Resmawan Kalkulus Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegi Panjang

KALKULUS LANJUT

  Integral Lipat

  Resmawan

  Universitas Negeri Gorontalo

  7 November 2018

  13.1. Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang

1.1 De…nisi Integral Tentu Fungsi Satu Peubah

  Perhatikan Gambar

1.1 De…nisi Integral Tentu Fungsi Satu Peubah

  De…nition

  Jumlah Rieman untuk f

  n

  f ( t ) ∆x

  

∑ i i

= i

  1 , .

  merupakan hampiran luas daerah dibawah kurva y = f ( x ) x ǫ [

  a, b ] Jika

  n ( ) ∆x

  lim f t

  ∑ i i j P j! i =

  1 [ ]

  ada, maka f dikatakan terintegralkan pada

  a, b . Integral tentu f pada

  [

  a, b ] dide…nisikan sebagai

  Z n b

  f ( x ) dx = lim f ( t ) ∆x

  i i ∑

j j!

a P i =

  1

1.2 De…nisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah

  Perhatikan Gambar

1.2 De…nisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah

  De…nition (Jumlah Riemann Fungsi Dua Variabel) _:

  Misalkan R x, y ) a x

  b, c y d g dan f kontinu (kecuali

  = f(

  pada suatu kurva) dan terbatas. Bentuk partisi A dengan panjang ∆x

  k k

  

k k k k

  , , dan lebar ∆y . Jika pada setiap A dipilih titik sampel ( x y ) maka

  Jumlah Riemann diperoleh

  n

  k k k ∑ k 1

  , f ( x y ) ∆A

  = ( )

  yang merupakan hampiran volume ruang diantara permukaan z f x, y dan persegi panjang R.

1.2 De…nisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah

  De…nition (Integral Lipat Fungsi Dua Variabel)

  Misalkan f suatu fungsi dua variabel yang terde…nisi pada suatu persegipanjang tertutup R.Jika

  n

  ,

  ( ) ∆A

  lim f x y

  ∑ k k k j P j! k =

  1

  ada, maka f dikatakan terintegralkan pada R. Selanjutnya disebut dengan Integral Lipat Dua f pada R yang diberikan oleh

  ZZ n

  ,

  =

  f ( x, y ) dA lim f ( x y ) ∆A

  ∑ k k k j P j! = k

  1 R

1.2 De…nisi Integral Lipat Fungsi Dua Peubah

  Catatan penting untuk diingat: Jika f ( x ) 0, maka

  Z b

  f ( x ) dx

  a menyatakan luas daerah dibawah kurva y = f ( x ) diantara a dan b.

  Dengan kaidah yang sama jika f ( x, y ) 0, maka

  ZZ

  f ( x, y ) dA

  R

  menyatakan volume benda pejal dibawah permukaan z = f ( x, y ) dan diatas persegipanjang R.

1.3 Keterintegralan

  Theorem (Keterintegralan)

  Jika f kontinu (kecuali pada suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang R, maka f terintegralkan pada R.

  Example

  Fungsi Tangga

  Example

  Setiap polinom dua peubah terintegralkan pada sembarang persegi panjang.

  1.4 Sifat-Sifat Integral Lipat Dua ₁

  Linear

  ZZ ZZ

  k f ( x, y ) dA = k f ( x, y ) dA

  R R ZZ ZZ ZZ [ ( ) + ( + )] = ( ) ( )

  f x, y g x, y dA f x, y dA g x, y dA ₂ R R R

  = [

  Aditif (Dapat Dijumlahkan). Jika R R

  1 R 2 maka berlaku ZZ ZZ ZZ

• =

  f ( x, y ) dA f ( x, y ) dA f ( x, y ) dA ₃ R R R _{1 2} Monoton (Berlaku Sifat Perbandingan). Jika f ( x, y ) g ( x, y ) untuk semua ( x, y ) di R, maka

  ZZ ZZ

  f ( x, y ) dA g ( x, y ) dA

  R R

1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua

  2 2 ) f ( x, y ) =

  2

  3 ; 3 x 4, 0 y

  2

  3, 1 y

  <

  1 ; 1 x

  1

  <

  3, 0 y

  <

  2 ; 1 x

  Example

  Misalkan R

  1

  <

  1 ; 1 x 4, 0 y

  dA jika diberikan fungsi 1 ) f ( x, y ) =

  )

  x, y

  (

  f

  ZZ R

  Hitunglah

  x, y ) ^: x 4, 0 y 2 g .

  = f(

  2 ; 1 x 4, 1 y

1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua

  ₁

  Dari fungsi diperoleh persegipanjang R

  1 dan R

  2 < =

  R 1 x 4, 0 y

  1

1 R =

  1 x 4, 1 y

  2

  2

  sehingga dengan sifat aditif, diperoleh

ZZ ZZ ZZ

  f ( x, y ) dA = + f ( x, y ) dA f ( x, y ) dA

  R R R

₁

₂ = ( ) + ( )

  1

  3.1

  2

  3.1

  =

  3

1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua

2. Dari fungsi diperoleh persegipanjang R , R dan R

  1

  2

  3 < < =

  R

  1

  1 x 3, 0 y

  1

  <

  R = 1 x 3, 1 y

  2

  2 =

  R 3 x 4, 0 y

  2

  3

  sehingga dengan sifat aditif, diperoleh

ZZ ZZ ZZ ZZ

  f ( x, y ) dA = f ( + x, y ) dA f ( x, y ) dA f ( x, y ) + dA

  R R R R _{1 2 3} =

  2 ( 2.1 ) + 1 ( 2.1 ) + 3 ( 1.2 ) =

  12

1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua

  Example

  = f(

  : . Diketahui persegipanjang R x, y ) x 4, 0 y 8 g Taksir

  nilai dari

  ZZ

  2

• 64 8x y dA

  16 R dengan Jumlah Riemann dengan membagi R atas 8 persegi sama besar dan memilih titik-titik tengah tiap persegi sebagai titik sampelnya.

1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua

  x

  ZZ R

  64 8x + y

  2

  16 dA

  8 ∑ k =

  1

  f

  (

  k

  89

  , y

  

k

) ∆A k

  =

  4

  16

  (

  57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89 )

  =

  138

  16 Dengan ∆A k = 4, diperoleh

  Solution

  Nilai f di titik-titik sampel f ( 1, 1 ) =

  f ( 1, 7 ) =

  57

  16

  f ( 1, 3 ) =

  65

  16

  f ( 1, 5 ) =

  81

  16

  105

  16

  16

  f ( 3, 1 ) =

  41

  16

  f ( 3, 3 ) =

  49

  16

  f ( 3, 5 ) =

  65

  f ( 3, 7 ) =

1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua

  2 b ) f ( x, y ) =

  2

  1 ; 3 x 4, 1 y

  2

  3, 1 y

  <

  3 ; 1 x

  1

  <

  2 ; 1 x 4, 0 y

  Problem ₁ Misalkan R = f( x, y ) ^:

  x 4, 0 y

  2

  <

  3, 0 y

  <

  2 ; 1 x

  f ( x, y ) dA jika diberikan fungsi a ) f ( x, y ) =

  ZZ R

  Hitunglah

  g .

  2

  3 ; 3 x 4, 0 y

1.5 Perhitungan Integral Lipat Dua

  Problem _:

) g

2. Misalkan R = f( x, y x 6, 0 y

  4 dan P adalah partisi dari R menjadi 6 persegi yang sama oleh garis-garis x = 2, x = 4, dan

  =

  y

  2. Aproksimasi

  ZZ

  f ( x, y ) dA

  R

  dengan menghitung jumlah Riemann dengan fungsi dua peubah: a ) f ( x, y ) = 12 x y

  2 ) ( ) =

  b f x, y 10 y

  1 c ) f ( x, y ) = ( 48 4x 3y )

  6

  13.2. Integral Berulang

2.1 Menghitung Integral Lipat Dua sebagai Integral

  Berulang De…nition

  Jika f terintegralkan pada persegi panjang R = [

  a, b ] [

  c, d ] , maka integral lipat dua dari f pada R dapat dihitung sebagai integral berulang:

  ZZ Z Z d b

  f ( x, y ) dA = f ( x, y ) dxdy

  c a R

  atau

  ZZ Z Z b d

  f ( x, y ) dA = f ( x, y ) dydx

  a c R

  Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajar sumbu x terlebih dahulu

2.2 Beberapa Contoh Soal

2 Z

  

2

  16 dxdy

  2

  64 8x

  4

  8 Z

  Z

  dxdy 3 )

  2

  x

  Examples

  1

  2

  1 Z

  1

  Z

  9 x ) dydx 2 )

  3 (

  Z

  Hitunglah masing-masing integral berulang dari 1 )

• y
• y

2.2 Beberapa Contoh Soal

  Solution

  2 (

  3 (

2 Z

  )

  

=

Z

  ) Z

  48

  2

=

  2

  2 x

  3

  = 27x

  dx

  ]

  27 3x

  2 [

  9.3 x.3 ) ] dx

  dydx

  2 [(

  

=

Z

  1

  3

  2 [ 9y xy ]

  

=

Z

  dx

  3

  ) j

  9y xy

  9 x

  

=

Z

  dx

2.2 Beberapa Contoh Soal

  Solution

  3

  2 Z Z Z

  1

  2

  

1

  x

  2

  2

  2

  2 x y dxdy = xy + dy

  ) +

  3

  1

  1

  

1

  1 Z

  3

  

1

  2

  1

  2

  2

• = 2y y + dy

  

1

  3

  3 Z

  

1

  7

  2

• = y dy

  

1

  3

  1

  

3

  y 7y

• =

  3

  3

  1

  1

  7

  1

  7

• = +

  3

  3

  3

  3

  16

  =

  3

2.2 Beberapa Contoh Soal

  Solution

  2

  2

  2

  4 Z Z Z

  8

  4

  8

  x y x xy

  3 ) 4 + dxdy = + 4x dy

  2

  16

  4

  16 Z

  2

  2

  8

  4 4y = 4 4 dy +

  4

  16 Z

  2

  8

  y

  = +

  12 dy

  4

  8

  3

  y

• = 12y

  12

  3

  8

• = 12 8

  12

  2

  = 138

  3

2.3 Volume Benda Pejal

  Example

  2 Hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan z = _: 4 x y diatas .

  ) g

  persegipanjang R = f( x, y x 1, 0 y

  2

2.3 Volume Benda Pejal

  Solution

  Volume estimasi :

  =

  Misal tinggi benda pejal 2.5, maka diperkirakan V ( 2 ) ( 2.5 ) =

  5 Volume dengan pendekatan integral berulang: Jika perhitungan benar, maka volume yang diperoleh harusnya tidak jauh dari angka 5.

  ZZ

  2 V =

  4 x y dA

  R Z Z

  1

  

2

  2 =

  4 x y dydx

2.3 Volume Benda Pejal

  Solution

  2

  2 Z

  1

  y

  2 V = 4y x y dx

  2 Z

  1

  2 =

  6 2x dx

  1

  

3

  2x

  = 6x

  3

  2

  =

  6

  3

  16

  =

  3

2.4 Latihan 1

  Problem

  g .

  ) ^:

1. Misalkan R = f( x, y

  Hitunglah

  <

  x 4, 0 y

  2

  1 ; 3 x 4, 1 y

  2

  3, 1 y

  <

  3 ; 1 x

  1

  2 ; 1 x 4, 0 y

  ZZ R

  2 b ) f ( x, y ) =

  2

  2

  <

  3, 0 y

  <

  2 ; 1 x

  f ( x, y ) dA jika diberikan fungsi a ) f ( x, y ) =

  3 ; 3 x 4, 0 y

2.3 Latihan 1

  Problem _:

) g

2. Misalkan R = f( x, y x 6, 0 y

  4 dan P adalah partisi dari R menjadi 6 persegi yang sama oleh garis-garis x = 2, x = 4, dan

  =

  y

  2. Aproksimasi

  ZZ

  f ( x, y ) dA

  R

  dengan menghitung jumlah Riemann dengan fungsi dua peubah: a ) f ( x, y ) = 12 x y

  2 ) ( ) =

  b f x, y 10 y

  1 c ) f ( x, y ) = ( 48 4x 3y )

  6

2.3 Latihan 1

  2

  3. Hitunglah masing-masing integral berulang dari

  1 )

  Z

  3 Z

  2

(

  9 x ) dxdy 2 )

  Z

  2

  2

  1

  Problem

  x

• y
• y

  1 Z

  dydx 3 )

  Z

  4 Z

  8

  64 8x

  2

  16 dydx

  1

2.3 Latihan 1

  Problem

4. Hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan:

3.1 De…nisi dan Ilustrasi

  bagaimana menghitung Integral Lipat pada daerah bukan persegipanjang?

3.2 Integral pada Daerah y-Sederhana

3.2 Integral pada Daerah y-Sederhana

  De…nition

  Himpunan S disebut y -sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai _: ,

  S x, y ) u ( x ) y u ( x ) a x b g

  = f(

  1

  2 dengan u ( x ) dan u ( x ) kontinu.

  1

2 Dalam hal ini, Integral f pada S dapat dihitung sebagai

  ZZ Z Z ( )

b u

^{2 x}

  f ( x, y ) dA = f ( x, y ) dydx

  

a u

^{1 ( x )} S

3.3 Integral pada Daerah x-Sederhana

3.3 Integral pada Daerah x-Sederhana

  De…nition

  Himpunan S disebut x-sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai _: S x, y ) c y

  d, v ( x ) x v ( x )g

  = f(

  1

  2 dengan v ( x ) dan v ( x ) kontinu.

  1

2 Dalam hal ini, Integral f pada S dapat dihitung sebagai

  ZZ Z Z ( )

d v

^{2 x}

  f ( x, y ) dA = f ( x, y ) dxdy

  

c v

^{1 ( x )} S

3.4 Beberapa Contoh Soal

  Example ₁ Hitunglah

ZZ

  xydA

  

S

  2

  apabila S adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y = x dan ₂ y = 1.

  Hitunglah

  ZZ ₂ x

  e dA

  

S

=

  apabila S adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y 2x, garis x = 4 dan sumbu-x.

3.4 Beberapa Contoh Soal

  

1

  1 =

  1

  12

  6

  4 x

  2

  x

  =

  2 dx

  5

  2 x

  x

  1

  Solution ZZ S

  xydA =

  dx

  1 y = x ²

  y =

  2

  2

  xy

  1

  

1

  = Z

  xy dydx

  1 x ²

  1 Z

  

1

  Z

  = Z

  " Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "