Partial Differential Equations – PDE
2 3 ⎛ pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta ∂ u ⎞ ∂ u (3) + 6
⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ x ⎠
∂ u ∂ u (4) + xu = x
3 ya
3 tidak
2 tidak 2 tidak
A, B, C : fungsi x dan y q PDE linear bertingkat dua dan fungsi dua
D : fungsi x, y, u, ∂u/∂x, dan variabel bebas (x,y) dapat dikelompokkan ∂u/∂y menjadi:
q eliptik
B − 4AC
kategori
q parabolik
eliptik
q hiperbolik
parabolik
hiperbolik
B 2 − 4AC Kategori
Nama
Persamaan
2 <0 2 Eliptik Persamaan Laplace
(permanen, 2D spasial)
=0 Parabolik
Persamaan konduksi panas
(tak-permanen, 1D spasial)
xt
>0 Hiperbolik
Persamaan gelombang
(tak-permanen, 1D spasial)
8 Persamaan Diferensial Parsial – PDE
PDE Eliptik (Persamaan Laplace) Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace
http://istiarto.staff.ugm.ac.id http://istiarto.staff.ugm.ac.id
dengan isolator panas
q sisi-sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu
q transfer panas hanya dimungkinkan pada arah x dan y
q Ditinjau pada saat transfer
∆z
permanen telah tercapai (steady- state condition) permanen telah tercapai (steady- state condition)
q(y)+q(y+∆y)
q () x Δ y Δ z Δ t + q () y Δ x Δ z Δ t = q ( x + Δ x ) Δ y Δ z Δ t + q ( y + Δ y ) Δ x Δ z Δ t
q(x)
q(x)+q(x+∆x) ∆y
q(x) dan q(y) berturut-turut adalah fluks panas
q(y)
arah x dan arah y, dalam satuan kal/cm 2 /s.
∆x ∆x
dengan ∆z ∆t, maka:
q () x Δ y + q () y Δ x = q ( x + Δ x ) Δ y + q ( y + Δ y ) Δ x
q(y)+q(y+∆y)
q Pengelompokan suku dan perkalian dengan ∆x/
∆x atau ∆y/∆y menghasilkan:
q(x)
q(x)+q(x+∆x) ∆y
q () x − q ( x + Δ x )
q () y − q ( y + Δ y )
q(y)
∆x ∆x
q () x − q ( x + Δ x ) q () y − q ( y + Δ y )
q(y)+q(y+∆y)
q Mengambil nilai limit persamaan tsb dan memperhatikan definisi diferensial parsial, maka
q(x)
q(x)+q(x+∆x) ∆y
diperoleh: ∂ q ∂ q
q(y)
− − = 0 (persamaan konservasi energi)
∆x ∆x
q(y)+q(y+∆y)
diketahui adalah temperatur T. q Oleh karena itu, PDE di atas diubah menjadi PDE
q(x)
q(x)+q(x+∆x) ∆y
dalam T dengan menerapkan Hukum Fourier untuk konduksi panas.
q(y)
q i = − k ρ C (Fourier’s law of heat conduction)
∆x
= − k ʹ′ = − k ʹ′
i : fluks panas arah i (kal/cm /s) q(y)+q(y+∆y) 2 k : koefisien difusi thermal (cm /s)
ρ 3 : rapat massa medium (g/cm )
C : kapasitas panas medium (kal/g/°C)
q(x)
q(x)+q(x+∆x) ∆y
T : temperatur (°C) k´ : konduktivitas thermal (kal/s/cm/°C)
q(y)
q Persamaan di atas menunjukkan bahwa fluks panas tegak lurus sumbu i sebanding dengan
∆x
gradien/slope temperatur pada arah i.
q Dengan memakai Fick’s Law, maka persamaan konservasi energi dapat dituliskan sbb.
2 + 2 = 0 (Persamaan Laplace)
q(y)+q(y+∆y)
∂ x ∂ y q Jika ada source atau sink:
q(x)
q(x)+q(x+∆x) ∆y
2 + 2 = f ( x , y ) (Persamaan Poisson)
q(y)
∆x ∆x
q(y)+q(y+∆y)
i : debit aliran arah i (m /m/s)
q(x)
q(x)+q(x+∆x) ∆y
K : konduktivitas hidraulik (m 2 /s)
H : tinggi energi hidraulik (m)
i : panjang lintasan, panjang aliran (m)
q(y)
∆x ∆x
hampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk kasus-kasus yang sederhana.
q Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris. q Teknik penyelesaian PDE secara numeris
q Metode beda hingga (finite difference approximation, FDA) q Metode elemen hingga (finite element method, FEM) q Metode volume hingga (finite volume method, FVM) q Metode beda hingga (finite difference approximation, FDA) q Metode elemen hingga (finite element method, FEM) q Metode volume hingga (finite volume method, FVM)
q Domain fisik plat persegi dibagi menjadi
∆x
sejumlah pias atau grid titik-titik diskrit. q PDE Laplace diubah menjadi persamaan beda
hingga di setiap titik hitung (i,j). q Di titik hitung interior (simbol bulat hitam):
∆y 2 ∂ T T
§ diferensi tengah
(central difference)
§ error = O[(∆x) ] &
2 § error = O[(∆y) ] 2 § error = O[(∆y) ]
∆x
q Jika ukuran grid seragam, ∆x = ∆y, maka:
∆y ∆y
bulat putih), berlaku syarat batas (boundary
conditions) à temperatur diketahui/ditetapkan. q BC semacam itu dikenal dengan nama Dirichlet
boundary condition.
q Di titik (1,1):
q Di 8 titik interior yang lain pun dapat dituliskan
persamaan beda hingga diskrit semacam di atas.
0°C 0°C
aljabar linear yang terdiri dari 9 persamaan dengan
9 unknowns.
75°C
50°C
0°C 0°C
T 2 , 1 − 4 T 3 , 1 + T 3 , 2 = − 50 4 )
T 1 , 1 − 4 T 1 , 2 + T 2 , 2 + T 1 , 3 = − 75 5 )
T 3 , 1 + T 2 , 2 − 4 T 3 , 2 + T 3 , 3 = − 50 7 )
T 1 , 2 − 4 T 1 , 3 + T 2 , 3 = − 175 8 )
T 2 , 2 + T 1 , 3 − 4 T 2 , 3 + T 3 , 3 = − 100 9 )
T 3 , 2 + T 2 , 3 − 4 T 3 , 3 = − 150 T 3 , 2 + T 2 , 3 − 4 T 3 , 3 = − 150
⎡ − 4 1 0 1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎧ T 1 , 1 ⎫ ⎧ − 75 ⎫ ⎢
1 − 4 1 0 1 0 0 0 0 T 2 , 1 0 ⎢
⎪ ⎢ 0 1 − 4 0 0 1 0 0 0 ⎥ ⎪ T 3 , 1 ⎪ ⎪ − 50 ⎪
1 0 0 − 4 1 0 1 0 0 ⎪ T 1 , 2 − 75 ⎢
⎨ T 2 , 2 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ ⎢
⎪ ⎢ 0 0 1 0 1 − 4 0 0 1 ⎥ T 3 , 2 − 50
⎪ T 1 , 3 ⎪ ⎪ − 175 ⎪ ⎢
⎪ ⎢ 0 0 0 0 1 0 1 − 4 1 ⎥ T 2 , 3 − 100
⎦ ⎩ T 3 , 3 ⎭ − ⎩
q diselesaikan dengan salah satu Metode yang telah dibahas pada kuliah sebelum UTS
q untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengan mudah memakai cara tabulasi spreadsheet
q untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dalam permasalahan civil engineering, perlu bantuan program komputer
n MatLab (program aplikasi berbayar) n SciLab (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux) n Numerical Recipes n Etc. (dapat dicari di internet) n MatLab (program aplikasi berbayar) n SciLab (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux) n Numerical Recipes n Etc. (dapat dicari di internet)
atau T i . j =
q Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercepat
konvergensi
q Kriteria konvergensi
hitungan dilakukan
max ε i , j = max
dengan bantuan
tabulasi spreadsheet tabulasi spreadsheet
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 --- 1 28.1250 10.5469 22.7051 38.6719 18.4570 34.1858 80.1270 74.4690 96.9955 100.0% 2 32.5195 22.3572 28.6011 55.8311 60.8377 71.5700 74.4241 87.3620 67.3517
75°C 100 50°C
T°C T°C T°C
i=2
1 i=1
40 i=3
0°C 0
28 Persamaan Diferensial Parsial – PDE
PDE Parabolik Penyelesaian PDE Parabolik
FDA Skema Eksplisit FDA Skema Implisit FDA Skema Crank-Nicolson FDA Skema Eksplisit FDA Skema Implisit FDA Skema Crank-Nicolson
dingin
panas A
q () x A Δ t − q ( x + Δ x ) A Δ t = Δ xA ρ C Δ T
q persamaan tsb dibagi vol = ∆xA∆t
Batang logam pipih-panjang
q () x − q ( x + Δ x )
dibungkus isolator panas, kecuali
di kedua ujung batang yang
diberi panas dengan temperatur
q limit persamaan tsb untuk ∆x, ∆t à 0
berbeda, panas dan dingin.
q Hukum Fourier untuk konduksi panas
dingin
panas A
q Persamaan heat balance menjadi
Batang logam pipih-panjang
2 Persamaan konduksi panas
dibungkus isolator panas, kecuali
di kedua ujung batang yang
q Persamaan di atas merupakan persamaan
diberi panas dengan temperatur
difusi
berbeda, panas dan dingin.
q transpor polutan q transpor sedimen suspensi q transpor polutan q transpor sedimen suspensi
q terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama q terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua
q Langkah hitungan pada FDA
= k ∂ 2 ∂ q t T pada waktu t+∆t dihitung berdasarkan T pada waktu t x
q T pada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat awal (initial condition) atau dari hasil hitungan langkah sebelumnya
q saat menghitung T di suatu titik pada suku derivatif ruang, T
yang mana yang dipakai?
§ jika T pada waktu t
à dinamai skema eksplisit § jika T pada waktu t+∆t à dinamai skema implisit
⎡ 2 ∂ T ∂ T ⎤
⎢ = k 2 ⎥
⎣ ∂ t ∂
⎦ di titi k i T − i T i
Skema Eksplisit
⎡ ∂ T ⎤
⎣ ∂ x ⎦ i
Skema Implisit
k konstan di sepanjang batang
dan di sepanjang waktu
∆x seragam di sepanjang batang
Skema Eksplisit
Skema Implisit
T i + 1 ) ⎜ k 2 ⎟ T i − 1 ⎜ 1 2 k 2 ⎟ T i ⎜ − k 2 ⎟ T i + 1 T i
T i ⎜ k 2 ⎟ T − 1 − 2 T +
⎝ Δ x ⎠
⎝ Δ x ⎠
Δ x ⎠
⎝ Δ x ⎠ ⎝ Δ x ⎠
Skema Eksplisit
pipih panjang
q = panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm
q time step, ∆t = 0.1 s
q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm /s
n+1
°C
q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C
q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
100°C
0 2 4 6 8 10 x (cm)
⎛ Δ t ⎞ n
T i = T i + ⎜ k 2 ⎟ ( T i − 1 − 2 T i + T i + 1 )
⎝ Δ x ⎠
⎛ Δ t ⎞ n
= T i + ⎜ k 2 ⎟ ( T i + 1 − 2 T i + T 1 ) i = 1 , 2 , 3 , 4
i ⎝ − Δ x ⎠
iterasi waktu (s)
temperatur (°C) di titik hitung
Hitungan diteruskan sampai t = 12 s
t = 12 s
80 t=9s
Jarak (cm) Jarak (cm)
q Konvergensi berarti bahwa jika ∆x dan ∆t mendekati nol, maka penyelesaian FDA mendekati penyelesaian eksak.
q Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitungan tidak
mengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalannya hitungan.
q Skema eksplisit konvergen dan stabil jika:
Δ t 1 ≤ ½ dapat terjadi oskilasi kesalahan k
hitungan
2 k 2 ≤ ¼ tidak terjadi oskilasi kesalahan 1Δ x
hitungan
2 k = 1/6 meminimumkan truncation error 2 k = 1/6 meminimumkan truncation error
q untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan ∆x kecil, namun q konsekuensi ∆x kecil adalah ∆t pun harus kecil untuk menjamin konvergensi dan
kestabilan hitungan q jika ∆x dikalikan faktor ½, maka ∆t perlu dikalikan faktor ¼ untuk
mempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan q skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertambah besar mempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan q skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertambah besar
Skema Eksplisit
pipih panjang
q = panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm
q time step, ∆t = 0.1 s
q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm /s
n+1
°C
q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C
q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
100°C
Hitung dengan skema eksplisit: k
x (cm)
PR dikumpulkan minggu depan! PR dikumpulkan minggu depan!
Skema Implisit
pipih panjang
q = panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm
q time step, ∆t = 0.1 s
q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm /s
n+1
°C
q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C
q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
100°C
0 2 4 6 8 10 x (cm)
Δ t ⎞ n + 1 ⎛
Δ t ⎞ n + 1 ⎛
Δ t ⎞ n + 1 n
0 1 2 3 4 5 i ⎜ − k
⎟ T 2 + i − 1 ⎜ 1 + 2 k 2 ⎟ T + i ⎜ − k 2 ⎟ T + = i 1 T i
⎝ Δ x ⎠
Δ x ⎠
⎝ Δ x ⎠ ⎝ Δ x ⎠
node 0 1 : 1 . 04175
1 − 0 . T 020875 T 2
0 . T 020875 1 + T 0
node 0 2 : − 0 . 020875
T 2 1 1 1 node 0 3 : − 0 . 020875 T
0 . T 020875 T 2 − T 3 =
T 3 1 1 node 0 4 : − 0 . 020875
0 . T 020875 3 − T 4 =
0 . T 020875 T 4 = T 4 + T 5 0 . T 020875 T 4 = T 4 + T 5
matriks tridiagonal
q Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer. q Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.
q Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel
− {T} = [A] 1 {RHS} Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel − {T} = [A] 1 {RHS} Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel
0 2 . 0875 2 . T 0047
⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 . 0406 ⎪ ⎪ T ⎪
⎢ 0 . 0003859 0 . 0192508 0 . 960309 0 . T 0192508 3 ⎥
⎪ 4 ⎪ 0 0 . 0003859 0 . 0192508 0 . 960309 ⎪ 1 . 04375 ⎪ ⎪ 1 . 0023 ⎪ ⎩ T ⎭ ⎣
⎭ ⎩ ⎭ −1 {T} [A]
{RHS} {RHS}
q Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1
1 + 0 . 020875 T 0 ⎧ 4 . T 1750 ⎫ ⎫
{ RHS } = ⎨ 1 ⎬ = ⎨
3 0 . ⎪ 0209 T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1
4 + 0 . 020875 T ⎪ T 5 ⎪ 2 . 0461 ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ 2
4 . T 0101
0 . 0192508 0 . 960309 0 . 0192508 0 . 0003859 ⎥ ⎪ 0 . 0406 ⎪ ⎪ 0 . 1206 ⎪ ⎪ T 2 ⎪
0 . ⎪ 0619 T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
0 0 . 0003859 0 . 0192508 0 . 960309 ⎪ 2 . 0461 ⎪ ⎪ 1 . T 9653
Konduksi atau t=3s perambatan
C) 100
panas hasil
dengan skema
er
implisit tampak
lebih cepat
Temp
daripada hasil
hitungan
eksplisit
dengan skema
0 2 4 6 8 10 eksplisit (pada
t = 3 s).
Jarak (cm)
Skema eksplisit
Skema implisit
q Persamaan dan teknik q Persamaan dan teknik penyelesaian penyelesaiannya straight-forward,
lebih “rumit”, penyelesaian dilakukan penyelesaian dilakukan node per
secara simultan untuk seluruh node node
q Rentan terhadap konvergensi dan q Konvergensi dan stabilitas hitungan stabilitas hitungan
lebih mudah dijaga
q Time step terkendala oleh q Time step tidak terkendala oleh konvergensi dan stabilitas hitungan
konvergensi dan stabilitas hitungan
2) Saat menghitung T di i, titik-titik hitung (nodes) di kedua zona ini tidak
diperhitungkan, padahal secara fisik, justru node-node di sini berpengaruh thd T di titik i.
1) Saat menghitung T di i, hanya titik-titik hitung (nodes) di dalam segitiga ini
yang berpengaruh dalam hitungan.
Skema Eksplisit
Skema Implisit
1) Skema implisit menjamin konvergensi dan
stabilitas hitungan, namun aproximasi suku
2 derivatif waktu dan suku derivatif ruang
memiliki akurasi berbeda. 2) Skema implisit yang memiliki akurasi yang
n + 1 n + 1 n + 1 T sama pada aproximasi suku derivatif
= k waktu dan ruang adalah Metode Crank- Δ 2 t Δ x
Nicolson.
1st order accurate 2nd order accurate 1st order accurate 2nd order accurate
Skema Crank-Nicolson
pada waktu n+½
q Aproksimasi suku derivatif ruang pada waktu n
n+1
+½ dianggap sbg nilai rata-rata derivatif pada
n+½
waktu n dan n+1
n + 1 n + 1 n + ∂ 1 T 1 ⎛ T
T i − 1 ⎞
∂ x 2 ⎝
Δ x ⎠
i−1
i+1 i+1
Skema Crank-Nicolson
demikian dapat dituliskan sbb.
Δ t ⎞ n + 1 ⎛
Δ t ⎞ n + 1 ⎛
Δ t ⎞ n + 1
⎜ − k 2 ⎟ T + i − 1 2 ⎜ 1 + k
⎟ T + i ⎜ 2 − k 2 ⎟ T i + =
⎝ Δ x ⎠
Δ x ⎠
⎝ Δ x ⎠
⎛ Δ t ⎞ n
Δ t ⎞ n ⎛ Δ t ⎞
n+1
⎜ n k
2 ⎟ T i − 1 + 2 ⎜ 1 − k
⎟ T i 2 + ⎜ k 2 ⎟ T i + 1
n+½
⎝ Δ x ⎠
Δ x ⎠
⎝ Δ x ⎠
i−1
i+1 i+1
Skema Crank-Nicolson
pipih panjang
q = panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm
q time step, ∆t = 0.1 s
q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm /s
n+1
°C
q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C
q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
100°C
0 2 4 6 8 10 x (cm) 0 2 4 6 8 10 x (cm)
1 + 2 . 04175 2 − 0 . 020875 3 = T 0 T T 1 1 node 1 3 : − 0 . 020875 T
2 + 2 . 04175 3 − 0 . T 020875 T 4 = 1 node 1 4 : − 0 . 020875
2 T . = 0875 T 4
matriks tridiagonal
q Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer. q Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.
q Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel
− {T} = [A] 1 {RHS} Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel − {T} = [A] 1 {RHS} Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel
0 4 . 0450 2 . T 0450
⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 . 0210 ⎪ ⎪ T ⎪
⎢ 0 . 0000512 0 . 0050086 0 . 4898271 0 . T 0050086 3 ⎥
⎪ 4 ⎪ 0 0 . 0000512 0 . 0050086 0 . 4898271 ⎪ 2 . 0875 ⎪ ⎪ 1 . 0225 ⎪ ⎩ T ⎭ ⎣
⎭ ⎩ ⎭ −1 {T} [A]
{RHS} {RHS}
q Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1
{ RHS } = ⎨
4 . T 0071 1 ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ 2 ⎪ ⎢ 0 . 0050086 0 . 4898271 0 . 0050086 0 . 0000512 ⎥ ⎪ 0 . 0841 ⎪ ⎪ 0 . 0826 ⎪
⎪ T 2 ⎪ = ⎢
3 0 . 0000512 T 0 ⎢ . 0050086 0 . 4898271 0 . 0050086 ⎥ 0 . 0427
⎪ ⎪ 0 0 . 0000512 0 . 0050086 0 . 4898271 ⎪ 4 . 0901 ⎪ ⎪ 2 . 0036 ⎪ ⎩ T 4 ⎭ ⎣
Konduksi atau t=3s perambatan
C) 100
panas hasil
dengan skema
tampak mirip
dengan hasil
Crank-Nicolson
hitungan
dengan skema
0 2 4 6 8 10 eksplisit (pada
t = 3 s).
Jarak (cm)
⎛ T i + 1 − 2 T i + T i − 1 ⎞
⎛ T i + 1 − 2 T i + T i − 1 ⎞
FDA
q Skema FDA
q φ = 0 : skema eksplisit q φ = 1 : skema implisit q φ = ½ : skema Crank-Nicolson q φ = 0 : skema eksplisit q φ = 1 : skema implisit q φ = ½ : skema Crank-Nicolson
⎟ T i + ⎜ − 2 φ 2 k 2 ⎟ T i + 1 = ( 1 − φ ) k 2 T i − 1 +
q Skema FDA
Δ t ⎤ n
q φ = 0 : skema eksplisit
Δ x ⎥⎦
q φ = 1 : skema implisit q φ = ½ : skema Crank-Nicolson q φ = 1 : skema implisit q φ = ½ : skema Crank-Nicolson
pipih panjang
q panjang batang, L = 10 cm, ∆ x = 1 cm (!!)
q time step, ∆t = 0.1 s
T 2 ∂ T q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm /s
n+1
°C
q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
5 T(x=20,t) = 50°C
q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
100°C
0 2 4 6 8 10 x (cm) q Hitung sampai steady-state condition
q Skema eksplisit
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i
PR/
q Skema implisit
∆ x = 1 cm
Tugas
q Skema Crank-Nicolson
62
http://istiarto.staff.ugm.ac.id