Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR | Hurint | Natural Science: Journal of Science and Technology 8076 26528 1 PB
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
Sensitivity Analysis of Seir Epidemic Model
Roberta U. Hurint, Meksianis Z. Ndii*), Maria Lobo
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana
ABSTRACT
A sensitivity analysis of SEIR (Susceptible, Exposed, Infectious and Recovered)
epidemic model was conducted to determine the influential parameters on the basic
reproduction number and endemic equilibrium. We found that the transmission rate and
recovery rate are the most influential parameters on the basic reproduction number, where the
latter is also influential parameter on the number of infectious individuals. In addition, the
number of exposed individuals is sensitive to the progression rate from exposed to infectious
class. The results suggest that when infectious individuals recover faster, the number of
infectious individuals could be reduced.
Key word: Mathematical Model, Sensitivity Analysis, SEIR Model
ABSTRAK
Analisis sensitivitas dari model epidemi Susceptible, Exposed, Infectious dan
Recovered (SEIR) dilakukan untuk mengetahui pengaruh perubahan nilai parameter terhadap
nilai basic reproduction number dan titik tetap endemik khususnya kelas exposed and
infectious. Hasil analisis menunjukkan bahwa laju transmisi penyakit dan laju kesembuhan
merupakan parameter yang paling berpengaruh terhadap basic reproduction number.
Sementara itu, laju perpindahandari kelas exposed ke infectious merupakan parameter yang
sangat berpengaruh pada jumlah individu exposed. Laju kesembuhan merupakan parameter
yang berpengaruh terhadap populasi dari kelas infectious. Hasil ini mengimplikasikan bahwa
untuk mengurangi epidemi suatu penyakit maka perlu intervensi kesehatan yang dapat
mempercepat kesembuhan individu terinfeksi (infectious inviduals).
Kata Kunci: Model Matematika, Analisis Sensitivitas, SEIR
LATAR BELAKANG
Pemodelan matematika untuk epidemi
penyakit menular telah banyak digunakan
untuk menganalisis dinamika penyebaran
penyakit (Ndii dkk., 2015, Ndii dkk.,
2016a, Ndii dkk., 2016b, Keeling dan
Rohani, 2007, Supriatna dkk., 2008).
Model-model
matematika
berbeda-beda
tergantung
karakteristik
penyakit.
Umumnya
populasi
tersebut
dikelompokkan kedalam kelas-kelas sesuai
dengan status kesehatannya (Ndii dkk.,
Corresponding author: meksianis.ndii@staf.undana.ac.id / meksand@gmail.com
22
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
2015, Ndii dkk., 2016a, Keeling dan
METODE
Rohani, 2007).
Model Matematika
Salah satu model yang digunakan
Dalam model SEIR, populasi dibagi
untuk menganalisis dinamika penyebaran
kedalam
penyakit adalah model SEIR, dimana
menjadi
dan Recovered (R). Bentuk model ini
dengan
diformulasi untuk tipe penyakit yang masa
dengan
inkubasinya panjang. Ini dimaksudkan agar
exposed
individu
laju
masa
inkubasi,
individu
tersebut dapat mempengaruhi dinamika
ini
telah
sensitivitas dilakukan untuk mengetahui
perubahan
nilai
ter-exposed
kemudian
(1)
�
= �−� .
��
banyak digunakan, belum banyak analisis
pengaruh
. Individu
��
= � − �� − �,
��
penyebaran penyakit.
SEIR
(infectious)
��
�
=
− � − ��,
��
�
menularkannya kepada individu lain. Hal
model
terinfeksi
�
�
= �� −
−� ,
��
�
telah
terserang virus tersebut tetapi belum dapat
Meskipun
berinteraksi
recover dengan laju .
dianalisis.
Pemahaman tentang hal ini penting karena
dalam
apabila
menjadi infectious dengan laju
pengaruh masa inkubasi terhadap dinamika
dapat
yakni
dan Recovered (R). Individu susceptible
Susceptible (S), Exposed (E), Infectious (I)
penyakit
sub-populasi
Susceptible (S), Exposed (E), Infectious (I)
populasi dikelompokkan kedalam kelas
penyebaran
empat
parameter
terhadap variabel-variabel tertentu seperti
Pada Model (1), populasi diasumsikan
basic
konstan � =
reproduction
exposed
dan
number,
infectious.
Hal
populasi
tersebut
+�+�+
sehingga laju
kelahiran dan kematian alami diasumsikan
penting untuk mengetahui parameter mana
konstan. Model tersebut mempunyai dua
saja yang berpengaruh besar terhadap
titik ekuilibrium yakni titik dimana tidak
dinamika dari model epidemi tersebut. Oleh
ada penyakit dalam populasi atau dikenal
karena itu, dalam artikel ini, analisis
dengan titik bebas penyakit dan titik
sensitivitas dari model epidemi SEIR
dimana penyakit selalu ada dalam populasi
dilakukan.
Analisis
parameter-parameter
difokuskan
pada
atau yang dikenal dengan titik endemik.
dari
basic
Titik
reproductive ratio dan titik tetap endemik
bebas
equilibrium)
khususnya kelas exposed dan infectious.
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
23
penyakit
adalah
(disease-free
∗
, �∗ , � ∗ ,
∗
=
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
�
�
, , ,
dan infectious. Ada dua jenis analisis
dan titik endemik (endemic
sensitivitas yakni analisis sensitivitas lokal
equilibrium) adalah sebagai berikut:
∗
=
+ �+ �+�
� =−
�� −
�� −
�∗ = −
∗
dan global (Marino dkk., 2008, Blower dan
�
∗
=−
�
2
Dowlatabadi, 1994). Oleh karena jumlah
,
parameter dari model yang tidak banyak
maka
+ � + � + �2
,
+�
+
2
+
+ �+ �+�
,
+ � + � + �2
+
+ � + � + �2
.
+ � + � + �2
sensitivitas
pada
Analisis
dilakukan untuk mengetahui
pengaruh
reproduction
ratio
(
endemik �∗ , � ∗ .
,
0
titik
Definisi 2.2. Normalized sensitivity index
diperoleh
dengan
normalisasi
indeks
dari
terdiferensialkan
terbesar adalah
=
difokuskan
lokal.
basic
matriks tersebut maka diperoleh nilai eigen
+�
ini
perubahan nilai parameter terhadap nilai
matrix dan mencari nilai eigen terbesar dari
=
penelitian
analisis
Dengan mengonstruksi next generation
0
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
sensitivitas
variabel
pada
parameter
�,
p,
didefinisikan sebagai berikut:
+�
+ � + � + �2
��� =
.
�� �
× ,
�� �
dimana � adalah variabel yang akan
dianalisis dan � adalah parameter (Chitnis
Persamaan (2) diatas dikenal dengan basic
dkk., 2008).
reproduction number/ratio.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil analisis menunjukkan bahwa jika
0
<
maka titik ekuilibrium
penyakit stabil asimptotik lokal. Jika
Pada bagian ini akan dilakukan
bebas
0
analisis sensitivitas
>
parameter-parameter
maka titik endemik stabil asimptotik
terhadap variabel
lokal (Keeling dan Rohani, 2007).
sensitivitas
Analisis Sensitivitas
pengaruh
akan
untuk mengetahui
yang
0,
berpengaruh
�∗ dan � ∗ .
Indeks
menginformasikan
parameter-parameter
terhadap
pada
epidemi dari suatu penyakit (Chitnis dkk.,
parameter-
2008). Dalam analisis, nilai parameter yang
parameter terhadap basic reproduction
digunakan adalah sebagai berikut. Laju
number, dan titik endemik kelas exposed
transmisi
Penelitian
analisis
ini
sensitivitas
difokuskan
dari
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
24
= .
(Keeling dan Rohani,
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
= / (Keeling
2007), laju kesembuhan
�
dan Rohani, 2007), laju transisi dari kelas
= /
exposed ke infectious
/
×
(BPS,
2015)
yang
mengindikasikan
=
×
+�
menghitung
= ,
tingginya
1
0
0
+�
+�
×
+�
Cara/prosedur yang sama dilakukan untuk
. Nilai tersebut menghasilkan nilai
0
�
�
=
=
�=
dan
basic reproduction number
�0
(Keeling
dan Rohani, 2007) dan kematian alami � =
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
indeks
sensitivitas
bagi
parameter lainnya. Hasilnya disajikan pada
level
Tabel 1.
endemik suatu penyakit. Oleh karena itu,
Hasil analisis menunjukkan bahwa
analisis ini diasumsikan dilakukan pada
laju transmisi (
daerah dengan tingkat endemik tinggi.
merupakan dua parameter yang paling
Hasil analisis menunjukkan bahwa untuk
berpengaruh terhadap perubahan nilai
wilayah dengan tingkat endemik tinggi laju
Parameter
transmisi penyakit dan laju kesembuhan
merupakan
parameter
yang
paling
berpengaruh terhadap basic reproduction
number.
Laju
parameter
populasi
yang
dari
perpindahan
infectious
kesembuhan
kelas
dari
kelas
merupakan
parameter
negatif. Artinya, jika
nilai
0
nilai
0 turun
naik
sebaliknya maka nilai
0
sesuai dengan besaran indeks
basic reproduction number (Persamaan 2).
Indeks sensitivitas dari parameter
diperoleh
, ,
dengan
menggunakan Persamaan (3) dan hasilnya
1.
0
berdampak pada kenaikan
sebesar
indeks sensitivitas dari parameter
kesensitifan parameter-parameter terhadap
sensitivitas untuk parameter
juga turun. Hal sebaliknya berlaku
5% pada nilai
Pada bagian ini akan dianalisis
Tabel
juga akan naik. Sebaliknya,
sensitivitasnya. Sebagai contoh, kenaikan
Analisis Sensitivitas �
didalam
0
parameter
akan naik. Selain itu, naik dan turunnya
nilai
0
0
maka nilai
yang
exposed.
disajikan
memiliki relasi
untuk parameter . Jika parameter
ke
sangat berpengaruh pada jumlah individu
terhadap
positif
sedangkan parameter
nilai
Laju
exposed
relasi
0.
jika nilai parameter tersebut turun, makan
terhadap
infectious.
memiliki
maka nilai
merupakan
berpengaruh
dan laju kesembuhan
Indeks
diperoleh
dengan
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
25
%×
.
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Tabel 1.Parameter, persamaan dan nilai indeks sensitivitas, dan perubahan nilai 0 . Jika
terjadi perubahan nilai parameter. � + %berarti nilai parameter bertambah 5% dari nilai
sebelumnya. � − % berarti bahwa nilai parameter berkurang 5% dari nilai sebelumnya.
Nilai 0 = ,
.
Parameter
Persamaan
�
+ %
Nilai
+1
−
×
−
+�
9,491
9,989
9,989
9,514
10,515
−
− , ���
Analisis Sensitivitas �∗
Nilai �
10,488
+ , �
+�
�− %
parameter
yang
paling
berpengaruh
Indeks sensitivitas untuk parameter
terhadap populasi exposed adalah laju
diperoleh dengan menggunakan formula
transisi dari populasi exposed ke infectious,
indeks sensitivitas pada Persamaan (3).
�� ∗ ��
=
�
=
2
+ �
�� −� ∗ ( 2 + �)
2
Sehingga
∗
�� =
=
+ �� −
+ �
2
+
+ � + � + �2
+ � 2
2
.
+ �
Analisis Sensitivitas �∗
,
Indeks sensitivitas dari parameter
.
untuk populasi infectious diperoleh dengan
prosedur yang sama seperti sebelumnya
∗
��
× ∗
�
�
=
dan hasilnya diberikan pada Tabel 3. Hasil
analisis menunjukkan bahwa parameter
�� − �∗ 2 + �
× ∗
2 + �
�
�∗
��
2
+ �
merupakan dua parameter yang sangat
berpengaruh terhadap � ∗ dan memiliki
relasi negatif. Jika nilai parameter
− .
meningkat
Indeks sensitivitas untuk parameter
maka
jumlah
populasi
infectious akan menurun dan sebaliknya
lainnya dapat dilakukan dengan prosedur
jika nilai parameter
yang sama dan hasilnya diberikan pada
jumlah populasi infectious meningkat.
Tabel 2.
Hasil analisis menunjukkan
menurun maka
Hasil ini mengindikasikan bahwa
bahwa parameter laju transmisi merupakan
laju kesembuhan merupakan faktor yang
menentukan
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
26
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
epidemi suatu penyakit. Ini berarti bahwa
maka penularan suatu penyakit dapat
jika ada intervensi yang dapat dilakukan
ditekan.
untuk mempercepat waktu kesembuhan
Tabel 2. Parameter, persamaan dan nilai indeks sensitivitas, dan perubahan nilai � ∗ jika
terjadi perubahan nilai parameter. � + % berarti nilai parameter bertambah 5% dari nilai
sebelumnya. � − % berarti bahwa nilai parameter berkurang 5% dari nilai sebelumnya.
Nilai � ∗ = ,
.
Parameter
Persamaan Indeks Sensitivitas
Nilai
Indeks
Sensitivitas
−
−
−
+
− �− �−�
−
− −�
−
−� −� +�
+�
+ �+ �+�
+�
+�
�+ %
�− %
NILAI �∗
0,111
30,494
30,156
-0,999
28.890
31,929
-0,111
30,165
30,502
Tabel 3. Parameter, persamaan dan nilai indeks sensitivitas, dan perubahan nilai � ∗ jika
terjadi perubahan nilai parameter. � + % berarti nilai parameter bertambah 5% dari nilai
sebelumnya. � − % berarti bahwa nilai parameter berkurang 5% dari nilai sebelumnya.
Nilai � ∗ = ,
.
Paramete
Persamaan Indeks Sensitivitas
Nilai Indeks
r
Sensitivitas
−
+
−
+
−
+
−
−
+ �+ �∓�
− + +�
−
+ �+ �+�
+�
−
+ �+ �+�
+�
+ �+ �+�
+�
+ �+ �+�
Hasil analisis menunjukkan bahwa
laju transmisi
dua
berpengaruh
pada
number
memiliki
0.
parameter
parameter
basic
laju
yang
yang
positif
kedua
26,670
26,534
26,534
− ,
25,130
28,085
negatif.
26,379
Hasil
ini
kesembuhan
sangat
berpengaruh
terhadap epidemi suatu penyakit dalam
reproduction
populasi. Jika laju transmisi sangat besar
Parameter yang pertama
hubungan
Nilai �∗
mengindikasikan bahwa laju transmisi dan
dan laju kesembuhan
merupakan
�− %
+ ,
+ ,
hubungan
�+ %
sedangkan
maka laju kesembuhan juga harus besar.
memiliki
Jika laju transmisinya kecil dan laju
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
27
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
kesembuhannya
besar
maka
Model,
as
an
Example.
International Statistical Review /
Revue Internationale de Statistique,
62, 229-243.
BPS 2015. Angka Harapan Hidup (AHH)
menurut Jenis Kelamin dan
Provinsi,
2010-2014.
https://www.bps.go.id/linkTableDin
amis/view/id/1114.
Chitnis, N., Hyman, J. M.dan Cushing, J.
M. 2008. Determining Important
Parameters in the Spread of Malaria
Through the Sensitivity Analysis of
a Mathematical Model. Bulletin of
Mathematical Biology, 70, 1272.
Keeling, M. J.dan
Rohani, P. 2007.
Modeling Infectious Diseases in
Humans and Animals, Princeton
University Press.
Marino, S., Hogue, I. B., Ray, C. J.dan
Kirschner, D. E. 2008. A
methodology for performing global
uncertainty and sensitivity analysis
in systems biology. Journal of
Theoretical Biology, 254, 178-196.
Ndii, M. Z., Allingham, D., Hickson, R.
I.dan Glass, K. 2016a. The effect of
Wolbachia on dengue dynamics in
the presence of two serotypes of
dengue: symmetric and asymmetric
epidemiological
characteristics.
Epidemiology and Infection, 144,
2874-2882.
Ndii, M. Z., Allingham, D., Hickson, R.
I.dan Glass, K. 2016b. The effect
of Wolbachia on dengue outbreaks
when
dengue
is
repeatedly
introduced. Theoretical Population
Biology, 111, 9-15.
Ndii, M. Z., Hickson, R. I., Allingham,
D.dan
Mercer, G. N. 2015.
Modelling
the
transmission
dynamics of dengue in the presence
of
Wolbachia.
Mathematical
Biosciences, 262, 157-166.
Supriatna, A. K., Soewono, E.dan van
Gils, S. A. 2008. A two-age-classes
dengue
transmission
model.
Mathematical Biosciences, 216,
114-121.
epidemi
penyakit tidak akan terjadi dalam populasi.
Analisis ini difokuskan pada daerah dengat
tingkat endemik tinggi yang digambarkan
0.
dari besarnya nilai
Sehingga dapat
disimpulkan bahwa untuk daerah dengan
tingkat endemik tinggi, maka diperlukan
suatu intervensi yang dapat mempercepat
kesembuhan individu terinfeksi (infectious
individuals). Sedangkan, untuk populasi
exposed dan infectious, laju transisi keluar
dari
kelasnya
parameter
merupakan
yang
paling
parameterberpengaruh
terhadap populasinya dan memiliki relasi
negatif. Sebagai contoh, laju transisi dari
kelas exposed ke infectious merupakan
parameter
populasi
yang
berpengaruh
exposed.
merupakan
Laju
parameter
terhadap
kesembuhan
yang
paling
berpengaruh terhadap populasi infectious.
Hasil ini menunjukkan bahwa untuk dapat
mengurangi jumlah individu terinfeksi
dalam populasi maka laju kesembuhan
harus besar. Dengan kata lain perlu
intervensi
yang
mempercepat
dilakukan
kesembuhan
untuk
individu
terinfeksi. Hasil ini sejalan dengan analisis
pengaruh
parameter
reproduction number,
DAFTAR PUSTAKA
terhadap
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
basic
0.
Blower, S. M.dan Dowlatabadi, H. 1994.
Sensitivity
and
Uncertainty
Analysis of Complex Models of
Disease Transmission: An HIV
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
Sensitivity Analysis of Seir Epidemic Model
Roberta U. Hurint, Meksianis Z. Ndii*), Maria Lobo
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana
ABSTRACT
A sensitivity analysis of SEIR (Susceptible, Exposed, Infectious and Recovered)
epidemic model was conducted to determine the influential parameters on the basic
reproduction number and endemic equilibrium. We found that the transmission rate and
recovery rate are the most influential parameters on the basic reproduction number, where the
latter is also influential parameter on the number of infectious individuals. In addition, the
number of exposed individuals is sensitive to the progression rate from exposed to infectious
class. The results suggest that when infectious individuals recover faster, the number of
infectious individuals could be reduced.
Key word: Mathematical Model, Sensitivity Analysis, SEIR Model
ABSTRAK
Analisis sensitivitas dari model epidemi Susceptible, Exposed, Infectious dan
Recovered (SEIR) dilakukan untuk mengetahui pengaruh perubahan nilai parameter terhadap
nilai basic reproduction number dan titik tetap endemik khususnya kelas exposed and
infectious. Hasil analisis menunjukkan bahwa laju transmisi penyakit dan laju kesembuhan
merupakan parameter yang paling berpengaruh terhadap basic reproduction number.
Sementara itu, laju perpindahandari kelas exposed ke infectious merupakan parameter yang
sangat berpengaruh pada jumlah individu exposed. Laju kesembuhan merupakan parameter
yang berpengaruh terhadap populasi dari kelas infectious. Hasil ini mengimplikasikan bahwa
untuk mengurangi epidemi suatu penyakit maka perlu intervensi kesehatan yang dapat
mempercepat kesembuhan individu terinfeksi (infectious inviduals).
Kata Kunci: Model Matematika, Analisis Sensitivitas, SEIR
LATAR BELAKANG
Pemodelan matematika untuk epidemi
penyakit menular telah banyak digunakan
untuk menganalisis dinamika penyebaran
penyakit (Ndii dkk., 2015, Ndii dkk.,
2016a, Ndii dkk., 2016b, Keeling dan
Rohani, 2007, Supriatna dkk., 2008).
Model-model
matematika
berbeda-beda
tergantung
karakteristik
penyakit.
Umumnya
populasi
tersebut
dikelompokkan kedalam kelas-kelas sesuai
dengan status kesehatannya (Ndii dkk.,
Corresponding author: meksianis.ndii@staf.undana.ac.id / meksand@gmail.com
22
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
2015, Ndii dkk., 2016a, Keeling dan
METODE
Rohani, 2007).
Model Matematika
Salah satu model yang digunakan
Dalam model SEIR, populasi dibagi
untuk menganalisis dinamika penyebaran
kedalam
penyakit adalah model SEIR, dimana
menjadi
dan Recovered (R). Bentuk model ini
dengan
diformulasi untuk tipe penyakit yang masa
dengan
inkubasinya panjang. Ini dimaksudkan agar
exposed
individu
laju
masa
inkubasi,
individu
tersebut dapat mempengaruhi dinamika
ini
telah
sensitivitas dilakukan untuk mengetahui
perubahan
nilai
ter-exposed
kemudian
(1)
�
= �−� .
��
banyak digunakan, belum banyak analisis
pengaruh
. Individu
��
= � − �� − �,
��
penyebaran penyakit.
SEIR
(infectious)
��
�
=
− � − ��,
��
�
menularkannya kepada individu lain. Hal
model
terinfeksi
�
�
= �� −
−� ,
��
�
telah
terserang virus tersebut tetapi belum dapat
Meskipun
berinteraksi
recover dengan laju .
dianalisis.
Pemahaman tentang hal ini penting karena
dalam
apabila
menjadi infectious dengan laju
pengaruh masa inkubasi terhadap dinamika
dapat
yakni
dan Recovered (R). Individu susceptible
Susceptible (S), Exposed (E), Infectious (I)
penyakit
sub-populasi
Susceptible (S), Exposed (E), Infectious (I)
populasi dikelompokkan kedalam kelas
penyebaran
empat
parameter
terhadap variabel-variabel tertentu seperti
Pada Model (1), populasi diasumsikan
basic
konstan � =
reproduction
exposed
dan
number,
infectious.
Hal
populasi
tersebut
+�+�+
sehingga laju
kelahiran dan kematian alami diasumsikan
penting untuk mengetahui parameter mana
konstan. Model tersebut mempunyai dua
saja yang berpengaruh besar terhadap
titik ekuilibrium yakni titik dimana tidak
dinamika dari model epidemi tersebut. Oleh
ada penyakit dalam populasi atau dikenal
karena itu, dalam artikel ini, analisis
dengan titik bebas penyakit dan titik
sensitivitas dari model epidemi SEIR
dimana penyakit selalu ada dalam populasi
dilakukan.
Analisis
parameter-parameter
difokuskan
pada
atau yang dikenal dengan titik endemik.
dari
basic
Titik
reproductive ratio dan titik tetap endemik
bebas
equilibrium)
khususnya kelas exposed dan infectious.
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
23
penyakit
adalah
(disease-free
∗
, �∗ , � ∗ ,
∗
=
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
�
�
, , ,
dan infectious. Ada dua jenis analisis
dan titik endemik (endemic
sensitivitas yakni analisis sensitivitas lokal
equilibrium) adalah sebagai berikut:
∗
=
+ �+ �+�
� =−
�� −
�� −
�∗ = −
∗
dan global (Marino dkk., 2008, Blower dan
�
∗
=−
�
2
Dowlatabadi, 1994). Oleh karena jumlah
,
parameter dari model yang tidak banyak
maka
+ � + � + �2
,
+�
+
2
+
+ �+ �+�
,
+ � + � + �2
+
+ � + � + �2
.
+ � + � + �2
sensitivitas
pada
Analisis
dilakukan untuk mengetahui
pengaruh
reproduction
ratio
(
endemik �∗ , � ∗ .
,
0
titik
Definisi 2.2. Normalized sensitivity index
diperoleh
dengan
normalisasi
indeks
dari
terdiferensialkan
terbesar adalah
=
difokuskan
lokal.
basic
matriks tersebut maka diperoleh nilai eigen
+�
ini
perubahan nilai parameter terhadap nilai
matrix dan mencari nilai eigen terbesar dari
=
penelitian
analisis
Dengan mengonstruksi next generation
0
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
sensitivitas
variabel
pada
parameter
�,
p,
didefinisikan sebagai berikut:
+�
+ � + � + �2
��� =
.
�� �
× ,
�� �
dimana � adalah variabel yang akan
dianalisis dan � adalah parameter (Chitnis
Persamaan (2) diatas dikenal dengan basic
dkk., 2008).
reproduction number/ratio.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil analisis menunjukkan bahwa jika
0
<
maka titik ekuilibrium
penyakit stabil asimptotik lokal. Jika
Pada bagian ini akan dilakukan
bebas
0
analisis sensitivitas
>
parameter-parameter
maka titik endemik stabil asimptotik
terhadap variabel
lokal (Keeling dan Rohani, 2007).
sensitivitas
Analisis Sensitivitas
pengaruh
akan
untuk mengetahui
yang
0,
berpengaruh
�∗ dan � ∗ .
Indeks
menginformasikan
parameter-parameter
terhadap
pada
epidemi dari suatu penyakit (Chitnis dkk.,
parameter-
2008). Dalam analisis, nilai parameter yang
parameter terhadap basic reproduction
digunakan adalah sebagai berikut. Laju
number, dan titik endemik kelas exposed
transmisi
Penelitian
analisis
ini
sensitivitas
difokuskan
dari
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
24
= .
(Keeling dan Rohani,
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
= / (Keeling
2007), laju kesembuhan
�
dan Rohani, 2007), laju transisi dari kelas
= /
exposed ke infectious
/
×
(BPS,
2015)
yang
mengindikasikan
=
×
+�
menghitung
= ,
tingginya
1
0
0
+�
+�
×
+�
Cara/prosedur yang sama dilakukan untuk
. Nilai tersebut menghasilkan nilai
0
�
�
=
=
�=
dan
basic reproduction number
�0
(Keeling
dan Rohani, 2007) dan kematian alami � =
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
indeks
sensitivitas
bagi
parameter lainnya. Hasilnya disajikan pada
level
Tabel 1.
endemik suatu penyakit. Oleh karena itu,
Hasil analisis menunjukkan bahwa
analisis ini diasumsikan dilakukan pada
laju transmisi (
daerah dengan tingkat endemik tinggi.
merupakan dua parameter yang paling
Hasil analisis menunjukkan bahwa untuk
berpengaruh terhadap perubahan nilai
wilayah dengan tingkat endemik tinggi laju
Parameter
transmisi penyakit dan laju kesembuhan
merupakan
parameter
yang
paling
berpengaruh terhadap basic reproduction
number.
Laju
parameter
populasi
yang
dari
perpindahan
infectious
kesembuhan
kelas
dari
kelas
merupakan
parameter
negatif. Artinya, jika
nilai
0
nilai
0 turun
naik
sebaliknya maka nilai
0
sesuai dengan besaran indeks
basic reproduction number (Persamaan 2).
Indeks sensitivitas dari parameter
diperoleh
, ,
dengan
menggunakan Persamaan (3) dan hasilnya
1.
0
berdampak pada kenaikan
sebesar
indeks sensitivitas dari parameter
kesensitifan parameter-parameter terhadap
sensitivitas untuk parameter
juga turun. Hal sebaliknya berlaku
5% pada nilai
Pada bagian ini akan dianalisis
Tabel
juga akan naik. Sebaliknya,
sensitivitasnya. Sebagai contoh, kenaikan
Analisis Sensitivitas �
didalam
0
parameter
akan naik. Selain itu, naik dan turunnya
nilai
0
0
maka nilai
yang
exposed.
disajikan
memiliki relasi
untuk parameter . Jika parameter
ke
sangat berpengaruh pada jumlah individu
terhadap
positif
sedangkan parameter
nilai
Laju
exposed
relasi
0.
jika nilai parameter tersebut turun, makan
terhadap
infectious.
memiliki
maka nilai
merupakan
berpengaruh
dan laju kesembuhan
Indeks
diperoleh
dengan
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
25
%×
.
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
Tabel 1.Parameter, persamaan dan nilai indeks sensitivitas, dan perubahan nilai 0 . Jika
terjadi perubahan nilai parameter. � + %berarti nilai parameter bertambah 5% dari nilai
sebelumnya. � − % berarti bahwa nilai parameter berkurang 5% dari nilai sebelumnya.
Nilai 0 = ,
.
Parameter
Persamaan
�
+ %
Nilai
+1
−
×
−
+�
9,491
9,989
9,989
9,514
10,515
−
− , ���
Analisis Sensitivitas �∗
Nilai �
10,488
+ , �
+�
�− %
parameter
yang
paling
berpengaruh
Indeks sensitivitas untuk parameter
terhadap populasi exposed adalah laju
diperoleh dengan menggunakan formula
transisi dari populasi exposed ke infectious,
indeks sensitivitas pada Persamaan (3).
�� ∗ ��
=
�
=
2
+ �
�� −� ∗ ( 2 + �)
2
Sehingga
∗
�� =
=
+ �� −
+ �
2
+
+ � + � + �2
+ � 2
2
.
+ �
Analisis Sensitivitas �∗
,
Indeks sensitivitas dari parameter
.
untuk populasi infectious diperoleh dengan
prosedur yang sama seperti sebelumnya
∗
��
× ∗
�
�
=
dan hasilnya diberikan pada Tabel 3. Hasil
analisis menunjukkan bahwa parameter
�� − �∗ 2 + �
× ∗
2 + �
�
�∗
��
2
+ �
merupakan dua parameter yang sangat
berpengaruh terhadap � ∗ dan memiliki
relasi negatif. Jika nilai parameter
− .
meningkat
Indeks sensitivitas untuk parameter
maka
jumlah
populasi
infectious akan menurun dan sebaliknya
lainnya dapat dilakukan dengan prosedur
jika nilai parameter
yang sama dan hasilnya diberikan pada
jumlah populasi infectious meningkat.
Tabel 2.
Hasil analisis menunjukkan
menurun maka
Hasil ini mengindikasikan bahwa
bahwa parameter laju transmisi merupakan
laju kesembuhan merupakan faktor yang
menentukan
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
26
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
epidemi suatu penyakit. Ini berarti bahwa
maka penularan suatu penyakit dapat
jika ada intervensi yang dapat dilakukan
ditekan.
untuk mempercepat waktu kesembuhan
Tabel 2. Parameter, persamaan dan nilai indeks sensitivitas, dan perubahan nilai � ∗ jika
terjadi perubahan nilai parameter. � + % berarti nilai parameter bertambah 5% dari nilai
sebelumnya. � − % berarti bahwa nilai parameter berkurang 5% dari nilai sebelumnya.
Nilai � ∗ = ,
.
Parameter
Persamaan Indeks Sensitivitas
Nilai
Indeks
Sensitivitas
−
−
−
+
− �− �−�
−
− −�
−
−� −� +�
+�
+ �+ �+�
+�
+�
�+ %
�− %
NILAI �∗
0,111
30,494
30,156
-0,999
28.890
31,929
-0,111
30,165
30,502
Tabel 3. Parameter, persamaan dan nilai indeks sensitivitas, dan perubahan nilai � ∗ jika
terjadi perubahan nilai parameter. � + % berarti nilai parameter bertambah 5% dari nilai
sebelumnya. � − % berarti bahwa nilai parameter berkurang 5% dari nilai sebelumnya.
Nilai � ∗ = ,
.
Paramete
Persamaan Indeks Sensitivitas
Nilai Indeks
r
Sensitivitas
−
+
−
+
−
+
−
−
+ �+ �∓�
− + +�
−
+ �+ �+�
+�
−
+ �+ �+�
+�
+ �+ �+�
+�
+ �+ �+�
Hasil analisis menunjukkan bahwa
laju transmisi
dua
berpengaruh
pada
number
memiliki
0.
parameter
parameter
basic
laju
yang
yang
positif
kedua
26,670
26,534
26,534
− ,
25,130
28,085
negatif.
26,379
Hasil
ini
kesembuhan
sangat
berpengaruh
terhadap epidemi suatu penyakit dalam
reproduction
populasi. Jika laju transmisi sangat besar
Parameter yang pertama
hubungan
Nilai �∗
mengindikasikan bahwa laju transmisi dan
dan laju kesembuhan
merupakan
�− %
+ ,
+ ,
hubungan
�+ %
sedangkan
maka laju kesembuhan juga harus besar.
memiliki
Jika laju transmisinya kecil dan laju
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
27
Online Journal of Natural Science Vol 6(1) :22 – 28
Maret 2017
kesembuhannya
besar
maka
Model,
as
an
Example.
International Statistical Review /
Revue Internationale de Statistique,
62, 229-243.
BPS 2015. Angka Harapan Hidup (AHH)
menurut Jenis Kelamin dan
Provinsi,
2010-2014.
https://www.bps.go.id/linkTableDin
amis/view/id/1114.
Chitnis, N., Hyman, J. M.dan Cushing, J.
M. 2008. Determining Important
Parameters in the Spread of Malaria
Through the Sensitivity Analysis of
a Mathematical Model. Bulletin of
Mathematical Biology, 70, 1272.
Keeling, M. J.dan
Rohani, P. 2007.
Modeling Infectious Diseases in
Humans and Animals, Princeton
University Press.
Marino, S., Hogue, I. B., Ray, C. J.dan
Kirschner, D. E. 2008. A
methodology for performing global
uncertainty and sensitivity analysis
in systems biology. Journal of
Theoretical Biology, 254, 178-196.
Ndii, M. Z., Allingham, D., Hickson, R.
I.dan Glass, K. 2016a. The effect of
Wolbachia on dengue dynamics in
the presence of two serotypes of
dengue: symmetric and asymmetric
epidemiological
characteristics.
Epidemiology and Infection, 144,
2874-2882.
Ndii, M. Z., Allingham, D., Hickson, R.
I.dan Glass, K. 2016b. The effect
of Wolbachia on dengue outbreaks
when
dengue
is
repeatedly
introduced. Theoretical Population
Biology, 111, 9-15.
Ndii, M. Z., Hickson, R. I., Allingham,
D.dan
Mercer, G. N. 2015.
Modelling
the
transmission
dynamics of dengue in the presence
of
Wolbachia.
Mathematical
Biosciences, 262, 157-166.
Supriatna, A. K., Soewono, E.dan van
Gils, S. A. 2008. A two-age-classes
dengue
transmission
model.
Mathematical Biosciences, 216,
114-121.
epidemi
penyakit tidak akan terjadi dalam populasi.
Analisis ini difokuskan pada daerah dengat
tingkat endemik tinggi yang digambarkan
0.
dari besarnya nilai
Sehingga dapat
disimpulkan bahwa untuk daerah dengan
tingkat endemik tinggi, maka diperlukan
suatu intervensi yang dapat mempercepat
kesembuhan individu terinfeksi (infectious
individuals). Sedangkan, untuk populasi
exposed dan infectious, laju transisi keluar
dari
kelasnya
parameter
merupakan
yang
paling
parameterberpengaruh
terhadap populasinya dan memiliki relasi
negatif. Sebagai contoh, laju transisi dari
kelas exposed ke infectious merupakan
parameter
populasi
yang
berpengaruh
exposed.
merupakan
Laju
parameter
terhadap
kesembuhan
yang
paling
berpengaruh terhadap populasi infectious.
Hasil ini menunjukkan bahwa untuk dapat
mengurangi jumlah individu terinfeksi
dalam populasi maka laju kesembuhan
harus besar. Dengan kata lain perlu
intervensi
yang
mempercepat
dilakukan
kesembuhan
untuk
individu
terinfeksi. Hasil ini sejalan dengan analisis
pengaruh
parameter
reproduction number,
DAFTAR PUSTAKA
terhadap
ISSN-p: 2338-0950
ISSN-e : 2541-1969
basic
0.
Blower, S. M.dan Dowlatabadi, H. 1994.
Sensitivity
and
Uncertainty
Analysis of Complex Models of
Disease Transmission: An HIV
Analisis Sensitivitas Model Epidemi SEIR
(Roberta U. Hurint dkk)
28