SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DAN APLIKASINYA DALAM OPTIMISASI

  

SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DAN

APLIKASINYA DALAM OPTIMISASI

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  

Memperoleh Gelar Sarjana

Program Studi Matematika

Disusun oleh :

CICILIA RIRIN WAHYUNDARI

  

NIM : 043114011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

  

2008

THE PROPERTIES OF CONVEX FUNCTION AND

  Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

  To Obtain the SARJANA SAINS Degree In Mathematics

  by: CICILIA RIRIN WAHYUNDARI Student number : 043114011 STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

  Serahkanlah hidupmu kepada TUHAN dan percayalah kepada-Nya, dan Ia akan bertindak Mazmur 37:5

  Kupersembahkan skripsiku ini kepada : Jesus Christ sumber Kekuatan dan harapanku Bapak dan ibux atas cinta dan doa setiap waktu

  Norbertus Deutz atas doa, dukungan, perhatian dan cinta.

  

Orang yang menaruh kepercayaan kepada Allah

akan menemukan penghiburan dalam kekuatan-Nya

~nn~

  

Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga,

tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah

dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur.

  

Filipi 4:6

Segala yang kamu ingini akan terjadi jika kamu yakin

pada Allah dan kamu melakukannya dengan sungguh-

sungguh

~nn~

  ABSTRAK

  Fungsi konveks memegang peranan yang cukup penting di dalam analisis real dan penerapannya. Untuk mengetahui bahwa suatu fungsi adalah konveks dapat menggunakan definisi atau sifat dari matriks Hessian. Suatu fungsi dikatakan konveks jika matriks Hessian fungsi tersebut semidefinit positif dan dikatakan konveks tegas jika matriks Hessian fungsi tersebut definit positif. Fungsi konveks mempunyai sifat kontinu dan diferensiabel.

  Fungsi konveks berguna dalam masalah optimisasi. Jika suatu fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks mencapai minimum lokal pada suatu titik maka fungsi tersebut mencapai minimum pada titik tersebut. Suatu fungsi akan mempunyai nilai minimum jika fungsi tersebut konveks dan diferensiabel, dan nilai gradien fungsi tersebut sama dengan nol.

  ABSTRACT

  Convex function holds a significant role in the analysis real and its application. To identify whether a function is convex or not, the definition or the characteristic of Hessian matrix can be used. A function is a said to be convex if the Hessian matrix of the function is positive semidefinite and called a strictly convex if the Hessian matrix of the function is positive definite. Convex function is continuous and differentiable.

  Convex function is useful in the problem of optimization. If a convex function defined in a convex set attains a local minimum at a points then the function attains a minimum at that points. A function will have a minimum value if it is a convex, differentiable, and the gradient value of the function is zero.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan kasih karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”Sifat–sifat Fungsi Konveks dan Aplikasinya Dalam Optimisasi”.

  Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku pembimbing dan ketua program studi Matematika yang telah memberikan banyak saran dan telah banyak meluangkan waktu, pikiran, tenaga, dan yang telah sabar membimbing penulis sampai pada tahap penyusunan skripsi ini.

  2. Ibu MV. Any Herawati dan Bapak Herry Pribawanto Suryawan selaku dosen penguji dan telah memberi masukan.

  3. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

  4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu pengetahuan yang sangat berguna bagi penulis.

  5. Pak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi dan urusan–urusan akademik kepada penulis selama masih kuliah.

  6. Bapak dan Ibu Tercinta : Bapak Antonius Wahono dan Ibu CH. Sri Sudiyani yang selalu mendampingi, mendoakan dan telah memberikan banyak kasih sayang, perhatian dan dukungan dalam segala hal.

  7. Norbertus Deutz Yunianta Tinitih yang telah memberikan banyak cinta, perhatian, pengertian, kesabaran, waktu dan semangat. Terima kasih buat doa dan kenangan indah yang telah diberikan kepada penulis.

  8. Sahabat–sahabatku terkasih, Ipus, Mbak Liul, Dek Embix, Yayas, Toro.

  Terima kasih atas persahabatan, kenangan, dukungan, doa dan perjalanan hidup yang berarti banget untuk penulis.

  9. Teman–teman Kost Sekar Ayu, Mbak Die, Mbak Lia, Mbak Wie, Watiex, Mbak Ria, Sisca, terima kasih atas keceriaan yang kalian berikan kepada penulis.

  10. Teman–teman angkatan 2003 dan 2004, Septi, Dewi, Valent, Merry, Mekar, Ridwan, Anin, Anggie, Koko, Eko, Nancy, Eni, Theo, Lili, Retno, Ratna, Siska, dan Yo. Terima kasih telah mau berbagi pengetahuan dan memberikan keceriaan dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD.

  Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman dan sahabatku yang tidak bisa disebutkan satu persatu serta semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

  Yogyakarta, Juli 2008 penulis

  DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL……………………………………………… i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ………….. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………… iii HALAMAN PENGESAHAN……………………………………. iv HALAMAN KEASLIAN KARYA ……………………………… v PERNYATAAN PERSEMBAHAN …………………………….. vi

ABSTRAK………………………………………………………… viii

ABSTRACT………………………………………………………. ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

  ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS …………… x KATA PENGANTAR …………………………………………… xi DAFTAR ISI…………………………………………………….. xiii DAFTAR GAMBAR ……………………………………………. xv BAB I PENDAHULUAN…………………………………….

  1 A.

Latar Belakang Masalah………………………..

  1 B.

Perumusan Masalah……………………………..

  2 C.

Pembatasan Masalah…………………………….

  2 D.

Tujuan Penulisan…………………………………

  2 E.

Metode Penulisan…………………………………

  2 F.

Manfaat Penulisan……………………………….

  3

  G.

  3 Sistematika Penulisan……………………………..

BAB II TOPOLOGI METRIK DAN HIMPUNAN KONVEKS

  _n DALAM  …………………………………………… 5 A.

  5 Ruang Vektor…………………………………….. _n

  B. ………………………… 7 Topologi Metrik pada  C.

   Kekompakkan…………………………………… 10 D.

  13 Peminimal fungsi………………………………… _n

  E. ………………… 14 Garis dan Hyperplane dalam  _n

  F. …………….. 22 Sifat Himpunan Konveks dalam  G.

   Supporting Hyperplane atau Bidang Hiper Penyangga

dan Titik Ekstrim………………………………

_n

  28 BAB III SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DALAM  … 31 A.

  31 Definisi dan Sifat Dasar………………………… B.

  53 Fungsi Konveks yang Diferensiabel…………… BAB IV OPTIMISASI FUNGSI KONVEKS……………….

  71 BAB V PENUTUP……………………………………………

  81 A. Kesimpulan……………………………………… 81 B. Saran…………………………………………….. 82 DAFTAR PUSTAKA……………………………………………

  83

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman

Gambar 2.4.1 ……………………………………………………

  15 Gambar 2.4.2 ……………………………………………………

  19 Gambar 3.1.1 ……………………………………………………

  32 Gambar 3.1.2 ……………………………………………………

  35 Gambar 3.1.3 ……………………………………………………

  41 Gambar 3.1.4 ……………………………………………………

  50 Gambar 3.2.1 ……………………………………………………

  54 Gambar 3.2.2 ……………………………………………………

  56

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Fungsi–fungsi konveks membentuk kelas fungsi yang mempunyai peranan

  penting dalam analisis real. Fungsi konveks berguna dalam masalah

optimisasi. Dalam masalah optimisasi kadang ada suatu fungsi yang sulit

untuk dincari penyelesaiannya. Sumber kesulitan dari masalah optimisasi

tersebut bergantung pada fungsi sasaran atau fungsi kendala, juga banyaknya

variabel dan kendala dari fungsi tersebut.

  Jika suatu fungsi adalah fungsi konveks maka fungsi tersebut unimodal,

yaitu hanya mempunyai satu titik minimum saja. Fungsi konveks bersifat

kontinu dan mempunyai turunan atau diferensiabel.

  Pada umumnya, masalah–masalah optimisasi berkaitan dengan

memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi sasaran dengan kendala

atau tanpa kendala. Salah satu cabang dari permasalahan optimisasi yang ada

adalah masalah optimisasi konveks, yaitu jika fungsi sasaran dan fungsi

kendalanya bersifat konveks. Jika suatu fungsi adalah konveks dan

diferensiabel maka fungsi tersebut mencapai minimum jika gradien fungsi

tersebut sama dengan nol.

  Skripsi ini akan membahas mengenai sifat-sifat dasar fungsi konveks

dalam masalah optimisasi, khususnya masalah meminimumkan fungsi sasaran

tanpa kendala.

  2

  B. Perumusan Masalah

  Masalah-masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah: _n

  1. Bagaimana sifat-sifat dasar fungsi konveks dalam  ?

  2. Bagaimana terapan fungsi konveks dalam optimisasi? C.

   Pembatasan Masalah

  Pembahasan dari skripsi ini hanya dibatasi pada sifat-sifat fungsi konveks _n dalam  dan masalah optimisasi dengan meminimumkan fungsi sasaran tanpa kendala. Masalah meminimumkan dengan kendala tidak dibahas di dalamnya.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah membahas: _n 1. Sifat-sifat dasar fungsi konveks dalam  .

  2. Masalah optimisasi fungsi konveks dalam meminimumkan suatu fungsi tanpa kendala.

  E. Metode Penulisan

  Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku acuan yang digunakan.

  3

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah dapat memberikan kejelasan mengenai sifat-sifat fungsi konveks dan masalah optimisasi dari fungsi konveks.

  G. Sistematika Penulisan

  BAB I PENDAHULUAN Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang masalah,

  perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II TOPOLOGI METRIK DAN HIMPUNAN KONVEKS

  _n DALAM  _n

  Dalam bab II akan dibahas tentang topologi metrik pada  , _n kekompakkan, peminimal fungsi, garis dan hyperplane dalam  , sifat himpunan konveks, dan supporting hyperplane atau bidang hiper penyangga dan titik ekstrim. _n

  BAB III SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DALAM  Dalam bab III akan dibahas tentang definisi dan sifat dasar dari fungsi konveks, dan fungsi konveks yang diferensiabel.

  4

  BAB IV OPTIMISASI FUNGSI KONVEKS Dalam bab IV akan dibahas tentang optimisasi fungsi konveks dengan meminimumkan fungsi sasaran tanpa kendala. BAB V PENUTUP Dalam bab V berisi kesimpulan dan saran.

BAB II TOPOLOGI METRIK DAN HIMPUNAN KONVEKS DALAM

  ∑ =

  ∑ = ^{n i i}

x x x x

  ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = =

  1 ²

²

¹

, ⎥

  Panjang vektor dalam  ⁿ , dinotasikan dengan x didefinisikan sebagai : _{2 1}

  , y x Definisi 2.1.2

  = ⁿ _{i i i} y x ₁

   ⁿ A.

   Ruang Vektor Elemen–elemen dalam  ^n- disebut sebagai vektor. Vektor ∈ x

  2 , 1 , K = disebut komponen dari vektor x.

  M ¹ x . Bilangan real n i x _i , ,

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = _n x x

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ,..., , _{2 1} = x atau ⎟

  . Selanjutnya vektor x ditulis dengan ( ) ^T _n x x x

   ^n- merupakan matriks berordo 1 × n

  Definisi 2.1.1 Perkalian skalar dua vektor x dan y dalam  ⁿ yang dinotasikan dengan y x , didefinisikan sebagai :

  6

  Definisi 2.1.3 _n

  Dua vektor x dan y dalam  , dikatakan saling tegak lurus atau ortogonal jika

  x y , = . Definisi 2.1.4 v v v Misalkan , ,..., adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V. _{1 2 n} Kombinasi linear dari vektor-vektor v , v ,..., v adalah

₁

_{2 n}

  α α α + + + v v ... v _{1 1 2 2 n n}  dimana α , α ,..., α ∈ . _{1 2 n}

  v v v

  Himpunan semua kombinasi linear dari , ,..., disebut rentang dari _{1 2 n}

  v v v v v v ₁ , ,..., , dan dilambangkan dengan Rentang ( , ,..., ) . _{2 n 1 2 n} Definisi 2.1.5 v v v

  Vektor-vektor , ,..., dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika _{1 2 n}

• v v ... v = α α α
_{1 1 2 2 n n} mengakibatkan semua skalar-skalar α , α ,..., α harus sama dengan 0. _{1 2 n}

  Definisi 2.1.6

  Vektor-vektor v , v ,..., v dalam ruang vektor V disebut bergantung linear _{1 2 n} jika terdapat skalar-skalar α , α ,..., α yang tidak semuanya nol sehingga _{1 2 n}

  v v v

  α α α + = + + _{1 1 2 2 n n} ...

  7

  Definisi 2.1.7

  Vektor-vektor v , v ,..., v membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan _{1 2 n} hanya jika: (i) v , v ,..., v bebas linear, _{1 2 n} (ii) v , v ,..., v merentang V. _{1 2 n}

  Definisi 2.1.8

  Misalkan V adalah ruang vektor. Jika V mempunyai basis yang terdiri dari n vektor, maka dikatakan bahwa V memiliki dimensi n. Ruang bagian { } dari

  V

  dikatakan memiliki dimensi 0. V dikatakan memiliki dimensi hingga jika terdapat himpunan berhingga vektor yang merentang V, jika tidak demikian halnya, maka V memiliki dimensi tak hingga. _n B.

   Topologi Metrik pada  Definisi 2.2.1 (Kitar Terbuka dan Kitar Tertutup)

Kitar Terbuka dengan pusat x dan radius r > , yang diberi notasi B ( ) x , r

  adalah himpunan titik-titik y yang jaraknya dari x kurang dari r, yang dapat juga ditulis :

  B ( ) x , r = y | y − x < r .

  { }

  Sedangkan Kitar Tertutup, B ( ) x , r dengan pusat x dan radius r > didefinisikan dengan

  B ( ) x , r = y | y − x ≤ r .

  { }

  8

  Definisi 2.2.2 (Titik Interior) _n

  Misalkan S ⊆  . Suatu titik x disebut titik interior dari S, jika ada r > sedemikian sehingga B ( ) x , r ⊂ S .

  Jika himpunan titik-titik interior S adalah tidak kosong, maka himpunan titik- titik interior ini dapat disebut sebagai interior dari S yang dinotasikan dengan

  int ( ) S .

  Contoh 2.2.1

  1

  i). Perhatikan himpunan titik-titik pada  , maka semua titik tersebut adalah titik interior.

  2

  ii). Perhatikan himpunan titik-titik dalam bidang ( ) dengan bentuk ( x , ) ₁ dengan < x < ₁ 1 . Interval < x <

₁

1 terletak pada sumbu x − . Ambil ₁

  r =

  1 , maka ada r > sedemikian sehingga B ( ) x r , = y | y − x <

  1 bukan { }

  2 subset S. Maka titik-titik pada  ini tidak mempunyai titik interior.

  Definisi 2.2.3 (Himpunan Terbuka)

  Suatu himpunan S dikatakan terbuka jika semua titik S adalah titik interior yaitu untuk setiap titik x ∈ S , ada bilangan positif r > , yang bergantung pada

  x , sedemikian sehingga kitar B ( ) x , r berada di S.

  9

  Definisi 2.2.4 (Titik Limit)

  Titik x disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap ε > ada titik

  

x ≠ x sedemikian sehingga x ∈ S ∩ B ( ) x , ε . Titik x biasanya bergantung

ε ε ε pada ε .

  Himpunan titik-titik limit dari himpunan S dinotasikan dengan S ' . Suatu himpunan tidak harus mempunyai titik limit dan suatu titik limit tidak harus berada dalam himpunan tersebut.

  Contoh 2.2.2

  1 Himpunan bilangan asli positif pada himpunan  merupakan salah satu contoh himpunan yang tidak mempunyai titik limit.

  Contoh titik limit yang anggotanya tidak berada dalam himpunan

  1 ⎧ ⎫

1 K

  x | x = , n =

  1 , 2 , 3 , di  . Nol adalah titik limit dari himpunan S, tetapi nol ⎨ ⎬

  n

  ⎩ ⎭ tidak berada dalam S.

  Definisi 2.2.5 (Closure atau Pemampat) Closure

  S

  atau pemampat dari himpunan S, yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai S = S ∪ S ' , dengan S ' adalah himpunan titik limit dari

  S .

  10

  Definisi 2.2.6 (Himpunan Tertutup)

  Suatu himpunan S dikatakan tertutup jika S = S , yaitu bahwa S memuat semua titik limitnya.

  Teorema 2.2.1

  Komplemen himpunan tertutup adalah terbuka. Komplemen himpunan terbuka adalah tertutup.

  Pembuktian dapat dilihat pada Berkovitz, L. D, 2002: 7.

  ∎ C.

   Kekompakkan Definisi 2.3.1

_n

  Misalkan S adalah himpunan di  dan A sebarang himpunan. Kumpulan himpunan terbuka { } O dikatakan selimut terbuka S jika setiap x ∈ S

  α A α ∈

  berada di O untuk suatu α ∈ A .

  α Definisi 2.3.2 _n

  Himpunan S ⊂  dikatakan kompak jika untuk setiap selimut terbuka K

  { } O dari S ada koleksi himpunan berhingga O , O , , O dari kumpulan α ^m α ∈ A ^{1 2} O

  O O O { } sedemikian sehingga kumpulan berhingga , ,K , juga

  α A ^{1 2 m} α ∈

  merupakan selimut terbuka S.

  11

  Teorema 2.3.1 _n ⊂

  Himpunan S  adalah kompak jika dan hanya jika S adalah tertutup dan terbatas.

  Pembuktian dapat dilihat pada Rudin, W, 1976: 40.

  ∎

  Contoh 2.3.1

  1 Himpunan S di  yang didefinisikan dengan S = ( ) { , 1 = x | < x < 1 } adalah

  tidak kompak, karena S tidak tertutup. Misalkan S = ,

  1 = { x | ≤ x ≤ 1 } ₁ [ ] adalah himpunan kompak karena S tertutup dan terbatas.

  Teorema 2.3.2 (Teorema Bolzano-Weierstrass) _n

  ⊂ 

  x

  Himpunan S adalah kompak jika dan hanya jika setiap barisan { } dari _k titik-titik di S mempunyai subbarisan x yang konvergen untuk titik di S. _k

  

{ } j

Pembuktian dapat dilihat pada Rudin, W, 1976: 38.

  ∎

  Definisi 2.3.3 _{n n}

   f  Misalkan A ⊆ , : A → , dan c ∈ . Fungsi f dikatakan kontinu pada A

  c c c c

  = ( , ,K , ) jika diberikan sebarang ε > ada δ > sedemikian _{1 2 n} sehingga jika x adalah sebarang titik di A yang memenuhi x − c < δ , maka

  f ( ) ( ) x − c f < ε .

  12

  Definisi 2.3.4 _{n n}

  Misalkan A ⊆  , f : A →  . Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada A jika untuk setiap ε > ada δ ( ) ε > sedemikian sehingga jika x , u ∈ A memenuhi x − u < δ ( ) ε , maka f ( ) ( ) x − u f < ε .

  Definisi 2.3.5 _n

  Suatu himpunan S∈ dikatakan terbatas jika ada bilangan positif M sedemikian sehingga x ≤ M untuk semua x ∈ S .

  Contoh 2.3.2

  1 Himpunan S di  dikatakan terbatas jika untuk setiap x ∈ , S x ≤ M atau − M ≤ x ≤ M .

  1 Himpunan S di  dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan asli A sedemikian sehingga x ≤ , A ∀ x ∈ S .

  Himpunan S disebut terbatas ke bawah jika ada bilangan asli B sedemikian

  x ≥ , B ∀ x ∈ S sehingga .

  Bilangan A disebut batas atas dari S, dan bilangan B adalah batas bawah dari S .

  Definisi 2.3.6

  Suatu bilangan U dikatakan batas atas terkecil atau supremum dari himpunan S yang dinotasikan dengan U = sup ( ) S jika

  13 (i). U adalah batas atas dari S, dan

  (ii). U ' batas atas dari S maka U ' ≥ U Suatu bilangan L dikatakan batas bawah terbesar atau infimum dari himpunan S yang dinotasikan dengan L = inf ( ) S jika (i). L adalah batas bawah dari S, dan (ii). L ' batas bawah dari S, maka L ' ≤ L .

D. Peminimal Fungsi

  Masalah dasar dalam teori optimisasi adalah sebagai berikut: diberikan himpunan S dan fungsi bernilai real f yang didefinisikan pada himpunan S, apakah dapat ditemukan s ∈ S sedemikian sehingga f ( ) s ≤ f ( ) s , ∀ s ∈ S . _{* *} Tiik s dikatakan peminimal untuk f . Dapat juga dikatakan bahwa f mencapai _{* *} minimum pada S di . Masalah memaksimalkan f atas S atau menemukan s _{* *}

  s S f s f s

  ∈ sedemikian sehingga ≥ ( ) untuk semua s, dapat diturunkan

  ( ) _* ^*

  dari masalah meminimalkan fungsi − f atas S. Jika − f s ≤ − f ( ) s untuk

  ( )

  semua f s f ( ) s untuk semua s ∈ , dan sebaliknya. S

  s ∈ , maka S ≥ ( )

  14

  Contoh 2.4.1

1 Sebagai contoh dalam  ini, apakah ada peminimal untuk f ?

  1 S x x f x = . Disini jelas bahwa (i). Misalkan = { | ≥

  1 } dan ( ) x inf { f ( ) x | x ≥ 1 } = , karena tidak ada nilai x yang membuat f ( ) x

  minimum, maka tidak ada x ∈ S sedemikian sehingga f ( ) x = . Jadi _{* *} tidak ada peminimal untuk fungsi tersebut atau f tidak mencapai minimum pada S.

  1 (ii). Misalkan S =

  1 ,

2 dan f ( ) x = . Maka inf { f ( ) x |

1 ≤ x ≤ 2 } = 2 . Jadi [ ] x _* x = 2 adalah peminimal untuk fungsi tersebut atau f mencapai minimal _*

  di x = 2 . _n E.

   Garis dan Hyperplane dalam 

  Persamaan garis (vektor) dan persamaan bidang telah dibahas dalam perkuliahan Geometri Analitik Ruang, oleh karena itu disini tidak akan dibahas tentang bagaimana cara mendapatkan suatu persamaan garis dan persamaan bidang.

  2

  3 Persamaan vektor yang melalui dua titik x dan x dalam  dan  _{1 2} dinyatakan dengan (lihat gambar 2.4.1):

  = ( − ) , − ∞ < < ∞ (2.5.1) _{1 2 1}

• x x t x x t

  15

  t < x ₁ < t <

  1 x ₂ t > x ₁ x x ₂ x

Gambar 2.5.1 Garis

  Pada gambar 2.4.1, penggal garis yang berawal dari x dan berakhir di ₁

  x ₂ , berkorespondensi dengan nilai t dalam interval [0, 1] disebut dengan

segmen garis tertutup . Penggal garis yang berawal dari x dan berakhir di

₁

x , tetapi tidak memuat x dan x , berkorespondensi dengan nilai t dalam

_{2 1 2}

  interval ( , 1 ) disebut segmen garis terbuka.

  x x

  Sinar garis positif berawal dari atau dari berkorespondensi dengan _{1 2}

  x x

  nilai t ≥ 0, dan sinar garis negatif berawal dari atau dari _{1 2} berkorespondensi dengan nilai t ≤ 0, sinar garis demikian disebut segmen

  garis setengah terbuka .

  Definisi 2.5.1 _n x x

  Garis pada  yang melewati dua titik dan didefinisikan menjadi _{1 2}

  x x t x x

  himpunan titik–titik x sedemikian sehingga = ( + − ) dimana t _{1 2 1} sebarang bilangan real, atau dalam notasi himpunan :

  16

  { x | x = x t ( x − x ) , − ∞ < } + t < ∞ (2.5.2) _{1 2 1}

  dapat juga ditulis sebagai

  { | = ( ) 1 − t t , − ∞ < t < ∞ } . (2.5.3) _{1 2} t t

• x x x x

  Dengan mengambil α = ( )

  1 − dan β = diperoleh { + + x | x = x x , ≥ , ≥ , = 1 } . (2.5.4)

  α β α β α β _{1 2} Definisi 2.5.2 _n Segmen garis tertutup yang menghubungkan titik–titik x dan x dalam  _{1 2} dinotasikan dengan x , x dan didefinisikan sebagai :

  [ ] _{1 2} [ + x , x ] = { x | x = ( ) _{1 2} 1 − t x t x , ≤ t ≤

₁

₂ 1 }

  α Untuk = 1 ( ) − t dan β = t , diperoleh :

  x x x x α x β x α β α β [ , ] = { | = , ≥ , ≥ , = _{1 2 1 2} + 1 } + .

  Definisi 2.5.3 _n Segmen garis terbuka x x

  yang menghubungkan titik–titik dan dalam  _{1 2}

  x , x

  dinotasikan dengan ( ) dan didefinisikan sebagai : _{1 2}

  ( + x , x ) = { x | x = ( ) _{1 2} 1 − t x t x , < t <

₁

₂ 1 }

  α Untuk = 1 ( ) − t dan β = t , diperoleh :

  α β α β α β

  ( _{1 2 1 2} + + x , x ) { = x | x = x x , > , > , = 1 } .

  17

  Definisi 2.5.4

  Segmen garis setengah terbuka yang memuat titik x tetapi tidak memuat titik ₁

  x x ₂ yang dinotasikan dengan [ , x ) dan dibatasi dengan ≤t < _{1 2}

  1 didefinisikan sebagai :

  x , x = x | x =

  1 − + t x t x , ≤ t <

  1

  [ ) { ( ) } _{1 2}

₁

₂

  α Untuk = 1 ( ) − t dan β = t , diperoleh :

  [ α β + + x , x = x | x = x x , α > , β ≥ , α β = 1 . _{1 2}

) { }

₁

₂

x

  Segmen garis setengah terbuka yang memuat titik tetapi tidak memuat titik ₂

  x yang dinotasikan dengan x dan dibatasi dengan <t ≤

  1 ₁ ( , x ] _{1 2} didefinisikan sebagai :

• x , x ] = x | x =
_{1 2} 1 − t x t x , < t ≤ _{1 2}

  1

  ( { ( ) }

  α Untuk = 1 ( ) − t dan β = t , diperoleh

  x x x x x x

  ( _{1 2 1 2} } Lema 2.5.1

  , ] { = | = α β , α ≥ , β > , α β = + + 1 .

  Misalkan y sebarang titik dalam segmen garis terbuka ( x , x ) yang _{1 2}

  y α x β x α β α β ₁ + didefinisikan dengan = , > , > , = + ₂ 1 , berlaku : y x

  − _{1 β} = (2.5.5) y − x α ₂

  18

  Bukti :

  Ambil sebarang titik y ∈ ( x , x ) , maka y = α x β x , α > , β + + > , α β = _{1 2 1 2} 1 .

  − = α β − _{1 1 2 1} y − = x − x x

• +

  y x x x x
• 1 )

  ⇔ ₁

  ( α ₁

  β ₂

  y x x x

  ⇔ − = β − _{1 2 ( )} 1 − α ₁

  y x x x

  ⇔ − = β − β _{1 2 1}

  

x x

  ⇔ y − x = β − ₁

( )

₂

₁ ⇔ y − x = β x − x ₁ ( )

₂

₁

  ⇔ y − x = β x − x (2.5.6) _{1 2 1} Dengan cara yang sama akan didapatkan : _{2 1} + y − x = α x β x − x ₂

₂

⇔ y − = α + x x ( β − 1 x ) _{2 1 2}

  y x x x

  ⇔ − = α − ( _{2 1} 1 − β ) ₂

  y x x x

  ⇔ − = α − α (karena α β = + _{2 1 2} 1 ) ⇔ y − x = ( x − x ) ₂ α _{1 2}

  ⇔ y − x = α ( x − x ) _{2 1 2} ⇔ y − x = α x − x (2.5.7) _{2 1 2} Dari persamaan (2.5.6) dan (2.5.7) diperoleh :

  y − x x − x ₁ β _{2 1} = y x x x

  − α − _{2 1 2}

  19

  y − x x − x ₁ β _{1 2}

  ⇔ =

  y x x x − α − _{2 1 2} y − x ₁ β

  ⇔ = ∎

  y x α − ₂

3 Dalam  bidang yang melewati titik x = ( x , x , x ) dengan normal

  _{01 02 03}

  a = ( a , a , a ) yang terdiri atas semua titik x = ( x , x , x ) sedemikian _{1 2 3 1 2 3}

  sehingga x − x tegak lurus terhadap a , sehingga memenuhi persamaan : _{1 1 01 2 2 02} + + a ( x − x ) a ( x − x ) a ( x − x ) = (2.5.8) _{3 3 03} Atau

• a x a x a x = (2.5.9)
_{1 1 2 2 3 3} γ γ + + dimana = a x a x a x . _{1 01 2 02 3 03}

  3 Bentuk ini merupakan bentuk umum persamaan bidang di  . a x x

  

−

x

x
Gambar 2.5.2 Bidang

  20 Dalam persamaan vektor, persamaan (2.5.8) dan (2.5.9) dapat ditulis sebagai

  γ

  a , x − x = atau a , x = (2.5.10)

  γ a x dimana = , . Persamaan (2.5.10) adalah persamaan bidang dengan

  3 normal a dalam  .

  Persamaan (2.5.10) dapat digunakan untuk mendefinisikan hyperplane atau _n . bidang hiper dalam 

  Definisi 2.5.5 (Hyperplane atau Bidang Hiper) α n

  Hyperplane atau bidang hiper H di  didefinisikan sebagai himpunan dari _a

a x α

  titik–titik yang memenuhi persamaan , = yang dapat ditulis sebagai

  α H = x a x = α . _a

{ | , }

Vektor a dikatakan sebagai normal of hyperplane atau normal bidang hiper.

  α

  Persamaan bidang hiper H = x | a , x = α dapat ditulis sebagai : _a { } x | a , x − x = .

  { } x a , x =

  Untuk sebarang memenuhi α atau ekuivalen untuk sebarang

  α x ∈ H dengan a adalah normalnya, selanjutnya persamaan bidang hiper _a

  cukup ditulis dengan : a , x − x = .

  21

  Contoh 2.5.1

  4 1 ,

1 , ,

1 ) , B ( 2, 1, 1, ) , C ( 2, 0, 1, ) dan - Dalam  diketahui titik–titik A (

D ( 1, 1, - 1, ) . Bagaimana persamaan bidang hiper yang melalui titik A, B, C,

  dan D?

  Penyelesaian :

  Misalkan D x = ₁ A, x = B , x = C , dan x = . _{2 3 4 T} Misalkan p = x − x , q = x − x , r = x − x , maka p = AB = ( _{2 T T 1 3 2 4 3} 1 , − 2 , 1 , − 1 ) ,

  q = BC = ( ,