Uraian Bab12 Kel.8 IFC

  

Kelompok 8

Bab 12 Anggota : Gustania (208 700 838) Ijang Badruzaman (208 700 849) Ijang Maulana (208 700 850) Jihan Pahlevi (208 700 863) Informatika C / Smstr III Bab 12

  Menyatukan Semua : Strategi Untuk Menyelesaikan Setiap Bukti

  Dalam Bab ini

• Menangani bukti-bukti mudah dengan cepat
• Menggunakan bukti bersyarat untuk menangani bukti-bukti sedang
• Memberikan bukti-bukti sulit sebuah jalan untuk kemudahan

  Bukti-bukti Mudah : Menggunakan Pendekatan Mendasar

  Anda tidak membutuhkan sebuah senjata mesin untuk membunuh seekor nyamuk. Dengan cara yang sama, anda tidak perlu memikirkan sebuah strategi brilian untuk memecahkan satu masalah yang mudah. Anda hanya perlu menghabiskan lima menit untuk melihat apa yang terlintas di depan anda dan mencatat beberapa ide. Bagian selanjutnya memperlihatkan kepada anda beberapa cara cepat untuk menulis bukti-bukti sederhana dengan bebas dan cepat.

  Lihat masalahnya Membandingkan premis dan konklusi Memperhatikan panjang premis dan konklusi Cari ulang potongan dari argumen

  Ketika anda memperhatikan potongan dari argumen yang telah diulang dari sebuah argumen, garis bawahi mereka untuk membuat mereka terlihat jelas. Strategi terbaik untuk potongan ini adalah sering membiarkan mereka sendiri dari pada memecahnya.

  Untuk contoh, lihat argumen ini : (P Q) ~(R & S), R & S : ~(P Q) Anda dapat memisahkan pernyataan (P Q) ~(R & S) untuk memecahnya, tapi tidak ada alasan untuk itu. Setelah memperhatikan potongan (P Q) dan (R & S) diulang pada argumen, ini satu langkah bagi solusi itu sendiri :

  1. (P Q) ~(R & S) P

2. R & S P

  3. ~(P Q)

  1,2 MT Untuk sekarang, perhatikan saja potongan pendek ini untuk mempercepat cara anda.

  Catat Hal yang Mudah Memecah pernyataan dengan Simp dan DS Perluas pilihan anda dengan Impl dan Contra Gunakan MT dan MP sedapat mungkin Rubah semua pernyataan negatif dengan DeM

  Pada umumnya, DeM adalah satu-satunya cara anda untuk merubah empat bentuk negatif dari pernyataan SL menjadi positif.

  DeM bekerja langsung dalam pernyataan dari bentuk ~(x & y) dan ~(x v y), sebagaimana saya

  liput pada bab 10. Tapi, meskipun anda sedang menghadapi pernyatan- dan pernyataan-sisa dua bentuk negatif, anda dapat menggunakan DeM setelah mengerjakan beberapa aturan lain untuk mengahasilkan pernyataan ini kedalam bentuk ~(x & y) dan ~(x v y).

  Contohnya, untuk merubah ~(x y) gunakan langkah ini :

  P 1. ~(x y) 2. ~(~x v y)

  1 Impl

  3. x&~ y

  2 DeM

  4. x

  3 Simp

  5. ~y

  3 Simp Hanya dalam beberapa langkah, anda telah merubah pernyataan yang terlihat kompleks menjadi dua pernyataan sederhana.

  Bahkan ketika anda dibebani dengan bentuk yang sulit ~(x y), anda dapat menggunakan

  Equiv dan kemudian memecah setiap potongan dari DeM. Untuk contonhya, lihatlah langkah ini : P 1. ~(x y) 2. ~((x & y) v (~x & ~y))

  1 Equiv

  3. ~(x & y) & ~(~x & ~y)

  2 Dem

  4. ~(x & y)

  3 Simp

  5. ~(~x & ~y)

  3 Simp Pada poin ini, selanjtunya anda dapat menggunakan DeM lagi untuk menyederhanakan pernyataan 4 dan 5. Tentu, ini tahapan extra, tapi anda telah merubah pernyataan yang tidak dapat dilalui menjadi dua pernyataan sedrehana.

  Kapan menyelesaikannya

  Sekiranya anda telah menghabiskan waktu lima menit dengan masalah yang banyak. Anda telah melihat dan mengingatnya ke kepala anda. Anda baru saja mencatat beberapa pernyataan sederhana – atau mungkin tidak ada yang dicatat – dan anda baru saja mendapat ide.

  Saran saya : lima menit. Hanya itu yang dapat saya beri dengan strategi dasar. Dan itu akan bertambah jika premis terlalu panjang dan konklusi terlalu pendek. Jika pembuktian anda tidak dapat diselesaikan dalam lima menit, anda perlu beristirahat sehingga anda lebih produktif dalam lima menit selanjutya ketimbang frustasi.

  Bahkan jika anda memiliki taktik baru untuk menyelesaikannya, anda tidak perlu memulainya dari awal. Setiap pernyataan yang telah anda buktikan adalah milik anda untuk dipertahankan dan digunakan sepanjang dari hasil pembuktian.

  Bukti sedang : Kapan Menggunakan Bukti Bersyarat

  Gunakan bukti bersyarat sebagai pilihan pertama anda sedapat mungkin karena itu cenderung menjadi cara tercepat untuk sebuah solusi dari masalah dengan kesulitan sedang. Untuk menentukan kapan bukti bersyarat memungkinkan, lihatlah konklusi yang sedang anda coba buktikan dan pastikan dengan delapan bentuk dasar. (Periksa bab 5 pada ikhtisar semua delapan bentuk dasar dari pernyataan SL).

  Anda selalu dapat menggunakan bukti bersyarat untuk tiga dari delapan bentuk dasar. Yang saya sebut bentuk umum. Anda juga dapat menggunakan bukti bersyarat untuk dua dari bentuk itu, yang saya sebut bentuk-kurang-umum, tapi diperlukan lebih sedikit kerja. Dan yang terakhir, anda tidak dapat menggunakan bukti bersyarat untuk sisa dari tiga bentuk, yang saya sebut bentuk tidak

  umum : Bentuk Umum Bentuk Kurang Umum Bentuk Tidak Umum

  x & y

  x y (x y) x v y

  ~(x y) ~(x y)

  ~(x & y)

  ~(x v y) Pada bagian ini, saya bahas kapan anda dapat menggunakan bukti bersyarat. Saya simpan sisa kasusnya untuk bagian “Bukti Sulit : Apa yang Harus Dilakukan Ketika Menemukan Kesulitan”.

  Tiga Bentuk Umum : x y, x v y, dan ~(x & y)

  Jelas, anda selalu dapat menggunakan bukti bersyarat pada setiap konklusi dalam bentuk x y. Tetapi, anda dapat juga dengan mudah menggunakan bukti bersyarat pada setiap konklusi dalam bentuk x v y dan ~(x & y).

  Anda dapat merubah setiap konklusi dari bentuk x v y ke dalam bentuk bersyarat hanya dengan menggunakan Impl. Aturan ini merubahnya menjadi ~x y.

  Contoh, sekiranya anda ingin membuktikan argument ini :

  R : ~(P & Q) v (Q & R)

  1. R P

  Tidak banyak yang terjadi disini, tapi setelah anda menyadari bahwa konklusi equivalen terhadap (P & Q) (Q & R), anda dapat menggunakan bukti bersyarat :

  2. P & Q AP

  3. Q

   2 Simp

  4. Q & R 1, 3 Conj 5. (P & Q) (Q & R) 2–4 CP Setelah AP anda telah habis, semua sisa yang dilakukan menunjukkan betapa pernyataan yang baru saja anda buat equivalen terhadap konklusi yang sedang anda coba buktikan : 6. ~(P & Q) v (Q & R)

  5 Impl Bentuk lain yang mudah untuk dikerjakan adalah ~(x & y). Ketika konklusi anda masuk dalam bentuk ini, anda perlu menggunakan DeM untuk mengeluarkannya dari bentuk negatif, rubah itu ke dalam

  ~x v ~y.Dari sini, gunakan Impl untuk merubah itu ke dalam x ~y Misalnya, anda ingin membuktikan argument ini : ~P Q, P ~R : ~(~Q & R)

  P 1. ~P Q P

  2. P ~R

  Pengertian disini menyadarkan anda bahwa konklusi equivalen terhadap Q v ~R (oleh DeM), yang kenudian equivalen terhadap ~Q ~R (oleh Impl). Sekali lagi, anda dapat menggunakan bukti bersyarat :

  3. ~Q AP

  4. P 1, 3 MT 5. ~R

  2, 4 MP

  6. ~Q ~R 3–5 CP

  Seperti contoh sebelumnya, setelah anda menghabiskan AP anda, anda perlu menyelesaikan bentuk uraian dari pernyataan yang telah anda buat untuk konklusi yang anda mulai dengan :

7. Q v ~R

  Saya tidak mempermainkan anda : ini adalah bukti sulit. Tanpa menemukan cara untuk merubah itu kedalam suatu syarat. Ini hanya sia-sia saja. Untungnya, anda dapat menggunakan Equiv untuk merubah konklusi kedalam

  1 DeM

  4. ((~P v Q) v ~R)(~P & ~R)

  Sekarang, anda sedang mencoba untuk membuktikan ~P & ~R.. Pertanyaan besar pada poin ini adalah “Bagaimana saya menggunakannya pada premis yang banyak pada baris 1 ?” (Inilah mengapa saya mengatakan bahwa premis yang panjang sulit untuk dibuktikan). Baiklah, hal yang pertama : pada akhirnya anda tidak dapat memisah premis menjadi potongan kecil dengan menggunakan DeM pada bagian kedua :

  R) (~P & ~R) menggunakan Impl. Periksalah : 2. ~(P & R) AP 3. ~P v ~R

  (P & R) v (~P & ~R), dan dari sini, rubah itu kedalam ~(P &

  1. ((~P v Q) v ~R) ~(P v R) P

  6 Impl

  Misalnya, anda ingin membuktikan argumen ini : ((~P v Q) v ~R) ~(P v R) : P R

  Untuk mengerjakan konklusi yang terdapat dalam bentuk x y, pertama yang harus anda gunakan adalah Equiv untuk merubah itu kedalam (x & y) v (~x & ~y). Anda harus mengakui bahwa pernyataan-0 sama halnya dengan bentuk umum, yang membolehkan anda untuk menggunakan Impl untuk merubah itu kedalam ~(x & y) (~x & ~y).

  Jika saya katakan itu sekali, saya telah mengatakannya ribuan kali : mengerjakan pernyataan-selalu tidak pasti. Tapi, untungnya, prinsip ini sama halnya dengan bentuk umum. Selalu ingat, dan jangan pernah lupa, bahwa langkah pertama dengan pernyataan-adalah selalu mengisarkan operator- dengan menggunakan Equiv. Mengetahui bahwa sedikit dari saran saya akan membuat anda kembali setengah jalan dari awal jika anda tidak tahu.

  Dua Bentuk Kurang Umum : (x y) dan ~(x y)

  7 DeM

  8. ~(~Q & R)

2 DeM

  Bagian kedua pada pernyataan ini terlihat seperti apa yang sedang coba anda buktikan untuk bukti bersyarat anda. Jadi, jika anda dapat membangun bagian pertama pada pernyataan ini, anda dapat menggunakan MP untuk mendapat bagian kedua. Tujuannya sekarang, kemudian, adalah membuktikan pernyataan

  9. ~P & ~R 4, 8 MP 10. ~(P & R)(~P & ~R) 2–9 CP

  Ketika konklusi masuk dalam kategori ini, bukti bersyarat hampir tidak pernah menjadi sebuah pilihan karena, seperti sebuah aturan, anda tidak dapat

  

Tiga Bentuk Tidak Umum : x & y, ~(x y), dan ~(x v y)

  Membuktikan konklusi dalam bentuk kurang umum bisa menjadi sulit. Contoh ini tentu saja member gambaran dari apa yang saya sebut kesulitan tingkat sedang. Saya beri sebuah contoh bagaimana membuktikan konklusi dalam bentuk ~(x y) nanti dalam bab ini, dalam bagian “Bukti Sulit : Apa yang Harus Dilakukan Ketika Menjadi Sulit”.

  11 Equiv Baiklah, jadi itu adalah penunjang dari bukti. Tapi merubah konklusi sulit kedalam bentuk yang lebih teratur membuat itu seluruhnya memungkinkan.

  10 Impl

  11. (P & R) v (~P & ~R)

  Seperti biasa, setelah menghabiskan AP, anda perlu membuat pernyataan yang baru anda bangun tampak seperti konklusi :

  7 Assoc Akhirnya, anda melihat sekilas Holy Grail : anda dapat menggunakan baris 8 bersama baris 4 untuk memperoleh apa yang anda butuhkan untuk menghabiskan premis anda :

  (~P v Q) v ~R. Tapi, sekarang mungkin anda ingin tahu bagaimana anda mendapatkan Q dari mana. Pengertian yang benar disini adalah anda dapat menggunakan Add kepada Q dalam

  8. (~P v Q) v ~R

  6 Comm

  7. ~P v (Q v ~R)

  5 Assoc

  6. ~P v (~R v Q)

  3 Add Bagian selanjutnya dari bukti ini hanya memerlukan rangkaian dari manipulasi dengan Assoc dan Comm :

  5. (~P v ~R) v Q

  ~P v ~R :

12. PR

  Untuk mengerti mengapa anda tidak dapat menggunakan bukti bersyarat dalam kasus ini, pertama perhatikan bahwa tidak ada aturan untuk merubah sebuah pernyataan dalam bentuk x & y ke dalam pernyataan-Dengan cara yang sama, pernyataan dalam sisa dua bentuk tidak umum adalah mudah merubahnya ke dalam pernyataan-&, tapi sekali lagi anda akan terhenti jika anda mencoba merubah mereka ke dalam pernyataan-

  Kapanpun anda menghadapi konklusi yang termasuk dalam bentuk tidak umum, saran saya adalah melangkah dan mencoba satu bukti langsung atau bukti tak langsung. Dalam salah satu kasus, anda mungkin melihatnya pada sebah bukti sulit.

  Bukti Sulit : Apa Yang Harus Dilakukan Ketika Menjadi Sulit Memilih dengan cermat diantara bukti langsung dan bukti tak langsung

  Jika anda menemukan masalah dengan konklusi yang tidak dapat dirubah kedalam pernyataan-yang mengharuskan anda menggunakan bukti bersyaratpertimbangkan bukti langsung yang anda pilih pertama kali kecuali ketika anda menyingkirkan salah satu dari tiga pengecualian yang saya tulis dalam bagian ini.

  Bahkan jika anda tidak menemukan bukti langsung pada lima menit pertama, cocokkan itu untuk sementara ketika anda tidak dapat menggunakan bukti bersyarat. Pada skenario kasus terbaik, gunakan beberapa ide pada bagian ini selanjutnya, anda mungkin menemukan bukti langsung tanpa merubahnya menjadi bukti tak langsung. Dan yang terburuk, jika anda perlu mengubah kedalam bukti tak langsung, anda tetap dapat menggunakan semua pernyataan yang ada dengan mencari bukti tak langsung.

  Pemilihan ini tidak benar dalam arah sebaliknya : jika anda memilih bukti tak langsung terlalu cepat kemudian anda mengabaikannya dan mencoba lagi bukti langsung, anda tidak dapat menggunakan pernyataan apapun yang anda temukan sementara anda mencari bukti tak langsung.

  Pengecualian #1 : Ketika konklusi terlalu pendek Pengecualian #2 : Ketika konklusi terlalu panjang tetapi negatif

  Bukti tak langsung baik digunakan terutama untuk menangani konklusi dalam bentuk yang negatif - karena konklusi negatif akan menjadi premis positif . Misal :

  ~ (x v y) dan ~(x y) – P , Q : ~((Q v R) (~P & R))

  1. P P

  2. Q P AP

  3. (Q v R) (~P & R)

  Gunakan bukti tak langsung untuk mengubah bentuk konklusi positif dan tambahkan itu sebagai premis. sekarang anda dapat mulai untuk mengeluarkanya :

  4. Q v R

  2 Add

  5. ~P & R 3,4 MP 6. ~P

  5 Simp

  7. P & ~P 1,6 Conj 8. ~((Q v R) (~P & R))

  3-8 IP

  Pengecualian #3 : Ketika tidak ada harapan

  Tempat ketiga untuk menggunakan bukti tak langsung adalah ketika anda sudah membuangnya dari bukti langsung untuk sementara dan anda tidak mendapatkan apapun. Saya minta untuk tunggu sebentar. Merubah dari bukti langsung ke bukti tak langsung adalah selalu mudah. Dan meskipun anda telah menggunakan bukti bersyarat, anda selalu dapat merubah ke dalam butki tak langsung hanya dengan menambahkan AP lainnya. (Lihat bab 11 untuk contoh bagaimana AP bekerja).

  Bekerja mundur dari kesimpulan

  Saya membandingkan penulisan bukti untuk membuat rangkaian anda dari sini ke sana. Dan biasanya, itu benar-benar terjadi : anda mampu memperoleh sini ke sana. Tapi, terkadang, itu tidak bekerja dengan baik. Jadi, jika anda bingung dan anda tidak mendapatkannya dari sini, itu mungkin lebih mudah untuk mendapatkan dari sini ke sana.

  Dalam bab 9, saya tunjukkan contoh cepat bekerja mundur dari kesimpulan. Pada bagian ini anda gunakan kemampuan ini untuk menulis bukti yang sangat sulit. Misal, anda ingin membuktikan argument ini :

  P Q, (P R) S, (~Q v ~S) & (R v ~S) : ~(Q R)

  Konklusi ini adalah dari bentuk ~(xy), satu dari dua bentuk kurang umum. Jadi jika anda ingin menggunakan bukti bersyarat, anda harus merubah kembali konklusi. Disini, menulis bukti sampai selesai sebelum memulai adalah ide yang bagus :

  99. ~(Q R) Anda mulai dengan penomoran baris terakhir dari bukti 99. Anda tidak memerlukan banyak baris, tapi anda bisa memberi nomor baru di akhirnya. Seperti yang anda lihat, baris terakhir mengandung konklusi dalam segala halnya. konklusi pada khususnya. Dalam kasus ini, cara terbaik untuk membuktikan adalah menggunakan bukti bersyarat, yang berarti bahwa konklusi harus menjadi pernyataan-Dan langkah terakhir adalah menggunakan Equiv untuk merubah pernyataannya menjadi bentuk umum ~(x & y) :

  98. ~(Q R) & ~(R Q)

  98 Equiv 99. ~(Q R) Sekarang, anda harus menentukan apa langkah yang baru saja anda bayangkan sebelumnya.

  Pada kesempatan ini, anda menggunakan DeM untuk mengeluarkan pernyataan 97 dari bentuk negatif : 97. ~(Q R) v ~(R Q)

  97 DeM 98. ~(Q R) & ~(R Q)

  98 Equiv 99. ~(Q R) Setelah anda bisa menguasainya, anda bias melihat langkah berikutnya dari mengubah pernyataan 97 kedalam pernyataan-dengan menggunakan Impl :

  95. ~(R Q) 4-95 CP

  96. (Q R) ~(R Q)

  96 Impl 97. ~(Q R) v ~(R Q)

  97 DeM 98. ~(Q R) & ~(R Q)

  98 Equiv 99. ~(Q R) Setelah semua itu, sekarang anda mempunyai the Holy Grail di tangan anda. Anda tahu bagaimana akhir ceritanya : memiliki asumsi Q R dan menggunakannya untuk membangun

  ~(R Q), anda mengahabiskan asumsi ini dengan mengikuti dua sub-pernyataan ini menggunakan operator  Dan sekarang, tentu saja, anda tahu banyak tentang bagaimana ceritanya dimulai. Khususnya, anda tahu AP anda harus menjadi Q R. Sehingga, anda tahu langkah awal anda terlihat seperti ini :

1. P

  P Q 2.

  P

  (P R) S

  3. (~Q v ~S) & (R v ~S) P 4.

  AP

  Q R Tujuannya sekarang adalah membangun pernyataan ~(R  Q), dimana itu adalah langkah mundur terakhir yang anda bayangkan. Ketika anda melihat AP anda pada baris 1, mungkin sesuatu terlewat oleh anda :

  5.

  1,4 HS P R

  Kemudian anda lihat pada baris 2 dan anda merasa ini seperti hari ulang tahun anda :

6. S

  2,5 MP Lalu ? baris 3 merupakan satu-satunya premis yang tertinggal, dan bentuknya mungkin sangat-sangat sama :

  7. (~Q & R) v ~S

  3 Dist Kemudian anda mendapatkan pemecahan yang lain :

  8. ~Q & R 6,7 DS

  Ketika anda melihat poin ini pada pembuktian, ada gunanya mengetahui bagaimana memanipulasi delapan bentuk dasar :

  9. ~(Q v ~R)

  8 DeM

  10. ~(~R v Q)

  9 Comm

  10 Impl

  11. ~(R Q)

  Pada poin ini, anda telah mencapai tujuan anda, dan semua yang anda perlu lakukan adalah memberi nomor baru pada baris terakhir : 4-11 CP

  12. (Q R) ~(R Q)

  12 Impl

  13. ~(Q R) v ~(R Q)

  13 DeM

  14. ~((Q R) & (R Q))

  14 Equiv

  15. ~(Q R) Mendalami penyataan SL

  Dari sekarang, anda mungkin semakin ahli dalam memperhatikan delapan bentuk umum kedalam pernyataan. Terkadang, meskipun demikian, ini tidaklah cukup. Ketika bukti menjadi sulit, itu sering kali tergantung dari pemahaman anda terhadap struktur dari pernyataan pada tingkat yang lebih dalam.

  Anda mungkin memperhatikan bahwa tiga dari aturan equivalensi memecah pernyataan ke dalam tiga bagian (x, y, dan z) daripada hanya dua. Aturan ini adalah Exp, Assoc, dan Dist (lihat bab 10). Anda mungkin tidak menggunakan aturan ini lebih banyak dari pada aturan lainnya, tapi untuk bukti yang sulit anda perlu memastikannya. Setelah anda mulai mencari kesempatan untuk menggunakan aturan ini, anda akan menemukannya di sekitar anda.

  Misalnya, lihat tiga pernyataan ini : (P v Q) v R (P &Q) v R (P & Q) v (R v S) Dapatkah anda melihat bahwa semua pernyataan ini memiliki kedua bentuk dasar yang sama

  X v Y ? Tetapi, jangan biarkan kesamaan ini membingungkan anda dalam struktur dasar dalam perbedaan penting struktur terdalam dari pernyataan ini.

  Misalnya, anda dapat mengaplikasikan Assoc ke dalam pernyataan yang pertama tapi tidak yang kedua, dan Dist ke pernyataan kedua tapi tidak yang pertama. Dan anda dapat mengaplikasikan

  

Assoc dan Dist kedua-duanya dalam pernyataan yang ketiga. Perbedaan ini menjadi penting ketika

  bukti menjadi sulit. Baca bagian ini untuk mendapat beberapa tips dalam memperhatikan dan memanfaatkan perbedaan ini.

  Gunakan Exp Exp : x y z) adalah equivalen terhadap (x & y) z

  Contoh, periksa pernyataan ini : (P & Q)  (R S) Pernyataan ini ada dalam bentuk x y. Tapi anda dapat juga melihatnya dalam dua cara lain.

  Satu kemungkinan, menggunakan (P & Q) sebagai potongan tunggal, adalah dengan memperhatikan pernyataan seperti ini : x y z) Dalam kasus ini, anda dapat menggunakan Exp untuk merubah pernyatan ke dalam ((P & Q) & R) S Pilihan kedua, gunakan (R S) sebagai potongan tunggal, adalah dengan memperhatikan pernyataan seperti ini : (x & y) z Kali ini, anda dapat menggunakan Exp dalam petunjuk lain, seperti ini :

  Menggabungkan Assoc dengan Comm Assoc : (x & y)& z adalah equivalen terhadap x &(y & z)

  (x v y) v z adalah equivalen terhadap x v (y v z) Contoh, perhatikan pernyataan ini : ~(P v Q) (R v S) Satu cara untuk sampai di sini adalah mengaplikasikan Impl sehingga anda mendapat ini : (P v Q) v (R v S) Sekarang, anda bisa menerapkan Assoc ke dalam dua petunjuk yang berbeda :

  P v (Q v (R v S))

  ((P v Q) v R) v S Anda juga bias menggunakan Comm untuk mengatur ulang variable dalam sebuah rangkaian cara yang bebeda. Misalnya, agar bekerja dengan

  P v(Q v(R vS)), anda bisa mendapatkan : P v(Q v(S vR))

  P v((R vS) vQ) ( Q v(R vS)) vP Jika anda dapat mengungkapkan pernyataan hanya dengan menggunakan operator-V (atau hanya operator-&), anda bisa menggunakan kombinasi dari Assoc dan Comm untuk mengatur ulang variabel dalam urutan apapun yang anda suka, dimana itu bisa menjadi alat yang sangat ampuh yang membantu membemtuk sebuah pernyataan kedalam apapun yang anda perlukan.

  Menjadi Dist Dist : x & (y v z) adalah equivalen terhadap (x & y) v (x & z)

  x v (y & z) adalah equivalen terhadap (x v y) & (x v z)

  Dist juga mempunyai dua bentuk senilai untuk diketahui, dengan sub-pernyataan dalam tanda

  kurung di depan : x v (y & z) adalah equivalen terhadap (x & y) v (x & z) x & (y v z) adalah equivalen terhadap (x v y) & (x v z) Kebanyakan professor menemukan ini-dua bentuk lain dari aturan yang diterima.

  Bagaimanapun, sedikit memaksa anda menggunakan Comm untuk merubah (x v z)& z ke dalam z

  &(x v z) sebelum menerapkan Dist. Atau, sama, itu membutuhkan anda menggunakan Comm ke dalam (x & y)& z ke dalam z &(x & y) sebelum menerapkan Dist.

  Misalnya, anda ingin membuktikan pernyataan ini : P v (Q & (R v S)) Anda bisa menggunakan dua cara Dist di sini. Pertama, gunakan (R v S) sebagai potongan tunggal, perhatikan pernyataan seperti ini : x v (y & z) Sekarang anda bisa menulis ulang pernyataan sehingga terlihat seperti ini :

  (P v Q) & (P v (R v S)) Keuntungan di sini adalah anda bisa menggunakan Simp untuk memisahkan pernyataannya ke dalam dua pernyataan terkecil : P v Q P v (R v S) Pilihan kedua adalah menggunakan Dist pada sub-pernyataan Q &(R v S), yang akan memberi anda P v ((Q & R) v (Q & S)) Sekarang, anda memiliki tiga sub-pernyataan-

  P, (Q & R), dan (Q & S)- diikuti pernyataan-V, yang berarti bahwa anda dapat menggunakan Assoc dan Comm untuk mengatur ulang mereka apapun yang anda suka (selama anda bisa memegangnya dalam tanda kurung utuh).

  Salah satu kegunaan besar dari Dist adalah memungkinkan anda merubah operator utama dari pernyataan bentuk & ke bentuk v. Dengan mengubah operator utama dalam cara ini, anda dapat merubah konklusi tidak umum-yaitu, salah satunya anda tidak bisa menggunakan bukti bersyarat-ke dalam bentuk yang umum satunya.

  Misal, perhatikan pernyataan ini : P & (Q v R) Kebanyakan kasus, ketika anda menghadapi konklusi dalam bentuk x & y, anda bisa melupakan bukti bersyarat. Tapi, pada kasus ini, anda bisa menggunakan Dist untuk merubahnya ke dalam :

  Sekarang, anda memiliki konklusi dalam bentuk umum, dan anda bisa menggunakan Impl untuk merubahnya ke dalam pernyataan-: ~(P & Q) → (P & R) Demikian pula, bentuk tidak umum lainnya adalah ~(x

  → y). Mengetahui bentuk ini mungkin membuat anda mengabaikan bukti bersyarat dalam konklusi berikut : ~( P → ~(Q vR)) Tapi, untungnya, anda bisa mengeluarkan konklusi ini dari bentuk negatifnya dalam dua langkah. Pertama, gunakan Impl untuk membuatnya seperti ini : ~(~ P v~(Q vR)) Selanjutnya, gunakan DeM : P & (Q v R) Mengejutkan, konklusi ini sama dengan salah satu yang saya mulai dengan contoh

  P & (Q v R) (lima pernyataan diantara yang satu ini), sehingga anda bisa menggunakan Dist sebagai perubahan yang anda lakukan di sana ke dalam bentuk umum, dan kemudian merubahnya dengan bukti bersyarat.

  Memecah premis panjang Seperti yang telah saya sebutkan beberapa kali, memecah premis panjang bisa menjadi sulit.

  Terkadang, meskipun, di sana tidak ada jalan lain. Contoh, lihat argumen ini : (P & Q) v (Q R), Q, ~R : P

  P 1. (P & Q) v (Q R)

2. Q

  P 3. ~R

  P

  Kunci untuk yang satu ini-apakah anda melakukannya dengan bukti langsung atau bukti tak langsung-adalah untuk menemukan cara untuk memecah premis yang panjang. Saya sarankan bukti langsung.

  Ketika bekerja dengan premis yang panjang, tentukan mana bentuk dari pernyataan SL itu. Melakukan sesering mungkin membantu anda pada tahap selanjutnya.

  Bentuk dari premis pertama adalah x v y. Ketika menghadapi pernyataan-V, pertama coba gunakan Impl :

  1 Impl

  4. ~(P & Q) (Q R)

  Kemudian anda bisa melihat pernyataan ini sebagai x →(y → z), yang memungkinkan anda mencoba Exp :

  4 Exp

  5. (~(P & Q) & Q) R

  Anda dalam kondisi yang baik sekarang karena anda telah mengisolasi R sebagai bagian kedua dari pernyataan. Jadi, anda bisa menggunakan MT :

  6. ~(~(P & Q) & Q) 3,5 MT

  Berhati-hatilah bahwa anda tidak mencoba untuk mengganti operator – di sini. Hal pertama terapkan pada seluruh pernyataan, sedangkan yang kedua terapkan hanya kepada sub-pernyataan (P & Q).

  Sekarang, bentuk dari pernyataannya adalah ~(x & y), yang berarti waktu yang tepat menggunakan DeM bagi anda :

  7. (P & Q) v ~ Q

  6 DeM Sisanya menyarankan langkah sendiri :

  8. P & Q

  2,7 DS

  9. P

  8 Simp Perhatikan bahwa mencari bentuk dari pernyataan adalah membantu megupas lapisan demi lapisan dari premis ini. Terkadang, ketika pelajar melihat bukti sulit seperti ini, mereka bertanya “Tapi bagaimana jika saya tidak melihatnya ? dan bagaimana jika saya tidak bisa membayangkan langkah selanjtunya ?”.

  Berita baiknya adalah bahwa anda hampir selalu bisa menemukan lebih dari satu cara untuk membuktikannya. Jadi, saya tunjukkan bahwa meskipun anda memulainya dengan berbeda, anda biasanya masih dapat menemukan cara untuk membuatnya bekerja.

  Di sini bukti sama yang baru saja saya bahas, tetapi dengan langkah awal yang berbeda :

  P 1. (P & Q) v (Q R)

  2. Q P

  3. ~R P

  Dalam kasus ini, di mulai dengan menerapkan Impl bukan kepada operator utamanya tapi pada bagian kedua dari pernyataannya :

  4. (P & Q) v (~Q v R)

  1 Impl Kali ini, anda bisa melihat pada pernyataan ini sebagai benutk dari x v(y v z), yang berarti anda bisa menggunakan Assoc :

  5. ((P & Q) v ~Q) v R

  4 Assoc Terkejut, terkejut-sekali lagi anda dalam posisi menggunakan DS. Bagaimanapun, ini waktunya anda bisa menggunakannya dua kali dalam barisan :

  6. (P & Q)v ~Q 3,5 DS

  7. P & Q

  2,6 DS Dan, sekali lagi, jawabnya muncul :

  8. P

  7 Simp

  Membuat asumsi cerdas

  Pada bab 11, saya tunjukkan bagaimana cara menggunakan bukti tak langsung dengan mengasumsikan negasi dari konklusi dan kemudian membalikkanya. Tapi, dengan butki tak langsung, anda tidak terbatas untuk menggunakan negasi dari konklusi. Faktanya, anda bisa membuat asumsi apapun dan kemudian coba untuk menyanggahnya. Jika anda berhasil, kemudian anda membuktikan negasi dari asumsi, dan ini sering kali membantu anda membuktikan konklusi.

  Meskipun anda bisa membuat asumsi apapun, strategi di sini adalah mengambil sebuah asumsi yang akan dengan cepat mengarah pada sebuah kontradiksi. Contohnya, ini adalah argument

  (P & Q) v (Q R), Q, ~R : P

  P

  1. (P & Q) 0 (Q R)

  2. Q

  P

  3. ~R

  P

  Dalam bukti ini, anda sedang mencari cara cepat untuk memecah premis. Kali ini, anda membuat asumsi premis yang akan membuat ini terjadi : 4. ~(P & Q)

  AP

  Sebagai bukti tak langsung, sekarang anda mencari kontradiksi. Tetapi, ini hanya mengambil beberapa baris : 1,4 DS

5. Q R

  6. R 2,5 MP

  7. R & ~R 3,6 Conj

  Seperti biasanya, langkah selanjutnya adalah menghabiskan AP anda :

  8. P & Q 4-7 IP

  Sekarang, melengkapi bukti adalah hal yang sepele :

  9. P

  8 Simp