PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL - ITS Repository

  TUGAS AKHIR - SM 091332 PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN

ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI

DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL

YUYUN INDAH TRISNAWATI NRP 1210 100 039 Dosen Pembimbing Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

JURUSAN MATEMATIKA

  FINAL PROJECT - SM 091332 FLOW RATE EFFECT OF MAIN STREAM AND LATERAL STREAM TOWARDS SEDIMENTATION

PROFILE AT THE CONFLUENCE OF TWO RIVERS

SINUSOID MODEL YUYUN INDAH TRISNAWATI NRP 1210 100 039 Dosen Pembimbing Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

  

DAFTAR ISI

  7 2.1.2 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Ruang ...

  16 BAB III. METODE PENELITIAN

  2.4.2 Alternating Direction Implicit (ADI) Method ............................................................................

  2.4.1 Metode Beda Hingga ................................. 12

  2.4 Metode Beda Hingga-Alternating Direction Implicit (ADI) ................................................................... 12

  2.3 Konsep Volume Hingga ...................................... 11

  9

  8 2.2 Sedimentasi .........................................................

  2.1.3 Tipe Aliran Berdasarkan Perbandingan Gaya- gaya Inersia dengan Kekentalan ...............

  7

  7 2.1.1 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Waktu ...

  Halaman

  BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Aliran Saluran Terbuka .......................................

  1.6 Sistematika Penulisan ......................................... 4

  1.5 Manfaat ............................................................... 4

  1.4 Tujuan ................................................................. 3

  1.3 Batasan Masalah ................................................. 3

  1.2 Rumusan Masalah ............................................... 2

  1.1 Latar Belakang .................................................... 1

  

ABSTRACT ......................................................................... ix

KATA PENGANTAR ........................................................ xi

DAFTAR ISI ....................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR .......................................................... xv

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI .................................. xvii

BAB I. PENDAHULUAN

  vii

  

HALAMAN JUDUL........................................................... i

HALAMAN PENGESAHAN ............................................ v

ABSTRAK ...........................................................................

  3.1 Tahapan Penelitian .............................................. 17

  BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

  4.1 Hidrodinamika Aliran Sungai ............................. 21

  4.1.1 Persamaan Kekekalan massa ..................... 22

  4.1.2 Persamaan Kekekalan Momentum ............. 26

  4.2 Morfologi Sungai ................................................ 35

  4.3 Diskritisasi Model Dua Dimensi......................... 36

  4.3.1 Persamaan Kekekalan Massa Sungai Utama ............................................................................ 37

  4.3.2 Persamaan Kekekalan Momentum Sungai Utama .................................................................. 38

  4.3.3 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Sungai Utama .................................................................. 43

  4.3.4 Persamaan Kekekalan Massa Pertemuan Sungai ................................................................. 44

  4.3.5 Persamaan Kekekalan Momentum Pertemuan Sungai ................................................................. 46

  4.3.6 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Pertemuan Sungai ............................................... 51

  4.4 Proses Simulasi ..................................................... 52

  4.4.1 Simulasi I ................................................. 52

  4.4.2 Simulasi II ............................................... 55

  4.4.3 Simulasi III .............................................. 57

  4.4.4 Simulasi IV .............................................. 59

  BAB V. PENUTUP

  5.1 Kesimpulan ............................................................. 63

  5.2 Saran ........................................................................ 64

  DAFTAR PUSTAKA ............................................................ 65 BIODATA PENULIS ............................................................ 67

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman

Gambar 2.1 Kisi Beda Hingga Skema Maju Ruang dengan

  dan ....................... 13

Gambar 2.2 Kisi Beda Hingga Skema Mundur ................... 14Gambar 2.3 Kisi Beda Hingga Skema Tengah-Ruang ......... 15Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Penelitian ...................... 19Gambar 4.1 Penampang Sungai ........................................... 21Gambar 4.2 Volume Kendali ............................................... 22Gambar 4.3 Sungai Utama ................................................... 33Gambar 4.4 Anak Sungai ..................................................... 33Gambar 4.5 Pertemuan Sungai ............................................. 34Gambar 4.6 Pola Diskritisasi untuk u, v, dan h .................... 37Gambar 4.7 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak

  Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I 53

Gambar 4.8 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama,

  Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I ......................................................... 54

Gambar 4.9 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama,

  Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I ......................................................... 54

Gambar 4.10 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak

  Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II 55

Gambar 4.11 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama,

  Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II ....................................................... 56

Gambar 4.12 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama,

  Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II ........................................................ 56

Gambar 4.13 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak

  Sungai dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III 57

Gambar 4.14 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama,Gambar 4.15 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama,

  Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III ....................................................... 58

Gambar 4.16 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak

  Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV .......................................................................... 59

Gambar 4.17 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama,

  Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV ....................................................... 60

Gambar 4.18 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama,

  Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV ....................................................... 60

KATA PENGANTAR

  Dengan Rahmat Allah SWT, syukur Alhamdulillah, penulis dapat menyelesaikan penyusunan Laporan Tugas Akhir yang berjudul “Pengaruh Laju Aliran Sungai Utama Dan Anak

  

Sungai Terhadap Profil Sedimentasi Di Pertemuan Dua

Sungai Model Sinusoidal

  ”. Dalam penyusunan Laporan Tugas Akhir ini, penulis banyak menerima bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, sehingga dalam kesempatan ini penulis ingin berterima kasih kepada:

  Ibu Dr. Erna Apriliani, M.Si. sebagai Ketua Jurusan 1. Matematika FMIPA ITS. Bapak Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. sebagai dosen 2. pembimbing Tugas Akhir yang telah memberikan motivasi dan pengarahan dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

  Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp. sebagai koordinator 3. Tugas Akhir. Ibu Dra. Farida Agustini Widjajati, MS. Sebagai dosen 4. wali selama penulis kuliah di Jurusan Matematika FMIPA- ITS.

  Bapak Subchan, M.Sc., PhD, Bapak Dr. Chairul Imron, 5. MI.Komp., dan Ibu Sholeha, S.Si, M.Si. sebagai dosen penguji Tugas Akhir yang telah memberikan kritik dan saran yang bersifat membangun dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

  Semua pihak yang telah memberikan dukungan dan ilmu 6. kepada penulis dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

  Penulis menyadari bahwa selama masa penelitian dan penyusunan laporan ini masih ada kekurangan dan kesalahan. perbaikan di masa yang akan datang. Semoga laporan Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak.

  Surabaya, 2014 Penulis

  Special thank’s to:

  Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah – 1. Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan lancar.

  Kedua orang tua, Bapak Muslimin dan Ibu Siamah, yang 2. telah memberikan doa dan motivasi lahir batin sampai kelulusan kuliah S-1 ini.

  Saudara kandung, Veri Irawan, yang telah memberikan 3. dukungan selama penulis menempuh pendidikan sampai mendapatkan gelar sarjana.

  Kakek dan Nenek, Bapak Dakelan dan Ibu Latikah serta 4. keluarga besar yang telah banyak memberikan dukungan dan doa selama penulis kuliah di Matematika FMIPA-ITS.

  Teman-teman angkatan 2010 Matematika ITS, Dyah Ayu 5. Erniasanti, Mita Sani Untari, Amilia Khoiro Masruri, Ari Serawati, Ike Miftahul Jannah, Ema Enggar Wati, Belgis Ainatul Izza, dan lainnya yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

  Teman satu kos, Ria Aniza (Teknik Lingkungan 2011) 6. yang telah banyak memberikan dukungan dan bantuan selama peulis menyelesaiakan Tugas Akhir ini.

7. Kakak-kakak angkatan yang membantu dalam proses

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI

  : kedalaman sungai (m) : waktu (s) : kecepatan aliran sungai arah x (m/s) : kecepatan aliran sungai arah y (m/s) : kecepatan aliran sungai arah z (m/s) : banyaknya sedimen bed load : koefisien Chezy ( = 8.0) : rasio massa jenis sedimen dengan massa jenis air

  2

  : percepatan gravitasi ( ) = 9.8 /

  : rata-rata diameter sedimen (m)

  50

  2

  : tegangan geser ( ) /

  3

  : massa jenis air ( ) /

  : kecepatan aliran sungai (m/s) ₃ : massa jenis sedimen (kg/m ) : ketinggian dasar sungai (sedimen) (m) : porositas tanah : surface force (N) : body force (N)

  3

  : berat jenis air ( ) /

  : lebar sungai (m) : koefisien gesek (N)

  2

  ( : luas volume kendali ) : panjang domain kendali pertemuan sungai (m) : panjang domain kendali sungai utama (m) : panjang domain kendali anak sungai (m)

  1

  , : kemiringan dasar sungai : body force pada sungai utama (N) : body force pada pertemuan sungai (N)

  ∗

  : koefisien Chezy

  3

  ( / : debit pada sungai utama

  1

  )

  3

  : gaya geser pada pertemuan sungai (N) , : gaya gesek pada dinding sungai (N)

  1

  2

  : gaya gesek dasar sungai (N)

  

PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN

ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI DI

PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL

Nama : Yuyun Indah Trisnawati NRP : 1210 100 039 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc ABSTRAK

  Sungai merupakan aliran air permukaan yang

  ke tempat yang lebih rendah, jumlahnya salah satunya

  mengalir

  bergantung dari daerah tangkapan air (catchment area) yang terdiri dari sebuah sungai dan anak sungainya yang disebut dengan confluence. Aliran air pada sungai selain mengalirkan air dari hulu ke hilir yang akhirnya ke laut juga mengalirkan material sedimen sebagai hasil dari proses erosi pada dinding ataupun dasar sungai. Proses terjadinya sedimentasi pada pertemuan sungai dapat dimodelkan secara matematis dan disimulasikan secara numerik. Pada Tugas Akhir ini, dikembangkan model sedimentasi di pertemuan dua sungai model sinusoidal dengan menggunakan pendekatan volume hingga. Model ini selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga-

  

Alternating Direction Implicit (ADI) dan hasil tersebut

  disimulasikan dengan menggunakan Matlab. Dari hasil simulasi diperoleh hasil bahwa semakin besar debit yang masuk dari sungai utama, diperoleh rata-rata bahwa kedalaman sungai semakin turun, kecepatan aliran sungai semakin turun dan ketinggian sedimen semakin naik, tetapi perubahan yang terjadi tidak begitu signifikan. Besarnya debit sungai utama dan anak berpengaruh terhadap kedalaman sungai, kecepatan aliran sungai dan ketinggian sedimen.

  Sedimentasi, Metode Beda Hingga, Alternating Kata Kunci

  — Direction Implicit

  

FLOW RATE EFFECT OF MAIN STREAM AND LATERAL

STREAM TOWARDS SEDIMENTATION PROFILE AT THE

CONFLUENCE OF TWO RIVERS SINUSOID MODEL

Name of Student : Yuyun Indah Trisnawati NRP : 1210 100 039 Department : Mathematics Supervisor : Prof. Dr. Basuki widodo, M.Sc ABSTRACT

  River is the flow of water surface which flows into a lower

place, the number one of the flow is dependent from catchment

area, which consists of a main stream and lateral stream is called

by confluence. The flow of water in the rivers not only to flow

water from upstream to downstream into the sea but also to flow

material sediment as a result of the erosion process on the wall

or the bottom of the river. The process of sedimentation at the

confluence can be mathematically modeled and numerically

simulated. The morphology confluence of two rivers to be

reviewed is the sinusoid model. In this final project, it is

constructed the sedimentation model at the confluence of two

rivers of sinusoid model using the finite volume, the

sedimentation model is solved by using the finite difference

method-Alternating Direction Implicit (ADI) and the result is

simulated by using matlab. The simulation it is obtained that the

bigger of river flow from main stream, it is obtained the average

depth of the river getting down, the speed of river flow is the

getting down and the height of the sedimen is rising, but the

change occurs in significanlyt. The river floaws from main

stream and lateral stream into a confluence of river relatively

  

Keyword: Sedimentation, Finite difference method, Alternating

Direction Implicit

BAB I PENDAHULUAN Bab ini membahas latar belakang yang mendasari

  penulisan Tugas Akhir ini. Di dalamnya mencakup identifikasi permasalahan pada topik Tugas Akhir ini. Uraian ini bersifat umum yang menjelaskan secara ringkas hal-hal yang akan dilakukan pada penyelesaian Tugas Akhir. Informasi yang telah diperoleh tersebut kemudian dirumuskan permasalahan yang akan dibahas, tujuan, dan manfaat dari Tugas Akhir. Selain itu juga diberikan batasan-batasan untuk membatasi pembahasan pada tugas Akhir ini.

1.1 Latar Belakang

  Sungai merupakan aliran air permukaan yang mengalir ke tempat yang lebih rendah, jumlahnya bergantung dari tinggi muka air, luas daerah tangkapan air (

  catchment area), perkolasi,

  infiltrasi dan besarnya curah hujan. Pada suatu

  catchment area

  terdiri dari sebuah sungai dan anak sungainya yang disebut dengan

  confluence. Pertemuan antara sungai utama dan anak

  sungai dapat mempengaruhi morfologi dan hidrolika bagian hulu dan hilir.

  Fungsi sungai selain untuk menampung aliran curah hujan, mengalirkan air dari hulu ke hilir yang akhirnya ke laut, sebagai drainase alam atau drainase area juga mengalirkan sedimen sebagai fungsi morfologi dalam proses pembentukan daratan atau

  

landscape. Proses terjadinya sedimentasi pada sungai dapat

dimodelkan secara matematis dan disimulasikan secara numerik.

  Pemodelan tersebut dapat dijadikan acuan oleh pihak terkait dapat dimanfaatkan untuk memprediksi perubahan morfologi dasar sungai.

  Bentuk morfologi pertemuan dua sungai merupakan suatu fenomena alam yang menarik untuk dikaji karena akan dijumpai beraneka ragam bentuk model pertemuan dua sungai. Salah satunya adalah sungai dengan profil berbentuk sinusoidal.

  Sebelumnya sudah terdapat penelitian oleh Febriyan Eka Priangga mengenai Profil Kontur Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Model Sinusoidal (2012). Dalam Tugas akhir tersebut dibahas mengenai model dan profil kontur sedimentasi pertemuan dua sungai model sinusoidal dengan menggunakan metode

  

Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) sebagai solusi

penyelesaian metode volume hingga.

  Dalam Tugas Akhir ini dikembangkan suatu model matematika dari proses sedimentasi di pertemuan dua sungai model sinusoidal dengan menggunakan pendekatan konsep volume hingga dan diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga-

  Alternating Direction Implicit (ADI). Metode ADI

  ini mempunyai keunggulan dalam akurasi/ketepatan hasil dan kecepatan penyelesaian dibandingkan dengan metode eksplisit dan metode implisit [6]. Selain itu, pada metode ADI ini tidak mempunyai syarat stabilitas sehingga program akan selalu stabil dalam semua keadaan. Kemudian setelah modelnya dibangun dan diselesaikan, akan disimulasikan untuk mempelajari pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai terhadap sedimentasi.

1.2 Rumusan Masalah

  Rumusan masalah yang akan dibahas dalam Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

  1. Bagaimana pengembangan model sedimentasi di pertemuan dua sungai dengan menggunakan pendekatan volume hingga.

  2. Bagaimana menyelesaikan model sedimentasi ini dengan metode beda hingga-

  Alternating Direction Implicit (ADI).

3. Bagaimana pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai terhadap sedimentasi di pertemuan dua sungai ini.

1.3 Batasan Masalah

  Adapun batasan masalah yang digunakan pada Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

  1. Model sedimentasi yang dibangun adalah dalam 2 dimensi.

  2. Aliran air tak mampu mampat (incompressible ) dan rapat jenis air ( ) konstan.

  3. Aliran sungai seragam pada hulu dan hilir.

  4. Pengangkutan sedimen adalah bed-load dan butiran sedimen seragam dengan diameter 0.0625 mm, yaitu pasir yang sangat halus.

  5. Permukaan sungai horizontal dan dinding sungai berkarakteristik halus (

  smooth).

  6. Pengaruh angin sangat kecil sehingga friksi di permukaan diasumsikan nol.

1.4 Tujuan

  Tujuan yang ingin dicapai dalam Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Mengembangkan model sedimentasi di pertemuan dua

  2. Menyusun metode penyelesaian dari model sedimentasi ini dengan menggunakan metode beda hingga-

  Alternating Direction Implicit (ADI).

3. Menganalisa pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai terhadap sedimentasi di pertemuan dua sungai ini.

  1.5 Manfaat

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah memberikan pengetahuan kepada pihak terkait dalam pencegahan dan penanggulangan dini atas dampak yang ditimbulkan akibat adanya sedimentasi, serta dapat juga digunakan sebagai acuan dalam penelitian sejenis.

  1.6 Sistematika Penulisan Penulisan laporan Tugas Akhir ini disusun dalam lima bab.

  Adapun sistematika penulisan dalam laporan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

  1. BAB I PENDAHULUAN

  Bab ini menjelaskan latar belakang penyusunan Tugas Akhir, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan laporan Tugas Akhir.

  2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA

  Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aliran saluran terbuka, sedimentasi beserta karakteristiknya, dasar-dasar mengenai konsep volume hingga serta metode beda hingga-

  

Alternating Direction Implicit (ADI).

  3. BAB III METODE PENELITIAN

  Bab ini menjelaskan tentang tahap-tahap yang dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini.

  Bab ini menjelaskan tentang bagaimana membangun model sedimentasi dengan pendekatan konsep volume hingga yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga-

  Alternating Direction Implicit (ADI). Di

  samping itu, pada bab ini juga dilakukan analisis terhadap hasil penelitian berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan.

  5. BAB V PENUTUP

  Bab ini menjelaskan tentang penarikan kesimpulan dan saran dari hasil analisa dan pembahasan yang telah dilakukan.

  

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Aliran Saluran Terbuka

  Aliran pada saluran terbuka merupakan aliran yang memiliki permukaan bebas yang dipengaruhi oleh tekanan udara bebas. Aliran saluran terbuka banyak sekali dijumpai, misalkan pada selokan, kali, sungai kecil dan sungai besar sampai ke muara sungai, saluran pelayaran, saluran pembangkit listrik, saluran irigasi dan talang. Aliran saluran terbuka dapat digolongkan menjadi berbagai jenis dan diuraikan dengan berbagai cara.

  2.1.1 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Waktu a.

  Aliran Tetap (Steady Flow) Aliran dikatakan tetap bila kedalaman aliran tidak berubah atau dianggap konstan selama suatu selang waktu tertentu. Pada aliran tetap berlaku:

  = 0 dan = 0 b. Aliran Tidak Tetap (Unsteady Flow)

  Aliran dikatakan tidak tetap bila kedalamannya berubah sesuai dengan waktu. Pada aliran tidak tetap berlaku:

  ≠ 0 dan ≠ 0

  2.1.2 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Ruang

  Aliran dikatakan seragam bila kedalaman aliran sama pada setiap penampang saluran. Pada aliran seragam berlaku:

  = 0 dan = 0 b. Aliran Tidak Seragam

  Aliran dikatakan tidak seragam bila kedalaman aliran berubah di sepanjang saluran. Pada aliran tidak seragam berlaku:

  ≠ 0 dan ≠ 0

2.1.3 Tipe Aliran Berdasarkan Perbandingan Gaya-Gaya Inersia dengan Kekentalan a.

  Aliran Laminar Aliran adalah laminar bila gaya kekentalan relatif sangat besar dibandingkan dengan gaya inersia, sehingga kekentalan berpengaruh besar terhadap perilaku aliran. Dalam aliran laminar, butir-butir air seolah-olah bergerak menurut lintasan tertentu yang teratur atau lurus, dan selapis cairan yang sangat tipis seperti menggelincir di atas lapisan di sebelahnya .

  b.

  Aliran Turbulen Aliran adalah turbulen bila gaya kekentalan relatif lebih lemah dibandingkan dengan gaya kelembamannya. Pada aliran turbulen, butir-butir air bergerak menurut lintasan yang tidak teratur, tidak lancar maupun tidak tetap, walaupun butir-butir c.

  Aliran Transisi Di antara keadaan laminar dan turbulen terdapat suatu campuran atau keadaan peralihan yang dikenal sebagai aliran transisi.

2.2 Sedimentasi

  Sedimentasi merupakan proses pengendapan material yang diangkut oleh media air, angin, es atau gletser di suatu cekungan. Menurut Dibyosaputra (1997) besar kecilnya sedimen di daerah sungai ditentukan melalui transportasi sungai yang disebabkan oleh adanya kekuatan aliran sungai yaitu kecepatan aliran tertentu yang mampu mengangkut sedimen dengan diameter tertentu. Dengan kata lain bahwa besarnya sedimen yang terangkat bergantung pada debit sungai, material sedimen dan kecepatan aliran [7].

  Proses terjadinya sedimentasi terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika dan morfologi. Hidrodinamika menjelaskan tentang aliran sungai, sedangkan morfologi menjelaskan tentang proses pengangkutan sedimen [4].

  Ada lima macam angkutan sedimen yang terjadi di dalam alur sungai, yaitu:

  

1. Dissolved load terdiri dari material, khususnya ion hasil

  pelapukan kimia yang dilarutkan oleh air sungai. Sedimen jenis ini berpengaruh terhadap keseluruhan jumlah total material yang dilepaskan dari daerah tangkapan air.

  

2. Suspended load terutama terdiri dari pasir halus yang

  melayang di dalam aliran karena tersangga oleh turbulensi aliran air. mampu menghisap dan mengangkut sedimen pasir tersebut sampai akhirnya karena gaya gravitasi yang ada mampu mengembalikan sedimen pasir tersebut ke dasar sungai.

  

4. Wash load terdiri dari partikel-partikel lanau dan debu yang

  − ⁵⁰

  = 8.0 koefisien Chezy = 1.0

  = = banyaknya sedimen tipe bed load

  2

  50 ²

  0.06 _{12 2.5}

  2

  =

  dengan: =

  terbawa masuk ke dalam sungai dan tetap tinggal melayang sampai mencapai laut, atau genangan air lainnya.

  1.5

  −

  1.5

  50

  0.5

  = ( − 1)

  butiran-butiran yang lebih besar akan bergerak menggelincir, menggelinding satu di atas lainnya pada dasar sungai. Untuk menghitung banyaknya sedimen pada transportasi sedimen tipe bed load, salah satu rumus yang banyak digunakan adalah rumus Meyer-Peter & Muller, yaitu [3].

  

5. Bed load adalah angkutan dasar di mana material dengan

  = massa jenis sedimen

  = rata-rata diameter sedimen

  50

  = 0.047 = kcepatan aliran sungai = kedalaman sungai

  Perubahan morfologi sungai diasumsikan hanya terjadi pada dasar sungai yang diakibatkan adanya proses gerusan dan pengendapan. Perubahan ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan kekekalan massa untuk transportasi sedimen, yaitu:

  1

  = 0

  (1 − )

  dengan: = ketinggian dasar sungai

  = porositas = banyaknya sedimen bed load

2.3 Konsep Volume Hingga

  Permasalahan sedimentasi pada pertemuan saluran terbuka harus memenuhi hukum kekekalan massa dan kekekalan momentum.

  Hukum kekekalan massa untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan [1]: (2.1)

• = 0 dengan: Massa =

  ∀; dengan adalah massa jenis dan ∀ adalah volume, massa flux yang keluar= ; dengan adalah kecepatan dan adalah luas permukaan.

  Sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis dalam bentuk: dan menurut teorema pengangkutan Reynolds, persamaan (2.2) dapat dinyatakan dalam bentuk diskrit, seperti persamaan berikut ini:

  = − Sedangkan hukum kekekalan momentum untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan [1]:

• =

  (2.3) dengan: Momentum= dimana adalah kecepatan Momentum flux yang keluar= Sehingga persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi:

  = ∀ +

  Force atau gaya pada aliran fluida terdiri dari dua tipe, yaitu

surface force dan body force. Gaya pokok yang termasuk dalam

  kategori surface force adalah gaya tekan hidrostatis dan viskositas, sedangkan yang termasuk body force adalah gaya gravitasi, gaya berat, dan gaya gesek [5].

2.4 Metode Beda Hingga-Alternating Direction Implicit (ADI)

2.4.1 Metode Beda Hingga

  Metode beda hingga adalah suatu metode numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan differensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi biasa digunakan dalam diskritisasi persamaan differensial parsial, yaitu skema maju, skema mundur, dan skema tengah.

  a. Skema maju

  −

• =

  Pada skema maju, informasi pada titik hitung dihubungkan dengan titik hitung

• 1 yang berada di depannya.

Gambar 2.1 Kisi Beda Hingga Skema Maju Ruang dengan

• dan

  = − ∆ = −

• Dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema maju biasa ditulis sebagai berikut: Skema maju-ru
• 1 +1

  − −

• 1 +1

  = atau = Skema maju-waktu:

• 1 +1

  − −

• 1 +1

  = atau =

  ∆ ∆

  − −

  = Pada skema mundur, informasi pada titik hitung dihubungkan dengan titik hitung

  − 1 yang berada di belakangnya.

Gambar 2.2 Kisi Beda Hingga Skema Mundur

  Dengan menggunakan kisi beda hingga, maa skema mundur ditulis sebagai berikut: Skema mundur-ruang:

• 1 +1

  − − −1 −1

  = = atau Skema mundur-waktu:

• 1 +1

  − − −1 −1

  = atau =

  ∆ ∆

  c. Skema tengah

Gambar 2.3 Kisi Beda Hingga Skema Tengah-Ruang

• 1 +1

  − −

• 1 −1 +1 −1

  = atau =

  2

  

2

Beda hingga terhadap ruang derivasi kedua: ₂ +1− − −1 − −2

• 1 −1
₂ = = = ₂ Untuk , ₂ &mi
• 1 −1
₂ = 2<
• 1

  Untuk , ₂

• 1 +1 +1

  −2

• 1 −1
₂ = ₂ Sedangkan untuk beda hingga skema tengah terhadap
• 1

  − −1 −1

  =

  ∆ −1

• 1

  −

• 1 +1

  =

  ∆

• 1

2.4.2 Alternating Direction Implicit (ADI) Method

  Metode Alternating Direction Implicit (ADI) adalah metode beda hingga yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial parsial berbentuk parabolik dan eliptik. Metode ini banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah konduksi panas atau memecahkan permasalahan difusi dalam dua dimensi atau lebih.

  Misal diberikan sistem persamaan differensial biasa [2]: = +

  1

  2

  0 = dengan adalah vektor berdimensi :

  ∆

• = +

  1

  2

  1

  2

  2

BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan

  dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Di samping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir. Beberapa tahapan penelitian yang dilakukan adalah:

3.1 Tahapan Penelitian

  Guna mencapai tujuan dari penulisan ini, akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: a. Studi literatur

  Pada tahap ini dilakukan studi literatur mengenai teori-teori dasar yang mendukung pembahasan masalah pada Tugas Akhir ini dengan mengumpulkan berbagai referensi yang mendukung penelitian ini. Uraian mengenai konsep dasar aliran saluran terbuka, sedimentasi, metode beda hingga-

  Alternating Direction Implicit (ADI). Pembelajaran ini

  didapat baik melalui buku-buku literatur, Tugas Akhir atau Thesis yang berkaitan dengan permasalahan tersebut, maupun artikel dari internet.

  b. Perumusan model sedimentasi Pada tahap ini dilakukan perumusan model sedimentasi dengan konsep volume hingga dengan menerapkan hukum kekekalan massa dan kekekalan momentum aliran fluida serta persamaan transportasi (angkutan) sedimen dengan mempertimbangkan batasan masalah dan kendala-kendala yang mempengaruhi.

  c. Penyelesaian numerik Pada tahap ini dilakukan penyelesaian numerik dengan menggunakan metode beda hingga-

  Alternating Direction d. Simulasi Pada tahap ini dilakukan simulasi hasil penyelesaian dengan menggunakan Matlab. Hal ini bertujuan agar hasil penelitian lebih mudah dipahami.

  e. Analisa hasil dan penarikan kesimpulan serta penyusunan laporan Pada tahap ini dilakukan analisa hasil dan kemudian diambil suatu kesimpulan dari analisa yang telah dilakukan serta disusun buku sebagai bahan dokumentasi dari pengerjaan Tugas Akhir.

3.2 Diagram Alir Metode Penelitian

  Secara umum tahapan-tahapan yang dilakukan dalam menyelesaikan penulisan Tugas Akhir ini dapat ditampilkan dalam diagram alir penelitian pada Gambar 3.1 di bawah ini:

  Mulai

  Studi literatur Studi mengenai model sungai sinusoidal. Perumusan model sedimentasi

  Perumusan model sedimentasi dengan konsep volume hingga.

  Simulasi Simulasi menggunakan perangkat lunak Matlab.

  Selesai

  Penyelesaian numerik

  Penyelesaian menggunakan

  Alternating Direction Implicit (ADI) Analisa hasil dan penarikan kesimpulan serta penyusunan laporan

  Analisa hasil dan diambil kesimpulan serta disusun buku sebagai bahan dokumentasi

  

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa model

  untuk proses terjadinya sedimentasi terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika aliran sungai dan morfologi sungai.

4.1 Hidrodinamika Aliran Sungai

  Profil aliran sungai model sinusoidal dan volume kendali adalah sebagai berikut:

Gambar 4.1 Penampang SungaiGambar 4.2 Volume Kendali

4.1.1 Persamaan Kekekalan Massa

  Sebuah sistem didefinisikan sebagai kumpulan dari isi yang tidak berubah, maka prinsip kekekalan massa untuk sebuah sistem dinyatakan dengan:

  = 0 (4.1) adalah massa sistem, yang lebih umum dinyatakan dengan dengan:

  = (4.2)

  ∀ Menurut teorema pengangkutan Reynold, untuk sebuah sistem dan sebuah volume kendali yang tetap dan tidak berdeformasi (mengalir) yang berimpit pada suatu saat yang sama dapat dinyatakan sebagai berikut:

  = (4.3) ∀ ∀ .

• Integral . dalam integral laju aliran massa menyatakan perkalian dari komponen kecepatan , yang tegak lurus terhadap suatu bagian terkecil permukaan kendali (CS) dan bidang differensial . Jadi, . adalah laju aliran volume melalui dan . adalah laju aliran massa melalui .

  Untuk tanda perkalian titik, adalah “+” untuk aliran yang keluar dari volume kendali (CV) dan “-“ untuk aliran yang masuk ke dalam volume kendali (CV) karena dianggap positif apabila menunjuk keluar volume kendali (CV). Jika seluruh differensial . dijumlahkan pada seluruh permukaan kendali (CS), maka dan jika hasilnya ditulis dalam bentuk diperoleh . diskrit menjadi laju aliran massa netto melalui permukaan kendali, yaitu:

  = (4.4)

  − . dengan adalah laju aliran massa dengan = = .

  Dengan mengkombinasikan Persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) akan menghasilkan persamaan kekekalan massa dengan volume kendali (CV) yang tetap dan tidak berdeformasi, yaitu:

  = 0 (4.5) ∀ .

• dengan =

  ∀ adalah fluks massa aliran yang ada ∀ dalam volume kendali. Jika Persamaan (4.5) dijabarkan maka diperoleh:

• ∀ + − − −

  = dengan = permukaan kendali yang keluar sisi timur, = permukaan permukaan kendali yang masuk sisi barat,

  = permukaan kendali yang kendali yang keluar sisi utara, = permukaan kendali yang keluar sisi masuk sisi selatan,

  = permukaan kendali yang masuk sisi atas. Oleh bawah dan = = = = karena ∀= ∆ ∆ ∆ , ∆ ∆ , ∆ ∆ ,

  = = ∆ ∆ maka Persamaan (4.6) menjadi:

  ∆ ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + (4.7)

  − ∆ ∆ = 0 Jika Persamaan (4.7) dibagi dengan ∆ ∆ ∆ maka diperoleh:

  − − −

  = 0 (4.8) + + +

  ∆ ∆ ∆

  Dengan merujuk pada metode volume hingga, untuk limit ∆ → 0, ∆ → 0, ∆ → 0, serta karena alirannya incompressible atau tak mampu mampat, maka Persamaan (4.8) menjadi:

• = 0

  (4.9) Dengan mengintegralkan Persamaan (4.9) terhadap sumbu z (kedalaman, ( , , )), maka persamaan tersebut menjadi:

  (4.10) = 0

• Dengan menggunakan aturan Leibnitz, Persamaan (4.10) menjadi:
• − , , , , −
• , , , , , , − , , = 0

  (4.11) Dengan menggunakan turunan total = ( , , ) terhadap waktu , yaitu:

  = (4.12) + +

  = = = Karena

  , , , , , , , , , maka diperoleh:

  (4.13) , , = , , , ,

  , maka Persamaan (4.13) menjadi: Untuk =

  (4.14a) , , = , , , ,

  , maka Persamaan (4.13) menjadi: Dan untuk =

  (4.14b) , , = , , , , Jika Persamaan (4.14a) dan (4.14b) disubstitusikan ke Persamaan (4.11) maka diperoleh:

• − , , , , −
• , , , ,
• , , − , , , , =

Persamaan (4.15) dapat disederhanakan menjadi:

  −

• = 0

  (4.16)

  1

1 Dengan = , dan =

  = Dan karena , maka Persamaan (4.16) menjadi:

  −

• = 0

  (4.17) Persamaan (4.17) merupakan persamaan kekekalan massa untuk aliran lurus dua dimensi. Untuk aliran pertemuan sungai maka Persamaan (4.17) menjadi:

  = (4.18) + + +

  1

  2

  1

  2 Dengan adalah debit yang masuk dari sungai utama dan adalah debit yang masuk dari anak sungai.

4.1.2 Persamaan Kekekalan Momentum

  Momentum adalah massa dikalikan dengan kecepatan, maka momentum dari sebuah partikel kecil ∀ adalah ∀.

  , dapat Jadi momentum dari seluruh sistem adalah ∀ ditulis menjadi:

  = ∀

  Berdasarkan teorema pengangkutan Reynolds, untuk sebuah sistem dan kandungan volume kendali yang tetap dan

  = ∀ ∀ + . Sehingga persamaan untuk kekekalan momentum dapat ditulis menjadi:

  = ∀ + . =

  ⇔ ∀ +

  = (4.19)

  ⇔ ∀ + Persamaan (4.19) kemudian dijabarkan menjadi:

• ∀U + U U − U − U =

  U − U − −

  (4.20) ∀

  = body forces Dengan: = surface forces, dan

  = Apabila ∀ dan dinyatakan dalam bentuk ∀= ∆ ∆ ∆ ,

  = = = = = maka ∆ ∆ , ∆ ∆ , ∆ ∆ ,

  Persamaan (4.20) menjadi: ∆ ∆ ∆ + U ∆ ∆ + U

  − U − U ∆ ∆ + U − U ∆ ∆ = −

  − ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ +

• (4.21)

Jika Persamaan (4.21) dibagi dengan ∆ ∆ ∆ , maka persamaan tersebut menjadi:

  U − U U − U U − U

• = U +

  ∆ ∆ ∆ − −

  (4.22) + + +

  ∆ ∆

  Karena pada penelitian ini, model yang dibangun adalah dalam dua dimensi maka persamaan yang digunakan adalah terhadap sumbu x dan sumbu y:

  Terhadap sumbu x a. Pada sumbu x, U = Sehingga Persamaan (4.22) menjadi: _{2 2}

  − −

• = +

  

∆ ∆

− −

  (4.23) + + +

  ∆ ∆

  Dengan merujuk pada metode volume hingga, dimana untuk limit ∆ → 0, ∆ → 0 dan karena alirannya tak mampu mampat (incompressible), maka Persamaan (4.23) dapat dinyatakan menjadi: ₂

  1

• = + +

  (4.24) Dengan mengintegralkan Persamaan (4.24) terhadap sumbu (kedalaman, ( , , )), maka persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu x adalah:

  2 )

  

1

( ) ( ( )

• =

  (4.25)

• Terhadap sumbu y b.

  Pada sumbu y, U = Sehingga Persamaan (4.22) menjadi: _{2 2}

  − −

• ∆ ∆

  − −

  = v +

  (4.26)

  ∆ ∆

  Dengan merujuk pada metode volume hingga, dimana untuk limit ∆ → 0, ∆ → 0 dan karena alirannya tak mampu mampat (incompressible), maka Persamaan (4.26) dapat dinyatakan menjadi: ₂

  1

• =

  (4.27) Dengan mengintegralkan Persamaan (4.27) terhadap sumbu (kedalaman, ( , , )), maka persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu y adalah: ₂

  1

• = + +

  (4.28) Persamaan (4.25) dan (4.28) merupakan persamaan Diasumsikan gaya-gaya yang bekerja pada pertemuan sungai adalah gaya hidrostatis ( ), gaya geser pada pertemuan sungai ( ), gaya berat ( ), dan gaya gesek dan serta gaya gesek dasar dinding sungai ^{1 2} sungai yaitu:

  1

2 Gaya hidrostatis: =

  2

  dengan: = berat jenis air = kedalaman sungai = lebar sungai Gaya geser pada pertemuan dua sungai: _{1 − 2 2 2}

  =

  2

  = massa jenis air = koefisien gesek

  2

  = kecepatan aliran pada sungai utama

  1

  2

  = kecepatan aliran pada anak sungai

2 Gaya berat: =

  Dengan: = luas volume kendali

  = panjang domain kendali pertemuan sungai = kemiringan sungai

  Gaya gesek dinding sungai ₃

  2

  =

  3

  

3

_{1 ∗} 1 − +