε
dan
=
,
(⊇) oleh
å
+å
⊇ +å
å
+å
+å =å
å
−
å
+
+å
å . Hal ini menunjukkan
terbatas di atas oleh
untuk setiap titik
kontinu pada
≠ ⊇ pada �.
Dengan mencontoh pembuktian pada Teorema 2.6.1, pilih ñ >
= ñ ∈ �, dan misalkan ë = ⁄ñ, maka
={ ∈ :
=
−ë
+ë ,
∈
}
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
sehingga
22
adalah persekitaran dari ë =
−ë
dengan jari-jari
Selanjutnya,
= (
Sehingga,
3.3
−ë
+ë )
terbatas di atas pada
. Jadi,
−ë
(gambar 2.3.1).
+ë
+
kontinu di . ∎
Fungsi midkonveks pada ℝ
Pada bagian ini akan dikaji apa yang akan terjadi jika domain dari fungsi
midkonveks yang awalnya adalah ruang linear bernorm diperluas menjadi ℝ.
Jensen (1905) telah membuktikan bahwa jika fungsi midkonveks terbatas di atas
,
pada
,
pada
, maka
kontinu. Prasyarat apa saja yang diperlukan agar
.
Teorema 3.3.1 Misalkan
fungsi midkonveks pada
∈
pada persekitaran dari sebuah titik
,
, maka
,
. Jika
Teorema 3.3.2 Diberikan
himpunan
kontinu pada
,
,
fungsi midkonveks pada
memiliki ukuran positif dimana
dan misalkan terdapat
terbatas di atas. Maka
, interval buka yang tidak tumpang tindih
, sehingga
ℓ
karena himpunan
.
adalah himpunan yang memiliki ukuran positif. Himpunan
dapat dibentuk menjadi himpunan
,
,
,
.
Misalkan himpunan
dari
terbatas di atas
kontinu pada
Bukti: teorema ini adalah kasus khusus dari Teorema 3.2.5
Bukti:
kontinu
∞
∑ℓ
< ℓ
semua terpisah dan terukur,
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
23
∞
∞
∑ ℓ(
) = ℓ ⋃(
haruslah terdapat minimal sebuah
, misalkan , sehingga
. Didefinisikan
dan
={ :
karena
|=|
| −
⊂
∈
− −
< å+|
ℓ[
|=|
− |
− å, + å . Karena ℓ
> , maka
persekitaran dari
(
+
)
=
, jelas ℓ
− |
=ℓ
|
−
= 6å.
|+|
− |
å. Perhatikan
−
+
[
. Sehingga
]=ℓ
tidak
sehingga
}
∈
= 6å, ℓ
=
Kontradiksi dengan
�
+
−
. Andaikan
6
,
=
Karena
ℓ
−
adalah refleksi dan translasi dari
Untuk sembarang
Jadi,
=
,
. Dapat dipilih
ℓ
| }. Untuk suatu
sembarang ë ∈
,
<
=
[
+ë
Oleh karena itu,
−ë ∈
, dan misalkan
+ë
>
dan
. Ekuivalen dengan, jika
dan −ë ∈
untuk semua ë ∈
dan
∈
[
]
−ë
− ,
+ë
={ : =
− , ∈
teorema pada measure theory (Natanson I, 1961)
∞
= ℓ (⋂
→∞
sehingga ⋂∞
≠ ∅. Artinya terdapat
untuk setiap , ini kontradiksi.
Perhatikan himpunan terukur
ë∈
, . Bentuk
[ , ] sehingga
= ℓ[ , ]
Jadi, terbukti
=
ℓ −
kontinu. ∎
,
dimana −ë ∈
− ,
+ℓ
∈
dan
=ℓ
+
> , artinya
, . Karena
lim ℓ
−
sedemikian sehiingga
=
adalah himpunan terukur dimana
pilih
−ë
+
,
=
+ℓ
+
. Untuk
−ë ]
+ë ∈
dan
} maka ë ∈
⋯ , berdasarkan
)
>
sedemikian sehingga
dan ë ∈
untuk setiap
, . Maka −
=ℓ
Rischa Armalia Perdana, 2016
FUNGSI MIDKONVEKS
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
=
ℓ