BAB I.Teos 2012 REVV

1
BAB I
DISTRIBUSI MULTIVARIAT

1.2 Distribusi Dua Peubah Acak
Kita mulai membicarakan dua peubah acak dengan contoh berikut.sebuah koin
dilantunkan tiga kali dan perhatian kita berada dalam pasangan bilangan terurut (banyak M
pada dua lantunan pertama , banyak M pada tiga lantunan), di mana M dan B berturut-turut
menyatakan muka dan belakang. Jadi ruang sampel adalah S= { c∨c=ci , i=1,2, … ,8 } ,
dengan
c 1=BBB , c 2=BBM , c 3=BMB , c 4=MBB , c 5=BMM , c 6=MBM , c 7=MMB , c 8=MMM
Misalkan X 1 dan X 2 adalah dua fungsi sehingga X 1 ( c 1 )= X 1 ( c 2 ) =0 , X 1 ( c3 ) =X 1 ( c 4 )
X 1 ( c 5 )= X 1 ( c6 ) =1, X 1 ( c 7 )=X 1 ( c 8 ) =2, dan X 2 ( c1 ) =0 ; X 2 ( c 2 )= X 2 ( c3 ) =X 2 ( c 4 ) =1

=

X 2 ( c 5 )= X 2 ( c6 ) =X 2 ( c 7 ) =2, dan X 2 ( c8 ) =3 .Jadi X 1 dan X 2 merupakan fungsi bernilai
real pada ruang sampel , A yang mengambil dari ruang sampel ke ruang pasangan
bilangan terurut A= { ( 0,0 ) , ( 0,1 ) , ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) }
Berarti X 1 dan X 2 adalah dua peubah acak yang ditentukan pada ruang sampel A , dan
dalam contoh ini , ruang dari peubah acak ini adalah himpunan dimensi dua A yang

diberikan barusan.
Definisi 1
Diberikan percobaan acak dengan ruang sampel S . Perhatikan dua peubah acak
X 1 dan X 2 yang menyatakan terhadap setiap unsur c dari S satu dan hanya satu pasangan
terurut dari bilangan X 1 ( c )=x 1 , X 2 ( c )=x 2 . Ruang dari
X 1 dan X 2 adalah himpunan pasangan terurut

A= {( x 1 , x 2 )∨x 1=X 1 ( c ) , x 2= X 2 ( c ) , c ∈ S }

Misalkan A merupakan ruang yang dihubungkan dengan dua peubah acak X 1 dan X 2
dan ambil A sebuah himpunan bagian dari . Seperti dalam kasus satu peubah acak , kita dapat
membicara- kan kejadian A, yang kita nyatakan dengan P [ ( X 1 , X 2 ) ∈ A ] .Ambil
C={ c∨c ∈ S dan [ X 1 ( c ) , X 2 ( c ) ] ∈ A } dengan S adalah ruang sampel
Kemudian kita menentukan

P {( X 1 , X 2 ) ∈ A }=P ( C )

di mana P adalah fungsi peluang

himpunan untuk himpunan bagian C dari S Di sini pula kita dapat menyatakan

P [ ( X 1 , X 2 ) ∈ A ] dengan fungsi peluang himpunan P X , X ( A ) , atau
1

2

P ( A )=P [ ( X 1 , X 2 ) ∈ A ]
Perhatikan A himpunan bagian , di mana

A= { ( 1,1 ) , ( 1,2 ) } . Untuk menghitung

P [ ( X 1 , X 2 ) ∈ A ] =P ( A ) kita harus memasukkan unsur dari C semua hasil dari S sehingga

2
peubah acak
X 1 ( c 3 )=1,

X 1 dan X 2 mengambil nilai ( x 1 , x 2 ) yang merupakan unsur A. Sekarang

X 2 ( c 3 )=1. X 2 ( c 4 ) =1, dan X 2 ( c 4 ) =1 Juga
X 2 ( c 6 )=2 . Berarti

X 1 ( c 5 )=1, X 2 ( c 5 )=1, X 1 ( c 6 ) =1dan

P [ ( X 1 , X 2 ) ∈ A ] =P ( C ) , di mana C={ c 3 , c 4 , c5 , atau c 6 } .

P (C ) menetapkan peluang setiap unsur dari S
1
sama dengan 1/8.Penetapan ini tampaknya masuk akal jika P ( M ) =P ( B )=
dan lantunan
2

Andaikan bahwa fungsi peluang himpunan

( 12 )( 12 )( 12 )= 18

P [ { c 1 } ]=P { MMM }=

independen. Sebagai gambaran

. Kemudian

P(A) ,

yang dapat dituliskan sebagai P ( X 1=1, X 2=1 ata u 2 ) sama dengan 4/8=1/2. Kita dapat
mentabulasikan peluang yang ditentukan untuk setiap unsur dari A , dengan hasil sebagai
berikut.

( x1 , x2 )

( 0,0 ) ( 0,1 )( 1,1 ) ( 1,2 )( 2,2 ) ( 2,3 )

P [ ( X 1 , X 2 )= ( x 1 , x 2 ) ]

1/8

1/8

3/8

2/8

2/8

1/8

Tabel ini menggambarkan distribusi peluang atas unsur A dalam ruang peubah acak
X 1 dan X 2 . Juga dalam statistik , kita lebih tertarik dalam ruang A dari dua peubah
acak sebut X dan Y , dari pada S. Selanjutnya notasi dari fungsi densitas peluang (fdp) peubah
acak X dapat diperluas terhadap gagasan fdp duaatau lebih peubah acak. Di bawah
pembatasan tertentu pada peluang A dan fungsi f > 0 pada A , kita mengatakan bahwa
dua peubah acak X dan Y jenis diskrit atau jenis kontinu dan mempunyai distribusi dari jenis
itu, berpadanan dengan fungsi peluang himpunan P ( A ) , A ⊂ A dapat dinyatakan sebagai
P ( A )=P [ ( X ,Y ) ∈ A ] =∑ ∑ f ( x , y )
A

❑

P ( A )=P [ ( X ,Y ) ∈ A ] =∫ ∫ f ( x , y ) dxdy

atau

A

Dalam satu satu kasus f disebut fdp dua peuba acak X dan Y . Untuk keperluan P ( A )=1
dalam setiap kasus. Kita dapat memperluas definisi fdp f ( x , y ) ini atas keseluruhan bidang
xy dengan nol untuk lainnya.Kita akan melakukan ini secara konsisten terhadap ruang A
kebosanan , pengulangan referensi terhadap ruang A dapat dihilangkan. Sekali ini
dilakukan, kita menggantikan
∞

❑

∞

∫∫ f ( x , y ) dxdy dan ∫ ∫ f ( x , y ) dxdy
A

−∞ −∞

Hal yang sama , setelah perluasan penentuan fdp jenis diskrit , kita menggantikan

∑ ∑ f ( x , y ) dan ∑ ∑ f ( x , y )
A

x

y

Sesuai dengan perjanjian ini (untuk perluasan definisi fdp), hal itu terlihat bahwa fungsi titik
f , apakah dalam satu atau dua peubah pada dasarnya memenuhi persyaratan menjadi fdp, jika
didefinisikan dan tidak negatif untuk semua nilai real dari uraiannya integralnya (untuk
peubah acak kontinu) atau jumlahnya (untuk jenis peubah acak diskrit) atas seluruh nilai real
dari uraiannya adalah satu.

3
Akhirnya jika fdp dalam satu atau lebih peubah secara eksplisit ditetapkan, kita dapat melihat
melalui pemeriksaan apakah peubah acak dari jenis kontinu atau diskrit.Sebagai gambaran:
Kelihatannya jelas bahwa fdp
9
f ( x , y ) = 4 x+ y ; x =1,2,3,… ; y =1,2,3,…
0 ; untuk lainnya

adalah fdp peubah acak jenis diskrit X dan Y, dan fdp

{
{

2

2

−x − y
; 0< x