DESIGN OF EXPERIMENT (DOE)
1. PENDAHULUAN 1. PENDAHULUAN Kerangka DOE :
FAKTOR DESAIN (controllable)
Input
PROSES PROSES
Response: Y Y
…… Z 1 Z 2 Z m
FAKTOR NOISE (uncontrollable)
Manfaat DOE :
1. Dapat digunakan untuk identifikasi variabel keputusan yang diperlukan untuk pengendalian atau perbaikan kualitas.
2. Dalam pengembangan proses baru, dapat digunakan untuk menentukan faktor penting untuk memaksimumkan output atau reduksi biaya:
Reduksi waktu antara pengembangan & manufakturing; Menghasilkan desain yang robust terhadap noise.
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK PDCA Cycle PLAN
C D Continuous Improvement
FOKUS PERAN DOE
DO
LD, Semester II 2003/04
CHECK
ACTION Hlm. 3
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Terminologi :
1.Faktor : variabel independen (controllable parameters). Kuantitatif : level faktor dinyatakan dalam rentang; Kualitatif : diskrit, dalam bentuk klasifikasi.
2.Respon : hasil yang diobservasi atau diukur pada tingkat faktor atau tingkat perlakuan tertentu.
3.Perlakukan (treatment) : kombinasi tertentu dari tingkat faktor yang efeknya pada variabel respon menjadi obyek pengamatan.
4.Unit Eksperimental : kuantitas material maksimum (untuk menufaturing) atau jumlah layanan (untuk sektor jasa) yang dikenai 1 kali treatment.
5.Unit Sampling : bagian / fraksi dari unit eksperimental yang diukur efek eksperimennya.
6.Kesalahan (error) eksperimental : variasi antar respon terhadap treatment yang sama, terjadi karena noise (uncontrollable factor)
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
2. COMPLETELY RANDOMIZED DESIGN (CRD) 2. COMPLETELY RANDOMIZED DESIGN (CRD) Matriks Data :
TREATMENT
REPLIKASI (j)
Model Statistik :
Y ij = µ + τ j + ε ij
dimana τ j = dampak treatment ε ij = error random terkait dengan observasi ij µ = rata-rata total
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 5
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel Anova CRD :
SUMBER SUM OF SQUARE
DEGREE OF
MEAN OF
FREEDOM
SQUARE
F Statistik
SSTR ∑ i = 1 i Y = .. −
pr
SSTR / (p – 1)
F Statistik = MSTR/MSE
Error
SSE = SST - SSTR
p (r – 1)
MSE =
SSE / [p(r – 1)]
Y .. 2
Total
SST = p
r ∑∑ MST = 2
i = 1 j = 1 Yij −
pr – 1
pr
SST / (pr – 1)
Uji Hipotesis :
1. H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 =… = µ p
H 1 : minimum 1 µ tidak sama
2. Kriteria penolakan : F α,(p-1),p(r-1) Terima H 0 jika F Statistik ≤F α,(p-1),p(r-1) Tolak H 0 jika F Statistik >F α,(p-1),p(r-1)
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Contoh 1 : CRD
Tiga macam lem yang berbeda diuji dampaknya terhadap kekuatan lekat kertas dalam pulp. Ketiga lem tersebut secara random dicampurkan dalam 4 batch kertas secara terpisah. Data kekuatan rekat diberikan pada tabel di bawah. Apakah ada perbedaan kekuatan rekat antar ketiga lem tersebut untuk α=5% ?
TREATMENT:
REPLIKASI (Kekuatan Rekat)
SUM
MEAN
Jenis Lem
SST = ∑∑ i = 1 j = 1 Yij −
Y .. 2 2 ( 135 , 1 ) 2
pr
j Yi . 2 Y .. 2 ( 44 ) 2 + ( 56 , 2 ) 2 + ( 34 , 9 ) 2 ( 135 , 1 ) 2
SSTR = −
r rp
SSE = SST − SSTR = 70 , 389 − 57 , 111 = 13,278
57 , 111 / 2 28 , F 555
MSTR
SSTR /( p − 1 )
Statistik = =
SSE / [ p ( 1 − r ) ] 13 , 278 / 9 1 , 475
MSE
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 7
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
SUMBER VARIASI
F Statistik
Treatment: Lem
p(r–1) = 3(4-1) = 9 13,278
Total
pr-1=3(4)-1= 11 70,389
F 0,5;2;9 = 4,26 < F Statistik
Kesimpulan:
Tolak H 0 → ada perbedaan signifikan antara rata-rata kekuatan rekat dari ketiga lem yang diuji
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
3. BLOCKING DALAM DOE 3. BLOCKING DALAM DOE Blocking :
Digunakan untuk mengisolasi treatment dari pengaruh faktor lain (nuisance or noise).
Contoh Faktor Blocking :
Menentukan metoda
Metoda
Operator (random
Setiap operator sebagai block
perakitan tercepat
perakitan
effect)
(diduga operator berdampak
(fixed effect)
pada kecepatan rakitan)
Menentukan temperatur
Temperatur
Waktu,
Kelembaban mempengaruhi
pengeringan terbaik untuk
tertentu (fixed
kelembaban (fixed
proses. Block: pagi, siang,
kualitas produk
effect)
& random effect)
malam
Meningkatkan efektivitas
Beberapa zat
Umur mobil (fixed
Umur mobil mencerminkan
zat aditif bahan baku untuk
aditif
& random effect)
performansi mobil (0-1; 2-3; 4-
mereduksi polusi
Reduksi variasi dalam
Unit produk ttt
Alat pengukuran
Diperkirakan alat ukur
dimensi produk
(random
aktual yang
mempengaruhi variasi produk
effect)
digunakan (random effect)
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 9
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Model Statistik :
Yij = µ + τ i + β j + ε ij
τ i = dampak treatment β j = dampak block
Konsep Blocking :
SSTB1 SSTB1 SSTB SSTB
SSTR SSTR SSE SSE
SSTR SSTR
SSTR SSTR
SSTB2 SSTB2
SSE SSE
SSE SSE
(a) No blocking:
(b) Blocking pada 1 var.
(c) Blocking pada 2 var.
Completely Randomized
noise: Randomized
noise: Latin Square
Design (CRD)
Complete Block Design
Design (LSD)
(RBD)
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK 3. RANDOMIZED BLOCK DESIGN (RBD) 3. RANDOMIZED BLOCK DESIGN (RBD) Matriks Data :
TREAT-
BLOCK (j)
Σ TREATMENT-i
MENT (i)
Tabel Anova RBD :
F Statistik
SSTR / (p – 1)
F Statistik =
MSTR/MSE
SSTR – SSB
(p – 1) (r – 1)
SSE / [ (p–1)(r–1)]
Kriteria penolakan H Kriteria penolakan H 0 0 : F Statistik > F : F Statistik > F 0,5;2;9 0,5;2;9 = 4,26 = 4,26
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 11
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Formula :
1. SST =
pr
Yij ∑∑ 2 i = 1 j = 1 −
Y .. 2
pr
j Yi .
2. SSTR =
Y .. 2
pr
3. SSB =
Y .. 2
pr
4. SSE = SST − SSTR − SSB MSTR
SSTR /( p − 1 )
5. F Statistik =
SSE / [ ( p − 1 )( 1 − r ) ]
MSE
Uji perbedaan antar rata - 2 treatment :
H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = ..... = µ p
H 1 : min imum 1 µ tidak sama Kriteria penolakan H 0 : F Statistik > F α , ( p − 1 ), ( p − 1 )( r − 1 )
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Uji efektivita s blocking :
F B = MSB / MSE
Blocking efektif jika F B > F α , ( r − 1 ), ( p − 1 )( r − 1 )
Estimasi interval rata - rata dari hasil treatment : L(µ i ) = Y i. ± t α/ 2 ,(p- 1 )(r- 1 ) MSE/r Estimasi perbedaan antar 2 rata - rata :
L(µ 1 − µ 2 ) = ( Y 1 . − Y 2 . ) ± t α/ 2 ,(p- 1 )(r- 1 ) 2 MSE/r
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 13
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Contoh 2 : RBD
Untuk menjaga stabilitas temperatur ruangan, diperlukan pemasangan insulator pada ruangan. Untuk mendapatkan efisiensi terbaik, perusahaan konstruksi bermaksud menguji efisiensi dari 3 insulator yang berbeda. Karena lokasi ruang yang dibangun bervariasi dengan temperatur yang berbeda, maka disusun rencana eksperimen sebagai berikut.
Perusahaan membagi area menjadi 4 lokasi geografis berdasarkan perbedaan iklim. Pada setiap lokasi geografis, secara random digunakan 3 jenis insulator dan diukur energy loss dalam sebuah indeks. Indeks yang lebih kecil merepresentasikan energy loss yang lebih rendah. Tabel berikut memperlihatkan data energy loss index untuk 3 jenis insulator di 4 lokasi yang berbeda.
a. Apakah ada perbedaan antar rata-rata energy loss index dari ketiga insulator untuk tingkat signifikansi α = 10%?
b. Tentukan estimasi interval untuk rata-rata energy loss index dari insulator 3 dengan confidence interval 99%.
c. Tentukan estimasi interval untuk perbedaan rata-rata energy loss index dari insulator 3 dan insulator 2 dengan confidence interval 90%. Apakah ada perbedaan antar rata-2 energy loss index dari kedua insulator tersebut?
d. Insulator mana yang sebaiknya dipilih?
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel data :
TREATMENT:
LOKASI GEOGRAFIS (j)
SUM
MEAN
Jenis Insulator (i)
I II III
IV (Treatment-i)
SUM (Block-j) 37,6
MEAN (Block-j) 12,533
Solusi a : y 2
SST
j y ij −
pr
= y i. 2 y i 2 1 ..
SSTR = −
r rp
j y .j
y .. 2 ( 37 , 6 ) 2 + ( 22 , 1 ) 2 + ( 27 7 , ) 2 + ( 21 , 5 ) 2 108 , 9 2
SSBlock = −
p rp
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 15
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel Anova RBD : Tabel Anova RBD :
SUMBER VARIASI
F Stat
TREATMENT: Insulator
BLOCK: Lokasi Geografis
Kriteria keputusan : F 10%,2,6 = 3,46
Karena F Stat > F 10%,2,6 , maka minimum 1 rata-rata energy loss index berbeda dari rata-rata energy loss index yang lain.
Solusi b :
L(µ 3 ) = Y 3 ± t 0 , 005 ; 6 MSE/ 4
Solusi c : L(µ − µ ) = ( Y − Y ) ± t
2 MSE/ 4 2 Karena interval tidak mencakup angka nol, 3 2 3 0 , 05 ; 6 dapat disimpulkan bahwa terdapat = ( 7 , 9 − 4 , 125 ) ± ( 1 , 943 ) 2 ( 0 , 742 ) / 4 perbedaan signifikan antara rata-rata
= 3 , 775 ± 1 , 183 = (2,592 ; 4,958) energy loss index insulator 2 & insulator 3 pada tingkat signifikansi 10%
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Solusi d :
Karena semakin kecil nilai index semakin rendah energy loss yang terjadi, maka disarankan untuk memilih insulator 3.
Analisis:
Pada solusi c diperlihatkan bahwa dibandingkan insulator 2, secara statistik rata-rata energy loss index insulator 3 lebih rendah. Dan karena rata-rata energy loss index insulator 1 bahkan lebih tinggi dari insulator 2 & 3, maka disarankan untuk memilih insulator 3.
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 17
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
4. LATIN SQUARE DESIGN (LSD) 4. LATIN SQUARE DESIGN (LSD)
Merupakan incomplete block design; Treatment ditulis dengan huruf latin A, B, C, …..
Jumlah unit eksperimental = p 2 , dimana p = jumlah eksperimen.
Kelebihan LSD: memungkinkan blocking 2 variabel → mereduksi variabilitas error eksperimental.
Kekurangan LSD:
Σ Kelas setiap variable blocking = Σ Treatment → degree of freedom untuk error eksperimental ↓ jika Σ treatment ↓;
Σ unit eksperimental = (Σ Treatment) 2 ⇒ Σ Treatment dibatasi ≤
10; Batasan model :
1. Tidak ada interaksi antara treatment & var. blocking atau antar var. blocking;
2. Σ Kelas variabel blocking harus sama.
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Desain LSD : Standar Latin Square Design dengan 5 treatment:
BLOCKING VARIABLE 1
Randomisasi dalam LSD :
Urutan awal baris;
1. Perubahan Urutan Baris
disusun berdasarkan nilai
Bil. Random
BIL. RANDOM RANK ORDER
URUTAN BARU BARIS
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 19
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Randomisasi dalam LSD :
Urutan awal kolom;
2. Perubahan Urutan Kolom
disusun berdasarkan nilai
Bil. Random
BIL. RANDOM RANK ORDER
URUTAN BARU KOLOM
Contoh Desain LSD :
a. Standard LSD
b. Randomisasi baris LSD
b. Randomisasi kolom LSD
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TABEL DATA LSD :
BARIS
KOLOM BV-1
TREATMENT k
dof T =(p 2 -1)
2 y SST 2 = .. ∑∑
j y ij − 2 SSE = SST − SSR − SSC − p SSTR
dof E = (p 2 2 − 1 ) − (p − 1 ) − (p − 1 ) − (p − 1 )
SSRow ∑ i y
= i. − .. 2
dof E = p 2 − 3 p + 2
dof =(p-1)
p 2 dof E = (p − 1 )(p − 2 )
∑ y .j 2 y 2
dof C =(p-1) SSCol =
F TR =
p 2 MSTR
∑ k = 1 T 2 y 2 dof MSE
TR =(p-1) SSTR =
k − ..
2 MSTR = SSTR/dof TR
MSE = SSE/dof E
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 21
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel Anova LSD :
SUMBER VAIRASI Dof
SS
MS
F Statistik
Baris : Blocking p-1
MSB/MSE
Kolom : Blocking
Variable 2 p-1
MSC/MSE
SSTR / (p-1)
MSTR/MSE
Error
(p-1)(p-2)
SSE = SST – SSTR –
MSE =
SSC – SSB
SSE / [ (p–1)(p–2)]
Kriteria penolakan H Kriteria penolakan H 0 0 : F Statistik > F : F Statistik > F α α , dof , dof - -
1, dof 1, dof - - E E
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Contoh 3 : LSD
Sebuah perusahaan retail tertarik untuk menguji dampak dari 4 kebijakan harga (pricing policy)
A, B, C, dan D pada tingkat penjualan. Perusahaan
menduga variasi pada penjualan diperngaruhi oleh faktor lain disamping kebijakan harga, seperti lokasi toko dan volume penjualan.
Perusahaan telah membuat klasifikasi lokasi menjadi 4: Timur-laut, Timur, Barat-tengah, dan Tenggara, dan volume penjualan menjadi 4 kelas: 1, 2,
3, dan 4 dimana kelas 1 merepresentasikan volume penjualan terbesar, sedang kelas selanjutnya menunjukkan volume penjualan yang semakin kecil. Setiap kebijakan harga diterapkan satu kali pada setiap lokasi dan setiap kelas penjualan. Tabel data memperlihatkan nilai penjualan untuk periode 3 bulan dengan kebijakan harga yang terkait.
a. Apakah ada perbedaan dampak kebijakan harga pada rata-rata nilai penjualan pada tingkat signifikansi 5%?
b. Tentukan 90% confidence interval untuk rata-rata nilai penjualan yang menggunakan kebijakan harga A.
c. Kebijakan harga yang mana yang sebaiknya digunakan?
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 23
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel data :
BV-2: Kelas Vol.
BV-1: Lokasi Geografis (j)
Penjualan (i) Timur-laut
SUM BV-2 (i)
SUM BV-1 (j)
SUM Treatment: T A =
T B = 44,7
T C = 22,3
T D = 36,5
Solusi a : y 2 2 ..
SST = ∑∑ i j y ij − 2 = 2046 , 48 −
∑ i y i. 2 y .. 2 ( 51 , 7 ) 2 + ( 43 , 5 ) 2 + ( 36 , 7 ) 2 + ( 35 , 5 ) 2 ( 167 , 4 ) SSRow 2 = −
2 = p 41,6475 p 4 4
∑ y 2 .j y 2 ( 45 , 0 ) 2 + ( 43 , 4 ) 2 + ( 37 , 0 ) 2 + ( 42 , 0 ) 2 ( 167 , 4 ) 2
SSCol =
2 = p 8,9675 p 4 4
y .. 2 ( 63 , 9 ) 2 + ( 44 7 , ) 2 + ( 22 , 3 ) 2 + ( 36 , 5 ) 2 ( 167 , 4 ) 2
SSTR = −
SSE = SST − SSRow − SSCol − SSTR = 18,155
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel Anova :
SUMBER VARIASI
dof
SS
MS=SS/dof
F-Stat
1. ROW: Vol. Penjualan
2. COL: Lokasi Geografis
3. TREAT: Kebijakan Harga
Kriteria keputusan : F 5%,3,6 = 3,46
Karena F Stat > F 10%,2,6 , maka minimum 1 rata-rata energy loss index berbeda dari rata-rata energy loss index yang lain.
Solusi b :
L(µ 3 ) = Y 3 ± t 0 , 005 ; 6 MSE/ 4
Solusi c :
L(µ 3 − µ 3 ) = ( Y 2 − Y ) ± t
Karena interval tidak mencakup angka nol,
0 , 05 ; 6 2 MSE/ 4 dapat disimpulkan bahwa terdapat = ( 7 , 9 − 4 , 125 ) ± ( 1 , 943 ) 2 ( 0 , 742 ) / 4 perbedaan signifikan antara rata-rata = 3 , 775 ± 1 , 183 = (2,592 ; 4,958) energy loss index insulator 2 & insulator 3
pada tingkat ingnifikansi 10%
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 25
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
5. EKSPERIMEN FAKTORIAL (EF) 5. EKSPERIMEN FAKTORIAL (EF)
Treatment (perlakuan):
Level 1 Level 1
Level 2
FAKTOR A FAKTOR A
Level 2
FAKTOR B FAKTOR B
Level 3 Level 3
Level 4
TREATMENT/
Σ TREATMENT = perkalian Σ
PERLAKUAN
level seluruh faktor : 3 x 4 = 12
Eksperimen Faktorial: mencakup seluruh kombinasi treatment yang mungkin dengan replikasi yang lengkap.
Kelebihan EF:
memberikan kemampuan untuk mengestimasi dampak interaktif antar faktor; dalam studi eksploratif, menentukan faktor-faktor penting (kunci).
Kekurangan EF: peningkatan jumlah eksperimen secara eksponensial sejalan dengan pertambahan jumlah faktor dan/atau level mereka.
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
5.A Eksperimen Faktorial 2 Faktor dgn CRD 5.A Eksperimen Faktorial 2 Faktor dgn CRD
Setting :
Jumlah faktor : 2, faktor A & B; Jumlah level : Faktor A = a level, Faktor B = b level; Treatment ab diterapkan secara random pada unit eksperimental; Replikasi eksperimen : n kali; Total observasi : abn; Model respon terhadap perlakuan (treatment) :
y ijk = µ + α i + β j + ( α β) ij + ε ijk , i = 1,2,..., a , j = 1,2,..., b , k = 1,2,..., n
Y ijk = respons terhadap level i faktor A, level j faktor B & pada replikasi ke-k; µ
= efek rata-rata secara keseluruhan; α i
= efek level i faktor A; β j
= efek level j faktor B; ( αβ) ij = efek interaksi level i faktor A & level j faktor B; ε ijk
= komponen error random (diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 &
variansi konstan σ 2 .
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 27
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
TABEL DATA EF – 2f & CRD :
FAKTOR B
FAKTOR A
SUM
AVE.
1 Y111, Y112, …, Y11n Y121, Y122, …, Y12n
Y1b1, Y1b2, …, Y1bn
Sum = Y11.
Sum = Y12.
Sum = Y1b.
Y1..
Y 1..
2 Y211, Y212, …, Y21n Y221, Y222, …, Y22n
Y2b1, Y2b2, …, Y2bn
Sum = Y21.
Sum = Y22.
Sum = Y1b.
Y2..
Y 2..
3 Y311, Y312, …, Y31n Y321, Y322, …, Y32n
Y3b1, Y3b2, …, Y3bn
Sum = Y31.
Sum = Y32.
Sum = Y3b.
Y3..
Y a..
a Ya11, Ya12, …, Ya1n Ya21, Ya22, …, Ya2n
Yab1, Yab2, …, Yabn
Sum = Ya1.
Sum = Ya2.
Sum = Yab.
Ya..
Y ...
SUM Y.1.
AVERAGE Y .1.
Y .2.
Y .b.
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
FORMULA EF – 2f & CRD :
SST .. ∑∑∑
dof = abn − 1 =
Y ijk −
2 Y. 2
i = 1 j = 1 k = 1 abn
Y i..
dof 2 = a − 1
SSA = i = 1 − Y ...
bn
abn
Y .j.
SSB =
dof 2 = b − 1 j = 1 Y
an
abn
a b ∑∑ 2
Y ij.
SS(subtota l) =
abn
dof = (a − 1)(b − 1) SSAB = SS(subtota l) − SSA − SSB dof = ab(n − 1)
SSE = SST − SS(subtota l)
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 29
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel Anova EF – 2f & CRD :
SUMBER VARIASI
F Statistik
MSA =
FAKTOR A
MSA/MSE
MSB =
FAKTOR B
MSB/MSE
FAKTOR A & B
(a–1)(b–1)
SS(subtotal) – SSA
F AB =
– SSB
SSAB / [(a–1)(b–1)]
MSAB/MSE
MSE =
ERROR
ab(n–1)
SSE = SST – SS(subtotal)
SSE / [ ab(n – 1)]
SST / (abn – 1)
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK UJI SIGNIFIKANSI FAKTOR PADA EF – 2f & CRD
Uji I: keberadaan efek interaktif faktor A & B.
H o :( αβ ) ij = 0 untuk semua i, j, i = 1, 2, …, a , j = 1, 2, …, b.
H a : minimum 1 ( αβ ) ij ≠ 0
F Statistik : FAB = MSAB/MSE, dof-1 = (a-1)(b-1), dof-2 = ab(n-1)
Total H o jika F statistik >F α, (a-1)(b-1), ab(n-1) Jika H o ditolak, atau terdapat interaksi efek faktor A & B secara signifikan, maka
nilai rata-rata respon terhadap satu level faktor A untuk seluruh level faktor B tidak memiliki makna.
Jika H o diterima, atau interaksi efek faktor A & B tidak signifikan, maka beralasan untuk menguji efek dari masing-masing faktor A & B.
Uji 2-a: kesamaan efek faktor A.
H o : α 1 = α 2 = …= α a untuk semua i, i = 1, 2, …, a.
H a : minimum 1 α i tidak sama
F Statistik : FA = MSA/MSE, dof-1 = a – 1, dof-2 = ab(n-1)
Total H o jika F statistik >F α, (a-1), ab(n-1) • Uji 2-b: kesamaan efek faktor B.
H o : β 1 = β 2 = …= β b untuk semua j, j = 1, 2, …, b
H a : minimum 1 α i tidak sama
F Statistik : FB = MSB/MSE, dof-1 = b – 1, dof-2 = ab(n-1)
Total Ho jika Fstatistik > F α, (b-1), ab(n-1)
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 31
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL RATA-RATA RESPONS :
Estimasi 100(1- α) confidence interval rata-rata respons terhadap treatment :
a. Level i faktor A & level j faktor B:
S Y (AB) = DS rata - rata treatment pd
Y ij. ± t α/2, ab(n − 1) MSE/n
level i faktor A & level j faktor B
b. Level i faktor A :
S Y (A) = DS rata - rata
Y i.. ± t α/2, ab(n − 1) MSE/(bn)
treatment pd level i faktor A
c. Level j faktor B :
S Y (B) = DS rata - rata
Y .j. ± t α/2, ab(n − 1) MSE/(an)
treatment pd level j faktor B
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL SELISIH RATA-RATA RESPONS :
Estimasi 100(1- α) confidence interval selisih rata-rata respons terhadap treatment :
a. Level i faktor A & level j faktor B:
S Y (AB) = DS selisih rata - rata treatment (
Y ij. − Y i'j'. ) ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/n pd level i faktor A & level j faktor B
b. Level i faktor A :
= DS selisih rata - rata (
) α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/(bn) treatment pd level i faktor A
Y i.. − Y i'.. ± t
Y (A)
c. Level j faktor B :
( Y .j. − Y .j'. ) ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/(an) treatment pd level j faktor B
S Y (B) = DS selisih rata - rata
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 33
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK 5.B Eksperimen Faktorial 2 Faktor dgn RBD 5.B Eksperimen Faktorial 2 Faktor dgn RBD
Setting :
Jumlah faktor : 2, faktor A & B; Jumlah level : Faktor A = a level, Faktor B = b level; Jumlah block : r dimana setiap block mengandung ab unit; Treatment ab diterapkan secara random pada ab unit dalam block; Contoh kasus:
ª Faktor A = 4 level temperatur : 75 o , 150 o , 200 o , 250 o ª Faktor B = 5 level tekanan : 50, 75, 100, 125, 150 kg/cm 2 ª Blocking: variabilitas antar batch material ª Desain eksperimen: dipilih 10 batch, pada setiap batch dilakukan 4x5 treatment secara random. ª Jumlah observasi terhadap respon = 4 x 5 x 10 = 200.
Model respon terhadap treatment :
y ijk = µ + α i + β j + ρ k + ( α β ) ij + ε ijk i , = 1,2,..., a , j = 1,2,..., b , k = 1,2,..., r
Y ijk = respons terhadap level i faktor A, level j faktor B & block ke-k; µ
= efek rata-rata secara keseluruhan; α i
= efek level i faktor A; β j
= efek level j faktor B; ρ k
= efek block ke-k; ( αβ) ij = efek interaksi level i faktor A & level j faktor B; ε ijk
= komponen error random (diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 &
variansi konstan σ 2 .
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
FORMULA EF – 2f & RBD :
dof = abr − 1 SST = ∑∑∑ Y ijk −
2 Y ... 2
i = 1 j = 1 k = 1 abr
Y ..k
dof
1 k 1 = Y r − = = − ... 2 SSBL
ab abr
Y i..
dof = a − 1 SSA = =
i 1 Y ... 2
br
abr
Y .j.
dof = b − 1 SSB = =
ar
abr
a b ∑∑ 2
Y ij.
dof = (a − 1)(b − 1)
SSAB =
− ... − SSA − SSB
abr
dof = ( ab - 1)(r − 1)
SSE = SST − SSBL - SSA - SSB - SSAB
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 35
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Tabel Anova EF – 2f & RBD :
SUMBER VARIASI
F Statistik
FAKTOR A
F A = MSA/MSE
FAKTOR B
F B = MSB/MSE
INTERAKSI FAKTOR
(a – 1)(b – 1)
SSAB / [(a–1)(b–1)]
MSAB/MSE
SSBL / (r–1)
ERROR
(ab – 1)(r – 1)
SSE = SST – SSBL –
MSE =
SSA – SSB
SSE / [(ab–1)(n–1)]
SST / (abr – 1)
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK UJI SIGNIFIKANSI FAKTOR PADA EF – 2f & RBD :
Uji I: keberadaan efek interaktif faktor A & B.
H o :( αβ ) ij = 0 untuk semua i, j, i = 1, 2, …, a , j = 1, 2, …, b.
H a : minimum 1 ( αβ ) ij ≠ 0
F Statistik : FAB = MSAB/MSE, dof-1 = (a – 1)(b – 1 ), dof-2 = (ab – 1)(r – 1)
Total H o jika F statistik >F α, (a-1)(b-1), (ab-1)(n-1) Jika H o ditolak, atau terdapat interaksi efek faktor A & B secara signifikan, maka
nilai rata-rata respon terhadap satu level faktor A untuk seluruh level faktor B tidak memiliki makna.
Jika H o diterima, atau interaksi efek faktor A & B tidak signifikan, maka beralasan untuk menguji efek dari masing-masing faktor A & B.
Uji 2-a: kesamaan efek faktor A.
H o : α 1 = α 2 = …= α a untuk semua i, i = 1, 2, …, a.
H a : minimum 1 α i tidak sama
F Statistik : FA = MSA/MSE, dof-1 = a – 1, dof-2 = (ab – 1)(r – 1)
Total H o jika F statistik >F α, (a-1), (ab-1)(n-1) • Uji 2-b: kesamaan efek faktor B.
H o : β 1 = β 2 = …= β b untuk semua j, j = 1, 2, …, b
H a : minimum 1 α i tidak sama
F Statistik : FB = MSB/MSE, dof-1 = b – 1, dof-2 = (ab – 1)(r – 1)
Total H o jika Fstatistik > F α, (b-1), (ab-1)(n-1)
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 37
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL RATA-RATA RESPONS :
Estimasi 100(1- α) confidence interval rata-rata respons terhadap treatment :
a. Level i faktor A & level j faktor B:
S Y (AB) = DS rata - rata treatment pd
Y ij. ± t α/2, (ab - 1)(n − 1) MSE/r
level i faktor A & level j faktor B
b. Level i faktor A :
S Y (A) = DS rata - rata
Y i.. ± t α/2, (ab - 1)(n − 1) MSE/(br)
treatment pd level i faktor A
c. Level j faktor B :
S Y (B) = DS rata - rata
Y .j. ± t α/2, (ab - 1)(n − 1) MSE/(ar)
treatment pd level j faktor B
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL SELISIH RATA-RATA RESPONS :
Estimasi 100(1- α) confidence interval selisih rata-rata respons terhadap treatment :
a. Level i faktor A & level j faktor B:
S Y (AB) = DS selisih rata - rata treatment (
Y ij. − Y i'j'. ) ± t α/ 2 , ( ab − 1 ) (r − 1 ) 2 MSE/r pd level i faktor A & level j faktor B
b. Level i faktor A :
= DS selisih rata - rata (
Y i.. − Y i'.. ) ± t α/ 2 , ( ab − 1 ) (r − 1 ) 2 MSE/(br) Y (A) treatment pd level i faktor A
c. Level j faktor B :
( Y .j. − Y .j'. ) ± t α/ 2 , ( ab − 1 ) (r − 1 ) 2 MSE/(ar) treatment pd level j faktor B
S Y (B) = DS selisih rata - rata
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 39
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK
Contoh 4 : EF – 2f
Untuk mengetahui efisiensi bahan bakar sintetis untuk mobil, dilakukan pengujian sebagai berikut:
Data tingkat efisiensi BB Sintesis
2 faktor berpengaruh terhadap efektivitas BB.
TINGKAT
TINGKAT KATALIS
Faktor A: zat aditif diuji pada 3 level (1, 2, &
Faktor B: katalis diuji pada 3 level (1, 2, & 3);
45 mobil diplih secara random untuk
pengujian tersebut, setiap 9 treatment
diterapkan secara random pada 5 mobil yang
Data hasil pengujian diberikan pada tabel di
58 70 halaman ini. 62
46 67 a. Tentukan faktor yang berpengaruh dengan 54 α = 5%.
b. Berikan saran kadar katalis & aditif yang
harus digunakan.
c. Apakah rata-rata tingkat katalis 1 & 3
berbeda untuk α = 5%?
d. Tentukan (1- α) confidence interval selisih
62 84 rata-rata treatment untuk aditif 1 – katalis 1 42 & aditif 2 – katalis 3.
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK Tabel Data : TINGKAT
TINGKAT KATALIS ADITIF
1 2 3 SUM-A AVE-A
72 62 48 Perhitungan :
66 58 42 C = Y ... 2 /( abn ) = ( 2703 ) 2 /( 3 x 3 x 5 ) = 162.360,2
SST =
i ∑∑∑ Y ijk 2 − C = 168 . 691 − 162 . 360 , 2 = = 6.330,8 1 j = 1 k = 1
2 50 73 58 i ∑ Y i .. 2
70 62 ∑ Y . 55 2 j 1 j .
60 76 43 ∑∑ Y 2
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 41
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK Tabel Anova EF – 2f & CRD :
SUMBER VARIASI
F Statistik
F Normatif
FAKTOR A: Zat Aditif
FAKTOR B: Katalis
INTERAKSI FAKTOR A & B
Solusi a :
Karena FAB=54,330 > F 0,05;4;36 = 2,642, dapat disimpulkan bahwa efek interaksi antara kadar zat aditif & katalis berpengaruh secara signifikan terhadap efisiensi BB sintetis yang diuji.
Karena efek interaktif antar kedua faktor tsb. signifikan, maka uji hipotesis pengaruh masing-masing faktor terhadap efisiensi BB tidak perlu dilakukan.
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK Solusi b :
Karena efek interaktif antar kedua faktor tsb. Signifikan terhadap efisiensi BB, maka rata- rata respon terhadap satu faktor tidak dapat dihitung dengan merata-ratakan nilai rata- rata respon untuk beberapa level dari faktor tersebut. Analisis dilakukan dengan memetakan nilai rata-rata respon untuk seluruh treatment ab.
100
B B Aditif Level-3 80 si
Aditif Level-2
n ie
Saran kadar aditif &
fis
katalis yang harus
Jika tujuannya adalah
ta a 40
maksimasi efisiensi BB,
Aditif Level-1
maka disarankan untuk memilih kombinasi:
20
aditif level 3 & katalis
1 2 Tingkat Katalis
3 level 2.
LD, Semester II 2003/04
Hlm. 43
TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK Solusi c :
95% confidence interval untuk selisih rata-rata efisiensi katalis 1 & 3 adalah:
( Y . 1 . − Y . 3 . ) ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/(bn) = ( Y . 1 . − Y . 3 . ) ± t 0 , 025 , 36 2 MSE/(bn) =
( 61 , 73 − 48 , 80 ) ± ( 2 , 028 ) ( 2 x 11 , 60 ) /( 3 x 5 ) =
12 , 93 ± 2 , 52
Karena interval tersebut tidak mencakup nilai 0, hal ini mengindikasikan bahwa perbedaan antara rata-rata efisiensi untuk katalis 1 & 3 signifikan. Tetapi karena pada b terbukti bahwa interaksi efek faktor A & B terhadap efisiensi BB signifikan, maka analisis terhadap efek masing-masing faktor tidak dapat dilakukan.
Solusi d : 95% confidence interval untuk selisih rata-rata efisiensi aditif 1 ― katalis 1 & aditif 2 ―
katalis 3 adalah:
( Y 23 . − Y 11 . ) ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/n = ( Y 23 . − Y 11 . ) ± t 0 , 025 , 36 2 MSE/n =
( 70 , 40 − 59 , 2 ) ± ( 2 , 028 ) ( 2 x 11 , 6 ) / 5 =
11 , 2 ± 4 , 368
Karena interval tersebut tidak mencakup nilai 0, berarti terdapat perbedaan signifikan antara kedua rata-rata tersebut pada tingkat signifikansi α=5%.