2012 – Soal Olimpiade Matematika SMA Tk Propinsi

  

SELEKSI TINGKAT PROPINSI

CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012

MATEMATIKA SMA/MA

  

1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian

kedua terdiri dari 5 soal uraian.

  2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.

  (tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.

  3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.

  4. Untuk soal bagian pertama: (a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.

  (b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis. (c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak di sebelah kanan setiap soal.

  5. Untuk soal bagian kedua: (a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.

  (b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir, Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sam- pai kepada jawaban akhir tersebut. (c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.

  

6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali pada

sketsa gambar.

  

7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.

  Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.

  

8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah

pengawas memberi tanda.

  Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ......................................................

  

BAGIAN PERTAMA

  

1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkaran

dalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...

  2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan 34x 51y = 2012z: Nilai dari x + y + z adalah...

  

3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan be-

raturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.

  Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...

  4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaan _s p x

  2

  2 f (x) = x pbxc a dan g(x) = p a dengan a bilangan bulat positif. Diketahui bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang

  1 dari atau sama dengan x. Jika domain g f x < adalah fxj3 4g, maka banyaknya a yang

  2 memenuhi sebanyak...

  

5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menye-

  2 babkan n + pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::

  

6. Untuk sebarang bilangan real x dide…nisikan fxg sebagai bilangan bulat yang terdekat dengan

x; sebagai contoh f1; 9g = 2; f 0; 501g = 1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu bilangan _{n o 3} p k bulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhi = n adalah...

  

8. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehingga

AM

  

AN

AC

  17 = 0; 017, dan titik N pada AD sehingga =

  = . Misal- kan AC \ MN = P , maka AB

  AD 2009 AP ...

  

9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.

  Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikian sehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?

  3

  2

  3

  3

  3 x 10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x + x 2 = 0, maka p + q + r = ....

  2

  5 11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m + n = 252, maka m + n =...

  12. Pada ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30 , dan \ADC = 45 . Panjang AC =...

  

13. Lima siswa, A; B; C; D; E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidak

bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah...

  

14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidak

lebih dari 3: Selanjutnya dide…nisikan himpunan

  

1

S = jn 2 H :

n

  Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan bxc menya- takan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka bxc = ...

  

15. Diberikan dua lingkaran dan yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B dengan

  1

  2 AB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran dan masing-masing di P dan Q. Jika P Q = 3 dan jari-jari lingkaran adalah 13, maka

  1

  2

  1 jari-jari lingkaran adalah : : :

  2

  17. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy =

  1

• 1 4y
⁶ adalah ......

  3 , nilai minimum

  1 9x ⁶

  18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi

  4 a

  2

  2 adalah ......

• 4a
• 4 = b

  

19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan D

dan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AE \CD

dan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......

  

20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n 2012 dan merupakan bilangan kuadrat

sempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...

BAGIAN KEDUA

  

Soal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistem

persamaan

a + b = xy

x
• y = ab

  Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ......................................................

  Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan _{8 <} : x = 1 + py z

  2 y = 1 + p z x

  2 z = 1 + px y

  2 :

  Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ......................................................

  

Soal 3. Seorang laki - laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu restoran, dia bertemu

dengan masing - masing mereka 11 kali, setiap 2 dari mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali,

setiap 4 dari mereka 3 kali, setiap 5 dari mereka 3 kali, dan semua mereka 10 kali. Dia makan diluar

9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran tersebut secara keseluruhan ?

  

Soal 4. Diberikan segitiga lancip ABC. Titik H menyatakan titik kaki dari garis tinggi yang

ditarik dari A. Buktikan bahwa AB

  Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ......................................................

• AC BC cos \BAC + 2AH sin \BAC

  Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ......................................................

  

Soal 5. Diketahui p = 1 dan p i bilangan prima ke-i, untuk i = 1; 2; : : :; yaitu p = 2, p = 3, : : :.

  1

  2 Bilangan prima p dikatakan sederhana jika i ₂ (n )

  4 p > p

i

1 (n!) i untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!

  SELEK TIM O KSI OLIM LIMPIAD Presta

MPIADE DE MATE

TINGKA EMATIKA

VINSI 20 NESIA 20

  Disus

  asi itu dir

  sun oleh :

  raih bukan USI SOA N PERTA

  Eddy He AT PROV A INDON n didapat

  rmant o, S

  t !!! ST

  012 013

SOLU BAGIAN

AL AMA

  O Olimpiade e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012 BAGIAN PER RTAMA 1. mengurangi k keumuman m misal kan AC = 3 ; AB = 4 ; BC = 5 .

  Tanpa m

  d

  Misalkan n j uga R ada l ah j ari-j ari lingkaran l u uar dan r ad dalah j ari-j ar ri lingkaran dalam C.

  ΔABC Karena iku di A mak ka BC adalah h diamet er l lingkaran l ua ar

  Δ ΔABC siku-si ΔABC.

  .i Jadi, O a adalah pert e engahan BC. . b e

  .w  AB dan   OD.

  Misalkan n D adalah t i it ik pada AB B sehingga O D E pada OD s sehingga IE

  e

  1

  6

  2 r = 1

  n Karena O O adalah pe rt engahan B BC maka D a dalah pert e ngahan AB s sehingga AD = 2.

  Jadi, E a adalah t it ik singgung ga ris OD t erha adap l ingkara an dal am. M Maka IE = 2.

   ED = AC  r = OE = OD C o _{2 2 2} OI = OE + IE =

  z

  OI = √5

  5  Jadi,

  , panj ang OI I = √ .

  th

  2. 34x 51 1y = 2012z d engan x, y, z adalah bil l angan prima a.

  

  Karena 3 34 dan 2012 habis dibag gi 2 maka y h habis dibagi 2. Karena y y prima mak ka y = 2.

  a

  Karena 3 34 dan 51 ha abis dibagi 1 17 maka z ha abis dibagi 1 17. Karena z z prima mak ka z = 17. 34x  51 (2) = 2012(1 17) x = 1009 9 yang meme enuhi bahwa a x adalah b ilangan prim ma. x + y + z z = 1009 + 2 + 17 = 1028  Jadi, , nilai dari x x + y + z ada alah 1028.

  .m 3. nya kej adian n semua angk ka dadu ber rbeda = 8 x 7 7 x 6 x 5.

  Banyakn Peluang ada angka y yang sama = =

  1

  w

   Jadi, , peluang ad da angka yan ng sama =

  Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 √

  2 4. dan dengan a adalah bilangan bulat posit if .

  √

  2

  2

  d

  √ Karena 3 4 maka

  3.

  .i

  Unt uk sehingga 3 4 maka √3 √6 2

  b

  3 √

  Syarat yang harus dipenuhi adalah

  e

   3  (1) dan a √6 2

  3 ₂ √  a)  6  2a  (2) a(3 ₂ Jika a = 1 maka 1  (3  1) = 4 dan 6  2(1) = 4 ₂

  .w

   (3  2)  2(2) = 2 Jika a = 2 maka 2 = 2 dan 6 ₂ Jika a = 3 maka 3  (3  3) = 0 dan 6  2(3) = 0

  e Maka nilai a bulat posit if yang memenuhi adalah a = 1 at au a = 2 at au a = 3.

   Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3. _{2 2} n 5. Karena n + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n + 4pn j uga merupakan kuadrat sempurna. _{2 2}

  o 4n + 4pn = m dengan n, m  N dan p adalah bilangan prima. _{2 2 2}

   p (2n + p) = m p = (2n + p + m)(2n + p  m) z Maka ada 2 kasus :  Jika 2n + p + m = p dan 2n + p  m = p

  Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n  p = 0 Didapat n = 0 yang t idak memenuhi syarat bahwa n  N. ₂ th  Jika 2n + p + m = p dan 2n + p  m = 1

  Jumlahkan kedua persamaan didapat ₂ a 4n + 2p = p + 1 ₂

  4n = (p  1) Karena p adalah bilangan prima ganj il maka akan didapat n  N.

  .m

   Jadi, dengan p bilangan prima > 2.

  6.

  √ 2012 dengan m  N w √

  O Olimpiade e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012

  1.  Jadi, , banyaknya a nilai k yang g memenuhi ada .

  Maka ba anyaknya nila ai k yang me emenuhi ada a 1 3

  d

  7. n m = 12345 6789123456 789…123456 6789 merupa akan bilanga an t erdiri da ari 9k angka a dengan Misalkan angka-an ngka berula ng set iap 9 a angka yait u 123456789. _{9 18 9(k-1)} m = 1234 456789(1 +

  10 + 10  + 10 )

  .i +

  1234 Jelas ba hwa 3 456789. Juga j el as bahwa 9 membagi 12 23456789.

  b Karena 1 12345678912 23456789 ha abis dibagi 1 1 maka 11 j j uga memba agi m. ₃ 999 = 3  37 _{3 9n} e 10  1 ( (mod 37) Ma aka 10  1 (mod 37) un nt uk n bilang gan bulat t a k negat if . _{9 1 8 9(k k-1)}

  Jadi, j ik ka k = 37 ma ka 37 m = 1 123456789(1 + 10 + 10  + 10 ) + _{3 9n} 10  1 ( (mod 27) Ma aka 10  1 (mod 27) un nt uk n bilang gan bulat t a k negat if . _{9 18 9(k-1)} Jadi, j ik ka k = 27 ma ka 27 1 + 1 + 10   + 10 + se ehingga 27  m _{9 18 9(k-1 1)}

  Karena 3 3 123456789 9 dan 27 1 + 10 + 10  + 10 maka 81 m + m

  .w Maka bil langan asl i n n < 100 yang g mempunya i kel ipat an m m adalah 1, 3, 9, 11, 27 7, 33, 37, 81 1, 99.

   Jadi, , banyaknya a bilangan as sli n < 100 ya ang memenu uhi ada 9.

  e 8. Perhat ik kan gambar. n o z Tanpa m mengurangi k keumuman m misal kan koo ordinat A(0, 0), B(a, 0) dan D(b, c). .

  Maka ko ordinat C(b + a, c). Koo ordinat n .

  , 0 dan , Persama aan garis AC adalah

  th

  Persama aan garis MN N adalah

  a

  Perpot o ngan garis A AC dan MN ad dalah t it ik P P

  .m sehingga . Jadi, koordinat .

  , Maka

  177

  7

  w

   Jadi, , .

  Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012  Kasus 1, x A = 0, x B = 0, x C = 0 dan x D = 6.

  A, B, C dan D akan berdekat an. Agar di ant ara mereka t idak ada sepasang suami ist eri maka mereka harus duduk berselang seling. Banyaknya cara memil ih A ada 10. Banyaknya cara memil ih B hanya 8 sebab B t idak boleh

  d

  pasangan A. Cara memilih C dan D hanya ada sat u cara memilihnya sebab mereka pasangannya A dan B. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.

  .i Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.

   Kasus 2, x _{A = 0, x B = 2, x C = 2 dan x D = 2.}

  A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara

  b

  memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memil ih C dan D adalah 2 x 1.

  e Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.

  Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680.  Kasus 3, x A = 0, x B = 0, x C = 2 dan x D = 4.

  A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memil ih C dan D hanya ada 1.

  .w Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48.

  Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.  Kasus 4, x _{A = 0, x B = 2, x C = 0 dan x D = 4.}

  e

  A dan B akan berdekat an sehingga t idak mungkin pasangan suami ist eri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A at au B sehingga banyaknya cara memil ih

  n C dan D adalah 2 x 1.

  Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680

  o  Kasus 5, x A = 0, x B = 0, x C = 4 dan x D = 2.

  A, B dan C akan berdekat an sehingga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya cara memilih A

  z ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memil ih C dan D hanya ada 1.

  Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840 Banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880.

  th  Jadi, banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 26880. _{3 2} a  x  2 = 0 akar-akarnya p, q dan r.

  10. x + x p + q + r = 1 pq + pr + qr = 1 pqr = 2

  Alt ernat if 1 : _{3 3 3 3 2 2 2}

₂

_{2 2} .m _{3 3 3} + (p + q + r) = p + q + 3p q + 3p r + 3pq + 3pr + 3q r + 3qr + 6pqr ₃

  (p + q + r) = p + q + r + 3(pq + pr + qr)(p + q + )  3pqr _{3 3 3 3} 1 = p + q + r + 3(1)(1)  3(2) _{3 3 3} p + q + r = 4

  w Alt ernat if 2 : _{2 2 2 2 2}

  p + q + r = (p + q + r)  2(pq + pr + qr) = 1  2  1 = 1

  _{3 2} Olimpiade O e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012

   r r  2 = 0 + r Didapat _{3 3 3 2 2 2 3 3} + p + q + r  (p + q + r ) + p + q + r = 6 _{3 3 3} + p + q + r + 1 + 1 = = 6 ₃

  d

• p + q + r = 4
_{3 3 3 3}  Jadi, , p + q + r = 4. _{2 5}

  .i

  11. + n = = 252 denga an m, n  N m ₅  252  3 n sehingga n ₂

  b  Jika n = 1 maka m = 251. T Tidak ada m  N yang m emenuhi. ₂

   Jika  N yang m n = 2 maka m = 220. T Tidak ada m emenuhi. ₂

  e  Jika n = 3 maka m = 9. Nila ai m  N yan ng memenuh hi hanya m = = 3.

  Maka pa asangan (m, n) yang mem menuhi adal lah (3, 3).  Jadi,

  , m + n = 6. _{o o o} .w ADC = 45 AD BA

  12. Misalkan n panj ang BD D = x. Karen a 5 maka DB = 135 se ehingga AD = 15 .

  e n o _o z AD = 2x cos 15 .

  Pada ACD berlaku ₂ ΔA _{2 2 o} AC = AD D + DC  2  AD  DC co s 45 _{2 o 2 2 o o}

  th

   x)  2  x) cos 4

• AC = (2x x cos 15 ) + (3 2(2x cos 15 )(3 )

  45 Maka nil lai AC berga nt ung denga an x.  Jadi, , belum dap pat dit ent uka an panj ang A a AC.

  13. asus : Ada 2 ka

   Jika D sebagai p pelari pert am ma Bany yaknya cara memil ih pe lari ke-2 ada a 4, pelari k ke-3 ada 3, p pelari ke-4 a ada 2 dan pe elari ke-

  .m 5 ad a 1.

  Bany yaknya cara = 4x3x2x1 = = 24  Jika D bukan seb bagai pelari pert ama Bany yaknya cara memilih pel lari ke-1 ada a 3.

  w Bany yaknya cara memilih pel lari ke-5 ada a 3.

  Bany yaknya cara memilih pel lari ke-2 ada a 3 dan pel a ari ke-3 ada 2 dan pelar i ke-4 ada 1 . Bany yaknya cara = 3x3x2x1x3 3 = 54

1 O Olimpiade e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012

  _{2 3 10}

  14. H = {2  ₆ 3 , 2  3 , 2 ₇ 2  3 , 2  3 3 , , 2  3 ) 3 = 729 dan 3 = 21 _{10 11}

  87 2 = 102 24 dan 2 = 2048. _{10 6}

  ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙

   3 dengan q = 2 .

  d _{6 10 9} ∙ _{5 10 5 1 4 10 5 3 3 10 5 4}

  p = 3  ( _{2 10 9 6 1 10 10 7 1 10 9} + (2 + 2  + 1) + 3  (

• (2 + 2  + 2 ) + 3  (2 + 2   + 2 ) + 3  + + (2 + 2   + 2 ) +  (2  + 2  (2  +  (2 3 + + 2 ) + 3 + 2
_{6 11 5 1 10 4 3} + 2 ) + 3 + 2 ) _{8 3 4 7 2 6 5 1 7}

  .i

  p = 3  ( (2  1) + 3  2  (2  1) + 3   2  (2  1) + _{4 9 2 2} 3  2  (2  1) + 3  2  (2  1) + + 3  2   1) +  2  (2  1)

  (2 + 3 p = 1492 2263 + 49717 78 + 165240 + 54862 + 1 7856 + 5760 0 + 1536 = 2 . 234. 697. _{10 6}

  b

  q = 2  3 = 746. 496

  6

  2

  3

  e

   Jadi, , . ₁

  15. Misalkan n M dan N be ert uurt -t uru t adalah pus sat lingkaran n dan ^{2 . . Misalkan j u uga MN berp pot ongan} Г Г dengan A AB di R. Jel a as bahwa R adalah pert e engahan AB . Jadi, AR = RB = 5.

  .w e n o

  Jelas b ahwa garis melalui k kedua pusat t lingkaran akan mem mot ong t eg gak l urus t t alibusur persekut t uan. Jadi, A AR  MR dan n AR  RN.

  z  RP = 3   1 = 2.

  Karena M MA = 13 dan AR = 5 mak ka MR = 12. J Jadi, RP = 1 dan QR = P Q Misalkan n j ari-j ari ^{2 = r.} _{2 2 2} Г

  AN = AR R + RN _{2 2 2} r = 5 (r  2)

• 4r = 29  Jadi j ari-j ari ling gkaran ^{2 = .}

  th

  Г

  a

   Z 16. deng an x, y Jelas ba hwa x, y  0 .

   Jika x < 0 maka

  .m w

  Nilai i y yang mem menuhi hany ya y = 1 Tet a api unt uk y = = 1 maka

  1  Jika x > 0

  1

2 Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

  4y  4 = y ₂ (y + 2) = 8 Tidak ada y bulat yang memenuhi.

  d

   Jika y > 0  Jika x  y

  .i

  x  2

  b Jika x = 1 maka t idak ada y yang memenuhi.

  Jika x = 2 maka ₂

  e

   2 = y 4y ₂

  (y  2) = 2 Tidak ada y bulat yang memenuhi.  Jika y  x

  .w

  y  2 Jika y = 1 maka t idak ada x bulat yang memenuhi.

  e Jika y = 2 maka yang dipenuhi oleh x = 3.

  Pasangan (x, y) = (3, 2) memenuhi persamaan.

  n Banyaknya pasangan bil angan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.

   Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.

  o z

  Berdasarkan ket aksamaan AM-GM maka 2 ∙ ∙ ∙ 3

  9  Jadi,nilai minimal dari adalah

   9. th a

18. Lemma :

  _{n 2}  N dan n > 2.

  Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 4 > 4n unt uk n Bukt i : _{3 2} Jika n = 3 maka 64 = 4 > 4  (3) = 36 _{k 2} Andaikan benar unt uk n = k maka diangap benar 4 > 4k _{k+1 k 2 2 .m 2} 4 = 4  4 > 16k = 4k + (k  2)  8k + 16k + 4k _{k+1 k 2 2 2 2 2}

   4  2)  8k + 16k + 4k Karena k > 2 maka 4 = 4 > 16k = 4k + (k > 4k + 8k + 4 = 4(k + 1) _{k 2 k+1 2} Maka t erbukt i bahwa j ika 4 > 4k maka 4 > 4(k + 1) unt uk k > 2. _{n 2} Jadi, t erbukt i bahwa 4 > 4n unt uk n  N dan n > 2 _{a 2 2} w 4 + 4a + 4 = b .

  Karena ruas kiri habis dibagi 4 maka b genap. Misalkan b = 2m maka _{a-1 2 2} 4 + a + 1 = m

  Olimpiade O e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012

  Berdasa rkan lemma unt uk n > 2 2 maka _{2n-1 2 2n-1 2n-1 2 2n-1 n 2n-1 2 2n-1 2n-1 2 2}  2

  (2 ) = _{2n-1 2 2n-1 2 2n-1} 4 + 4 + 1 = (2 ) ₂ + = 4 < 4 + 4n + 1 < 4

  2 + 1 = (2 + 1) (2 + ) < _{2n-1 2} 4 + 4n + 1 < (2 1) + _{2 2n-1 2}

  (2 ) < + 1) + m < (2 ₂

  d

  Jadi, un nt uk n > 2 m maka m t er rlet ak di an t ara 2 bilan ngan kuadra at berurut an n. Maka t ida ak ada n yang me emenuhi. _{2n-1 1 2 2} Jika n = 1 maka 4 + 4n + 1 = 9 = 3 . _{2n-1 1 2 2}

  .i Jika n = 2 maka 4 + 4n + 1 = 81 = 9 .

  Maka pa asangan bil an ngan bulat p posit if (a, b) ) yang meme enuhi adalah h (2, 6), (4, 18).  Jadi,

  , banyaknya a pasangan b bil angan bul a at posit if (a , b) yang me emenuhi ada a 2.

  b e

  BAE = A . Mis 19. Misalkan n ACD = salkan j uga p panj ang AC = x sehingga a panj ang AB B = 2x.

  .w _{o o} e

   CFE = 60 AFC n Karena m maka = 120 . _{o o o o} Karena AFC = 120  dan ACF = =  maka C CAF = 60   sehingga BAC = 60 . _{o o o} BAC = 60  ACB =  mak ABC = 6  .

  60 ka + Karena d dan

  60

  o

  Berdasa rkan dalil si nus pada ABC maka ΔA

  z

  Karena A AB = 2AC ma aka _{o o} 2 sin (60  ) = sin (60 ) + 2 ∙ √3 c cos 2 ∙ s sin cos sin

  √3 c

  th

  √3 cos sin cot √3 √ _o a

   = 30 _{o o} ABC =   = 30 60 .

  30 .m

  o  Jadi, , besar AB C = .

  20. Bilangan n pangkat 2 2, pangkat 4 4, pangkat 6, pangkat 8 dan pan ngkat 10 se muanya me erupakan bilangan n pangkat 2 . Bil angan pangkat 9 j j uga merupa akan bilang gan pangkat

  3. Jadi, pe ersoalan set ara d dengan men ncarai banya aknya bilan gan pangka at 2 at au pa angkat 3 at t au pangkat t 5 at au pangkat

  7. Misalkan n A, B, C dan n D bert urut t -t urut adal a ah himpunan n semua ang ggot a bilang an bulat

  w posit if n n  2012 yan g merupaka n pangkat 2 , pangkat 3, , pangkat 5 dan pangka t 7. _{2 2} Karena 4 44 = 1936 d dan 45 = 202 25 maka ban nyaknya ang ggot a himpun nan A = A = 44. _{3 3} Karena 1 12 = 1728 d dan 13 = 219 97 maka ban nyaknya ang ggot a himpun nan B = B = 12.

  Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

  A B adalah himpunan semua anggot a bilangan bulat posit if n  2012 yang merupakan pangkat 2 dan j uga pangkat 3 yang berart i merupakan himpunan pangkat 6. _{6 6} Karena 3 = 729 dan 4 = 4096 maka banyaknya anggot a himpunan A B = AB= 3.

  Dengan cara yang sama didapat

  d AC = 2 ; AD = 1 ; BC = 1 ; BD = 1 ; CD = 1.

  ABC  = 1 ; ABD  = 1 ; ACD  = 1 ; BCD  = 1. ABCD  = 1

  .i

  ABCD  = A + B + C + D  AB  AC  AD  BC  BD  CD + ABC  + ABD  + ACD  + BCD   ABCD .

  b

  ABCD  = 44 + 12 + 4 + 2  3  2  1  1  1  1 + 1 + 1 + 1 + 1  1 = 56  Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 56.

  e .w e n o z th a

  .m w w .m a th z o n e

  .w e b .i d

  SELEK TIM O KSI OLIM LIMPIAD Presta

MPIADE DE MATE

TINGKA EMATIKA

VINSI 20 NESIA 20

  Disus

  asi itu dir

  sun oleh :

  raih bukan

  Eddy He AT PROV A INDON n didapat

  

AL

DUA rmant o, S

  t !!! ST

  012 013

SOLU BAGIA

USI SOA AN KED

  

Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

BAGIAN KEDUA 1.

  a, b, x, y bilangan bulat t ak negat if .

  d

  a + b = xy x + y = ab Jika salah sat u di ant ara a, b, x dan y sama dengan 0, t anpa mengurangi keumuman misalkan

  .i saj a a = 0 maka x + y = 0 sehingga x = y = 0 dan membuat b = 0.

  Jadi, j ika salah sat u di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0 maka yang lain akan sama dengan 0. Andaikan bahwa t idak ada sat upun di ant ara a, b, x at au y sama dengan 0.

  b  b.

  Karena a dan b simet ris maka dapat diandaikan a Karena a bil angan bulat lebih dari 0 maka x + y = ab  b

  e

   2b 2x + 2y Karena a  b maka xy = a + b  2b

   2b  a + b = xy 2x + 2y Jadi, didapat 2x + 2y  xy

   2)(y  2)  4 (x

  .w Karena x dan y simet ris maka t anpa mengurangi keumuman dapat dimisallkan x  y.

   4. Maka x

  e

   Jika x = 1 a + b = y dan 1 + y = ab 1 + a + b = ab

  n

  (a  1)(b  1) = 2 Didapat a = 2 dan b = 3 sehingga y = 5

   Jika x = 2 o a + b = 2y dan 2 + y = ab 4 + a + b = 2ab

  z

  (2a  1)(2b  1) = 9 Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 3 at au a = 2 dan b = 2 sehingga y = 2

   Jika x = 3 a + b = 3y dan 3 + y = ab

  th

  9 + a + b = 3ab (3a 1)(3b 1) = 28

    a

  Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 2  Jika x = 4

  Maka y = 4 a + b = 16 dan 8 = ab Tidak ada a dan b bulat yang memenuhi.  Semua t upel (a,b,x,y) yang memenuhi adalah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2), .m (2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2).

  w 2.

  1

  1

  

Olimpia de Matem matika Tk k Provinsi i 2012

_{2 2 2} Karena x x real maka y  z  z  x  x  y _{2 2 2 2}

   y  y maka h Karena y y dan y harusl ah y = y yang dipe enuhi oleh y y = 1. Dengan cara yang sa ama didapat t x = z = 1. Jadi, t ri pel bilangan n real (x, y, z ) yang mem enuhi x = y = z = 1.

  d Alt ernat t if 2 :

  Karena x x, y, z  1 m maka xyz  1 _{2 2 2}

  .i

   z  x  y Jelas ba hwa y ; z dan n z . Kalikan ket iga persa amaan di at a as didapat ₂

   (xy xyz yz)

  b

  xyz  1  1 adan  1 ma

  Karena x xyz n xyz aka haruysla h xyz = 1 ya ang dipenuhi i hanya j ika x = y = z = 1 1.

  e  Jadi, , t ripel bilan ngan real (x , y, z) yang m memenuhi . x = y = z = 1.

  3. Misalkan n kawan-kaw wan laki-laki t ersebut ad dal ah A, B, C

  C, D, E dan

  F, ABC C DEF = 11  ^{6 C 1  6} 6  ^{6 C 2 + 4  6 6 C 3  3  6 C 4 + 3  6 C 5  1  6 C 6}

  .w

  S  9  90 +  45 + 18  10 = 19 = 66

  80

  8 S = 28

  8

  e Maka lak ki-laki t erse but pergi ke e rest oran se ebanyak 28 k kali.

  Cat at an : Penulis b berkeyakina n bahwa m aksud soal adal ah sepe ert i t ersebu ut di at as. B Bert emu dengan t epat t iga d di ant aranya a berart i j ug ga bert emu dengan 2 d di ant aranya a. Persyarat t an yang

  n

  dipenuh i haruslah b banyaknya p pert emuan dengan sem muanya pal i ng banyak harus sama dengan pert emu uan dengan lima di an t aranya. Te ernyat a bert t emu denga an semuany ya sebanyak k 10 kali lebih ba nyak dari be ert emu deng gan set iap l i ma di ant ar ranya, yait u 3 o 3 kali. Jika t ida ak, maka soa al harus diar rt ikan bert e emu dengan set iap lima di ant arany ya t idak bera art i j uga bert emu u dengan em mpat di ant ar ranya.

  z

  ABC C DEF = 11  ^{6 C 1 + 6} 6  ^{6 C 2 + 4  6 6 C 3 + 3  6 C 4 + 3  6 C 5 + 10  6 C 6} S  9 = 66 + 90 + 80 + 45 + 18 8 + 10 = 309 S = 31 18.

   Jadi, , laki-laki t e ersebut mak an di rest ora an sebanyak k 28 kali.

  th a

  4 4. n A dengan i = 1, 2, 3,  adalah ku umpulan t it i ik-t it ik sehin ngga BA C =  maka ku umpulan Andaika i ⁱ t it ik-t it i k t ersebut a akan membe ent uk suat u lingkaran.

  .m w

  Misalkan n H pada BC C sehingga A H t egak lur rus BC. _{i i i i}

  

Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012

  2

  cos

  2 ∙ ∙

  1

  1 sin 2 sin

  2

  2 cos

  2

  2

  2 d

  4

  2

  4

  4

  2

  4 cos 2 sin

  2

  2

  2

  2

  4

  2

  2

  2 cos 2 sin

  .i

  2

  2

  2

  2 Karena bil angan kuadrat t idak mungkin negat if maka cos 2 sin 0 sehingga

  b

  cos 2 sin

  2 Maka didapat     cos 2 sin cos 2 sin

  2

  e

   Jadi, terbukti bahwa   5. Lemma 1 : _{2n+1 4}  N dan n > 1. Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa 3 > (n + 1) unt uk n

  .w

  Bukt i : _{2(2)+1 4}  Jika n = 2 maka 443 = 3 > (2 + 1) = 81 _{2k+1 4}

   Andaikan bent uk unt uk n = k. Maka 3 > (k + 1) dianggap benar unt uk k  N dan k > 1. _{2(k+1)+1 2 2k+1 4 4 3 2 4} e _{3 2 2}  3 = 3  3 > 9(k + 1) = 9k + 36k + 54k + 36k + 9 = k + 36k + 54k + 36k + 8k + 9 _{2(k+1)+1 2 2k+1 4 4 3 2 2 4 3 2}

   3 3 = 3 > 9(k + 1) = k + 36k + 54k + 36k + 8k + 9 > k + 8k + 24k + 32k + 16 _{2(k+1)+1 2 2k+1 4 3 2 4}

  n

  3 = 3  3 > k + 8k + 24k + 32k + 16 = (k + 2) _{2n+1 4}  N dan n > 1

  Jadi, t erbukt i bahwa 3 > (n + 1) unt uk n

  Lemma 2 : o Akan dibukt ikan dengan induksi mat emat ika bahwa unt uk n  N dan n > 1.

  !

  3

  z

   Jika n = 2 maka 16 2!

  3

  27 dianggap benar unt uk k  N dan k > 1.  Andaikan benar unt uk n = k. Maka !

  3  Sesuai lemma 1 maka

  th

  1 ! 1 ! 3 ∙ 3

  3  N dan n > 1

  Jadi, t erbukt i bahwa unt uk n !

  3  Jika i = 1

  a

  P = 2 dan unt uk n = 2 maka _i ∙ ! Jadi, unt uk i = 1 sehingga P i = 2 t idak t ermasuk bilangan prima sederhana.

   Jika i > 1 P i  3  Jika n = 1

  .m

  ∙ ! Jadi, unt uk n = 1 maka

  ∙ !  Jika n > 1

  w

  Sesuai l emma 2 dan mengingat bahwa P i > P i-1 didapat !

  3