METODE ITERASI BARU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

  

METODE ITERASI BARU UNTUK MENYELESAIKAN

PERSAMAAN NONLINEAR

_{1) 2)}

Supriadi Putra , Ria Kurniawati

  1)

  Laboratorium Matematika Terapan Jurusan Matematika

  2)

  Program Studi S1 Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

  Kampus Binawidya Pekanbaru (28293)

  

ABSTRAK

Kita akan mendiskusikan sebuah metode iterasi baru untuk menyelesaikan persamaan nonlinear satu

variabel. Tulisan yang sama telah dilakukan sebelumnya oleh Eskandari, H. World Academy of Science,

Engineering and Technology 44, 196-199 (2008). Akan tetapi disini akan dibuktikan orde kekonvergenan

dari metode yang belum dilakukan oleh Eskandari. Perbandingan komputasi dari beberapa metode yang

dibahas akan diberikan dengan memperhatikan jumlah iterasi, dan COC (Computational Order of

Convergence ) atau perhitungan orde konvergensi secara komputasi.

  Kata Kunci: Metode Hybrid, Metode Newton, Metode Iterasi Baru.

  

ABSTRACT

We discuss a new iteration method to solve a nonlinear equation of one variable. The same work has been

done by Eskandari, H. World Academy of Science, Engineering and Technology 44, 196-199 (2008). Here

we prove the order of convergence of the method that is not performed by Eskandari. Comparison among

the discussed methods is also given by considering number of iteration and COC (Computational Order of

Convergence).

  Key Words: Hybrid method, Newton’s method, New iteration method.

  PENDAHULUAN

  Metode ini mensyaratkan bahwa Menentukan akar dari suatu persamaan

  f ' ( x )  , agar metode dapat diterapkan dan

  nonlinear satu variabel, konvergen secara kuadratik (Conte, 1980;

  f ( x )  , (1) Weerakoon, 2000).

  adalah topik yang selalu dibahas dalam mata Ide pengembangan metode Newton ini kuliah metode numerik, karena masalah ini adalah penggunaan garis lurus yang mencul dari berbagai masalah sains yang menyinggung kurva f (x ) pada titik memerlukan penyelesaian secara matematik.

   ( x , f ( x )), n , _{n n} 1 , 2 ,  Bentuk ini tidak lain

  Metode analitik yang tersedia dalam merupakan ekspansi Taylor orde pertama menyelesaikan masalah nonlinear ini sangat

    dari f (x ) pada x x ,  n , _n 1 , 2 , Dengan terbatas kemampuannya, maka peneliti ide yang sama peneliti lain telah mengembangkan metode aproksimasi. mengembangkan metode iterasi yang

  Metode Newton adalah metode yang diturunkan melalui eksapansi Taylor sampai sangat popular untuk mengaproksimasi akar dengan orde kedua dan ketiga. persamaan nonlinear (1). Dalam penerapan-

  Melalui ekspansi Taylor orde dua, nya metode ini memerlukan satu tebakan Halley (Eskandari, 2008) dan Traub (Traub, awal, katakan x , dan iterasinya dinyatakan 1964) mengembangkan metode iterasi Euler, oleh Halley dan Chebyshev. Iterasi yang

  f ( x ) _n

  dimaksud berturut-turut adalah sebagai

     x x , n , _{n n} 1 , 2 ,  (2)

  

  1 f x

  ' ( ) berikut, _n

  , ) (

  adalah tiga hasil iterasi berturut-turut yang cukup dekat ke akar .  Maka, orde konvergensi secara komputasi (COC) dapat diaproksimasi dengan rumus .

  2 1 ( ) ( '

  ) ( '' )

  Seperti halnya metode Hybrid, metode iterasi baru yang dikemukakan oleh Eskandari (Eskandari, 2008) diperoleh dari ekspansi Taylor orde ketiga. Bentuk iterasinya adalah

  COC HASIL DAN PEMBAHSAN Metode Iterasi Baru

    _{n n} ^{n n} x x x x

  

     

     

  1

  1

  :

  ) /( ) ( ln ) /( ) ( ln

   

    

  1 , , _{n n n} x x x

  1

  Misalkan  adalah akar dari ( ) f x  dan andaikan

  Definisi 2

  COC diperoleh melalui definisi berikut.

  Setelah analisa kekonvergenan dilakukan secara analitis, selanjutnya melalui uji komputasi (menggunakan software Maple 13) akan dibandingkan hasil yang diberikan oleh masing-masing metode iterasi. Jumlah iterasi dan nilai COC (perhitungan orde kekonvergenan secara komputasi) pada setiap contoh persamaan nonlinear yang digunakan akan dijadikan acuan pembanding. Nilai

  barisan { } _n x dan A disebut asimtot error.

  p merupakan orde kekonvergenan dari

   

       

  

    

  1 _n ^{n n n} x f D x f x x

   

BAHAN DAN METODE

  1

      

  (9) Persamaan (9) ini merupakan metode iterasi baru untuk menyelesaikan persamaan nonlinear satu variabel.

  

   

    

  1 _n ^{n n n n} x f D x f sign x f x x

  2 1 ( )) ( ' ( ) ( '

  Akhirnya persamaan (7) ditulis dalam bentuk ) ( '' )

  x f , sehingga nilai dari pembilang semakin kecil.

  tanda yang diberikan. Tanda yang dipilih disesuaikan dengan tanda ) ( ' _n

  1  n x , tergantung pada

  (8) Persamaan (7) dan (8) memberikan dua nilai yang mungkin untuk

  1 _n ^{n n n n n n} x f x f x f x f x f x x

  

  2

  ) ( '' ) ( '' ) ( ( 2 ) ' ) ( '

  , maka persamaan (7) menjadi

  Untuk  

  1   .

  2

  dan  adalah suatu parameter, dengan  1   dan

    

  

  2 _{n n n} D x f x f x f

  2 1 ( ( 2 ) ''

  ) ( '' ) ( )

  (7) dimana

  e e x x _{p n n n p n n n}

  | | lim

  2

    

       

    

  L x x x

  1 _n ^{n n n n} x f x f

  '

  1

  1

  2

  ) ( ) (

  (4) ) (

  

    

    

  (5) dimana . ) (

  L x x x

  1 _n ⁿ _n ^{n n} x f x f

  '

  2

  2

  ) ( ) (

  (3) ) (

      

  1 _{n n} ^{n n n} L x x f x f x x

  '

  2 ) ( ) (

  1

  1

  

  ) ( ) ( ) (

  | | lim | |

  2 ) ( '' ) ( ' ( 6 )

  , | |

  . Jika terdapat dua buah konstanta  A dan  p maka

   n

   , 2 , 1 ,

  untuk

  x e

     _{n n}

  { } _n x konvergen ke  dan misalkan

  Asumsikan bahwa suatu barisan

  Definisi 1

  Pada penelitian ini dilakukan kajian ulang terhadap pekerjaan yang terlebih dahulu telah dilakukan oleh Eskandari (Eskandari, 2008). Dalam tulisannya, Eskandari belum melakukan pembuktian analisa kekonvergenan dari metode yang dikemukakannya. Untuk itu penulis melakukan analisa ini dengan menggunakan definisi tingkat kesalahan (Bartle, 2000).

  6 _{n n n n n} C x x f x x f x f   

  dan

  2 ' '' _{n n n n} x f x f x f

  6 _{n n n} B x x f x f  

  A x f  , ) ( '' ( 2 ) '

  (6) dengan ), ( '' _n

  

     

  1

  2

  4

  2

  A AC B B x _n

  2008) mengembangkan metode Hybrid yang diperoleh melalui ekspansi Taylor orde ketiga. Bentuk formula iterasinya adalah

  Ketiga metode di atas telah dibuktikan memiliki orde kekonvergenan kubik. Selanjutnya Nasr Al-Din dalam (Nasr,

  L x 

1 A

  2 Analisa Kekonvergenan kf x f x  f  kC e

  ( ) '' ( ) ' ( )  _{n n}

  4 2 n

  Teorema 1

  2

  2

  3    (

  4 kC 12 kC ) e O ( e ) _{n n }

  2

   (17)

  3 Misalkan  I adalah akar sederhana dari

  

  fungsi f :

  I R . Misalkan f , f ' , f '' , f ' ''

  Jika persamaan (17) dibagi dengan

  (iv )

  dan f kontinu pada interval I. Jika x persamaan (15) kemudian disederhanakan cukup dekat ke  maka metode iterasi pada dengan menggunakan identitas persamaan (9) mempunyai orde

  1 ^{2 3} _n  1  x  x  x    O ( x )

  kekonvergenan kuadratik untuk   

  1

   1 x 2 dan kubik untuk  .

   dengan mengambil sampai suku , di-

  x

  peroleh bentuk

  Bukti: kf x f x

  ( ) '' ( )

  n n

  Misalkan  adalah akar dari fungsi  kC e

  4

  2 n

  2 f x

  ' ( )

  f x  , maka   . Asumsikan n ( ) f ( )

  2

  2

  12 12 ) ( ) .

  3

  2 n n

  3     dan e  x   . f ' ( ) , f '' ( ) _{n n (}  kC  kC e  O e

  Dengan melakukan ekspansi Taylor untuk

  f ( x ) disekitar x  , maka _{n n} 

  Dengan menggunakan identitas

  1 f '' (  )

  2

  3

  1

  1

  1

  2

  3    f ( x ) f ' (  ) e e O ( e ) . (10) _{n n n n}

  2 ( 1  x )  1  x  x  x   , 2 !

  2

  8

  16

  2 Selanjutnya dengan memfaktorkan f ' (  )

  dan dengan mengambil sampai suku x ,

  1

  dari persamaan (10), maka diperoleh

  2 3   kf ( x ) f '' ( x ) _{n n}

   O e  f '' ( ) ( )

  

  2 n  

   maka hasil dari

  1

  f x f e e ( )  ' (  )   (11) _{n n n}

  2

   

    f ' ( x )

  2 ! f ' ( ) f ' ( ) ⁿ

     

   

  setelah disederhanakan dan dimisalkan untuk menyederhanakan notasi misalkan

  ( j )

  dengan A adalah _n 1 f (  )

  C j   _j

   untuk

  2 , 3 ,   A _{n n}

  1 2 kC e

  2 j ! f ' (  )

  (18)

  2

  2

  2

  2

  3  kC  k C  kC e  O e (

  6

  2 6 ) ( )

  sehingga persamaan (11) menjadi

  2

  2 3 n n

  2

  3    f ( x ) f ' (  ) e C e O ( e ) . Misalkan B adalah hasil perkalian dari (12) _{n  n n n  n}

2 Dengan cara yang sama masing-masing persamaan (13) dengan persamaan (18),

  maka akan diperoleh bentuk

  f x

  untuk f ' ( x ) dan ''   diperoleh _{n n}

  B f C kC e     _n ' ( )( 1 (

  2 2 )

  2 2 n

  2 f x  f   C e  O e , (13)

  ' ( ) ' ( ) _{n }

  1 2 ( ) 2 n n 

  2

  2

  2

  2

  3  C  k C  kC  kC e  O e (

  3

  2

  2 6 ) ( )

  2

  2 3 n n

  3

  dan (19)

  f '' ( x )  f ' (  )  _{n n}

  2 C  O ( e )  (14)

2 Persamaan (13) dikurangkan dengan

  Kemudian persamaan (13) dikuadratkan, persamaan (19), kemudian hasilnya dibagi sehingga diperoleh

   dengan 2 kC f ' ( )

  2

  2

  2

  dan dimisalkan dengan

    ( f ' ( x )) f ' (  )  _{n n}

  1

  4 C e

  2 C , _n

  2

  2

  3

  (15)

   (

  4 C 

  6 C ) e  O ( e )

  2 3 n n   

  3 C _{3 2 3}

  . (20)

  C  e   C  kC  e  O ( e ) _{2 2} Dengan mengalikan persamaan (12) dengan n n n n  

  C ₂  

  persamaan (14) diperoleh

  2 Dengan mengalikan persamaan (14) dengan   f ( x ) f '' ( x ) f ' ( ) _{n n} k

  (16) , selanjutnya hasilnya dibagi dengan

  2

  2

  3   

  2 C e ( _{n n n}

  2 C

  6 C ) e O ( e ) 

  2

  2 3  kC f  D

  2 ' ( ) , dan dimisalkan dengan ,

  2 n  

  1 2  ) , maka hasil perkalian

  2 Misalkan k (

  3 C e

  6 C e

  3 n 4 n

  3 D     O e _{n n} 1 ( ) . (21) k dengan persamaan (16) adalah

  C C

  2

  2 Kemudian dengan membagi persamaan (20)

  dan (21), setelah disederhanakan diperoleh

  ) ( ) (

   Polinomial dan trigonometri , cos ) (

  1  ⁿ x f _{n n}

  ) (

  Perbandingan Komputasi metode Newton, Euler, Halley, Chebyshev, Hybrid dan metode Iterasi Baru No x Metode n COC

  Tabel 1.

  Hasil dari uji komputasi terhadap ketiga persamaan nonlinear di atas diberikan pada tabel berikut.

   

  2  x x x f  dengan . 025224 8241323123 .

    3.

  1.0 Newton

  2     x e x x f ^x Dengan 398608 2575302854 .

  2 ( 3 )

   Polinomial dan eksponensial ,

   1  2.

  3    x x x f , dengan 140968 3652300134 .

  2

  10 ( 4 )

  1. Polynomial

   x x 1 1.

  5 2.00 3.662513e-21 2.12697640e-11 Euler

  Pada bagian ini diberikan tiga persamaan nonlinear yang juga biasa digunakan oleh peneliti lain dalam melakukan uji komputasi. Uji komputasi melibatkan :  Metode Newton (yang diperoleh melalui ekspansi Taylor orde satu),

  3 3.02 2.495742e-20 2.92235681e-07 Halley 4 2.83 8.907717e-17 3.10735042e-06 Chebyshev 4 2.99 6.184837e-41 2.07348899e-14 Hybrid 5 2.00 6.705185e-23 3.52471568e-12

  4 2.00 6.447265e-23 1.35119391e-11 Euler

  1.0 Newton

  4 2.00 9.981433e-19 7.85153397e-10 2.

   1 .  )

  3 3.02 2.495742e-20 2.92235681e-07 Baru (

  )

   

  Baru (

  5 2.00 2.040551e-18 5.02049803e-10 Euler

  3 3.00 4.634705e-27 1.66727549e-09 Halley 3 3.11 1.502197e-19 3.69864992e-07 Chebyshev 4 3.01 2.995954e-41 1.62843593e-14 Hybrid 5 2.00 2.227077e-27 2.03135730e-14

  2.0 Newton

  4 2.00 4.698100e-21 5.38665533e-11

  )

   1 . 

  3 3.00 4.634705e-27 1.66727549e-09 Baru (

  )

  

  Baru ( 

   Metode Euler, Halley, Chebyshev (yang diperoleh melalui ekspansi Taylor orde dua),  Metode Hybrid dan Metode Iterasi Baru (yang diperoleh melalui ekspansi Taylor orde tiga). Selain itu, simulasi ini juga akan melihat jumlah iterasi yang dibutuhkan metode sampai mendapatkan akar aproksimasi dan COC (Computational Order of Convergence) atau perhitungan orde konvergensi secara komputasi dari ketiga metode yang diaproksimasi. Tiga persamaan nonlinear yang akan digunakan yaitu:

  Contoh Komputasi

  3

  2

  1 ^{n n} e x , maka persamaan

  1

   

    

  (23) Karena

       

  1 ^{n n n n n} O e e C kC e x x

  2

  3

  2

  3

  ). ( ) (

  . (22) Selanjutnya persamaan (22) disubstitusikan ke persamaan (7), sehingga diperoleh

  C    

  2 ^{n n n} _n ⁿ O e e C kC e D

  2

  2

  (23) menjadi ). ( ) (

  2

    orde kekonvergenan metode iterasi baru menjadi kubik.

  2

  k , maka untuk

    

  2 1 (

  Berdasarkan Definisi 1, maka orde kekonver- genan dari metode iterasi baru adalah kuadratik. Karena )

  (25) Persamaan (25) merupakan persamaan tingkat kesalahan dari metode iterasi baru.

      

  1 ^{n n n} O e e C kC e

  2

  2

  2

  3

  ). ( ) (

  (24) Dengan mengurangkan kedua ruas persamaan (24) dengan  , sehingga diperoleh

    

        

  O e e C kC e e e

  1 n n n n n

  2

  3 3.29 5.969528e-17 6.51751018e-06 Halley 3 3.31 1.069462e-17 3.88333687e-06 Chebyshev 3 3.35 1.862320e-18 2.31751722e-06 Hybrid

  4 2.00 5.422535e-26 4.79928727e-13 Baru (

1.25 Newton

  Hasil yang paling menarik adalah ternyata metode iterasi baru untuk nilai 

  4 3.01 6.030369e-46 1.70192792e-15 Baru (

   1 .  )

  5 2.00 2.065217e-28 2.77639195e-14

  Dari hasil komputasi yang telah dilakukan, secara umum metode iterasi baru untuk 

   sebanding dengan metode Newton dan metode Hybrid karena ketiganya menghasilkan jumlah iterasi yang hampir sama untuk setiap fungsi. Tetapi untuk metode iterasi baru dengan nilai

    , iterasi yang diperlukan untuk memperoleh akar hampiran sebanding dengan metode Euler, Halley dan Chebyshev.

  Selanjutnya untuk orde konvergensi dari ketiga metode yang dihitung secara komputasi (COC), dapat dilihat bahwa metode iterasi baru dengan nilai   memiliki

  3  COC yang sama dengan hasil

  yang diberikan oleh metode Euler, Halley dan Chebyshev. Sedangkan metode Newton, metode Hybrid dan metode iterasi baru dengan nilai  lainnya memiliki .

  2  COC

  Hal ini menunjukkan bahwa orde konvergensi dari metode iterasi baru untuk   adalah kubik.

   memberikan perhitungan yang persis sama dengan metode Euler. Hal ini berarti bahwa metode iterasi baru untuk kasus khusus

   

    tidak lain merupakan metode

  Euler seperti yang diberikan oleh persamaan (3).

  UCAPAN TERIMA KASIH Disampaikan kepada Bapak Dr. Imran, M.

  M.Sc yang telah memberikan koreksi yang sangat berarti terhadap analisa kekonverge- nan metode iterasi baru yang dibahas.

  Nasr,A.I. 2008. A New Hybrid Iteration Method for Solving Algebraic Equations.

  Applied Mathematics and Computation 195, 772-774.

  Bartle, R.G. & Sherbert D.R. 2000.

  Intoduction to Real Analysis , Third Edition.

  John Wiley and Sons, New York. Conte,S.D. 1980. Elementary Numerical

  Analysis

  , Third Edition. McGraw- Hill Book Company, U.S.A. Eskandari, H. 2008. A New Numerical Solving Method for Equations of One

  )

  

  Baru ( 

   1 .  )

  )

  3 3.29 5.969528e-17 6.51751018e-06 Baru (

   1 . 

  )

  4 1.99 6.149290e-24 9.33098322e-12

  5 1.91 2.859204e-34 2.84545989e-17 Euler

  4 2.98 2.744334e-36 2.33479134e-12 Halley 4 2.97 8.806550e-43 1.68947859e-14 Chebyshev 4 2.96 7.697541e-48 3.71925859e-16 Hybrid 4 2.00 2.455967e-24 3.22988337e-12

  Baru ( 

  

  )

  4 2.98 2.744334e-36 2.33479134e-12 Baru (

  4 1.98 4.173421e-20 7.68707347e-10 3.

  4 3.01 6.030369e-46 1.70192792e-15 Halley 4 2.96 2.304548e-31 6.40849724e-11 Chebyshev 4 2.92 1.530340e-26 2.11006663e-09 Hybrid 5 2.00 1.055217e-17 3.43739455e-09

  1.0 Newton

  4 2.00 6.100657e-17 6.74840639e-09 Euler

  3 3.02 4.260586e-37 1.51582698e-12 Halley 3 2.94 1.420891e-27 1.17511726e-09 Chebyshev 3 2.90 1.281888e-24 9.23244669e-09 Hybrid 4 2.00 2.366284e-19 5.14744799e-10

  Baru (

   

  )

  3 3.02 4.260586e-37 1.51582698e-12 Baru (

  1 .  

  )

  4 2.00 1.102855e-26 2.02888361e-13

  2.0 Newton

  6 2.00 2.546261e-28 1.37868286e-14 Euler

KESIMPULAN DAN SARAN

DAFTAR PUSTAKA

  Variable. World Academy of Science, Engineering and Technology 44, 196-199. Halley, E. 1964. A new exact and easy method of finding the roots of equations generally, and that without any previous reduction, Phil.Roy. Soc. London 18 136- 145. Mathew, J.H. 1987. Numerical Method for Mathematical, Science, and Engineer . Prentice-Hall Internasional, U.S.A.

  Melman,

  A. 1997. Geometry and conve rgence of Euler’s and Halley’s Methods, SIAM Rev. 39 (4) 728-735.

  Traub, J.F. 1964. Iterative Methods for

  Solution of Equations , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

  Weerakoon, S & Fernando, T.G.I. 2000. A variant of Newton’s Method with Accelerated Third-Order Convergence.

  Applied Mathematics Letters . 13: 87 –93.