Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial

TUGAS AKHIR

  Oleh: Annisa Rahmita Soemarsono 1212100029

  Dosen Pembimbing : Sunarsini, S.Si, M.Si Drs. Sadjidon, M. Si ^{JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM} _{INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2016} ^{Teorema Titik Tetap Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan}

^{Lemah pada Ruang Metrik Parsial}

^{Fixed point theorem on weakly contractive mapping and weakly kannan mapping in partial metric space}

TUGAS AKHIR

  Apa yang telah dikerjakan? Mengapa mengerjakannya? Bagaimana mengerjakannya? Hasil yang diperoleh

  Abstrak

TUGAS AKHIR

  Latar Belakang Masalah ^{TUGAS AKHIR}

  Rumusan Masalah Bagaimana keberadaan dan ketunggalan titik tetap pada pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah di ruang metrik parsial. ^{TUGAS AKHIR}

TUGAS AKHIR

  Batasan Masalah Hanya membahas teorema titik tetap pada pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah di ruang metrik parsial 0,1 ⊂ ℝ.

  Tujuan Menyelidiki keberadaan dan ketunggalan titik tetap pada ruang metrik parsial dengan menggunakan teorema titik tetap pada pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah di ruang metrik parsial. ^{TUGAS AKHIR}

TUGAS AKHIR

  Manfaat

• Memperluas pengetahuan tentang konsep ruang metrik parsial dan teorema-teorema titik tetap pada ruang metrik parsial lengkap
• Sebagai bahan acuan dalam melakukan penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan perluasan ruang metrik parsial dan teorema titik tetap pada ruang metrik parsial.
• Sebagai landasan dalam pembuatan aplikasi di bidang matematika maupun di luar bidang Matematika yang membutuhkan konsep ruang metrik parsial dan teorema titik tetap pada ruang metrik parsial.

  Ruang Metrik ^{TUGAS AKHIR} Ruang Metrik Parsial

  VS , =

  , ≠

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Ruang Metrik Parsial , = 0 jika dan hanya jika = ^Jika , = 0 maka = . Hal ini tidak _{berlaku untuk kondisi sebaliknya} ^{Definisi Ruang Metrik Parsial Definisi Ruang Metrik}

PROPOSAL TUGAS AKHIR

  Penelitian Terdahulu _{Contractive Maps and} Weakly ^{Fixed Point} _{Theory in Partial On Fixed Point Theory in Elementary Domain Partial Spaces Metric A} Partial Metric _{Space Topology Metric} Continuation _{Method for Weakly} Kannan Maps

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Definisi 2.2.1 [3] Diberikan himpunan tak kosong . Fungsi : x → ℝ dikatakan metrik pada jika untuk setiap , , ∈ memenuhi (D1) ( , ) ≥ 0; (D2)

, = 0 jika dan hanya jika = ;

(D3) , = , ; (D4) , ≤ , + , . Pasangan , dikatakan sebagai ruang metrik.

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Contoh 2.2.2 [3] Diberikan himpunan ℝ . Fungsi : ℝ x ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai , = − untuk setiap x, y ∈ ℝ adalah metrik pada ℝ.

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Definisi 2.2.3 [3] Diberikan ruang metrik. Pemetaan ,

  : → dinamakan pemetaan kontraktif jika terdapat ∈ ℝ, 0 ≤ < 1 sedemikian hingga

  ( ), ( ) ≤ ( , ) untuk setiap , ∈ .

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Definisi 2.2.4 [5] Diberikan ( , ) ruang metrik. Pemetaan : → dinamakan pemetaan kontraktif lemah jika terdapat ̅: x → ) 0,1 sedemikian hingga untuk setiap 0 ≤ ≤ , sup , : ≤ , ≤ < 1 dan

  ( ), ( ) ≤ , ( , ) untuk setiap , ∈ .

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Definisi 2.2.5 [6] Diberikan ruang metrik. Pemetaan ,

  : → dinamakan pemetaan Kannan jika terdapat ∈ ℝ, 0 ≤ < 1 sedemikian hingga ( ), ( ) ≤ , ( ) + , ( ) untuk setiap , ∈ .

  2

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Definisi 2.2.6 [7] Diberikan ruang metrik. Pemetaan ,

  : → dinamakan pemetaan Kannan lemah jika terdapat : x → ) 0,1 sedemikian hingga untuk setiap

  0 ≤ ≤ , sup , : ≤ , ≤ < 1 dan

  

,

( ), ( ) ≤ , ( ) + , ( )

2

untuk setiap

  , ∈ .

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Parsial Definisi 2.3.1 [4]

• Diberikan himpunan tak kosong

  dikatakan . Fungsi : x → ℝ metrik parsial pada jika untuk setiap , , ∈ memenuhi (P1) = jika dan hanya jika , = , = , ; (P2) ( , ) ≤ , ; (P3) , = , ; (P4) , ≤ , + , − , . Pasangan , dikatakan sebagai ruang metrik parsial.

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Parsial Contoh 2.3.2 [2]

  Diberikan himpunan . Fungsi x didefinisikan ℝ : ℝ ℝ → ℝ

• sebagai

  adalah metrik , = , untuk setiap x, y ∈ ℝ

• parsial pada .

  ℝ

  Ruang Metrik Parsial ^{TUGAS AKHIR} Definisi 2.3.3 [4] Diberikan

  , adalah ruang metrik parsial dan { } adalah barisan pada untuk setiap ∈ ℕ, maka i. { } konvergen ke titik ∈ pada , jika dan hanya jika

  , = lim →∞

  ( , ) untuk setiap ∈ ℕ; ii. { } disebut barisan Cauchy pada , jika lim

  , →∞ ( , ) ada dan berhingga untuk setiap

  , ∈ ℕ; iii. , dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy { } pada konvergen ke titik ∈ sehingga , = lim

  , →∞ ( , ) untuk setiap , ∈ ℕ.

TUGAS AKHIR

  Ruang Metrik Parsial Definisi 2.3.4 [4] Diberikan , ruang metrik parsial. Pemetaan : → dinamakan pemetaan kontraktif jika terdapat ∈ ℝ, 0 ≤ < 1 sedemikian hingga

( ), ( ) ≤ ( , ) untuk setiap , ∈ .

TUGAS AKHIR

  Teorema Titik Tetap Teorema 2.4.1 [3] Diberikan , ruang metrik lengkap. Jika : → adalah pemetaan kontraktif, maka memiliki titik tetap yang tunggal.

TUGAS AKHIR

  Teorema Titik Tetap Teorema 2.4.2 [5] Diberikan , ruang metrik lengkap. Jika : → adalah pemetaan

  ∗ kontraktif lemah, maka dan memiliki titik tetap yang tunggal

  ∗ konvergen ke untuk setiap ∈ .

  ∈ℕ

TUGAS AKHIR

  Teorema Titik Tetap Teorema 2.4.3 [6] Diberikan , ruang metrik lengkap. Jika : → adalah pemetaan

  ∗ Kannan, maka dan memiliki titik tetap yang tunggal

  ∈ℕ ∗ konvergen ke untuk setiap ∈ .

TUGAS AKHIR

  Teorema Titik Tetap Teorema 2.4.4 [7] Diberikan , ruang metrik lengkap. Jika : → adalah pemetaan

  ∗ Kannan lemah, maka dan memiliki titik tetap yang tunggal

  ∗ konvergen ke untuk setiap ∈ .

  ∈ℕ

TUGAS AKHIR

  Teorema Titik Tetap Teorema 2.4.5 [4] Diberikan , ruang metrik parsial lengkap. Jika : → adalah pemetaan kontraktif, maka memiliki titik tetap yang tunggal.

TUGAS AKHIR

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.1.1 Diberikan

  , ruang metrik parsial. Jika fungsi : x → ℝ dengan , = 2 , − , − ,

  (4.1)

  untuk setiap

  , ∈ , maka

  adalah metrik pada . _Bukti:  ^{(P2) dan (P3)}

  → (D1)  (P2), (P3) dan (P1)

  → (D2)  ^(P3)

  → (D3)  ^(P4)

  → (D4) ^{TUGAS AKHIR}

TUGAS AKHIR

  Lemma 4.1.2 Diberikan ruang metrik, dengan

  , ruang metrik parsial dan ,

  

adalah metrik yang didefinisikan pada (4.1). Barisan adalah barisan

  { }

  ∈ℕ Cauchy pada

  , jika dan hanya jika { } adalah barisan Cauchy pada . ,

TUGAS AKHIR

  Lemma 4.1.3 Diberikan ruang metrik, dengan

  , ruang metrik parsial dan , adalah metrik yang didefinisikan pada (4.1).

  , dikatakan lengkap jika dan

  hanya jika lengkap. Sehingga, jika diberikan barisan pada

  , { }

  ∈ℕ

  , maka untuk ∈ , ( , ) = 0 jika dan hanya jika , =

  →∞ ( , ) = ( , ). →∞ , →∞ Teorema 4.1.4 Diberikan

• dengan

  , ruang metrik. Jika fungsi : x → ℝ

• ,

  , =

  2

  untuk setiap

  , ∈ , maka

  adalah metrik parsial pada . _Bukti:  ^(D2)

  → (P1)  (D1) dan (D2)

  → (P2)  ^(D3)

  → (P3)  ^(D4)

  → (P4) ^{TUGAS AKHIR}

TUGAS AKHIR

  Definisi 4.2.1 Diberikan

  , ruang metrik parsial. Pemetaan : → dinamakan pemetaan

kontraktif lemah jika terdapat sedemikian hingga untuk setiap

  : x → ) 0,1 0 ≤ ≤ ,

, : ≤ , ≤ < 1

dan

  

( ), ( ) ≤ , ( , )

untuk setiap , ∈ .

TUGAS AKHIR

  Contoh 4.2.2

  Diberikan metrik parsial, dengan : 0,1 x 0,1 → 0,1 didefinisikan sebagai untuk setiap

  , = , ₂ , ∈ 0,1 . Jika fungsi : 0,1 → untuk setiap 0,1 dengan = ∈ 0,1 dan fungsi : 0,1 x 0,1 → ) 0,1

  2

  1

  dengan untuk setiap , = , ∈ 0,1 , maka merupakan pemetaan

  2

  kontraktif lemah pada ruang metrik parsial 0,1 ,

TUGAS AKHIR

  Contoh 4.2.3

  Diberikan fungsi : 0,1 x 0,1 → 0,1 dengan , = − untuk setiap

  , ∈ 0,1 dan adalah metrik parsial, : 0,1 x 0,1 → 0,1 yang didefinisikan sebagai , = , untuk setiap , ∈ 0,1 . Jika fungsi ₂ dengan untuk setiap dan fungsi

  : 0,1 → 0,1 = ∈ 0,1

  2

  1

  untuk setiap : 0,1 x 0,1 → ) 0,1 dengan , = , ∈ 0,1 , maka

  2 bukan merupakan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik .

  0,1 ,

TUGAS AKHIR

  Definisi 4.2.4 Diberikan

  , ruang metrik parsial. Pemetaan : → dinamakan

  pemetaan Kannan lemah jika terdapat

  : x → ) 0,1 sedemikian hingga

  untuk setiap

  0 ≤ ≤ , , : ≤ , ≤ < 1

  dan

  , ( ), ( ) ≤ , ( ) + , ( )

  2

  untuk setiap , ∈ .

TUGAS AKHIR

  Contoh 4.2.5

  Diberikan metrik parsial, dengan : 0,1 x 0,1 → 0,1 yang didefinisikan sebagai

  , = , untuk setiap , ∈ 0,1 . Jika fungsi : 0,1 → ₂ untuk setiap 0,1 dengan = ∈ 0,1 dan fungsi : 0,1 x 0,1 →

• 1

  ) 0,1 dengan

  , , , ≠ 0

  , = ,

  , , = 0 untuk setiap , ∈ 0,1 , maka merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial

  0,1 , .

TUGAS AKHIR

  Contoh 4.2.6

  Diberikan metrik, dengan : 0,1 x 0,1 → 0,1 didefinisikan sebagai

  , = − untuk setiap , ∈ 0,1 . Jika fungsi : 0,1 → 0,1 dengan ₂ untuk setiap = ∈ 0,1 dan fungsi : 0,1 x 0,1 → ) 0,1 dengan

• 1

  , , , ≠ 0

  , = ,

  , , = 0 untuk setiap , ∈ 0,1 dengan metrik parsial, : 0,1 x 0,1 → 0,1 yang didefinisikan sebagai

  , = , untuk setiap , ∈ 0,1 , maka bukan merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik .

  0,1 ,

TUGAS AKHIR

  Lemma 4.3.1 Diberikan

  , ruang metrik parsial lengkap dan : → merupakan

  pemetaan sedemikian hingga terdapat dengan

  : x → 0,1 , : ≤ , ≤ < 1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , dan 1 ,

  , ≤ , , ,

  2

• ,

  untuk setiap dengan

  , ∈ . Jika ∈ memenuhi barisan =

  , maka

  =

  −1

  , ≤ , ,

• 1 −1 −1

  untuk setiap ∈ ℕ.

TUGAS AKHIR

  Lemma 4.3.2 Diberikan

  , ruang metrik parsial lengkap dan : → merupakan

  pemetaan sedemikian hingga terdapat dengan

  : x → 0,1 , : ≤ , ≤ < 1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , dan 1 ,

  , ≤ , , ,

  2

• ,

  untuk setiap barisan pada

  , ∈ . Jika , dengan =

• 1 ∈ℕ

  dan , maka konvergen ke

  = ≠ ,

  −1

• 1 +1 ∈ℕ
• 1 →∞

  bilangan real = 0 dengan kata lain , = 0.

TUGAS AKHIR

  Lemma 4.3.3 Diberikan

  , ruang metrik parsial lengkap dan : → merupakan

  pemetaan sedemikian hingga terdapat dengan

  : x → 0,1 , : ≤ , ≤ < 1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , dan 1 ,

  , ≤ , , ,

  2

• ,

  ∗ untuk setiap

  , ∈ . Fungsi dikatakan memiliki titik tetap ∈ jika

  ∗ ∗ ∗ ∗ .

  , = 0 sehingga berakibat =

TUGAS AKHIR

  Lemma 4.3.4 Diberikan

  , ruang metrik parsial lengkap dan : → merupakan

  pemetaan sedemikian hingga terdapat dengan

  : x → 0,1 , : ≤ , ≤ < 1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , dan 1 ,

  , ≤ , , ,

  2

• ,

  ∗ untuk setiap

  , ∈ . Fungsi dikatakan memiliki titik tetap tunggal =

  ∗

  ∈ jika terdapat titik tetap yang lain, misal ∈ , sedemikian hingga

  ∗ ∗ ∗ , = 0 atau = = ∈ .

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5 (Teorema Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial) Diberikan

  ≠ ∅. Jika , adalah ruang metrik parsial lengkap dan : →

  merupakan pemetaan sedemikian hingga terdapat

  : x → 0,1 dengan , : ≤ , ≤ < 1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , sehingga

  ,

  1

  (4.19) , ≤ , , ,

  2

• ,

  ∗ untuk setiap

  , ∈ , maka memiliki titik tetap yang tunggal ∈ dan

  ∗ barisan konvergen ke

  ∈ untuk setiap ∈ sehingga

  0 ∈ℕ ∗ ∗

  , = 0.

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5

  Bukti: Langkah 1: Ditunjukkan bahwa untuk setiap

  , ∈ memenuhi (4.19). Diambil sembarang dengan dan

  ∈ . Didefinisikan barisan = = ≠

  −1

  untuk setiap ∈ ℕ. Misalkan, = = dan = =

• 1

  −1 +1

  = = , maka berdasarkan Lemma 4.3.1, diperoleh

  −1

  bahwa dengan

  , ≤ , , 0 ≤ , ≤ 1 ,

• 1 −1 −1

  −1

  artinya untuk setiap , ∈ memenuhi (4.19). Karena 0 ≤ , ≤ 1,

  −1

  akibatnya barisan tidak naik, sehingga barisan tersebut

  ,

• 1 ∈ℕ

  −1 ∈ℕ

  konvergen ke bilangan real = inf , = 0.

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5

  Langkah 2: ditunjukkan bahwa barisan konvergen ke

  , = 0 . Jika

• 1 ∈ℕ

  barisan pada dan

  , dengan = = ≠

• 1 ∈ℕ

  −1

  , maka dari Lemma 4.3.2, terlihat bahwa konvergen ke ,

  =

• 1
• 1 ∈ℕ 0 dengan kata lain lim , = 0.
• 1 →∞

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5 _{Ditunjukkan bahwa adalah barisan Cauchy pada} Langkah 3:

_{ditunjukkan bahwa adalah barisan Cauchy pada dengan adalah metrik}

, . Terlebih dahulu, _{yang didefinisikan pada (4.1). Berdasarkan Lemma 4.3.2,} , lim , = 0 ,

• 1 _sehingga

  →∞ lim , = 0 sebab

• 1 →∞
_{untuk setiap} , ≤ 2 , ∈ ℕ. (4.20) _Karena +1 +1 adalah metrik parsial, maka memenuhi (P2) sehingga untuk setiap ∈ ℕ, _{, (4.21)} , ≤ , maka diperoleh<

• +1

  lim , = 0.

  →∞

• 1−1
>&l
• ≤ 2 ,
• ⋯ + 2 ,

• −1
• −1

  1 sup ⁻¹ , : 0≤ ₋₁ , ≤ , ₁ 1−sup ⁻¹ , :

  ≤ 2 ,

  1

  , ≤ ,

  −1

  , : 0 ≤

  −1

  sup

  1 =

  ≤ 2 ,

  1

  , ≤ ,

  −1

  −1

  , : 0 ≤

  sup

  1

  1

  , ≤ ,

  −1

  , : 0 ≤

  −1

  sup

  1

  ,

  ,

  adalah metrik sehingga memenuhi (D4). Dari (4.15) dan (4.20), maka untuk ∈ ℕ,

  Teorema 4.3.5

  0≤ ₋₁ , ≤ , ₁ ^{TUGAS AKHIR}

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5 _dengan sup , : 0 ≤ , ≤ ,

  −1 −1

  1 ,

  1 1 − sup , : 0 ≤ , ≤ , _{merupakan jumlahan dari semua suku deret geometri} −1 −1

  1

• −1

  , :

−1

sup

  ,

  1

0 ≤ , ≤ ,

  −1

  1 _{yang memiliki suku awal, yaitu} =

sup , : 0 ≤ , ≤ , ,

_{dan rasionya adalah} −1 −1

  1

  1 sup , : 0 ≤ , ≤ , &lt; 1). _{Hal ini menunjukkan bahwa adalah barisan Cauchy pada untuk setiap} −1 −1

  1 _{adalah barisan Cauchy} , ∈ _{untuk setiap} ℕ. Berdasarkan Lemma 4.1.2, diperoleh bahwa , ∈ ℕ.

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5 _{Langkah 4: Ditunjukkan bahwa konvergen ke} ∗

_{parsial lengkap, dari Lemma 4.1.3, diperoleh bahwa merupakan ruang metrik lengkap,}

∈ pada , . Karena , adalah ruang metrik , _sehingga ∗ lim , = 0 jika dan hanya jika

  →∞ ∗ ∗ ∗ _(4.22) , = lim , = lim ,

  →∞ , →∞ _{untuk setiap konvergen ke} ∗

_{setiap Karena adalah barisan Cauchy pada , maka diperoleh}

, ∈ ℕ. Hal ini menunjukkan bahwa ∈ pada , untuk ∈ ℕ .

  , lim , = 0 untuk , ∈ ℕ. Dari (4.21), diperoleh lim , = 0, dan dari definisi , →∞

  →∞ _{pada (4.1), diperoleh} ∗ ∗ lim , = 0 sehingga (4.22) menjadi , =

  , →∞ ∗ lim , = lim , = 0 untuk setiap , ∈ ℕ.

  →∞ , →∞

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5

  Langkah 5: Dibuktikan bahwa memiliki titik tetap pada , . Karena memenuhi (4.19)

  ∗

  untuk setiap , ∈ , maka berdasarkan Lemma 4.3.3, memiliki titik tetap ∈

  ∗ ∗ ∗ ∗

  . Karena sedemikian hingga , = 0 sehingga berakibat =

  ∗ ∗

  memiliki titik tetap konvergen ke

  ∈ , maka barisan = ∈

  0 ∈ℕ ∗ ∗

  untuk setiap ∈ atau , = 0.

TUGAS AKHIR

  Teorema 4.3.5

  Langkah 6:

  ∗ ∗

  Dibuktikan bahwa memiliki titik tetap tunggal = ∈ pada , . Karena memenuhi (4.19) untuk setiap , ∈ , maka berdasarkan Lemma

  ∗ ∗

  4.3.4, memiliki titik tetap yang tunggal = ∈ .

TUGAS AKHIR

  Contoh 4.3.6

  Diberikan 0,1 , ruang metrik parsial lengkap dengan : 0,1 x 0,1 → 0,1 yang didefinisikan sebagai

  , = , untuk setiap , ∈ 0,1 . Jika fungsi untuk setiap

  : 0,1 → 0,1 dengan = ∈ 0,1 dan fungsi

  8

  1

  untuk setiap : 0,1 x 0,1 → 0,1 dengan , = , ∈ 0,1 , maka

  2 ∗

  memiliki titik tetap tungggal = 0 ∈ 0,1 .

TUGAS AKHIR

  Kesimpulan  Jika diberikan

  ≠ ∅ dan adalah metrik parsial pada , maka fungsi ∶ x → ℝ dengan , = 2 , − , − , untuk setiap

  , ∈ adalah metrik pada . Jika diberikan

   ≠ ∅ dan adalah metrik pada , maka fungsi ∶ x →

• dengan ℝ
• , , =

  2 untuk setiap , ∈ adalah metrik parsial pada .

TUGAS AKHIR

  Kesimpulan Pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik

   parsial menjamin keberadaan dan ketunggalan titik tetap.

  Jika terdapat pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik parsial, maka 

belum tentu pemetaan tersebut juga merupakan pemetaan kontraktif lemah

pada ruang metrik.

  Jika terdapat pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik parsial, maka belum 

tentu pemetaan tersebut juga merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang

metrik.

TUGAS AKHIR

  Saran

   Perlu ditambahkan contoh metrik parsial selain yang didefinisikan sebagai

• x , .

  : ℝ ℝ → ℝ , = max , untuk setiap , ∈ ℝ

   Perlu diberikan contoh pemetaan yang memberikan analogi antara pemetaan

kontraktif dan pemetaan kontraktif lemah serta analogi antara pemetaan

Kannan dan pemetaan Kannan lemah.

TUGAS AKHIR

  [1] Samet, Bessem, Calogero V, Francesca V. 2013. From Metric Spaces to _{11. Partial Metric Spaces. Fixed Point Theory and Aplications 2013, 2013:5, 1-} D _{A F [2] Alghamdi, Maryam A, Naseer S, Oscar V. 2012. On Fixed Point Theory in Partial Metric Spaces. Fixed Point Theory and Applications 2012, R A} T 2012:175, 1-25. _{[3] Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Aplication. John Wiley and Sons, Inc.Canada, 30, 300. U P [5] Dugundji, J dan A. Granas. 1978. Weakly Contractive Maps and} [4] Matthews, SG. 1994. Partial Metric Topology. Annals of the New York _{Academy of Sciences, 183 - 197. A T} S _{141-151. Elementary Domain Invariance Theorem*. Bull. Greek Math. Soc. 19, A Mathematical Society, Vol. 60, 71-76. K [7] Ariza-Ruiz, D dan Antonio Jim} [6] Kannan, R. 1968. Some Results On Fixed Points. Bulletin of the Calcutta _{for Weakly Kannan Maps. Fixed Point Theory and Applications, Volume} nez-Melado. 2010. A Continuation Method

  Terima Kasih