Matematika Diskrit : Teori Bilangan

  

Matematika Diskrit : Teori Bilangan

Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.

  

Teknik Informatika

Fakultas Teknik

Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya

  2016 Rencana Presentasi

  1

  

  

  

  

  

  2

  3 Pendahuluan Teori Bilangan

  Berkaitan dengan bilangan bulat :

  a Bilangan rasional → berbentuk pecahan . b Bilangan real → berbentuk desimal.

  Membahas tentang kebenaran dan kesalahan dari pernyataan matematis. Evaluasi pernyataan → analisa makna dari pernyataan tersebut secara cermat.

  Misal :

  5x + 3 = 33 → x = 3 Banyak cara pola penyelesaian dari persamaan diatas dan bergantung pada presepsi matematis seseorang Pendahuluan Definisi

  Bilangan bulat n adalah genap jika dan hanya jika n sama dengan dua kali bilangan bulat. Bilangan bulat n adalah ganjil jika dan hanya jika n sama dengan dua kali bilangan bulat ditambah 1. Secara simbolis sebagai berikut : n adalah genap ↔ ∃ bilangan bulat k yaitu n = 2k n adalah ganjil ↔ ∃ bilangan bulat k yaitu n = 2k + 1

  Contoh :

  2

  b Jika a dan b bilangan bulat, apakah 6a genap ? Jika a dan b bilangan bulat, apakah 10a + 8b + 1 ganjil ? Pendahuluan Pembuktian Eksistensi Pernyataan

  Sebuah pernyataan dengan aturan ∃x ∈ D memenuhi Q(x) adalah benar, jika dan hanya jika

  Q (x) adalah benar untuk setiap x didalam D

  Contoh :

  Diketahui r dan s adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa ∃ bilangan bulat k memenuhi 22r + 18s = 2k ! Pendahuluan Penyanggah Pernyataan Umum dengan Penyangkal

  Diberikan sebuah pernyataan penyanggah dengan aturan sebagai berikut : ∀x didalam D, jika P(x) maka Q(x) tunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah, yang sama dengan menunjukkan negasi dari kebenarannya. Negasi dari pernyataan tersebut :

  ∃x didalam D memenuhi P(x) dan bukan Qx

  Contoh :

  Carilah penyangkal dari pernyataan berikut :

  2

  2

  ∀ bilangan real a dan b, jika a = b maka a = b Pendahuluan Pembuktian Pernyataan Umum

  Secara umum, pernyataan matematis dapat dibuktikan secara luas. Dalam aturan standar, pembuktian pernyaan umum ini : ∀x ∈ D, jika P(x) maka Q(x) dimana jika D pada daerah terbatas maka hanya pada daerah terbatas yang memenuhi kondisi p(x).

  Contoh :

  Buktikan pernyataan berikut : ∀n ∈ Z , jika n adalah genap dan 4 ≤ n ≤ 30 maka n dapat ditulis sebagai jumlahan dari dua bilangan prima ! Jumlahan dari dua bilangan genap adalah genap ! Pendahuluan Prosedur Penulisan Pembuktian Pernyataan Umum Tulis kembali teorema pernyataan untuk pembuktian.

  Awali pembuktian dengan pembuktian kata. Buat pembuktian secara individu. Tulis pembuktian dalam pernyataan komplit. Berikan alasan untuk setiap langkah pembuktian. Buat pernyataan kecil untuk membuat logika sesuai dengan pernyataan.

  Beberapa Kesalahan dalam Pembuktian Berdebat dari contoh-contoh yang ada.

  Penggunaan arti yang sama padahal arti berbeda. Langsung menuju kesimpulan. Meminta banyak pernyataan. Penyalahgunaan kata ”jika”. Bilangan Rasional Definisi

Bilangan real adalah rasional jika dan hanya jika dapat diekspresikan sebagai hasil bagi

dari dua bilangan bulat tanpa pembagi nol. Bilangan real bukan rasional adalah irrasional. Secara simbolik, jika r adalah bilangan real, maka a r

adalah rasional ↔ ∃ bilangan bulat a dan b memenuhi r = dengan b 6= 0

b

  Contoh : Apa 0, 281 adalah bilangan rasional ? Apa 0 adalah bilangan rasional ? Apa 2/0 adalah bilangan irrasional ? Apa 0.12121212... adalah bilangan rasional ? Bilangan Rasional Pembuktian Bilangan Rasional

  Buktikan penjumlahan dari dua bilangan rasional adalah rasional ! Buktikan perkalian dari dua bilangan rasional adalah rasional !

  Menurut Saudara, bagaimana solusi pembuktian permasalahan diatas ? Pembagian Definisi Jika n dan d adalah bilangan bulat maka n habis dibagi dengan d jika dan hanya jika n = dk untuk beberapa bilangan bulat k Secara alternatif, dapat dikatakan n perkalian dari d atau

d faktor dari n atau

d pembagi dari n atau d membagi n

  

Notasi d|n dibaca ”d membagi n”. Secara simbolik, jika n dan d adalah bilangan bulat dan d 6= 0 d

|n ↔ ∃ bilangan bulat k memenuhi n = dk Pembagian Pembuktian Pembagian

  Buktikan untuk seluruh bilangan bulat a, b, dan c, jika a membagi b dan b membagi c, maka a membagi c ! Buktikan perkalian dari dua bilangan rasional adalah rasional ! Buktikan beberapa bilangan bulat n > 1 habis dibagi dengan bilangan prima !

  Penyangkalan Pembagian

  Buktikan penyangkalan untuk seluruh bilangan bulat a dan b, jika a|b dan b|a maka a = b ! Menurut Saudara, bagaimana solusi pembuktian permasalahan diatas ? Teorema Sisa Hasil Bagi Definisi

  Diberikan beberapa bilangan bulat n dan bulat positif d, ada bilangan bulat unik q dan r maka n = dq + r dan 0 ≤ r < d

  Contoh :

  Tentukan nilai q dan r dari n = 54, d = 4 n

  = −54, d = 4 n = 54, d = 70 Teorema Sisa Hasil Bagi Definisi

  Diberikan bilangan bulat tak negatif n dan bulat positif d, n div d = hasil bagi yang diperoleh ketika n dibagi dengan d n mod d = sisa bagi yang diperoleh ketika n dibagi dengan d

  Secara simbolis, jika n dan d adalah bulat positif, maka n div d = q dan n mod d = r ↔ n = dq + r dimana q dan r bilangan bulat dan 0 ≤ r < d.

  Contoh :

  Diketahui saat ini adalah Selasa, dan tahun ini maupun tahun depan bukan tahun kabisat. Hari apa satu tahun yang akan datang dimulai dari sekarang ? Pernyataan Tidak Langsung Metode Pembuktian Kontradiksi Diberikan pernyataan dibuktikan adalah salah (negasi dari kebenaran).

  Tunjukkan pernyataan mengarah secara logis adalah kontradiksi. Berikan kesimpulan bahwa pernyataan harus dibuktikan benar.

  Contoh :

  Buktikan bahwa tidak bilangan bulat yang genap dan ganjil ! Pernyataan Tidak Langsung Metode Pembuktian Kontraposisi

  Diberikan pernyataan dibuktikan dalam bentuk : ∀x didalam D, jika P(x) maka Q(x) Tulis kembali pernyataan tersebut dalam aturan kontrapositif. Berikan kesimpulan bahwa pernyataan harus dibuktikan benar.

  ∀x didalam D, jika Q(x) adalah salah maka P(x) adalah salah Buktikan kontrapositif secara langsung

Berikan x adalah elemen D memenuhi Q(x) adalah salah.

Tunjukkan bahwa P(x) adalah salah.

  Contoh : ₂ Buktikan bahwa untuk seluruh bilangan bulat n, jika n adalah genap maka n adalah

genap ! Aplikasi Algoritma

  

Poin-poin pembuktian ini memiliki peran pengembangan pola berpikir langkah

demi langkah. Penyelesaian langkah demi langkah yang sistematis → Algoritma. Aspek dalam algoritma : variabel, tipe data, pernyataan tugas, dan pernyataan bersyarat.

  Contoh : Tentukan nilai y jika x = 5 dan x = 2 ! begin if x > 2 then _y ← x + 1 end else _{x y} ← x − 1 ← 3.x end end Tugas Kelompok Intruksi Buatlah beberapa Algoritma sertakan pembuktiannya/proses langkah algortimanya (step-by-step) :

  Algoritma Pembagian _{, n} Algoritma Faktor Persekutuan Terbesar (FPB(m )) _{, n} Algoritma Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK (m )) Algoritma Faktorial (n!) _n Algoritma Perkalian (a ) Batas pengumpulan terakhir pada ... paling lambat pukul ... WIB. Laporan kelompok wajib diupload di SIAKAD oleh seluruh mahasiswa (meskipun laporan isi sama satu kelompok).

  

Format laporan : Cover (Judul tugas, Logo Untag, Nama Anggota Kelompok) + Isi

Penyelesaian setiap Algoritma + Kesimpulan.

Presentasi per kelompok diselenggarakan setiap pertemuan dimulai pada pertemuan

selanjutnya (wajib membuat powerpoint).

Catatan

  Seluruh materi presentasi dapat didownload pada SIAKAD masing-masing atau link berikut : _.

  Apabila ada pertanyaan mengenai matematika diskrit dapat mengirim ke alamat email berikut :

  

Terimakasih Atas Perhatiaanya