Analisis Varians = Analysis of Variance = ANOVA

  Analisis Varians = Analysis of Variance = ANOVA

1. Pendahuluan

  1.1 Distribusi F

  χ² → pengujian beberapa (>2) proporsi ANOVA → pengujian beberapa (>2) nilai rata-rata Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher.

  Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F. Lihat Buku Statistika-2, GD hal. 180-182.

  Nilai F tabel tergantung dari α dan derajat bebas Nilai = taraf nyata

  α = luas daerah penolakan H Derajat bebas (db) dalam Dist F ada dua (2), yaitu : 1. db numerator = d → db kelompok; db baris; db interaksi

  fn

  2. db denumerator = d → db galat/error

  fd

  Baca Tabel F anda! Nilai F untuk db numerator = 4; db denumerator = 20 dan α = 5 %? (2.87) Nilai F untuk db numerator = 10; db denumerator = 19 dan α = 2.5 %? (2.82) Nilai F untuk db numerator = 8; db denumerator = 25 dan α = 1 %? (3.32) Pahami cara membaca Tabel hal 180-182 tsb! Bentuk distribusi F

  → selalu bernilai positif Perhatikan gambar berikut :

  α : luas daerah penolakan H = taraf nyata pengujian F tabel + ∞

  1.2 Penetapan H dan H ₁ H : Semua perlakuan (kolom, baris, interaksi) memiliki rata-rata yang

  bernilai sama

  H : Ada perlakuan (kolom, baris, interaksi) yang memiliki rata-rata yang ₁

  bernilai tidak sama (berbeda)

  ANOVA / thomasyunigunarto/hal- 1 – dari

  12

1.3 Tipe ANOVA

  Pemilihan tipe ANOVA tergantung dari rancangan percobaan (experiment design) yang kita pilih .

  a. ANOVA 1 arah:

  Sampel dibagi menjadi beberapa kategori dan ulangan kolom = kategori baris = ulangan/replika Contoh : Terdapat 4 Metode diet, dan 14 orang digunakan sebagai sampel

  Metode-1 Metode-2 Metode-3 Metode-4 member#1 Ali Badu Cici Didi member#2 Eno Fifi Gina Hadi member#3 Ina Juli Kiki Lilo member#4 --------- -------- Mimi Nike

  Metode-1 diulang 3 kali, Metode-2 diulang 4 kali, Metode-3 diulang 3 kali, Metode-4 diulang 4 kali. Cat : Dalam banyak kasus untuk mempermudah perhitungan, ulangan untuk setiap kategori dibuat sama banyak

  b. ANOVA 2 Arah tanpa interaksi:

  Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok kolom : kategori-1; baris : blok, kategori-2

  Setiap sel berisi satu data Contoh : Terdapat 4 metode diet dan tiap metode dibagi menjadi 3 blok.

  Blok berupa kelompok umur. metode Metode-1 Metode-2 Metode-3 Metode-4 kel. umur

  9

  9

  9

  9 < 20 tahun

  9

  9

  9

  9 20 - 40 tahun

  9

  9

  9

  9 >40 tahun

  c. ANOVA 2 Arah dengan interaksi:

  Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok kolom : kategori-1 baris : blok, kategori-2

  Setiap blok diulang, satu sel berisi beberapa data Dengan pengulangan dalam tiap blok seperti ini, interaksi antara kolom dan baris dapat diketahui. Contoh : Terdapat 4 metode diet dan tiap metode dibagi menjadi 3 blok, dan tiap blok diulang 3 kali metode kel. umur

  Metode-1 Metode-2 Metode-

  9

  9

  9

  9 >40 tahun,member#1

  ,member#2 ,member#3

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  1. 4 Tabel ANOVA

  Untuk memudahkan perhitungan ANOVA, kita dapat membuat tabel ANOVA, sebagai berikut: Sumber Keragaman (SK)

  Jumlah Kuadrat (JK) derajat bebas (db)

  Kuadrat Tengah (KT) f hitung f tabel

  9

  9

  3 Metode-

  9

  4 < 20 tahun,member#1

  ,member#2 ,member#3

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9

  9 20-40 tahun,member#1

  ,member#2 ,member#3

  9

  9

  9

  9

  9

  Cara pengambilan keputusan → bandingkan F hitung dengan F tabel. F hitung ada di daerah penerimaan H , maka H diterima atau Rata-rata tidak berbeda nyata F hitung ada di daerah penolakan H , maka H ditolak, H ₁ atau Rata-rata berbeda nyata diterima

2. ANOVA 1 arah

  α = db numer = db denum = f tabel =

  2

  2

  2 ∑

  Total JKT N-1

  JKG N k −

  = KTG =

  s G ²

  Galat JKG db denumerator= N-k

  KTK KTG

  i i = i=i k

  f hitung =

  JKK k −1

  = KTK =

  s K ²

  JKK db numerator = k-1

  Rata-rata Kolom

  (db) Kuadrat Tengah (KT) f hitung f tabel

  Jumlah Kuadrat (JK) derajat bebas

  Tabel ANOVA 1 Arah Sumber Keragama n (SK)

  2

• JKK T n T N
• JKG = JKT-JKK
• i
• Contoh 1: Terdapat 4 metode diet, berikut adalah data 10 orang sampel yang didata rata-rata penurunan berat badan, setelah sebulan melakukan diet.
• 2
• 3
• 4
• 1
• =60

Apakah keempat metode diet tersebut memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama? Uji pendapat tersebut dengan taraf nyata 5 % Solusi :

  = ∑ ∑

  6 member#2

  T

  =16

  T

  =10

  T

  =20

  T

  =14

  T

  5 member#3 4 - - 5 Total kolom

  3

  12

  6

  7

  1 −

  8

  4

  Penurunan berat badan (Kg) Metode-1 Metode-2 Metode-3 Metode-4 member#1

  T

  : total (jumlah) seluruh pengamatan

  T

  : total (jumlah) ulangan pada kolom ke-i

  x ij

  : data pada kolom ke-i ulangan ke-j

  n i

  : banyaknya ulangan di kolom ke-i

  JKT x T N ij j n _i

  −

  = i=1 k

  di mana : k : banyaknya kolom N : banyaknya pengamatan/keseluruhan data

  1. H : Setiap metode memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama

  H : Ada suatu metode yang memberikan rata-rata penurunan berat badan ₁

  yang tidak sama

  2. Selesaikan Tabel ANOVA berikut : Sumber Jumlah derajat Kuadrat f hitung f tabel Keragaman Kuadrat bebas Tengah (SK) (JK) (db) (KT)

  α =5% Rata-rata JKK= db KTK = f hitung = db num=3

JKK KTK

  Kolom 40.67 numerato db denum = 6 =13.55 = 4.21 r

  k −1 KTG

  k-1 = f tabel = 4.76 (tidak beda 4 -1 = 3 nyata)

  Galat JKG = db KTG = 19.33 denum = JKG

  =3.22 N-k=

  

N − k

  10-4=6 Total JKT = N-1 = 60 10-1= 9

  3. Penyelesaian JKT, JKK dan JKG _{k i n 2 2} T ^** JKT = x − _ij

  ∑ ∑ _{i=1 j 1} N = _{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

  60 JKT = (

  6 4 + +

  8

  12

7 + +

  

3

6 + +

  5 5 ) − = 420 - 360 = 60 _{k 2 2}

  4 + + +

  10 T T _{* * * i} = JKK −

  ∑ _{i=i n N 2 i 2 2 2}

₂

  14

  20

  10

  16

  

60

• JKK = ( ) − = (65.33... + 200 + 50 + 85.33...) – 360

  3

  2

  2

  3

  

10

  = 40.67 JKG = JKT - JKG = 60 - 40.67 = 19.33... KTK =

  JKK k −

  =

  1 40 67 3 .

  = 13.55 KTG =

  JKG N k −

  = 19 33 6 .

  = 3.22

  4. Wilayah kritis : Penolakan H jika F hitung > F tabel; F hitung > 4.76 Penerimaan H F hitung < F tabel; F hitung < 4.76

  5. Kesimpulan : Karena F hitung ada di daerah penerimaan (F hitung < F tabel) maka H terima, Setiap metode memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama

3 ANOVA 2 Arah tanpa Interaksi

  Tabel ANOVA 2 Arah tanpa Interaksi Keragama n (SK)

  

s K

²

  Total JKT r.k -1

  JKG

( r k )(

− − 1 1)

  = KTG =

  

s G

²

  Galat JKG db denum = (r-1)(k-1)

  α = db numer2= db denum = f tabel =

  KTK KTG

  f hitung =

  

JKK

k −1

  = KTK =

  JKK db numer2 = k-1

  Kuadrat (JK) bebas

  Rata-rata Kolom

  α = db numer1= db denum = f tabel =

  KTB KTG

  f hitung =

  Pada rancangan percobaaan dengan ANOVA jenis ini, setiap kategori mempunyai banyak blok yang sama, sehingga jika banyak kolom = k dan banyak baris/blok = r maka banyak data = N = r x k

  = KTB =

  s B ²

  JKB db numer1 = r-1

  Rata-rata Baris

  (db) Tengah (KT)

  

JKB

r −1

  k 2 r r

  2

  2 T T T

  2

• i

  JKT = x − JKB − = ij

  ∑ ∑ ∑ rk k rk j i=1 =

  1 i i

  =

  2

  2 k T T j

  JKK = − ∑

  JKG = JKT-JKB-JKK r rk i=i

  di mana : k : banyaknya kolom r : banyaknya baris/blok

  x T ij : data pada baris ke-i, kolom ke-j : total (jumlah) baris ke-i

• i

  T T

• j : total (jumlah) kolom ke-j : total (jumlah) seluruh pengamatan
• Contoh 2: Terdapat 4 metode diet dan 3 golongan usia peserta program diet

  Berikut data rata-rata penurunan berat peserta keempat metode dalam tiga kelompok umur.

  Metode-1 Metode-2 Metode-3 Metode- Total Baris

  4 <20 thn

  5

  6

  2

  3 T = 16

  1*

  20 –40

  2

  7

  5

  3 T = 17

  >40 thn

  7

  3

  4

  3 T = 17

  3*

  Total Total

  T = 11 T T T = 14 =16 *3 = 9

• 2 *4
• 1

  Kolom pengamata n

  T

  =50

• Ujilah pendapat yang menyatakan bahwa keempat metode diet dalam ketiga kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama. Buktikan jawaban saudara dengan pengujian varians, dengan tingkat nyata = 1 % Solusi :

  1. H : Setiap metode pada setiap kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama

  H ₁ : Ada suatu metode pada suatu kelompok umur yang memberikan rata- rata penurunan berat badan yang tidak sama

  2. Selesaikan Tabel ANOVA berikut :

  Tabel ANOVA Sumber Jumlah derajat Kuadrat f hitung f tabel Keragama Kuadrat bebas (db) Tengah (KT) n (SK) (JK) ₂ Rata-rata JKB = db s B f hitung

  = KTB = α = 0.01

  KTB

  Baris 0.17 numer1= db numer1=2 = = r-1= JKB db denum = 6

  KTG

  = 0.085 3-1=2 0.01974...

  

r −1

  f tabel = ₂

  10.92

  

s K

  Rata-rata JKK = db = KTK = f hitung α =0.01

JKK KTK

  Kolom 9.67 numer2= db numer2=3 = =

  = k-1 = db denum = 6

  k −1 KTG

  4-1 =3 3.223 0.7456 ₂ f tabel = 9.78

  Galat JKG = db s G = KTG = 25.83 denumer= JKG

  = (r-1)(k-1)=

  

( r −

1 )( k − 1)

  2.3 =6 4.305 r.k -1=

  Total JKT = 3x4-1=11

  35.67

  3. Penyelesaian JKT, JKB, JKK dan JKG _{r k 2 2 2} T _{2 2 ** 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

  50 JKT = x − = (

  5

  2

  7

  6

  7

  3

  2

  5

  4

  3

• _{i=1 j}
₁ rk

  3 3 ) _ij + + + + + + + + + + + ∑ ∑

  12 = _{r 2 2} = 244 - 208.33 ... = 35.67 _{2 2 2 2} T T (

• _{* i * *}

  16

  17 + + 17 ) 50 834 2500

JKB = − = = = 208.5 -208.33 = 0.17

- -

  ∑ _{i i =} k rk ₂

  4

  

12

  4

  12 ^{k 2 2 2}

  14

• T _{j T (}

  16

  11 ² + +

9 )

* 50 654 2500 ² _** JKK = − = = = 218 - 208.33 - -

  ∑ _i=i r rk

  3

  12

  3

  12

  = 9.67 JKG = JKT-JKB-JKK = 35.67 - 0.17 - 9.67 = 25.83

  7. Kesimpulan Menurut Baris dan Blok, nilai F hitung berada di daerah penerimaan H .

4. ANOVA 2 Arah dengan Interaksi Efek interaksi diperoleh setelah setiap kolom [perlakuan] dan blok [baris] diulang.

  2 JKK T rn T rkn j j k

  JKT x T rkn ijm m n j k i r

  = = = =

  ∑ ∑ ∑

  2

  2

  1

  1

  1

  T kn T rkn i i r

  = − =

  ∑

  2

  1

  = − =

  JKG r k n . .[ ]

  ∑

  1

  2 JK BK T n T kn T

rn

T rkn ij j k i r i i r j j k

  [ ]

  = = = =

  ∑ ∑ ∑ ∑

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  

1

  2 JKG = JKT - JKB - JKK - JK[BK]

  −1 Total JKT [r.k.n] -1

  = KTG =

  Berarti : setiap metode pada setiap kelompok umur memberikan rata-rata penurunan berat badan yang sama

  s K ²

  Interaksi dinyatakan sebagai perkalian Baris x Kolom [BK]. Tabel ANOVA 2 Arah dengan Interaksi

  Sumber Keragama n (SK)

  Jumlah Kuadrat (JK) derajat bebas (db)

  Kuadrat Tengah (KT) f hitung f tabel

  Nilai tengah Baris

  JKB db numer1 = r-1

  s B ²

  = KTB =

  

JKB

r −1

  f hitung =

  KTB KTG

  α = db numer1= db denum = f tabel =

  Nilai tengah Kolom

  JKK db numer2 = k-1

  = KTK =

  s G ²

  

JKK

k −1

  f hitung =

  KTK KTG

  α = db numer2= db denum = f tabel =

  Interaksi [BK]

  JK[BK] db numer3 = [r-1][k- 1]

  s K ²

  = KT[BK] =

  JK BK

r k

  [ ] [ ][ − − 1 1] f hitung

  =

  KT BK KTG [ ]

  α = db numer3= db denum = f tabel =

  Galat JKG db denumer r.k.[n-1]

• − JKB
• 2
• = − − +
Perhatikan : Sebagian Notasi dalam JKT, JKB dan JKK digunakan dalam penghitungan JK[BK] di mana : r : banyak baris i = 1,2,3,...r k : banyak kolom j = 1,2,3....k n : banyak ulangan m = 1,2,3,...n

  x

  : data pada baris ke-i, kolom ke-j dan ulangan ke-m

  ijm T

  : Total baris ke-i

• i

  T

  : Total kolom ke-j

• j

  T

  : Total Sel di baris ke-i dan kolom ke-j

• ij

  T : Total keseluruhan pengamatan

• Contoh 3: Terdapat 4 metode diet, 3 kelompok umur dan 3 ulangan. Berikut adalah data rata-rata penurunan berat badan setelah 1 bulan melakukan diet. Ujilah apakah penurunan berat badan sama untuk setiap metode diet, kelompok umur dan interaksi dengan taraf uji 5 %? metode metode 1 metode- metode- metode-

  2

  3

  4 kel. umur < 20 tahun, #1

  5

  3

  4 #2

  4

  2

  4

  2 #3

  5

  1

  8

  2 20-40 tahun,#1

  5

  4

  2

  5 #2

  6

  2

  2

  3 #3

  2

  1

  4

  2 >40 tahun, #1

  4

  5

  2

  6 #2

  4

  5

  1

  4 #3

  5

  2

  4 r = 3, k = 4, n = 3 Solusi :

  H

  1. : Semua perlakuan [metode diet, kelompok umur, interaksi] memberikan penurunan berat badan yang bernilai sama

  H : Ada suatu perlakuan [suatu metode diet, kelompok umur, interaksi] ₁

  memberikan penurunan berat badan yang bernilai tidak sama 2. α = 5 %

  3. Statistik Uji : F 4, 5, 6 : Selesaikan Tabel Data dan Tabel ANOVA Contoh:

  = 455.33... - 400.66... - 423.11... + 400 = 31.55... = 31.56 JKG = 116 - 0.66.. - 23.11.. - 31.56 = 60.66... = 60.67

  4 ^{2 2 2 2 2 2 2} - 120 3 4 3 ²

  = 400.66... - 400 = 0.66.. = 0.67

  42 4 3 ^{2 2 2}

  38

  40

  ×

  JKB =

  × × = 516 - 400 = 116

  4

  ×

  6

  5

  5

  4

  5

  JKT = + + + + + + + [ ... ]

  TOTAL T *** = 120

  = 14 Total Kolom T *1* = 40 T *2* = 20 T *3* = 28 T *4* = 32

  JKK =

  40

  = 5 T

  14

  ×

  32 3 3 ^{2 2 2 2}

  28

  20

  × ²

  42 4 3 ^{2 2}

  38

  3 ^{2 2 2 2 2}

  10

  20

  13

  13

  14

  =

  JK BK [ ] ...

  = 423.11...- 400 = 23.11.. = 23.11

  32 3 3 ^{2 2 2 2}

  28

  34*

  33*

  metode kel. umur metode 1 metode-2 metode-3 metode-4 Total

  4

  2

  4

  2

  6

  5

  20-40 tahun,#1 #2 #3

  2 T 1** = 40 T 11* = 14 T 12* = 3 T 13* = 15 T 14* = 8

  2

  8

  2

  4

  3

  1

  2

  5

  4

  5

  Baris < 20 tahun, #1 #2 #3

  1

  2

  = 10 T

  2

  32*

  = 13 T

  31*

  4 T 3** = 42 T

  4

  6

  2

  1

  5

  4

  5

  5

  4

  4

  >40 tahun, #1 #2 #3

  2 T 2** = 38 T 21* = 13 T 22* = 7 T 23* = 8 T 24* = 10

  3

  5

• 120 3 4 3
² × ×
• 120 3 4 3
² × ×
• 40
• 40
• 120 3 4 3
² × ×

  Tabel ANOVA Sumber Jumlah derajat bebas Kuadrat f hitung f tabel Keragama Kuadrat (db) Tengah (KT) n (SK) (JK) ₂ Nilai JKB = db numer1= s B f hitung

  = KTB = α = 5%

  KTB

  tengah r-1 = JKB db numer1= 2 = =

  = 0.34 Baris 0.67 3-1 = 2 db denum = 24

  KTG r −1 ₂ 0.13 ns f tabel = 3.40

  Nilai JKK = db numer2= s K f hitung = KTK α = 5%

  KTK

  tengah k-1 = JKK db numer2= 3 = = = =

  Kolom 23.11 4-1 = 3 db denum = 24

  KTG k −1

  7.70 ₂ 3.04* f tabel = 3.01 Interaksi JK[BK] db numer3= s K f hitung

  = α = 5% [BK] = [r-1][k-1] = =

  KT[BK] = db numer3= 6 2 x 3 = 6 [ ]

  JK BK [ ] KT BK db denum = 24

  31.56 KTG [ r − 1 ][ k − 1] f tabel = 2.51

  = 5.26 ₂ = 2.08 ns

  

s G

  JKG = db denumer = KTG Galat r.k.[n-1]= =

  60.67 3 x 4 x 2 = JKG =

  24

  r k n . .[ −1 ]

  2.53 Total JKT = [r.k.n] -1= [3 x 4 x 3]-1 116 = 35

  7. Kesimpulan : Perhitungan menunjukkan bahwa rata-rata penurunan berat badan pada Baris [Kel. Umur] dan Interaksi tidak berbeda [masih dianggap sama] sedangkan rata-rata penurunan berat badan dalam Kolom [metode diet] dapat dikatakan berbeda.

  O selesai O