B. Elips - 03 Ellips

IRISAN KERUCUT

B. Elips

  Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi syarat perbandingan jaraknya ke titik trtentu dan jaraknya ke garis tetentu selalu tetap. Titik tertentu itu dinamakan fokus _. dan garis tertentu dinamakan direktris Terdapat dua macam bentuk elips, yakni

  1. Ellips horizontal 2. Ellips vertical. Berikut ini akan diruaikan penjelasan mendapatkan bentuk umum elips horizontal dengan pussat O(0, 0) Pada gambar diatas, misalkan ttitik F dan garis g masing-masing adalah fokus dan direktris elips, serta P adalah salah satu titik pada elips, maka perbandingan PF dan PR

  PF

  selalu tetap dan kurang dari 1, atau = e < 1 (e dinamakan eksentrisitas)

  PR

  Dengan memperhatikan garis g tegak lurus dengan sumbu-x, maka terdapat titik A

  2 A F

  2

  pada sumbu-x sedemikian sehingga = e, dan terdapat titik A

  1 pada sumbu-x

  KA

  2 A F

  1

  dengan = e, sehingga A

  2 dan A 1 terletak pada ellips.

  KA

1 Misalkan A A = 2a, dan O titik titik tengah, maka A O = A O = a. Akan ditentukan KO

  2

  1

  2

  1 dan FO dalam suku-suku a dan e.

  Karena A

2 F = e. KA

  2

  ………………………………………………………………… (1) FA

  1 = e. KA

  1

  ………………………………………………………………… (2) maka diperoleh: A

  2 F + FA 1 = e(KA 2 + KA 1 ) …………………………….……….. (3)

  Karena A F + FA = 2a , KA = KO = KO + a , maka dari persamaan (3)

  2

  1 2 – a dan KA

  1

  diperoleh : 2a = e(KO

• – a + KO + a) 2a = e. 2KO

  a

  KO = ……………………………………………………………………………. (4)

  e Dari (1) dan (2) diperoleh juga : FA F = e.KA

  1 – A

  2 1 – e.KA

  2 FA F = e.(KA ) 1 – A 2 1 – KA

  2

  (a + FO)

• – (a – FO) = e.([KO + a] – [KO – a])

  2.FO = e.2a FO = ea

  Dari sini diperoleh koordinat titik focus F( –ea, 0) Dengan mengambil titik P(

• –x, y) sebarang titik pada ellips, maka persamaan ellips

  PF

  diperoleh dari kondisi = e atau PF = e.PR

  PR

  2

  2

  2

  2 Karena F( (  x  (  ae))  y = (ae  x)  y

• –ea, 0) dan P(–x, y), maka . PF = Karena PR = KO – x , maka .

  Dengan demikian PF = e.PR

  2

  2 (ae  x)  y = e.(KO

• – x)

  a

  2

  2 (ae  x)  y = e.(

• – x)

  e

  2

  2 (ae x) y   = (a

• – ex)

  2

  2

  2

  (ae + y = (a

• – x) – ex)

  2

  2

  2

  2

  

2

  2

  2

  a e + y = a x

• – 2aex + x – 2aex +e

  2

  2

  2

  2

  

2

  (1 )x + y = a (1 )

• – e – e
_{2 2 2}

  (1 e )x y  _{2 2} + = 1 _{2 2} a (1 e ) a (1  e )  _{2 2} x y ₂ + = 1 _{2 2} a a (1  e )

  2

  

2

  x y

  2

  2

2 Ambil a (1 ) = b . diperoleh :  

  1

• – e

  2

  

2

  a b

  2

  2

  

2

Jika ae = c maka diperoleh : a (1 ) = b
• – e

  2

  2

  2

  

2

  a e = b

• – a

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  a = b maka c = a

• – c – b Selanjutnya akan diuraikan unsur-unsur elips, yakni sebagai berikut:

  c

  Nilai eksentrisitas elips adlah e =

  a

  Titik puncak elips ada empat, yang kesemuanya berada pada sumbu-x atau sumbu-y

  2

  2

  x  

  1 Puncak yang berada pada sumbu-x maka y = 0, sehingga :

  2

  2

  a b

  2

  2

  x = a titiknya A (a, 0), A (

  1 2 –a, 0)

  2

  2

  y Puncak yang berada pada sumbu-x maka x = 0, sehingga :  

  1

  2

  2

  a b

  2

  2

  y = b titiknya B (0, b), A (0,

  1 2 –b) Titik fokus elips ada di F (c, 0) dan F (

  1 2 –c, 0)

  Untuk menentukan persamaan direktris elips terlebih dahulu dicari jarak dari O ke K

  a

  yakni: OK = (dari persamaan (4))

  e

  2 a a

  OK = =

  c/a c

  2

  2 a a

• – Maka persamaan direktriks adalah x = dan x =

  c c

  Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus dengan sumbu mayor (sumbu-X). Panjang latus rectum diukur dari jarak kedua titik potongnya dengan elips, sehingga untuk x = c diperoleh :

  2

  2

  c y

  1  

  2

  2

  a b

  2

  2

  y c

  1

• – 

  2

  2

  b a

  2

  2

  2

  y a  c =

  2

  2

  a b

  2

  2

  b y =

  2

  2

  b a

  4

  2

  2

  b

  b b

  y = maka M (c , ) dan M (c , )

  1

  2

• – 2

  2

  a a a

  2

  2b Sehingga panjang latus rectum : LR = M M =

  1

  

2

  a Untuk elips vertical dengan pusat O(0, 0) persamaan dan unsur-unsurnyanya didapat dengan cara memutar elip horizontal diatas 90 , Sedangkan untuk elips dengan pusat M(p, q) persamaan dan unsur-unsurnyanya didapat dengan cara menggeser (translasi)

  p

    elips menurut matriks T = . Berikut ini diuraikan rangkuman rumus-rumusnya :  

  q

   

1. Ellips Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

  2

  2

  x y  

  1 Bentuk Umum : ,

  2

  2

  a b c Nilai eksentrisitasnya: e = a Unsur-unsurnya : Koordinat titik puncaknya di A (a, 0), A ( (0, b), dan B (0,

  1 2 –a, 0), B

  1 2 –b)

  Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b

  2

  2

  2 Titik fokus di F 1 (c, 0) dan F 2 ( = a

• –c, 0) dimana c – b

  2

  2 a a

• – Persamaan garis direktriks dirumuskan x = dan x =

  c c

  2 2b

  Panjang Latus rectum : LR =

  a

2. Ellips Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

  Elips ini mempunyai bentuk Umum :

  2

  2

  x y  

  1 ,

  2

  2

  b a c Nilai eksentrisitasnya : e = a Unsur-unsurnya: Titik puncaknya di A

  1 (0, a), A 2 (0, –a), B 1 (b, 0),

  dan B (

  2 –b, 0)

  Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b Titik focus di F (0, c) dan F (0,

  1 2 –c) dimana

  2

  2

  2

  c = a

• – b

  2

  2 a a

• – Garis direktriks dirumuskan y = dan y =

  c c

  2 2a

  Panjang latus rectum dirumuskan : LR =

  b

  Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

  2

  2

  01. Tentukan koordinat titik puncak elips 9x + 36y = 324 Jawab

  2

  2

  9x + 36y = 324

  2

  2 9x 36y 324   324 324 324

  2

  2 x y  

  1

  36

9 Maka a = 6

  b = 3 Sehingga koordinat titik puncaknya (6, 0), (

• –6, 0), (0, 3) dan (0, –3)

  2

  2

  02. Tentukan koordinat titik fokus elips 25x + 16y = 400 Jawab

  2

  2

  25x + 16y = 400

  2

  2 25x 16y 400  

  400 400 400

  2

  2 x y

  1  

  16

  25 _{2 2}

  

5

  4 Maka a = 5 dan b = 4 sehingga c =  = 9 = 3

  Sehingga titik fokusnya F

  1 (0, 3) dan F 2 (0,

• –3)

  2

  2 x y  

  1

  03. Tentukan persamaan garis direktriks elips

  100

  64 Jawab _{2 2} a = 10 dan b = 4 sehingga c = 10  8 = 36 = 6

  2

  50

  

10

Sehingga garis direktriksnya : x = ± sehingga x = ±

  3

  

6

  2

  2

  04. Diketahui elips 9x + 5y = 180. Tentukan Nilai eksentrisitasnya …

  Jawab

  2

  2

  9x + 5y = 180

  2

  2

  9x 5y 180   180 180 180

  2

  2 x y  

  1

  20

  36

  36 

  20 Maka a = 6 dan b = 20 sehingga c = c = 16 c = 4

  

6

  3 Sehingga nilai eksentrisitasnya e = =

  

4

  2

  05. Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya di (

• –6, 0) dan (6, 0) serta panjang sumbu mayor 20 satuan Jawab Elips ini berbentuk vertikal dengan puncak (
• –6, 0) dan (6, 0), maka b = 6 Panjang sumbu mayor 20 satuan sehingga 2a = 20 a = 10

  2

  2 x y

  Jadi persamaan elips :  

  

1

36 100

  2

  2

  25x + 9y = 900

  06. Tentukan persamaan elips jika pusatnya di (0, 0), salah satu fokusnya di (0, 6) dan salah satu puncaknya di titik (0, 8) Jawab Elips ini berbentuk vertikal dengan fokus F(0, 6) maka c = 6 salah satu puncaknya di titik (0, 8) sehingga a = 8

  2

  2

  2

  2

2 Sehingga b = a – c = 8 – 6 = 64 – 36 = 28

  2

  2 x y

  Jadi persamaan elips :  

  

1

  28

  64

  2

  2

  16x + 7y = 448

3. Ellips Horizontal dengan Pusat M(p, q)

  2

  2 (x  p ) (y  q )  

  1 Elips ini mempunyai bentuk Umum :

  2

  2 a b

  c Denga nilai eksentrisitas e = a Unsur-unsurnya : Koordinat titik puncaknya di A (a+p, q),

  1 A ( 2 –a+p, q),

  B (a, b+p),

  1 B 2 (a,

• –b+q) Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b Titik fokus di F

  1 (c+p, q) dan

  2

  

2

  2 F 2 ( –c+p, q) dimana c = a – b

  2 a

  Persamaan garis direktriks dirumuskan x = + p dan

  c

  2 a

• – x = + p

  c

  2 2b

  Panjang latus rectum LR=

  a

4. Ellips Vertikal dengan Pusat M(p, q)

  Elips ini mempunyai bentuk Umum :

  2

  2 (x  p ) (y  q )

  1  

  2

  2 b a

  c Dengan nilai eksentrisitas : e = b

  Unsur-unsurnya : Koordinat titik puncaknya di A

  1 (p, a+q),

  A

  2 (p, –a+q)

  B (p+b, q),

  1 B (p 2 –b, q),

  Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b Titik fokus di F

  1 (p, c+q)

  2

  2

  2 F 2 (p, = a

• –c+q) dimana c – b

  2

  2

  a a

• – Persamaan garis direktriks dirumuskan y = + q dan y = + q c c

  2 2b

  Panjang latus rectum dirumuskan : LR =

  a

  Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

  2

  2

  07. Diketahui persamaan elips 9x + 4y + 54x

• – 8y + 49 = 0 Tentukanlah : (a) Koordinat puncak elips (b). Panjang latus rectum Jawab

  2

  2

  9x + 4y + 54x

• – 8y + 49 = 0

  2

  2

  9x + 54x + 4y

• – 8y = –49

  2

  2

  9(x + 6x + 9) + 4(y

• – 2y + 1) = –49 + 9(9) + 4(1)

  2

  2

  9(x + 3) + 4(y = 36

• – 1)

  2

  2

  9 (x  3 ) (y 4  1 )  

  1

  36

  36

  2

  2

  (x  3 ) (y  1 )  

  1 Maka a = 3 , b = 2 , p =

• –3 dan q = 1

  4

  9 Elips tersebut adalah elips vertikal (a) Koordinat titik puncak elips adalah :

  A (p, a+q) A ( (

  1 1 –3, 3 + 1) = A 1 –3, 4)

  A

  2 (p, 2 ( 2 (

• –a+q) A –3, –3 + 1) = A –3, –2) B

  1 (b+p, q), B 1 (2 + ( 1 (

• –3), 1) = B –1, 1) B

  2 ( 2 ( 2 (

• –b+p, q), B –2 + (–3), 1) = B –5, 1)

  2

  2 2(2) 2b

  8

  (b) Panjang Latus Rectum = = =

  3

  3 a

  2

  2

  08. Diketahui elips 25x + 16y

• – 100x + 96y – 156 = 0, Tentukanlah : (a) Koordinat titik ujung sumbu minor (b) Koordinat titik fokus Jawab

  2

  2

  25x + 16y

• – 100x + 96y – 156 = 0

  2

  2

  25x – 100x + 16y + 96y = 156

  2

  2

  25(x + 6y + 9) = 156 + 25(4) + 16(9)

• – 4x + 4) + 16(y

  2

  2

  25(x + 16(y + 3) = 400

• – 2)

  2

  2

  25 (x  2 ) 16 (y  3 )  

  1 400 400

  2

  2

  (x  2 ) (y  3 )  

  1

  16

  25 Maka a = 5 , b = 4 , p = 2 dan q =

• –3

  2

  2

  a b

  25

  16 c =  =  = 9 = 3 karena a dibawah y, maka elips tersebut adalah elips vertikal (a) Koordinat titik ujung sumbu minor adalah

  B

  1 (b+p, q) B 1 (4+2, 1 (6,

• –3) = B –3) B

  2 ( 2 ( 2 (

• –b+p, q) B –4+2, –3) = B –2, –3) (b) Koordinat titik fokus adalah

  F

  1 (p, c+q) F 1 (2, 3+( –3)) = F 1 (2, 0)

  F (p, (2, (2,

  2 –c+q) F 2 –3+(–3)) = F 2 –6)

  09. Diketahui koordinat fokus elips adalah F (8, (

  1 –1) dan F 2 –4, –1) serta salah satu

  koordinat ujung sumbu minor adalah (2, 7). Tentukanlah persamaan elips tersebut Jawab Elips tersebut adalah elips horizontal, sehingga F (c + p , q) = F (8,

  1 1 –1) maka c + p = 8 ……………… (1)

  q =

• –1 …………….. (2) F ( (

  2 –c + p , q) = F 1 –4, –1) maka –c + p = –4…………… (3)

  B (p , b + q) = B

  1 1 (2, 7) maka p = 2 ………………….. (4)

  b + q = 7 ……………… (5) Dari (1)(4) c + p = 8 c + 2 = 8 maka c = 6 Dari (5)(2) b + q = 7 b

• – 1 = 7 maka b = 8

  2

  2

  2

  sehingga c = a

• – b

  2

  2

  2

  6 = a

• – 8

  2

  2

  36 = a = 100

• – 64 maka a

  2

  2

   2 

  1 (x ) (y )

  Jadi persamaan elips:  

  1 100

  64

  2

  2

  16(x – 2) + 25(y + 1) = 1600

  2

  2

  16(x – 4x + 4) + 25(y + 2y + 1) = 1600

  2

  2

  16x + 50y + 25 = 1600

• – 64x + 64 + 25y

  2

  2

  16x + 25y

• – 64x + 50y – 1511 = 0

  12. Eksentrisitas orbit bumi mengelilingi matahari kira-kira mendekati 0,0167. Jarak terdekat antara bumi dan matahari mendekati 93 juta mil. Berapakah jarak terjauh antara bumi dan matahari? Jawab Anggap orbit bumu mengelilingi matahari berbentuk elips horizontal, maka: c Diketahui e = = 0,0167 a c = 0,0167a jarak terdekat = b = 93 juta

  2

  2

  2

  maka c = a

• – b

  2

  2

  2

  (0,0167a) = a

• – (93)

  2

  2

  0,00027889a = a – 8649

  2

  0,99972111a = 8649 8649

  2

  a = 0,99972111

  2

  a =8651,4127925 a = 93,012971 juta Jadi jarak terjauh antara bumi dan matahari adalah 93.012.971 mil