Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier

DERET FOURIER

  

Oleh :

Nama : 1. Neti Okmayanti (2007.121.460)

  2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465)

  3. Feri Febriansyha (2007.121.458) Kelas : 6. L Mata Kuliah : Matematika Lanjutan Dosen Pengasuh : Fadli, S.Si

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

  

2010

  

DERET FOURIER

  A. Fungsi Periodik

  Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier:

  ∞ a n x n x

  π π

  f(x) = ( a cos b sin )

  ∑ n n

  2 n ^{1 L L} _L = 1 n π x dimana a n = f ( x ) sin dx

  ∫ L L _L

  − _L n = 0, 1, 2, . . . . . n x

  1 π

  f x dx

  b n = ( ) sin

  ∫ L L _L

  −

  bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien a n dan b n dapat ditulis dalam bentuk : ^{c 2 L}

• 1 n π x a n = f ( x ) cos dx

  ∫ L L _c n = 0, 1, 2, . . . . .

• ^c
^{2 L}

  1 n π x b n = f ( x ) sin dx

  ∫ L L _c

  B. Syarat Dirichlet

  Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L)

  a. Bernilai tunggal

  b. Terbatas (bounded)

  c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L

  d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu

  e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga

  Maka deret Fourier konvergen ke : 1. f(x) di x dimana f(x) continu

  1

  f x f x 2. ( ) ( − ) untuk x dimana f(x) tidak kontinu. + + { }

  2 C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier 1. u dv = u v - v du atau

  ∫ ∫ ’ ’’ uv u v – u v + u v - . . . . . dimana

  =

  1

  2

  3 ∫

  ’

  u = turunan pertama

  v dx

  v

  1 = dan seterusnya ∫

  Contoh : _{3 2}   _{3 − x}   3 x

  6 x

  6

  x

    1. sin 2x dx = cos 2 x − − + sin 2 x cos 2 x − sin 2 x

  ∫  

  2 4  8 

  16  

  1

  2 −

  3x cos 2 x

  2

  1

• 6x sin

  2 x

  4

  1

  6 cos 2 x

  8

  1 sin 2 x

  16 Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan, kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.

  

  x −

  2 < < Perderetkan f(x) =  menurut deret Fourier: 3 x

   < <

  2

• −
^{2 2}
• −

• + + + + +

• ₁

  2

  1

  5

  5 sin

  2

  1

  7

  7 sin

  2

  jadi: f (x) =

  ...)

  b n = 0 untuk n genap

  − n = 1, 2, . . . . .

   

   

  − =

  π π π π n n x n n

  1 ²

  2

  3

  3 sin

  3

  1

  − −

  3 _n

  2

  6

  1

  1 2 (

  )

  1 2 ( sin

  2 )

    

  2 (sin

    

  ∑ ∞ =

  f (x) dapat ditulis sebagai berikut: f (x) =

  2 X -2

  3 Y

  x x x x π π π π π

  3

  2

  6

  2 cos 2 .

  = ), cos 1 (

  3

  1 ²

  2 cos

  1

  2

  3

  2 cos

  ∫ ∫

  a =

  

=

x

  2

  1

  3

  1 dx =

  2

  3

  ∫ ²

  1 dx +

  2

  ∫ − ²

  (periode 4, L = 2) Penyelesian : a =

  2

  

dx

x n dx x n

  π π ∫ ∫

  π

  1 ² ₂

  2

  2 sin

  1

  2

  3

  2 sin

  r n dx r n

  ) b n = dx

  n = 1, 2, . . . . . (sin n =

  π π

  x n n π π

   

   

  =

  1 ²

  2

  3

  2 sin 2 .

  = ,

  x n n π π

   1 x

  < < π Perderetan f(x) =  menurut deret Fourier. x

  2

  2  π < < π

  (periode 2π, L = π) Penyelesaian:

  2 Y

  1 _π 2π _{2 π π 2 π 2} X π

  1

  1

  1

  1

  π

  a = f ( x ) dx = 1 dx 2 dx = x

  2 x

  ] ] π ∫ ∫ ∫ { }

  π π π π π

  1 = ( ) (

  4 2 )

  1

  2

  3

  π π − π = = + + { }

  π _{2 2} π π π

  1 1 n π x 1 n π x

  1 . cos dx 2 . cos dx

  = ∫ ∫ ∫

• a n = f ( x ) dx

  π π π π π π π ^{2 π}

  1

  1

• = cos nxdx

  2 cos nxdx

  ∫ ∫ π π

  π ₂ π π

     

  1

  2

• = sin nx sin nx =

   n π   n π  _{2 2 2}

  π π π

  1 1 n x 1 n x

  π π ∫ ∫ ∫

  1 . sin dx 2 . sin dx

  = π π π π π

• b n = f ( x ) dx

  π π 2π

  1

  1 1 . sin nx dx 2.sin nx dx

• =

  ∫ ∫

  π

  π _π π ^{2 π}

     

  1

  2

• = − cos nx − cos nx

   n   n 

  π π π

  =

  − π π n n

  2

  1 2 (

  π )

  = 0 untuk n gebap b n =

  n

  n = 1,2, . . . . , b

  = ), 1 (cos

  π π π π π

  − + + − ; (cos 0 = cos 2π)

  1

  1 cos

  2

  2 cos

  π n

n

n n n n

  − n

D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

  ∫ ∫ =

  1

  2

  , -π ≤ x ≤ π (periode 2π) Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi b n = 0 a =

  ∫ ∫ −

  = = π π

  π π π π π ³

²

  3

  2 .

  2 ) (

  x dx x dx x f

  Contoh Soal :

  = ) (

  3

  2 ³

  π π

  =

  3

  2 ²

  π

  1. Perderetkan f(x) = x

  π π π π π

  − π π π

  x f x f π π

  π π

  ). (

  2 ) (

  1

  dx x f dx x f

  a n = dx nx cos ). (

  2 ) dx nx cos (

  1

  π π

=

  

=

−

  ∫ − Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x).

  Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x) Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi b n = 0 a =

   dan a n = 0

  b

  n

  = ). dx nx sin (

  2 ) dx nx sin (

  1

  x f x f ∫ ∫

  Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a

  4

  2 sin

  −

  x n n π π

  2

  2 cos

  1

  x n π

  2

  x x x x π x ² sin

  3 ^{2 2 2 2 3}

  (

  x n n π π

  2 2 cos 1 cos

  4 4 cos 3 3 cos

  Atau = ....

  nx n π

  4 3 n ⁿ

  cos ) 1 (

  −

  ∑ ∞ =

  =

  2

  4 _{2 2}

  − Jadi f(x) =

  Jadi

  2

  4

  4

  2 (sin

  1

  2

  2 sin

  2

  1

  3

  3 sin

  1

  ∑ ∞ =

  4

  4 sin

  2

  − − + −

  =

  Atau

  π π π

  x n n n

  2 sin cos 4 _n

  − ₁

  f(x) = x

  n − nx

  4 ₂

  2 ( sin

  ) 1 (

  n

  = ⁿ

  n n π π π

  2 ₂

  2 (

  = ) cos

  − +

  π π nx n nx n x nx n x

  2 _{3 2} ²

  2 cos

  −

  = ) sin

  dx x n x dx x n x f

  1

  2 ) cos (

  . cos

  π

²

  π π π π π

  − π π π

  ∫ ∫ =

  a n =

• ₁
₂ 2<
• − + − −

  2. Perderetkan f(x) = x, 0 &lt; x &lt; 2 Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus Penyelesaian: (disini yang dicari hanya b n ) b n =

  1 ₃

  π π

π

π

  sin

  n − cos nx

  1

  2 ₂

  1

  x ² cos nx n

  cos 4 −

  π π n n

  =

  π

  x n n

x n

n x dx x n x

  ∫ ^L dx L x n x f

  2

  2

  2 sin

  2

  2 cos

  4

  2 sin

  − − − = ^{2 2} _{2 2}

  ] ∫

  ) sin ( 2 π =

  L

  x x x x π π π π

E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan

  Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus, fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L). Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L) Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya b n , demikian juga pada cosinus ½ jangkaun yang divari hanya a dan a n . Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus) _L

  2

  n π x

  b n = f ( x ) sin dx , a dan a n = 0

  ∫ L L

  untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus) _L

  2 a = f ( x ) dx

  ∫ L _L

  2 n x

  π

  a = ( ) cos , b = 0

  n f x dx n ∫

  L L Contoh Soal x Perderetkan f(x) = e untuk 0 &lt; x &lt; π, dalam deret sinus.

  Penyelesaian : _L 2 n x

  π

  b n = f ( x ) sin dx

  ∫ L L _{2 π}

  2 2 −

  1

  1

  1 ^{x x x x} + = e sin nx dx ( e cos nx e sin nx e sin nx dx )

  

= −

∫ ^{2 2 ∫}

  π n n n n ₂ π

   

  n

  2

  1

  1 ²

  = − cos sin ^x   _{2 2}

• e nx e nx

  n n n π + 

  1 

• π π

• +

  +

  − cos

  x

  f(x) = e

  n nx −

  sin

  e ^x ₂

  1 2 π π

  e ^x sin nx e ^x n

  1

  2 . cos

  ) cos 1 (

  ∫ ∫ − + ^a _a ^a dx a x n a dx a x n a

_{2 /}

^{2 /}

  a n =

  = − = − + = − + ∫ ∫ ^a _a ^{a a a a} x a x a dx a dx a

  = ....) 3 sin

  3

  1

  3 2 sin

  1

  2

  1 2 sin

  1

  1

  1 (

  2 _{2 2 2}

  −

  x e x e x e

  π π π π

• 1
• a a/2 a

  

Y

  1

  2 _{2 / 2 /} ^{2 / 2 /}

  2 .

  1

  2 dalam cosinus.

  =  

   

  −

  π n e n n

  cos 1 (

  1

  2 ₂

  2. Perderetkan f(x) =   

  −

  1

  1

  

a x

a a x

  

&lt; &lt;

&lt; &lt;

  2

  ( periode 2a) Penyelesaian : a =

  2 ). 1 (

  [ ] [ ]

  1

  1

  2

  2 ). 1 (

  2 .

  1

  2 _{2 /} ^{2 /} _{2 /} ^{2 /}

  = − = − + = − + ∫ ∫ ^{a a a a} _a ^a x a x

a

dx a dx a

  =

  [ ] [ ]

  1

  1

  2

  X

  = ^a _a ^a

  ∑ ∞ =

  1 (cos

  3

  3 cos

  1

  5

  5 cos

  atau = ...)

  − − −

  

− + −

a x a x a x

  a x n n a x n n _{2 /} ^{2 /}

  4 _{2 1}

  1 2 ( sin

  2 )

  2 (

  1 2 ( cos 1 )

  )

  4

  π π π π

  x m m m _n

  π π π π

  sin

  2 sin

  2  

   

  −

   

   

  = ,

  = + untk n genap a a n = 0

  2 sin

  4

  2 sin

  2

  2 sin

  2

  π π π π

  π π n n n n n n

  π π π

F. Harmonic Analisis

  28

  Contoh:

  Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan suatu formula yaitu : a =

  ∫ ∫ − =

  π π π π ^{2 2}

  . ) (

  2

  1 ( 2 )

  1

  dx x f dx x f a = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π).

  a n = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π). b = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).

  Tentukan konstante a , a 1, a 2, b

  26

  1 , dan b 2 dari deret Fourier dari data-data yang

  1

  2

  3

  4

  5 f(x)

  9

  18

  24

  20 f(x) =

  diberikan sebagai berikut: x

  Penyelesaian : x x / 3 Sin x / 3 Cos x / 3 f(x) f(x) sin x / 3 f(cos) x / 3

  1

  9

  9 1 / 3 0,687 0,5 18 15,606

  9 2 2 / 3 0,687 -0,5 24 20,808 -12 3 3 / 3 -1 28 -28 4 4 / 3 -0,687 -0,5 26 -22,542 -13 5 5 / 3 -0,687 0,5 20 -17,340

  10 125 -3,468 -25 a = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66 a

  1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33

  b

  1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156 a

x x

  

π π

• a b Jadi f(x) = cos ... sin ...
_{1 1}

  2

  3

  3

  π x π x − + + = 20,83 – 8,33 cos 1 , 156 sin ....

  3

  3 Identitas Parsevel Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L) maka: _{L 2 2}

  a

  1 ^{2 2}

  f ( x ) dx = ( a b ) _{n n} + +

∑ { } ∑

  2 L L

  − Contoh: ₄

  π

  1

  1

  1

  1 = + + + + Buktikan: .... _{4 4 4 4}

  90

  1

  2

  3

  4

• ₁
² ₂ 2<

• +

  ₁
₄ ^{2 2}

• +

    

• + + + +

• ₁

₂ 2<
• π ≤ x ≤ π Hitung : .....
• − + −
• ₁
₂ 2<
• − + − −

  1

  3

  1

  4

  nx n π

  4 3 n ⁿ

  , cos ) 1 (

  −

  ∑ ∞ =

  =

  2

  Diberikan deret : x

  1 _{4 4 4 4}

  1

  1

  2

  1

  3

  1

  4

  π = .......

  90 ⁴

  n

  1

  ∑ ∞ _{1 4}

  = 16

  π −

  2

  2

  1

  1

  1 (

  1

  1

  2

  1

  3

  1

  4

  ...)

  π

  12 ²

  π =

  3 ^{2 2 2 2 2}

  4

  1

  1 _{2 2 2 2}

  1

  2

  1

  3

  1

  4

  0 = ...)

  n π

  4 3 n ⁿ

  cos ) 1 (

  −

  ∑ ∞ =

  Untuk x = 0 didapat: 0 =

  5 9 (

  45 )

  n π ₄

  2

  3 ²

  =

  a

  2

  

=

∫

x dx x

    

  =

  π π π π π ο

  2

  2

  1

  5

  5

  2

  1 = ^{5 5 4}

  )) ( (

  π π π dx x f ²

  ∫ −

  ≤ x ≤ π)

  x x f nx n π π

  4 3 n ⁿ

  , ) ( ( cos ) 1 (

  − = −

  ∑ ∞ =

  =

  2

  Bila diberikan : x

  π

  atau

  3

  1

  3

  1

  2

  16

     _{1 4} ^{2 2}

  ∑ ∞

  =

  π

  2

  4

  5

  n π

  2

  2 ²

  2 (

  2

  1 16 )

  ∞

  π = ∑

  2

  5

  − ₄

  4 ₂

  ) 1 (

  n

  a n = ⁿ

  π

a

  1 ( _{2 2 2 2}

• − + −

LEMBAR KERJA

   2 x

  −

  2 ≤ ≤

  1. Perderetan f(x) =  menurut deret fourier

  x x

   6 ≤ ≤

  2 Dimana periode 4, L = 2

  3

  2. Perderetan f(x) = x , − &lt; &lt; periode (2 )

  π π π π

3 Dimana f(x) = x , adalah fungsi ganjil!

  3. Perderetan f(x) = cos x, 0 &lt; x &lt; π , ke dalam deret sinus!