Implementasi Sistem Keamanan Data Menggunakan Steganografi Teknik Pemetaan Titik Hitam Dengan Pencarian Sekuensial Dan Rabin Cryptosystem

BAB 2
LANDASAN TEORI

2.1. Kriptografi
Kriptografi berasal dari bahasa Yunani, kryptos dan graphikos. Kryptos berarti hidden
(terpendam) dan graphikos berarti writing (tulisan). Menurut terminologinya,
kriptografi adalah metodologi untuk menyamarkan isi dari pesan (Hoffstein, et al.
2008).
Menurut Kromodimoeljo (2010), “kriptografi adalah ilmu mengenai teknik
enkripsi di mana data diacak menggunakan suatu kunci enkripsi menjadi sesuatu yang
sulit dibaca oleh seseorang yang tidak memiliki kunci dekripsi.”

2.1.1.

Terminologi

Seorang pengirim (sender ) ingin mengirim pesan (plaintext; kadang-kadang disebut
cleartext) kepada orang yang dituju (receiver ). Selain itu, pengirim ingin pesan yang

dikirim tidak dapat dibaca oleh orang lain yang menyadap (eavesdropper ) percakapan
atau

pesan

tersebut.

Proses

menyamarkan

pesan

sedemikian

rupa

untuk

menyembunyikan substansinya disebut enkripsi. Sebuah pesan yang dienkripsi disebut
ciphertext. Proses untuk mengubah ciphertext kembali ke plaintext adalah dekripsi.

Pada standar ISO 7498-2 menggunakan istilah encipher untuk proses enkripsi dan
decipher untuk proses dekripsi. Skema rangkaian proses enkripsi dan dekripsi

ditunjukkan secara umum pada Gambar 2.1. (Schneier, 1996).
Seni dan ilmu untuk menjaga keamanan pesan disebut kriptografi dan pelakunya
adalah kriptografer. Kriptanalis adalah yang melakukan kriptanalisis, yaitu seni dan
ilmu untuk memecahkan pesan tersembunyi (ciphertext). Cabang matematika yang
meliputi kriptografi dan kriptanalisis adalah kriptologi dan praktisinya disebut
kriptologis (Schneier, 1996).

Universitas Sumatera Utara

7

Ciphertext

Plaintext

Enkripsi

Plaintext

Dekripsi

Gambar 2.1. Skema Proses Enkripsi dan Dekripsi (Schneier, 1996)

2.1.2.

Tujuan kriptografi

Kriptografi bertujuan untuk memberikan layanan keamanan (Paar & Pelzl, 2010)
sebagai berikut:
1. Kerahasiaan (Confidentiality)
Informasi dirahasiakan dari semua pihak yang tidak berwenang.
2. Keutuhan Data (Integrity)
Pesan tidak berubah dalam proses pengiriman hingga pesan diterima oleh
penerima.
3. Autentikasi (Message Authentication)
Kepastian terhadap identitas setiap entitas yang terlibat dan keaslian sumber
data.

4. Nirpenyangkalan (Nonrepudiation)
Setiap entitas yang berkomunikasi tidak dapat menolak atau menyangkal atas
data yang telah dikirim atau diterima.

2.2. Kriptografi Klasik dan Kriptografi Modern
2.2.1.

Kriptografi klasik

Menurut Ariyus (2008), kriptografi klasik merupakan suatu algoritma yang
menggunakan satu kunci untuk mengamankan data dan sudah digunakan sejak empat
abad yang lalu. Terdapat beberapa ciri dari kriptografi klasik, antara lain:
1. berbasis karakter,
2. menggunakan pena dan kertas saja (belum menggunakan komputer),
3. termasuk ke dalam kriptografi kunci simetri.
Contoh dari kriptografi klasik adalah Caesar Cipher , Vigènere Cipher , Affine
Cipher , Scytale Cipher dan Reverse Cipher .

Universitas Sumatera Utara

8

2.2.2.

Kriptografi modern

Kriptografi modern berbeda dengan kriptografi klasik atau konvensional. Kriptografi
modern mempunyai kerumitan yang kompleks dan dibutuhkan komputer untuk

pengoperasiannya (Ariyus, 2008).
Kriptografi modern merupakan suatu perbaikan yang mengacu pada kriptografi
klasik. Terdapat berbagai macam algoritma pada kriptografi modern yang
menggunakan sistem kriptografi simetri (DES, AES, IDEA, A5, RC4 dan lainnya) dan
sistem kriptografi asimetri (RSA, Rabin, ElGamal dan lainnya) jika dilihat dari
penggunaan kuncinya. Selain menggunakan sistem kriptografi simetri dan asimetri,
dalam kriptografi modern terdapat algoritma hibrida, yaitu algortima yang
memanfaatkan dua tingkatan kunci. Dua tingkatan kunci tersebut adalah kunci rahasia
(simetri) yang disebut juga session key (kunci sesi) untuk enkripsi data dan pasangan
kunci rahasia (kunci publik) untuk pemberian tanda tangan digital serta melindungi
kunci simetri (Ariyus, 2008). Dengan kata lain, algoritma hibrida merupakan

penggabungan dari sistem kriptografi simetri dan sistem kriptografi asimetri.

2.3. Sistem Kriptografi
Sistem kriptografi adalah algoritma, seluruh kemungkinan plaintext, ciphertext dan
kunci. P adalah notasi yang digunakan untuk plaintext, C adalah ciphertext, E adalah
fungsi enkripsi dan D adalah fungsi dekripsi (Schneier, 1996). Sedangkan untuk kunci
dapat dinotasikan sebagai K.
Berdasarkan kunci yang dipakai, algoritma kriptografi dibagi menjadi tiga, yaitu
algoritma simetri (menggunakan satu kunci untuk enkripsi dan dekripsi), algoritma
asimetri (menggunakan kunci yang berbeda untuk enkripsi dan dekripsi) dan fungsi
hash (Ariyus, 2008).

Selain berdasarkan kunci yang dipakai, karakteristik kriptografi juga dibagi
berdasarkan tipe operasi yang dipakai untuk enkripsi dan dekripsi serta berdasarkan tipe
pengolahan pesan (Sadikin, 2012).

Universitas Sumatera Utara

9

2.4. Kriptografi Berdasarkan Kunci yang Dipakai
2.4.1.

Sistem kriptografi simetri

Algoritma kriptografi simetri (symmetric cryptosystems atau secret key cryptosystems)
adalah suatu algoritma kriptografi yang memiliki kunci enkripsi yang sama dengan
kunci dekripsi dan kunci tersebut bersifat rahasia (Smart, 2004). Algoritma ini disebut
juga dengan algoritma klasik atau konvensional karena sudah ada sejak lebih dari 4000
tahun yang lalu (Ariyus, 2008).
Pada algoritma ini, pengirim dan penerima pesan harus menyetujui suatu kunci
tertentu sebelum saling berkomunikasi. Keamanan pada algoritma ini tergantung pada
kunci yang digunakan. Jika kunci diketahui oleh orang lain, maka orang lain dapat
melakukan enkripsi dan dekripsi pesan. Oleh karena itu, keamanan atau kerahasiaan
kunci dalam algoritma ini sangat penting dan algoritma ini disebut juga dengan
algoritma secret key encipherment (Sadikin, 2012). Selain melalui persetujuan oleh
kedua pihak tentang kunci, kunci dapat ditetapkan oleh salah satu pihak yang kemudian
kunci tersebut dikirimkan kepada pihak lain menggunakan jalur distribusi yang aman.
Skema algoritma kriptografi simetri dapat dilihat pada Gambar 2.2.

Teks Asli

Algoritma
Enkripsi

A

Ciphertext

Algoritma
Dekripsi

Teks Asli

B

Kunci Rahasia

: Jalur Rahasia
Gambar 2.2. Skema Sistem Kriptografi Simetri (Fauzana, 2013)

Kriptografi yang termasuk algoritma kunci simetri adalah One Time Pad (OTP),
Data Encryption Standard (DES), RC2, RC4, RC5, RC6, Message Digest (MD),
International Data Encryption Algorithm (IDEA), Twofish, Magenta, FEAL, SAFER,

LOKI, CAST, Rijndael (Advanced Encryption Standard), Blowfish, GOST, A5 (Stream
Cipher ), Kasumi dan lain-lain.

Universitas Sumatera Utara

10

2.4.2.

Sistem kriptografi asimetri

Kunci yang digunakan dalam algoritma asimetri (asymmetric cryptosystems atau public
key cryptosystems) untuk melakukan enkripsi dan dekripsi berbeda (Smart, 2004).

Algoritma ini dikenal juga sebagai kriptografi kunci publik dan merupakan bagian
sistem kriptografi modern, yaitu kunci enkripsi (public key) dimiliki oleh pengirim dan

kunci dekripsi (private key) dimiliki oleh penerima pesan. Skema algoritma kriptografi
asimetri dengan kunci publik dapat dilihat pada Gambar 2.3.

Teks Asli

Algoritma
Enkripsi

Ciphertext

Algoritma
Dekripsi

Teks Asli

A
KPrivatB

Pembangkit
Kunci

B
KPublikB
Gambar 2.3. Skema Kriptografi Asimetri Kunci Publik (Sadikin, 2012)
Sistem kriptografi asimetri kunci publik pertama kali diusulkan oleh Diffie dan
Hellman pada tahun 1976. Ide kriptografi kunci publik sebenarnya mirip dengan cara
kerja kunci gembok, misalnya terdapat sebuah peti yang berisi pesan rahasia, lalu peti
itu dikunci dengan gembok di mana gembok ini dimiliki oleh semua orang (gembok
bekerja seperti public key). Peti terkunci tersebut kemudian dikirim ke tujuan atau
penerima yang memiliki kunci untuk membuka gembok. Penerima dapat membuka
gembok apabila kunci yang dipegang olehnya merupakan pasangan dari gembok
tersebut. Kunci yang dipegang oleh penerima bekerja seperti private key (Sadikin,
2012).
Sistem kriptografi kunci publik memiliki kunci untuk enkripsi Ke dan kunci
untuk dekripsi Kd yang berbeda. Kunci untuk enkripsi Ke disebut juga sebagai kunci
publik (KPublik) bersifat tidak rahasia sehingga dapat didistribusikan melalui saluran
tidak aman. Sedangkan kunci dekripsi Kd disebut juga kunci privat (KPrivat) bersifat
rahasia dan harus dijaga kerahasiaannya oleh pemegang kunci. Berikut ini adalah
algoritma sistem kriptografi kunci publik (Sadikin, 2012).

Universitas Sumatera Utara

11

1. Sebelum A melakukan enkripsi, B membangkitkan sepasang kunci yaitu kunci
privat dan kunci publik milik B dengan memanggil fungsi PembangkitKunci().
(KPublikB, KPrivatB)  PembangkitKunci()

B memublikasikan kunci publik (KPublikB) dan menjaga kerahasiaan kunci privat
(KPrivatB).
2. A melakukan enkripsi sebuah teks asli (P ) dengan kunci publik B (KPublikB)
menghasilkan sebuah teks sandi (C ) dengan memanggil fungsi enkripsi (E).
C  E(KPublikB, P )

A mengirim teks sandi (C ) ke B melalui saluran tidak aman.
3. B mendekripsi teks sandi (C ) dengan kunci privat B (KPrivatB) untuk
mendapatkan teks asli (P ) dengan fungsi dekripsi (D).
P  D (KPrivatB, C )

B mendapatkan P jika teks sandi (C ) dienkripsi dengan kunci publik B yang
sesuai.

Jadi dalam kriptografi kunci publik, kunci publik dapat disebar-luaskan kepada
umum dan sebaiknya disebar luaskan. Sebaliknya, kunci privat harus dirahasiakan oleh
pemiliknya. Perlu untuk diingat, biasanya algoritma tidak dirahasiakan, bahkan enkripsi
yang mengandalkan kerahasiaan algoritma dianggap sesuatu yang tidak baik
(Kromodimoeljo, 2010). Hal ini sesuai dengan prinsip Kerckhoff yaitu semua algoritma
kriptografi harus publik, hanya kunci yang rahasia (Munir, 2006).
Dalam kriptografi kunci asimetri, hampir semua algoritma kriptografinya
menggunakan konsep kunci publik, seperti Rivest-Shamir-Adleman (RSA), El-Gamal,
Rabin dan sebagainya. Kecuali algoritma Pohlig˗Hellman karena kunci enkripsi
maupun kunci dekripsinya bersifat rahasia. (Fauzana, 2013). Skema algoritma
kriptografi asimetri nirkunci publik (dengan asumsi kunci sudah diketahui oleh kedua
belah pihak sebelumnya) dapat dilihat pada Gambar 2.4.

Universitas Sumatera Utara

12

Teks Asli

Algoritma
Enkripsi

Ciphertext

Algoritma
Dekripsi

Teks Asli

B

A
Kunci Rahasia A

Kunci Rahasia B

Gambar 2.4. Skema Kriptografi Asimetri Nirkunci Publik
2.4.3.

Fungsi hash

Fungsi hash adalah sebuah fungsi yang masukannya adalah sebuah pesan dan
keluarannya adalah sebuah sidik pesan (message fingerprint) (Ariyus, 2008).
“Fungsi hash sering disebut dengan fungsi hash satu arah (one-way function),
message digest, fingerprint, fungsi kompresi dan message authentication code (MAC)

yang merupakan suatu fungsi matematika yang mengambil masukan panjang variabel
dan mengubahnya ke dalam urutan biner dengan panjang yang tetap. Fungsi hash
biasanya diperlukan bila ingin membuat sidik jari dari suatu pesan. Sidik jari pada pesan
merupakan suatu tanda bahwa pesan tersebut benar-benar berasal dari orang yang
diinginkan” (Ariyus, 2008). Beberapa fungsi hash yang banyak dipakai adalah MD5
dan SHA.

2.5. Kriptografi Berdasarkan Tipe Operasi
Menurut Ariyus (2008) dan Sadikin (2012), dua teknik dasar yang biasa digunakan pada
algoritma kriptografi untuk melakukan enkripsi dan dekripsi adalah sebagai berikut,
1. Teknik substritusi: Penggantian karakter teks asli dengan karakter lain.
2. Teknik transposisi (permutasi): Dilakukan dengan menggunakan permutasi
karakter atau dengan kata lain elemen pada pesan berpindah posisi.

2.6. Kriptografi Berdasarkan Tipe Pengolahan Pesan
“Ketika melakukan penyandian pesan yang akan dienkripsi ataupun didekripsi, pesan
diolah per satuan blok elemen yang disebut dengan block cipher . Cara lain adalah
dengan menganggap masukan untuk enkripsi dan dekripsi sebagai aliran elemen secara
terus menerus yang disebut dengan stream cipher ” (Sadikin, 2012).

Universitas Sumatera Utara

13

2.7. Teori Bilangan Integer
Teori bilangan integer atau bilangan bulat (ℤ) memiliki peran yang sangat besar dalam
kriptografi pada umumnya serta merupakan pondasi bagi sistem kriptografi kunci
publik (Munir, 2006). Berikut ini merupakan beberapa teori yang mendukung dalam
penelitian ini.

2.7.1.

Kemampuan dibagi habis (divisibility)

Misalkan a dan b adalah dua bilangan bulat dengan syarat a ≠ 0. Dinyatakan bahwa a
habis membagi b (b mod a = 0) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga
b = ac, maka hal tersebut dapat ditulis sebagai berikut (Munir, 2006).
a | b jika b = ac, c ∈ ℤ dan a ≠ 0 ................................... (2.1)

Beberapa properti keterbagihabisan dapat didasarkan sebagai berikut (Sadikin,
2012).

1. Jika 1 | a , maka a = ±1 .................................................................................. (2.2)
2. Jika b | a dan a | b, maka a = ±b .................................................................... (2.3)
3. Jika d | b dan b | a, maka d | a ........................................................................ (2.4)
4. Jika b mod a = r , maka berlaku a | (b – r ) ..................................................... (2.5)
2.7.2.

Divisor

Himpunan bilangan integer yang membagi habis sebuah bilangan integer disebut
dengan divisor . Misalnya, 15 memiliki divisor : {1, 3, 5, 15}. Perlu untuk diperhatikan
bahwa bilangan 1 yang hanya memiliki satu divisor yaitu 1 atau bilangan itu sendiri.
Sedangkan bilangan integer lainnya paling sedikit memiliki dua divisor yaitu bilangan
itu sendiri dan 1.
Bilangan integer i yang memiliki divisor {1, i} disebut bilangan prima, selain
itu disebut sebagai bilangan komposit (Sadikin, 2012).

2.7.3.

Faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor)

Faktor persekutuan terbesar adalah elemen terbesar pada himpunan divisor dua bilangan
integer. Dua bilangan dapat saja memiliki beberapa elemen divisor yang sama namun
hanya satu yang terbesar (Sadikin, 2012). Misalnya, divisor 15 = { 1, 3, 5, 15 } dan
divisor 45 = { 1, 3, 5, 9, 15, 45 }, maka himpunan divisor kedua bilangan tersebut ialah

Universitas Sumatera Utara

14

{ 1, 3, 5, 15 } dan yang terbesar ialah 15. Dengan kata lain, faktor persekutuan terbesar
15 dan 45 dapat dinotasikan sebagai GCD(15, 45) = 15 (Fauzana, 2013).
Dalam notasi matematika, faktor persekutuan terbesar d dari dua bilangan
integer a dan b, di mana keduanya tidak sama dengan nol, didefinisikan sebagai berikut
(Welschenbach, 2005):
d = GCD(a ,b) jika d > 0, maka d | a , d | b ........................... (2.6)

(d | a dibaca d habis membagi a ) dan jika terdapat bilangan d’,
di mana d’ | a dan d’ | b, maka d’ | d ................................... (2.7)
Sebagai contoh, telah diketahui GCD(15, 45) = 15. Pembuktian dari persamaan
(2.6) dapat dilihat dari 15/15 = 1 dan 45/15 = 3. Hal ini dikarenakan 15 merupakan salah
satu divisor dari 15 dan 45.
Berikut ini beberapa aturan yang berlaku dalam faktor persekutuan terbesar
(Welschenbach, 2005).
1. GCD(a ,b) = GCD(b,a ) ............................................................................ (2.8)
2. GCD(a ,0) = |a | ......................................................................................... (2.9)
3. GCD(a ,b,c) = GCD(a , GCD(b,c))......................................................... (2.10)
4. GCD(a ,b) = GCD(-a ,b) ......................................................................... (2.11)

2.7.4. Aritmatika modulo

Aritmatika modulo merupakan sisa hasil pembagian dua bilangan. Operator yang
digunakan dalam aritmatika modulo adalah mod. Misalkan, jika bilangan integer a
dibagi dengan bilangan integer yang lebih besar dari nol (b > 0), maka akan
menghasilkan sisa bagi r (remainder ) dengan hasil bagi s (quotient). Sehingga dapat
dinotasikan sebagai berikut (Lipschutz & Lipson, 2007).
a mod b = r sedemikian sehingga a = bs + r , dengan 0 ≤ b < n ............. (2.12)

Sebagai contoh, jika 23 mod 4 = 3, maka 23 = (4 × 5) + 3.
Jika a negatif, maka bagi |a | dengan b mendapatkan sisa bagi r ’ (Munir, 2006).
Sehingga didapatkan:
a mod b = b – r ’, di mana r ’ ≠ 0 dan a < 0 ............................ (2.13)

Sebagai contoh, jika |-23| mod 4 = 3, maka -23 mod 4 = 4 – 3 = 1.
Cormen, et al. (2009) menuliskan di dalam bukunya, untuk setiap bilangan bulat
a dan setiap bilangan bulat positif b, nilai a mod b adalah sisa (residu) dari hasil bagi
a /b:

Universitas Sumatera Utara

15
a mod b = a – b (a /b), di mana 0 ≤ a mod b < b ...................... (2.14)

Contohnya adalah 23 mod 4 = 23 – 4(23/4) = 23 – 4(5) = 23 – 20 = 3.
2.7.5.

Algoritma Euclid

Euclid (±300 SM), seorang matematikawan klasik yang bekerja pada perpustakaan
Alexandria pada zaman Ptolomeus I, membuat algoritma yang dapat menemukan GCD
dua bilangan integer a dan b dengan cara rekursif (Sadikin, 2012). Algoritmanya
tersebut dituliskan dalam buku Euclid yang terkenal, Element (Munir, 2006). Terdapat
dua kasus (Sadikin, 2012), pertama kasus dasar, yaitu ketika b = 0.
GCD(a , 0) = a ............................................................. (2.15)
Kasus kedua merupakan kasus umum, ketika b ≠ 0.
GCD(a , b) = GCD(b, a mod b) ...................................(2.16)
Kasus dasar (2.15) menyatakan bila b = 0, maka didefinisikan nilai GCD adalah
a (merupakan stop condition). Sebab semua bilangan integer habis membagi 0 dan a

habis membagi dirinya sendiri (0 mod a = 0 dan a mod a = 0, perlu untuk diingat bahwa
a mod 0 = undefined).

Pada kasus umum (2.16) menyatakan untuk mencari GCD(a ,b) dapat direduksi
menjadi GCD(b, a mod b ). Jadi kasus umum (2.16) dapat dikenakan berkali-kali sampai
akhirnya akan bertemu dengan kasus dasar (2.15) untuk menemukan GCD(a ,b)
(Sadikin, 2012).
Contoh: Untuk menemukan GCD(31, 23), dengan menggunakan persamaan
(2.15) dan (2.16):
(2.16): GCD(31, 23)

= GCD(23, (31 mod 23)) = GCD(23, 8)

(2.16): GCD(23, 8)

= GCD(8, (23 mod 8))

= GCD(8, 7)

(2.16): GCD(8, 7)

= GCD(7, (8 mod 7))

= GCD(7, 1)

(2.16): GCD(7, 1)

= GCD(1, (7 mod 1))

= GCD(1, 0)

(2.15): GCD(1, 0)

=1

Sehingga dapat disimpulkan bahwa GCD(31, 23) = 1.

2.7.6.

Relatif prima

Bilangan bulat positif i (i > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya 1 dan i (Cormen,
et al. 2009). Seluruh bilangan prima adalah ganjil kecuali 2. Cara sederhana untuk

Universitas Sumatera Utara

16

menguji apakah i merupakan bilangan prima atau komposit adalah dengan membagi i
dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2 hingga bilangan prima yang lebih kecil
atau sama dengan akar kuadrat dari i (2 ≤ x ≤ √�). Jika i habis dibagi dengan salah satu
dari bilangan prima tersebut, maka i adalah bilangan komposit dan jika tidak, maka i

adalah prima (Munir, 2006). Hal ini berdasarkan teori dari Ibn al-Banna (ca. 1258-1339)
dalam menemukan bilangan prima kurang dari i dengan menggunakan metode saringan
Eratosthenes (Mollin, 2007). Sebagai contoh, misalkan bilangan yang ingin diuji
keprimaannya adalah 23. Hasil dari √

= 4,795831523, maka bilangan prima dari 2

hingga lebih kecil atau sama dengan 4,795831523 adalah 2 dan 3. Karena 23 tidak habis
dibagi dengan 2 dan 3, maka 23 adalah bilangan prima. Berikut ini adalah langkah untuk
menguji keprimaan dari 23 dengan menggunakan metode saringan Eratosthenes
(Mollin, 2007).
Langkah 1: Tuliskan seluruh bilangan natural (asli) yang lebih kecil atau sama
dengan 23 dan yang lebih besar dari 1. Lalu eliminasi bilangan yang
lebih besar dari 2 dan merupakan kelipatan dari 2.
{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23}
{2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23}
Langkah 2: Selanjutnya, eliminasi bilangan yang lebih besar dari 3 dan kelipatan
dari 3.
{2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23}
{2,3,5,7,11,13,15,17,19,21,23}
Langkah 3: Selanjutnya, eliminasi bilangan yang lebih besar dari 5 dan kelipatan
dari 5.
{2,3,5,7,11,13,15,17,19,21,23}
Pada langkah ini, tidak ada yang dapat dieliminasi. Jika diteruskan
dengan 7, 11, 13 dan bilangan selanjutnya, maka tidak ada lagi yang
dapat dieliminasi dari himpunan bilangan ini. Hal tersebut menyatakan
himpunan tersebut adalah himpunan bilangan prima dan membuktikan
bahwa 23 adalah bilangan prima.
Dapat dilihat, pengujian keprimaan dari 23 dapat berhenti pada langkah 2, yaitu
menguji 23 dengan membagi 23 dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2 hingga
bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan akar kuadrat dari 23 (2 ≤ x ≤ √

).

Di mana x adalah 2 dan 3.

Universitas Sumatera Utara

17

Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu
bilangan bulat, beberapa diantaranya adalah Teori Fermat (dibaca “Fair-ma”) (Munir,
2006) dan Miller-Rabin.
Dua bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika GCD(a ,b) = 1. Jika a dan
b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga
ma + nb = 1 ................................................................. (2.17)

Bilangan-bilangan a 1, a 2, a 3, …, a n adalah relatif prima berpasangan (pairwise
relatively prime) jika GCD(a 1, a 2, a 3, …, a n) = 1 (Cormen, et al. 2012). Contoh bilangan

yang relatif prima adalah 31 dan 23.

2.7.7.

Persamaan Diophantine linier

Jika terdapat bilangan bulat a , b, c, x, y dalam bentuk persamaan:
ax + by = c,

dengan nilai a, b dan c yang diketahui, maka persamaan ini disebut sebagai
persamaan Diophantine linier (Mollin, 2008).

2.7.8.

Persamaan Diophantine linier dengan identitas Bézout

Jika nilai c pada persamaan Diophantine linier berikut ini,
ax + by = c,

adalah merupakan nilai faktor persekutuan terbesar dari a dan b atau dengan
kata lain c = GCD(a ,b), maka persamaan tersebut disebut sebagai persamaan
Diophantine linier dengan identitas Bézout (Rosen, 2012).

2.7.9.

Extended Euclidean

Algoritma Euclid dapat dikembangkan (disebut dengan algoritma Extended Euclid)
agar dapat menemukan dua integer x dan y yang unik selain nilai GCD(a ,b) sehingga
memenuhi relasi yang ditunjukkan oleh persamaan (2.18) (Lipschutz & Lipson, 2007).
a × x + b × y = GCD(a ,b) ............................................ (2.18)

Universitas Sumatera Utara

18

2.7.10. Inversi modulo

Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka inversi dari a mod m dapat ditemukan.
Inversi dari a (mod m), disebut juga inversi perkalian, di mana bilangan bulat a -1
sedemikian sehingga
aa -1 ≡ 1 (mod m).......................................................... (2.19)

Pembuktian dari persamaan (2.19) dapat dilihat dari definisi relatif prima
diketahui bahwa GCD(a , m) = 1 dan menurut persamaan (2.17) terdapat bilangan bulat
j dan k sedemikian sehingga
aj + mk = 1

yang mengimplikasikan bahwa aj + mk ≡ 1 (mod m). Karena mk ≡ 0 (mod m),
maka aj ≡ 1 (mod m). Kekongruenan tersebut berarti bahwa j adalah inversi dari a (mod
m) atau dapat dinotasikan sebagai j = a -1 (Munir, 2006; Mollin, 2008).

Contoh: untuk inversi dari 31 (mod 23), penyelesaiannya dapat dilihat pada
Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Penyelesaian Contoh Soal Inversi Modulo
a -1 a -1 × 31 (mod 23)

1

8

2

16

3

1

Pada Tabel 2.1., iterasi berhenti ketika a -1a ≡ 1 (mod m) dan diperoleh a -1 = 3.
2.7.11. Modulo eksponensial

Permasalahan pada operasi modulo adalah bagaimana menghitung xy (mod z) dengan y
yang sangat besar. Terdapat beberapa algoritma untuk menghitung modulo
eksponensial, antara lain adalah dengan metode iteratif dan square and multiply.
Metode square and multiply mengasumsikan eksponen y dalam bentuk biner
(mengekspresikan y sebagai sum of power dari 2), sehingga
�−

=∑
�=

�

�

,

�

∈{ , }

Di mana t adalah panjang y dalam biner, yi bernilai 0 atau 1 (Smart, 2004).

Universitas Sumatera Utara

19

Untuk menyelesaikan modulo eksponensial, berikut ini adalah algoritma dan
contoh dari metode square and multiply: left-to-right variant (Smart, 2004).
Langkah 1: Untuk menghitung xy mod z, misalkan x = 65, y = 2 dan z = 713
maka representasi biner dari y adalah b = ‘10’, dengan index bit
paling kanan bernilai 0, index paling kiri bernilai jumlah bit - 1 =
2 - 1 = 1.
Langkah 2: Tetapkan bilangan a = 1 lalu i = jumlah bit - 1 = 1.
Langkah 3: Jika i ≥ 0, maka hitung a = a 2 mod z dan lanjutkan ke Langkah 4.
Jika i < 0, maka hentikan algoritma dan hasil perhitungan adalah
nilai a .
Langkah 4: Jika bi = ‘1’, maka hitung a = ax mod z dan i = i - 1. Kembali ke
Langkah 3.
Untuk penyelesaian xy mod z dengan x = 65, y = 2 dan z = 713 dapat dilihat pada
Tabel 2.2. berikut.
Tabel 2.2. Penyelesaian Contoh Soal Square and Multiply Left-to-Right Variant
a 2 mod z b[i] == ‘1’

i

b [ i]

a2

-

-

-

-

-

1

1

‘1’

1

1

Ya

65

0

‘0’

4225

660

Tidak

660

a

Dari Tabel 2.2. dapat disimpulkan bahwa 652 mod 713 = 660.

2.7.12. Algoritma Miller-Rabin

Algoritma pengujian bilangan prima ini disebut juga algoritma Selfridge-Miller-Rabin
atau strong prime test. Ini merupakan penyempurnaan dari algoritma Fermat, dan
bekerja dengan sangat baik dalam praktiknya (Galbraith, 2012). Algoritma ini
dikembangkan oleh Michael Rabin yang didasarkan pada sebagian ide Gary Miller
(Schneier, 1996).
Sampai saat ini algoritma pengujian bilangan prima yang banyak dipakai dalam
sistem kriptografi adalah algoritma probabilistik Miller-Rabin yang memiliki
komputasi yang ringan dan memberikan probabilitas yang tinggi (Sadikin, 2012).
Berikut ini adalah algoritma Miller-Rabin (Cormen, et al. 2009).

Universitas Sumatera Utara

20
Langkah 1: Pilih bilangan yang ingin diuji keprimaannya n, di mana n ≥ 3 dan
n merupakan bilangan ganjil (n mod 2 ≠ 0).

Langkah 2: Hitung n-1 = u2t, di mana u adalah bilangan ganjil dan t ≥ 1.
Representasi bilangan biner dari n-1 adalah representasi biner dari
bilangan ganjil u yang diikuti oleh bit 0 sebanyak t.
Langkah 3: Uji n yang akan diperiksa keprimaannya dengan bilangan integer
sembarang a , di mana 2 ≤ a ≤ n-1 sebanyak s. Jika pengujian sudah
sampai s kali, maka lanjutkan ke Langkah 6.
≡ a u (mod n).

Langkah 4: Hitung
Langkah 5: Hitung

�

mod

�

�−

,

mod

sebanyak t kali di mana 1 ≤ i ≤ t. Jika
1 (mod n) dan

�−

n-1 maka hentikan

�−

algoritma dengan menyatakan n adalah bilangan komposit. Selain
dari itu, maka lanjut ke Langkah 3.
Langkah 6: Jika

mod

�

,

maka

hentikan

algoritma

dengan

menyatakan n adalah bilangan komposit. Jika tidak, maka hentikan
algoritma dan nyatakan n adalah kemungkinan bilangan prima.
Contoh: nilai yang akan diuji keprimaannya (n ) adalah 23 (23 ≥ 3 dan 23 mod
2 ≠ 0), maka perhitungan menggunakan algoritma Miller-Rabin untuk menguji
keprimaan dari n adalah sebagai berikut.
Hitung n-1 = u2t, di mana n-1 = 23-1 = 22.
n-1 = 2210 = 101102
u = 10112 = 1110
t = 1, karena jumlah digit 0 setelah u (10112) dalam biner n-1 sebanyak satu.

Sehingga n -1 = 22 = 2tu = 21 × 11.
Pilih nilai a secara acak sebanyak s. Dalam hal ini, nilai s adalah banyak digit
dari n yaitu 2. Sehingga nilai a 0 = 15 dan a 1 = 4.
Pengujian dengan a 0 (iterasi 1):
≡ a u (mod n) ≡ 1511 (mod 23) ≡ 22 (mod 23)

Hitung
Hitung
Maka
Karena

�

�−

mod

sebanyak t kali di mana nilai t adalah 1.

mod

mod

,

mod

mod

1 (mod 23) dan

.
22, maka dilanjutkan ke

langkah berikutnya yaitu pengujian dengan nilai a 1.
Pengujian dengan a 1 (iterasi 2):

Universitas Sumatera Utara

21
≡ a u (mod n) ≡ 411 (mod 23) ≡ 1 (mod 23)

Hitung
Hitung
Maka

�

�−

mod
mod
mod

Karena

sebanyak t kali di mana nilai t adalah 1.

,

mod

mod

.

1 (mod 23),

22 dan pengujian sudah

dilakukan sebanyak s kali, maka dilanjutkan ke langkah terakhir.
Karena

mod

�

, maka algoritma dihentikan dan n dinyatakan

kemungkinan bilangan prima.

2.7.13. Chinese remainder theorem
Chinese Remainder Theorem (CRT) ditemukan oleh seorang matematikawan Cina

bernama Sun-Tsu (disebut juga Sun Tse) sekitar 100 A.D (anno domini) atau 100 M
(Stallings, 2011). Chinese Remainder Theorem (teorema sisa Cina), dinamai setelah
masalah peninggalan Cina yang melibatkan sistem persamaan atau kekongruenan linier,
menyatakan bahwa ketika modulus dari sistem kekongruenan linier yang berpasangan
relatif prima, ada solusi unik dari sistem modulo produk dari modulus. Berikut ini
adalah pertanyaan atau teka-teki Sun-Tsu (Rosen, 2012).
“Ada beberapa hal yang bilangannnya tidak diketahui. Bila
dibagi dengan 3, sisanya adalah 2, ketika dibagi oleh 5, sisanya
adalah 3, dan ketika dibagi 7, sisanya adalah 4. Berapakah
bilangan itu? ”

Teka-teki tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Apa solusi dari sistem kekongruenan berikut ini?
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 7)

Sebelum menyelesaikan teka-teki tersebut, berikut ini adalah teorema sisa Cina
(Chinese Remainder Theorem) (Rosen, 2012).
Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif yang relatif prima
berpasangan (pairwise relatively prime) yang lebih besar dari 1 dan a 1, a 2, …, a n
merupakan bilangan bulat sembarang. Maka sistem kekongruenan linier
x ≡ a 1 (mod m1), x ≡ a 2 (mod m2), ⋯, x ≡ a n (mod mn)

memiliki sebuah solusi unik modulo m = m1m2…mn. (Terdapat solusi x dengan
0 ≤ x < m, dan semua solusi lainnya adalah kongruen modulo m untuk solusi ini).

Universitas Sumatera Utara

22

Solusi dari penyelesaian teka-teki Sun-Tsu tersebut adalah sebagai berikut
(Wandani, 2012).
Langkah 1: Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn
M = 3 × 5 × 7 = 105

Langkah 2: Buat himpunan penyelesaian untuk masing-masing persamaan dari
bilangan terkecil hingga hasil perkalian modulus (M).
x1 = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50,

53, 56, 59, 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89, 92, 95, 98,
101, 104}
x2 = {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78,

83, 88, 93, 98, 103}
x3 = {4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, 74, 81, 88, 95, 102}

Langkah 3: X merupakan irisan dari keseluruhan himpunan penyelesaian
tersebut.
X = x1 ∩ x2 ∩ … ∩ xn
X = x1 ∩ x2 ∩ x3 = 53

Langkah 4: Agar tercapai seluruh bilangan yang memenuhi x, maka dihitung
kelipatan persekutuan terkecil (Least Common Multiple) dari
ketiga modulus (interval yang memenuhi x).
Berikut ini merupakan rumus untuk mencari LCM dari dua
bilangan bulat positif (Rosen, 2012).
ab = GCD(a ,b) . LCM(a , b) ......................... (2.20)

Dari persamaan (2.20) dapat disimpulkan:
LCM ,

=

G

,

.............................. (2.21)

GCD(GCD(3,5),7) = 1 dan LCM(LCM(3,5),7) = 105
Sehingga x memenuhi akan bilangan dalam interval 105 dimulai
dari 53, yaitu x = 53 ± (k × 105). Atau interval ini dapat dituliskan:
x ∈ X ± (k × LCM(m1,m2, …,mn)) .................... (2.22)

Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan teka-teki Sun-Tsu menurut
Rosen (2012) adalah sebagai berikut.
Langkah 1: Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m1m2…mn

Universitas Sumatera Utara

23

M = 3 × 5 × 7 = 105

Langkah 2: Hitung hasil bagi dari M dengan tiap-tiap modulus.
Mn = M/mn
M1 = 105/3 = 35
M2 = 105/5 = 21
M3 = 105/7 = 15

Langkah 3: Hitung invers modulo (yn) dari (Mn mod mn). Maka diperoleh:
y1 = 2, y2 = 1 dan y3 = 1

Langkah 4: Diperoleh solusi x dari teka-teki dengan menghitung rumus berikut
ini.
x ≡ a 1M1y1 + a 2M2y2 + … + a nMnyn .................... (2.23)
x ≡ a 1M1y1 + a 2M2y2 + a 3M3y3 ≡ (2×35×2) + (3×21×1) + (4×15×1)
x ≡ 263 ≡ 53 (mod 105).

2.8. Sistem Kriptografi Rabin
Sistem kriptografi Rabin atau Rabin Public Key pertama kali diperkenalkan pada tahun
1979 oleh Michael O. Rabin dalam upaya untuk peningkatan sistem kriptografi yang
terdahulu yaitu RSA dengan memberikan solusi kriptografi yang keamanan
matematisnya terbukti didasarkan pada masalah faktorisasi bilangan bulat atau integral
data type (Rădulescu, 2008). Schneier (1996) menuliskan tentang keamanan pada

sistem kriptografi Rabin, yaitu berada pada sulitnya mencari akar kuadrat modulo dari
bilangan komposit. Di mana masalah ini setara dengan masalah faktorisasi.
Algoritma Rabin Public Key adalah salah satu algoritma kriptografi asimetris
yang menggunakan kunci publik dan kunci privat. Algoritma Rabin Public Key
merupakan varian algoritma Rivest Shamir Adleman (RSA). Fungsi dasar algoritmanya
mirip dengan fungsi dasar dari algoritma RSA. Hanya saja komputasinya lebih
sederhana dibandingkan algoritma RSA (Wandani, 2012).

2.8.1.

Pembangkit kunci

Proses pembangkitan kunci adalah langkah pertama yang harus dilakukan dalam
algoritma Rabin Public Key. Berikut ini algoritma untuk proses pembangkitan kunci
pada algoritma Rabin Public Key (Schneier, 1996).

Universitas Sumatera Utara

24

1. Pilih dua bilangan prima, p dan q, di mana keduanya kongruen terhadap 3 mod
4. Atau dengan kata lain, jika p dan q dimodulokan 4 akan menghasilkan 3.
p ≡ q ≡ 3 (mod 4) ..................................................... (2.24)

Misalkan p = 31 dan q = 23. Kedua bilangan ini (p dan q) merupakan private
key.

2. Hitung nilai n yang merupakan public key dengan rumus perkalian antara p dan
q (Rădulescu, 2008).
n = pq, n ∈ ℕ ........................................................... (2.25)

n = 31 × 23 = 713.

Simpan dan rahasiakan nilai p dan q, sedangkan nilai n dapat disebarkan seluasluasnya.

2.8.2.

Proses enkripsi

Proses enkripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci publik n. Untuk
melakukan enkripsi pesan (P ), P harus lebih kecil dari n. Berikut adalah rumus untuk
melakukan enkripsi pada algoritma Rabin Public Key (Schneier, 1996).
C = P 2 mod n............................................................ (2.26)

Berikut ini adalah contoh dan algoritma dalam melakukan enkripsi pesan
(Rădulescu, 2008).
1. Terima kunci publik, n = 713.
2. Ekspresikan pesan P sebagai bilangan. Sehingga P = “A” = 65 (kode
ASCII), P ∈ ℕ dan P < n.

3. Hitung C = 652 mod 713 = 660 dengan menggunakan rumus (2.26).
4. Kirim C = 660 = “ʔ” ke pemilik kunci publik.
2.8.3.

Proses dekripsi

Proses dekripsi pada algoritma Rabin Public Key menggunakan kunci privat p dan q.
Selama penerima pesan mengetahui p dan q, penerima pesan dapat menyelesaikan dua
kekongruenan menggunakan Chinese Remainder Theorem (Schneier, 1996). Pada
dekripsi, masalah yang dihadapi adalah menghitung √� mod

(Galbraith, 2012).

Berikut ini adalah contoh dan algoritma dekrispi pada algoritma Rabin Public

Key yang dapat menyelesaikan permasalahan tersebut (Wandani, 2012).

Universitas Sumatera Utara

25
1. Terima ciphertext C = “ʔ” = 660.
2. Hitung mp dan mq yang merupakan akar kuadrat dari ciphertext C terhadap p
dan q.
=�

+ ⁄

mod

=�

+ ⁄

mod

=

=

8

mod

6

mod

.......................................... (2.27)
=

.......................................... (2.28)

=

3. Berdasarkan persamaan (2.17) dan (2.18), karena GCD(p,q) = 1 maka dapat
diperoleh persamaan p × Yp + q × Yq = 1. Gunakan algotitma extended
Euclidean untuk menghitung Yp dan Yq sehingga diperoleh nilai Yp = 3 dan

nilai Yq = -4.
4. Gunakan teorema sisa Cina (Chinese Remainder Theorem) untuk
memperoleh empat kemungkinan nilai P (mod n) sedemikian sehingga �

±

mod

dan �

mod

±

(Galbraith, 2012). Berikut ini adalah

rumus untuk menghitung empat kemungkinan hasil tersebut (Wandani,
2012).
� =

mod
mod

� =−

mod

� =

mod

� =−

Dengan menggunakan Chinese Remainder Theorem (CRT) maka diperoleh
persamaan sebagai berikut.
� = CRT � , � , ,

Misalkan, x =
� =

� =

mod

+

×

� dan y =

� =

mod

−

×

� = − +
� = −

=(

×

mod

�.

� ) mod

×

� −

mod

=

= “ʈ”

� ) mod

........................................................... (2.30)

×− − ×

� = CRT � , � , ,

� +

........................................................... (2.29)

×− + ×

� = CRT � , � , ,

� =

=(

= (−

×

mod
� +

= “ɩ”

=

� ) mod

........................................................ (2.31)

×− + ×

×

mod

=

= “`”

Universitas Sumatera Utara

26

� = CRT � , � , ,

� = − −
� = −

×

mod

= (−

� ) mod

� −

........................................................ (2.32)

×− −

×

×

mod

=

= “A”

5. Tentukan nilai yang benar dari keempat hasil (pada hal ini adalah nilai P 4).

2.9. Citra Digital
“Citra adalah suatu representasi (gambaran), kemiripan atau imitasi dari suatu objek.
Citra sebagai keluaran suatu sistem perekaman data dapat bersifat optik berupa foto,
bersifat analog berupa sinyal-sinyal video seperti gambar pada monitor televisi atau
bersifat digital yang dapat langsung disimpan pada suatu media penyimpan. Citra
digital adalah citra yang dapat diolah oleh komputer” (Sutoyo, et al. 2009).

Citra atau gambar dapat didefinisikan sebagai sebuah fungsi dua dimensi f(x,y)
di mana x dan y adalah koordinat bidang datar, sedangkan harga fungsi f di setiap
pasangan koordinat (x,y) disebut intensitas atau level keabuan (gray level) dari gambar
di titik tersebut. Jika x, y dan f semuanya berhingga (finite) dan nilainya diskrit, maka
gambarnya disebut citra digital atau gambar digital. Sebuah citra digital terdiri dari
sejumlah elemen yang berhingga, di mana masing-masing mempunyai lokasi dan nilai
tertentu. Elemen-elemen ini disebut sebagai picture element, image element, pels atau
pixels (Hermawati, 2013).

2.10. Jenis-jenis Citra Digital
“Ada banyak cara untuk menyimpan citra digital di dalam memori. Cara penyimpanan
menentukan jenis citra digital yang terbentuk. Beberapa jenis citra digital yang sering
digunakan adalah citra biner (monokrom), citra grayscale dan citra warna” (Sutoyo, et
al. 2009).

2.10.1. Citra biner (monokrom)

Dalam citra biner, hanya terdapat warna hitam dan putih. Dibutuhkan 1 bit di memori
untuk menyimpan kedua warna ini. Gradasi warna pada citra biner dapat dilihat pada
Gambar 2.5. dan contoh citra biner pada Gambar 2.6. (Sutoyo, et al. 2009).

Universitas Sumatera Utara

27

Gambar 2.5. Gradasi Warna pada Citra Biner (Sutoyo, et al. 2009)

Gambar 2.6. Contoh Citra Biner

2.10.2. Citra grayscale (skala keabuan)

Banyaknya warna tergantung pada jumlah bit yang disediakan di memori untuk
menampung kebutuhan warna. Citra 1 bit memiliki 2 warna, citra 2 bit mewakili 4
warna, citra 3 bit mewakili 8 warna, citra 5 bit mewakili 32 warna, citra 6 bit mewakili
64 warna, citra 7 bit mewakili 128 warna dan citra 8 bit mewakili 256 warna. Semakin
besar jumlah bit warna yang disediakan di memori, semakin halus gradasi warna
terbentuk (Sutoyo, et al. 2009). Contoh dari citra grayscale dapat dilihat pada Gambar
2.7.

Gambar 2.7. Contoh Citra Grayscale

2.10.3. Citra warna (true colour)

Setiap pixel pada citra warna mewakili warna yang merupakan kombinasi dari tiga
warna dasar yaitu red, green dan blue (RGB). Setiap warna dasar menggunakan
penyimpanan 8 bit atau 1 byte, yang berarti setiap warna mempunyai gradasi sebanyak

Universitas Sumatera Utara

28
256 warna. Berarti setiap pixel mempunyai kombinasi warna sebanyak 2563 =
16.777.216 warna. Itulah sebabnya format ini dinamakan true colour karena
mempunyai jumlah warna yang cukup besar sehingga bisa dikatakan hampir mencakup
semua warna di alam (Sutoyo, et al. 2009).
Penyimpanan citra true colour di dalam memori berbeda dengan citra grayscale.
Setiap pixel dari citra grayscale 256 gradasi warna diwakili oleh 1 byte, sedangkan 1
pixel citra true colour diwakili oleh 3 byte di mana masing-masing byte

merepresentasikan warna merah (red ), hijau (green) dan biru (blue) (Sutoyo, et al.
2009). Contoh citra warna dapat dilihat pada Gambar 2.8.

Gambar 2.8. Contoh Citra Warna

2.11. Format File Citra Bitmap
“Citra bitmap sering disebut juga dengan citra raster” (Sutoyo, et al. 2009). Format file
citra bitmap merupakan format file citra yang tidak mengalami proses kompresi
sehingga kualitas citra yang dihasilkan lebih baik daripada file citra dengan format lain
(Wandani, 2012).
“Citra bitmap menyimpan data kode citra secara digital dan lengkap (cara
penyimpanannya adalah per pixel). Citra bitmap dipresentasikan dalam bentuk matriks
atau dipetakan dengan menggunakan bilangan biner atau sistem bilangan lain. Citra ini
memiliki kelebihan untuk memanipulasi warna, tetapi untuk mengubah objek lebih
sulit.Tampilan bitmap mampu menunjukkan kehalusan gradasi bayangan dan warna
dari sebuah gambar. Oleh karena itu, bitmap merupakan media elektronik yang paling
tepat untuk gambar-gambar dengan perpaduan gradasi warna yang rumit, seperti foto
dan lukisan digital. Citra bitmap biasanya diperoleh dengan cara scanner , camera
digital, video capture, dan lain-lain” (Sutoyo, et al. 2009).

Universitas Sumatera Utara

29

2.12. Steganografi
2.12.1. Definisi steganografi

Steganografi adalah jenis komunikasi tersembunyi yang secara harfiah berarti “tulisan
tersembunyi” (Kipper, 2004). “Steganografi berasal dari Bahasa Yunani, yaitu steganos
yang artinya tulisan tersembunyi (covered writing)” (Munir, 2006). Pesan tersebut
bersifat terbuka, sering dilihat semua orang, tetapi tidak terdeteksi karena keberadaan
makna pesan tersebut rahasia. Deskripsi lain yang populer untuk steganografi adalah
“tersembunyi di depan mata (hidden in plain sight)” (Kipper, 2004).
Salah satu perbedaan steganografi dengan kriptografi adalah di mana pesan pada
kriptografi bersifat acak, tidak dapat dibaca dan keberadaan akan pesan rahasia sering
diketahui. Sedangkan steganografi menyembunyikan pesan dalam pesan lain (media)
dan pesan atau media tersebut terlihat seperti normal (Kipper, 2004).
“Steganografi membutuhkan dua properti, yaitu media penampung dan pesan
rahasia. Media penampung yang umum digunakan adalah gambar, suara, video atau
teks. Pesan yang disembunyikan dapat berupa sebuah artikel, gambar, daftar barang,
kode program atau pesan lain” (Munir, 2006).

2.12.2. Perbedaan steganografi dan kriptografi

Menurut Kipper (2004), perbedaan antara steganografi dan kriptografi adalah sebagai
berikut.
1. Steganografi: Menyembunyikan pesan dalam pesan lain dan terlihat seperti
grafis normal, video, atau file suara. Kriptografi: Pesan dienkripsi (terlihat
seperti kumpulan karakter yang tidak memiliki arti).
2. Steganografi: Sebuah koleksi gambar grafis, file video atau file suara pada media
penyimpanan (disk) yang mungkin tidak terlihat mencurigakan. Kriptografi:
Sebuah kumpulan karakter acak pada media penyimpanan (disk) yang mungkin
terlihat mencurigakan.
3. Steganografi: Penguping (eavesdropper ) yang cerdas dapat mendeteksi sesuatu
yang mencurigakan dari perubahan mendadak dari format pesan (yaitu, teks ke
gambar grafis). Kriptografi: Penguping (eavesdropper ) yang cerdas dapat
mendeteksi komunikasi rahasia dari pesan yang telah dikodekan secara
kriptografis.

Universitas Sumatera Utara

30

4. Steganografi: Membutuhkan kehati-hatian ketika menggunakan kembali
gambar atau file suara. Kriptografi: Membutuhkan kehati-hatian ketika
menggunakan kembali kunci.
5. Steganografi: Tidak ada hukum yang terkait dengan steganografi. Kriptografi:
Ada beberapa undang-undang yang melarang kriptografi.

2.12.3. Perbedaan steganografi dan watermarking

Menurut Kipper (2004), perbedaan antara steganografi dan watermarking adalah
informasi pada steganografi harus tersembunyi oleh pihak lain yang tidak menyadari
adanya informasi tersebut dan hal ini bersifat opsional pada watermarking. Steganografi
modern harus terdeteksi hanya jika informasi rahasia (kunci) diketahui.
Watermarking memiliki hubungan dengan steganografi dan merupakan aplikasi

dari steganografi, hanya saja digunakan dalam konteks yang berbeda. Pada steganografi
ketahanan (robustness) tidak menjadi aspek yang penting (tidak memiliki ketahanan
atau memiliki ketahanan yang terbatas) dan tujuannya untuk menyembunyikan fakta
bahwa ada informasi yang tersembunyi. Sedangkan pada watermarking dirancang
untuk menjadi kuat (robust) dan dirancang untuk membawa informasi tersembunyi
meskipun tidak selalu terlihat (Kipper, 2004).
Menurut Munir (2006), pesan rahasia pada steganografi disembunyikan ke
dalam media penampung di mana media penampung tersebut tidak berarti apa-apa
(hanya sebagai pembawa). Sedangkan pada watermarking, media penampung dan
informasi yang disembunyikan memiliki keterkaitan yaitu media penampung dilindungi
atau ditandai kepemilikannya dengan pemberian informasi berupa label hak cipta
(watermark) seperti gambar atau suara yang disembunyikan ke dalam media
penampung tersebut.

2.12.4. Konsep dan Terminologi Steganografi

Terdapat beberapa istilah yang berhubungan dengan steganografi (Munir, 2006; Maurer
& Basin, 2010), antara lain:
1. Hidden text atau embedded message: pesan yang disembunyikan (m ∈ M).

2. Cover-object atau cover-image: media yang digunakan untuk menyembunyikan
hidden text (x

∈ X∗ ).

Universitas Sumatera Utara

31
3. Stego-object atau stego-image: media yang sudah berisi hidden text (x � ∈ X* ).

4. Encoding atau embedding: penyisipan pesan ke dalam media cover-image
(Embed: M × X* × K → X*).

5. Decoding atau extraction : ekstraksi pesan dari stego-image (Extract: X∗ × K →
M).

6. Stegokey: kunci rahasia yang digunakan untuk melakukan proses embedding
dan extraction, dengan tujuan agar hanya pihak yang berwenang saja yang dapat
melakukan penyisipan dan ekstraksi pesan (k ∈ K).

Berikut ini adalah ilustrasi sistem steganografi quintuple (X*, M, K, Embed,

Extract) yang dapat dilihat pada Gambar 2.9.

Sender

Channel

Recipient
stego
key

stego
key

k
hidden
text

k
x(m)

m

Extract()

Embed()
x(0)

m

stego
image

hidden
text

cover
image

Gambar 2.9. Skema Sistem Steganografi
“Penyembunyian pesan rahasia ke dalam media penampung pasti mengubah
kualitas media tersebut. Kriteria yang harus diperhatikan dalam penyembunyian pesan
adalah sebagai berikut” (Munir, 2006).
1. Imperceptibility
Keberadaan pesan rahasia tidak dapat dipersepsi oleh indera manusia.
2. Fidelity

Kualitas dari media penampung tidak berubah banyak akibat penyisipan
sehingga tidak dapat dipersepsi oleh indera manusia (sulit untuk mengetahui
bahwa terdapat pesan di dalam media).

Universitas Sumatera Utara

32

3. Recovery
Pesan yang disembunyikan harus dapat diungkapkan kembali (reveal).
Karena tujuan dari steganografi adalah untuk menyembunyikan data (data
hiding), maka sewaktu-waktu pesan rahasia di dalam stego-object harus

dapat diambil kembali.

2.12.5. Teknik penyembunyian data

Teknik penyisipan data ke dalam cover-object dapat dilakukan dalam dua macam ranah,
yaitu ranah spasial dan ranah transformasi (Munir, 2006).
1. Ranah Spasial atau Ranah Waktu (Spatial/Time Domain)
Teknik ini memodifikasi langsung nilai byte dari cover-object (nilai byte dapat
merepresentasikan intensitas/warna pixel dan amplitudo). Contoh metode yang
tergolong ke dalam teknik ranah spasial adalah metode LSB.
2. Ranah Transformasi (Transform Domain)
Teknik ini memodifikasi langsung hasil transformasi frekuensi sinyal. Contoh
metode yang tergolong teknik ranah transformasi adalah spread spectrum.

2.13. Metode Pemetaan Titik Hitam dengan Pencarian Sekuensial
Metode ini merupakan modifikasi dari metode FOF dan EOF dengan mengadopsi ciri
atau karakteristik dari masing-masing metode FOF, EOF dan LSB untuk keperluan
penyembunyian pesan. Ide dasarnya adalah penyembunyian garis hitam (dari metode
FOF dan EOF) dan ukuran dimensi citra yang tidak bertambah (mengadopsi kelebihan
metode LSB) dengan cara menyisipkan garis (titik-titik) hitam ke dalam pixel berwarna
hitam pada citra dua dimensi.
Kemungkinan kekurangan yang akan diperoleh dari metode tersebut adalah
pesan rahasia yang akan disisipkan terbatas sesuai dengan jumlah pixel berwarna hitam
pada citra. Sebelum menyisipkan pesan diperlukan pemetaan pixel (titik) hitam dengan
pencarian sekuensial untuk memperoleh jumlah dan posisi titik hitam (ruang) yang
dapat digunakan untuk menyisipkan data.

Universitas Sumatera Utara

33

2.13.1. Pencarian sekuensial

Pencarian sekuensial atau pencarian linier atau pencarian lengkap (exhaustive) adalah
pencarian yang dilakukan secara berulang hingga melalui keseluruhan bilangan di
dalam larik (array). Gambar 2.10. menunjukkan pencarian linier untuk nilai 77 dalam
sebuah larik yang sudah terurut secara menaik (Stephens, 2013).

Gambar 2.10. Pencarian Linier di Dalam Larik yang Terurut (Stephens, 2013)
Pencarian linier juga bekerja dalam barisan bilangan yang belum terurut.
Algoritma ini mungkin perlu perulangan (loop) melalui seluruh elemen di dalam larik
untuk menyimpulkan bahwa elemen (item) tidak ada, sehingga kasus terburuk (worstcase) algoritma ini adalah O(N) (Stephens, 2013).

Bahkan dalam kasus rata-rata (average-case), run time algoritma ini adalah
O(N). Jika ditambahkan sejumlah langkah yang diperlukan untuk mencari setiap item
dalam array, maka didapatkan 1 + 2 + 3 + ... + N = N * (N + 1) / 2. Jika jumlah tersebut
dibagi dengan N untuk mendapatkan waktu pencarian rata-rata untuk semua item N,
maka didapatkan (N + 1) / 2, yang masih O(N) (Stephens, 2013).
Algoritma ini jauh lebih lambat dari pencarian biner atau pencarian interpolasi,
tetapi memiliki keuntungan di mana algoritma ini bekerja pada linked list dan unsorted
list (Stephens, 2013).

2.13.2. Ilustrasi pemetaan titik hitam

Jika terdapat citra seperti pada Gambar 2.11, maka sebelum melakukan penyembunyian
data, citra harus diperiksa terlebih dahulu untuk memperoleh jumlah titik hitam (ruang)
yang dapat digunakan untuk menyisip data yang akan disembunyikan dan index (posisi)
dari titik hitam tersebut.

Universitas Sumatera Utara

34

Gambar 2.11. Citra Berdimensi 10 × 10 pixels (RGB, format BMP)
Tabel 2.3. adalah matriks dari Gambar 2.11, di mana tiap pixel direpresentasikan
dalam tiga nilai yaitu red , green dan blue.
Tabel 2.3. Matriks dari Gambar 2.11.
i
j
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

22,
22,
22
237,
28,
36
166,
124,
82
237,
28,
36
255,
255,
255
255,
255,
255
255,
255,
255
255,
255,
255
255,
255,
255
255,
255,
255

141,
198,
63
37,
177,
67
237,
28,
36
237,
28,
36
255,
255,
255
255,
255,
255
24,
15,
15
255,
255,
255
255,
255,
255
255,
255,
255

46,
49,
146
141,
198,
63
141,
198,
63
237,
28,
36
37,
28,
28
255,
255,
255
255,
255,
255
255,
255,
255
255,
255,
25