PENGGUNAAN PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR RICCATI WAKTU DISKRIT PADA KENDALI OPTIMAL LINIER KUADRATIK

J . Mat h. and It s A ppl .
ISSN: 1829 -605X
Vol . 12, No. 1, Mei 2015, 23โ€”33

PENGGUNAAN PENYELESAIAN
PERSAMAAN ALJABAR RICCATI WAKTU
DISKRIT PADA KENDALI OPTIMAL LINIER
KUADRATIK
Dita Marsa Yuanita1, Soleha2
1,2

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
seha_07@matematika.its.ac.id
Abstrak

Permasalahan kendali optimal linier kuadratik adalah mendapatkan aturan
kendali optimal ๐’–(๐’•) dengan mendapatkan penyelesaian Persamaan Aljabar
Riccati Waktu Diskrit (PRAWD) ๐‘ท(๐’•) yang definit positif dan matriks gain
umpan balik ๐‘ฒ(๐’•). Untuk proses kendali berhingga, matriks-matriks ๐‘ท(๐’•) dan

๐‘ฒ(๐’•) adalah varian waktu. Akan tetapi, jika proses tersebut tidak berhingga
maka matriks tersebut menjadi matriks konstan ๐‘ท dan ๐‘ฒ. Untuk mendapatkan
penyelesaian kendali optimal steady state, diperlukan suatu penyelesaian
PRAWD steady state. Penyelesaian PRAWD steady state didapat dengan
membalik waktu dari PRAWD non steady state. Pendiskritan juga diperlukan
untuk menyelesaikan kendali optimal waktu diskrit apabila diberikan sistem
waktu kontinu dengan indeks performansi kontinu, contoh kasus adalah sistem
servo dengan plant pendulum terbalik. Analisis pada PRAWD menunjukkan
sifat invariant dari PRAWD jika matriks pemberat indeks performansi diganti.
Perlu diketahui juga bahwa PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang
unik.
Kata kunci: Kendali optimal linier kuadratik, Pendulum terbalik, Persamaan
Aljabar Riccati waktu diskrit, Penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu
diskrit, Sistem servo

1. Pendahuluan
Sejak awal tahun 60-an, Kalman telah menjelaskan dalam jurnal-jurnal
terdahulunya bahwa persamaan Aljabar Riccati memiliki peran krusial dalam
penyelesaian masalah kendali optimal linier kuadratik, pemfilteran serta estimasi.
Bahkan, pada 50 tahun terakhir persamaan Riccati ditemukan muncul dalam

permasalahan linear dinamis dengan kriteria indeks performansi kuadratik, masalah
faktorisasi spektral, teori perturbasi singular, teori stokastik realisasi dan identifikasi,
23

24

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โ€ฆ

masalah nilai batas untuk persamaan differensial biasa, teori embedding dan
scattering invariant. Untuk alasan tersebut, persamaan Riccati secara universal
dianggap sebagai landasan dari teori kendali modern.
Pada masalah kendali optimal, persamaan Aljabar Riccati muncul pada beberapa
permasalahan yaitu masalah optimal kuadratik, Kalman Filter, ๐ป2 dan ๐ปโˆž .
Penelitian sebelumnya [1], memberikan salah satu bahasan pada kendali optimal
yang memunculkan persamaan Aljabar Riccati yaitu masalah optimal kuadratik pada
sistem yang berupa persamaan differensial yang memenuhi sifat kelinieran, atau
disebut sistem linier invariant waktu kontinu. Permasalahan tersebut diselesaikan
dengan mengoptimalkan indeks performansi menggunakan penyelesaian persamaan
Aljabar Riccati waktu kontinu. Penyelesaian dapat diperoleh apabila sistem dalam
keadaan terkontrol dan stabil.

Dengan cara sama, penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit
(PRAWD) berbentuk
(1.1)
๐‘ƒ = ๐‘„ + ๐น โˆ— ๐‘ƒ๐น โˆ’ ๐น โˆ— ๐‘ƒ๐บ (๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐บ )โˆ’1 ๐บ โˆ— ๐‘‹๐น
dengan ๐‘ƒ matriks definit positif, digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari
permasalahan kendali optimal linier kuadratik waktu diskrit. Sistem waktu diskrit
berbentuk persamaan beda
๐‘ฅ (๐‘ก + 1) = ๐น๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐บ๐‘ข(๐‘ก),
๐‘ฅ (0) = ๐‘
(1.2)
Dan asumsikan sistem terkontrol.
Permasalahan kendali optimal kuadratik waktu diskrit adalah mendapatkan
vektor ๐‘ข(๐‘ก) sedemikian hingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat
diminimalkan menggunakan aturan umpan balik
๐‘ข(๐‘ก) = โˆ’๐พ๐‘ฅ (๐‘ก)
(1.3)
dengan ๐พ adalah matriks invarian waktu apabila proses kendali optimal tak
berhingga. Misal diberikan salah satu contoh indeks performansi kuadratik
โˆž


๐ฝ = โˆ‘[๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก)๐‘„๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐‘ข โˆ— (๐‘ก)๐‘…๐‘ข (๐‘ก)]
๐‘ก=0

(1.4)

Matriks ๐‘„ dan ๐‘… secara terurut, adalah matriks Hermit (simetris) definit positif.
Matriks tersebut merupakan pemberat dari vektor keadaan ๐‘ฅ (๐‘ก), dan vektor kendali
๐‘ข(๐‘˜). Diasumsikan bahwa vektor kendali ๐‘ข(๐‘ก) tidak memiliki kendala.
Pada tugas akhir ini, diberikan salah satu bahasan pada kendali optimal yang
memunculkan persamaan Aljabar Riccati yakni masalah optimal kuadratik dari
sistem (1.2) yaitu kendali optimal kuadratik waktu diskrit, kemudian kendali
optimal kuadratik waktu diskrit pada keadaan steady state, dengan contoh kasus pada
sistem pendulum terbalik mengenai penyelesaian PRAWD

2. Sistem Pendulum Tebalik
Proses-proses kimiawi, mekanik, elektronik dan lain-lain dapat dimodelkan
dengan suatu sistem yang dapat direpresentasikan sebagai berikut
๐‘ฅ(๐‘ก + 1) = ๐น๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐บ๐‘ข(๐‘ก),
๐‘ฅ(0) = ๐‘ฅ0
(2.1)

๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐ถ๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐ท๐‘ข(๐‘ก)
(2.2)
Persamaan ini disebut sistem linier invariant waktu diskrit. Persamaan (2.1)
disebut persamaan keadaan. Persamaan (2.2) disebut persamaan output.
Vektor ๐‘ฅ (๐‘ก) adalah vektor keadaan pada waktu ๐‘ก. Vektor ๐‘ข(๐‘ก) adalah vektor
input bebas linier dari sistem. Vektor ๐‘ฆ(๐‘ก) adalah output dari sistem. Matriks ๐น โˆˆ
๐‘€๐‘›ร—๐‘› , ๐บ โˆˆ ๐‘€๐‘›ร—๐‘Ÿ , ๐ถ โˆˆ ๐‘€๐‘Ÿร—๐‘› dan ๐ท โˆˆ ๐‘€๐‘Ÿร—๐‘š adalah matriks yang mengandung
parameter dari keseluruhan sistem.

Dita Marsa Yuanita, Soleha

25

Sistem di atas memiliki sifat linier dan invariant waktu. Linier artinya untuk
suatu operator ๐‘‡ berlaku jika input ๐‘ข1 (๐‘ก) memiliki output ๐‘ฆ1 (๐‘ก) dan ๐‘ข2 (๐‘ก) memiliki
output ๐‘ฆ2 (๐‘ก), maka
๐‘‡(๐›ผ๐‘ข1 (๐‘ก) + ๐›ฝ๐‘ข2 (๐‘ก)) = ๐›ผ ๐‘ฆ1(๐‘ก) + ๐›ฝ ๐‘ฆ2 (๐‘ก) = ๐›ผ ๐‘‡(๐‘ข1 (๐‘ก)) + ๐›ฝ ๐‘‡(๐‘ข2 (๐‘ก))

Sedangkan invariant waktu berarti jika input ๐‘ข(๐‘ก) menghasilkan output ๐‘ฆ(๐‘ก),
maka ๐‘ข(๐‘ก โˆ’ ๐œ) menghasilkan output ๐‘ฆ(๐‘ก โˆ’ ๐œ) untuk setiap ๐œ โˆˆ โ„ค. [4]

Dalam paper ini, akan diberikan salah satu sistem yang dapat diselesaikan
dengan persamaan Riccati, yakni pendulum terbalik.

Gambar 1. Pendulum terbalik
Pendulum terbalik adalah pendulum yang porosnya ditempelkan pada kereta
yang dapat bergerak dengan arah horizontal. Kereta digerakkan oleh suatu motor
kecil yang pada saat ๐‘ก, bekerja suatu gaya ๐‘ข(๐‘ก) pada kereta. Gaya tersebut adalah
variabel input pada sistem. Massa kereta dinotasikan dengan ๐‘€, sedangkan ๐‘š
adalah massa pendulum. Jarak antara titik poros pendulum ke pusat gravitasi massa
adalah ๐‘™. Sudut yang dibentuk oleh pendulum dengan sumbu vertikal adalah ๐œƒ. Sudut
tersebut selalu diasumsikan bernilai kecil untuk menjaga pendulum terbalik tetap
vertikal. (๐‘ฅ๐บ , ๐‘ง๐บ ) menyatakan koordinat (๐‘ฅ, ๐‘ง) dari pusat gravitasi. Maka,
๐‘ฅ๐บ = ๐‘ฅ + ๐‘™ sin ๐œƒ
๐‘ง๐บ = ๐‘™ cos ๐œƒ
Dengan menggunakan hukum kedua Newton, persamaan gerak pendulum pada
arah sumbu ๐‘ฅ sebagai berikut
๐‘‘2 ๐‘ฅ๐บ
๐‘‘2 ๐‘ฅ
= ๐‘ข,
๐‘€ 2 +๐‘š

๐‘‘๐‘ก 2
๐‘‘๐‘ก
2
๐‘‘
(2.3)
(๐‘€ + ๐‘š) 2 (๐‘ฅ + ๐‘™ sin ๐œƒ) = ๐‘ข,
๐‘‘๐‘ก
Persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut
(๐‘€ + ๐‘š )๐‘ฅฬˆ โˆ’ ๐‘š๐‘™(sin ๐œƒ)๐œƒฬ‡ 2 + ๐‘š๐‘™(cos ๐œƒ)๐œƒฬˆ = ๐‘ข
(2.4)
Kemudian, persamaan gerak massa ๐‘š pada arah ๐‘ง didapat dengan
menggunakan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar sehingga
๐‘‘ 2 ๐‘ฅ๐บ
๐‘‘2 ๐‘ง๐บ
(
)
(๐‘™ sin ๐œƒ) = ๐‘š๐‘”๐‘™ sin ๐œƒ,
๐‘š
๐‘™
cos

๐œƒ
โˆ’
๐‘š
๐‘‘๐‘ก 2
๐‘‘๐‘ก 2
๐‘š๐‘ฅฬˆ cos ๐œƒ + ๐‘š๐‘™๐œƒฬˆ = ๐‘š๐‘” sin ๐œƒ
(2.5)
Dengan melakukan pendekatan untuk sin ๐œƒ = ๐œƒ, cos ๐œƒ = 1, dan ๐œƒ๐œƒฬˆ = 0 ,
persamaan (2.4) dan (2.5) dapat dilinierisasi menjadi
(๐‘€ + ๐‘š )๐‘ฅฬˆ + ๐‘š๐‘™๐œƒฬˆ = ๐‘ข
(2.6)
๐‘š๐‘ฅฬˆ + ๐‘š๐‘™๐œƒฬˆ = ๐‘š๐‘”๐œƒ
(2.7)
Linierisasi tersebut berlaku selama ๐œƒ dan ๐œƒ bernilai kecil. Persamaan (2.6) dan
(2.7) mendefinisikan suatu model matematika dari sistem pendulum terbalik.

26

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โ€ฆ


Didefinisikan variabel keadaan sebagai berikut
๐‘ฅ1 = ๐œƒ
๐‘ฅ2 = ๐œƒฬ‡
๐‘ฅ3 = ๐‘ฅ
๐‘ฅ4 = ๐‘ฅฬ‡
๐‘ฅ adalah lokasi dari kereta, sehingga ๐‘ฅ merupakan output dari sistem, dapat ditulis
๐‘ฆ = ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3
Dari persamaan (2.6) dan (2.7) didapat bentuk persamaan matriks-vektornya
0
0
1 0 0
๐‘ฅ1
1
๐‘€+๐‘š
โˆ’
๐‘” 0 0 0
๐‘ฅ
2
๐‘€๐‘™
[๐‘ฅ ] + ๐‘€๐‘™ ๐‘ข

0
3
0
0 0 1
๐‘š
1
๐‘ฅ4
0 0 0 ]
[ โˆ’๐‘€๐‘”
[ ๐‘€ ]
๐‘ฅ1
๐‘ฅ2
๐‘ฆ = [0 0 1 0] [๐‘ฅ ]
3
๐‘ฅ4

๐‘ฅฬ‡ 1
๐‘ฅฬ‡
[ 2] =
๐‘ฅฬ‡ 3

๐‘ฅฬ‡ 4

(2.8)
(2.9)

Persamaan (2.8) dan (2.9) memberikan salah satu representasi ruang keadaan
dari sistem pendulum terbalik.

2.1 Desain Sistem Servo
Pada bagian ini, akan dijelaskan mengenai masalah pendekatan penempatan
pole pada desain dari sistem servo.

G
F

Gambar 2. Denah Sistem Servo
Gambar 2 menunjukkan konfigurasi antara suatu sistem servo dengan keadaan
umpan balik dan kontroler integral. Dari gambar tersebut didapat
๐‘ฅ (๐‘ก + 1) = ๐น๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐บ๐‘ข(๐‘ก)
(2.10)
๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐ถ๐‘ฅ (๐‘ก)
(2.11)
Persamaan keadaan integratornya adalah
๐‘ฃ (๐‘ก) = ๐‘ฃ(๐‘ก โˆ’ 1) + ๐‘Ÿ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ฆ(๐‘ก)
Vektor kendali ๐‘ข(๐‘˜) diberikan oleh
๐‘ข (๐‘ก) = โˆ’๐พ2 ๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐พ1 ๐‘ฃ (๐‘ก)
(2.12)
Desain sistem servo adalah menentukan matriks ๐พ1 dan ๐พ2 sedemikian hingga
sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan.
Perhatikan bahwa ๐‘ข (๐‘ก) adalah kombinasi linier dari vektor keadaan ๐‘ฅ(๐‘ก) dan
๐‘ฃ(๐‘ก) , definisikan suatu vektor keadaan baru yang mengandung ๐‘ฅ(๐‘ก) dan ๐‘ข(๐‘ก) .
Kemudian didapat dari (2.10) dan (2.12) persamaan berikut
[

๐น
๐‘ฅ(๐‘ก + 1)
]=[
๐พ2 โˆ’ ๐พ2 ๐น โˆ’ ๐พ1 ๐ถ๐น
๐‘ข(๐‘ก + 1)

๐บ
0
๐‘ฅ(๐‘ก)
][
] + [ ] ๐‘Ÿ(๐‘ก + 1)
๐ผ โˆ’ ๐พ2 ๐บ โˆ’ ๐พ1 ๐ถ๐บ ๐‘ข(๐‘ก)
๐พ1

Persamaan output, (2.11), dapat ditulis sebagai berikut

(2.13)

27

Dita Marsa Yuanita, Soleha

๐‘ฆ(๐‘ก) = [๐ถ

0] [

๐‘ฅ(๐‘ก)
]
๐‘ข(๐‘ก)

Untuk persamaan berikutnya, didefinisikan vektor ๐‘Ÿ(๐‘ก) adalah vektor konstan ๐‘Ÿ.
Dan didefinisikan vektor error sebagai berikut
๐‘ฅ๐ธ (๐‘ก) = ๐‘ฅ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘ฅ(โˆž)
๐‘ข๐ธ (๐‘ก) = ๐‘ข(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ข(โˆž)
Perhatikan bahwa, untuk input ๐‘ฅ(๐‘ก), ๐‘ข(๐‘ก), dan ๐‘ฃ(๐‘ก) mencapai nilai konstan pada
๐‘ฅ (โˆž), ๐‘ข(โˆž), dan ๐‘ฃ(โˆž). Jadi, dari persamaan (2.13), didapatkan persamaan
representasi errornya berupa
๐‘ฅ (๐‘ก)
๐น
[ ๐ธ ]=[
๐พ2 โˆ’ ๐พ2 ๐น โˆ’ ๐พ1 ๐ถ๐น
๐‘ข๐ธ (๐‘ก)

Persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai
๐‘ฅ (๐‘˜ + 1)
[ ๐ธ
] = [๐น
0
๐‘ข๐ธ (๐‘˜ + 1)

jika didefinisikan

๐บ
๐‘ฅ (๐‘ก)
][ ๐ธ ]
๐ผ โˆ’ ๐พ2 ๐บ โˆ’ ๐พ1 ๐ถ๐บ ๐‘ข๐ธ (๐‘ก)

๐บ ] [๐‘ฅ๐ธ (๐‘˜) ] [0]
+
๐‘ค(๐‘ก)
0 ๐‘ข๐ธ (๐‘˜)
๐ผ

๐‘ค(๐‘ก) = [๐พ2 โˆ’ ๐พ2 ๐น โˆ’ ๐พ1 ๐ถ๐น

โ‹ฎ ๐ผ โˆ’ ๐พ2 ๐บ โˆ’ ๐พ1 ๐ถ๐บ] [

Kemudian definisikan juga
๐‘ฅ (๐‘ก)
๐น ๐บ
0
],
๐œ‰ (๐‘ก) = [ ๐ธ ] ,
๐นฬ‚ = [
๐บฬ‚ = [ ]
๐‘ข๐ธ (๐‘ก)
0 0
๐ผ
ฬ‚
โˆ’
๐พ
๐น
โˆ’
๐พ
๐ถ๐น
โ‹ฎ
๐ผ
โˆ’
๐พ
๐บ
โˆ’
๐พ
๐พ = โˆ’[๐พ2
2
1
2
1 ๐ถ๐บ] :
Sehingga persamaan (2.15) menjadi
๐œ‰ (๐‘ก + 1) = ๐นฬ‚ ๐œ‰(๐‘ก) + ๐บฬ‚ ๐‘ค(๐‘ก)
ฬ‚ ๐œ‰ (๐‘ก)
๐‘ค(๐‘ก) = โˆ’๐พ
Perhatikan bahwa
โ‹ฎ ๐พ1 ] [๐น โˆ’ ๐ผ
๐ถ๐น

[๐พ2

๐‘ฅ๐ธ (๐‘ก)
]
๐‘ข๐ธ (๐‘ก)

๐บ] ฬ‚ [
= ๐พ + 0 โ‹ฎ ๐ผ]
๐ถ๐บ

Matriks ๐พ1 dan ๐พ2 yang diinginkan dapat diperoleh dari persamaan (2.16).

(2.14)

(2.15)

(2.16)

2.2 Kendali Optimal Linier Kuadratik
Pada bagian ini dianalisis mengenai hubungan kendali optimal linier kuadratik
dengan penyelesaian PRAWD. Sebelumnya, pandang suatu sistem terkontrol
๐‘ฅ (๐‘ก + 1) = ๐น๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐บ๐‘ข(๐‘ก),
๐‘ฅ (0) = ๐‘
dengan ๐‘ก = 0,1,2, โ€ฆ , ๐‘ โˆ’ 1 . Akan ditentukan vektor ๐‘ข(๐‘ก) sehingga indeks
performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan. Misal diberikan indeks
performansi kuadratik untuk waktu terbatas adalah
โˆ—(

๐‘โˆ’1

๐ฝ = ๐‘ฅ ๐‘)๐‘†๐‘ฅ(๐‘) + โˆ‘[๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก)๐‘„๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐‘ข โˆ— (๐‘ก)๐‘…๐‘ข(๐‘ก)]
๐‘ก=0

dengan ๐‘† โˆˆ ๐‘€๐‘›ร—๐‘› , ๐‘„ โˆˆ ๐‘€๐‘›ร—๐‘› , dan ๐‘… โˆˆ ๐‘€๐‘Ÿร—๐‘Ÿ adalah matriks simetris (Hermit)
definit (semidefinit positif). Permasalahan kendali optimal pada bagian ini
diselesaikan dengan menggunakan pengali Lagrange ๐œ†(1), ๐œ†(2), โ€ฆ , ๐œ†(๐‘) .
Kemudian dapat didefinisikan Indeks Performansi:
๐ฟ = ๐‘ฅ โˆ— (๐‘)๐‘†๐‘ฅ(๐‘) + โˆ‘

๐‘โˆ’1
๐‘ก=0

[{๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก)๐‘„๐‘ฅ(๐‘ก) + ๐‘ขโˆ— (๐‘ก)๐‘…๐‘ข(๐‘ก)}๐œ†โˆ— (๐‘ก + 1){๐น๐‘ฅ(๐‘ก) + ๐บ๐‘ข(๐‘ก)

โˆ’ ๐‘ฅ(๐‘ก + 1)} + {๐น๐‘ฅ(๐‘ก) โˆ’ ๐บ๐‘ข(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ฅ(๐‘ก + 1)}โˆ— ๐œ†(๐‘ก + 1)]

Untuk meminimalkan fungsi ๐ฟ, ๐ฟ didiferensialkan terhadap ๐‘ฅฬ… (๐‘ก), ๐‘ขฬ… (๐‘ก) dan ๐œ†ฬ…(๐‘ก)
dengan hasil sama dengan 0.

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โ€ฆ

28

๐›ฟ๐ฟ
= 0; ๐œ†(๐‘ก) = ๐‘„๐‘ฅ(๐‘ก) + ๐น โˆ—๐œ†(๐‘ก + 1)
๐›ฟ๐‘ฅฬ… (๐‘ก)
๐›ฟ๐ฟ
= 0; ๐‘†๐‘ฅ(๐‘) = ๐œ†(๐‘)
๐›ฟ๐‘ฅฬ… (๐‘)
๐›ฟ๐ฟ
= 0; ๐‘ข(๐‘ก) = โˆ’๐‘…โˆ’1 ๐บ โˆ— ๐œ†(๐‘ก + 1)
๐›ฟ๐‘ขฬ…(๐‘ก)
๐›ฟ๐ฟ
= 0; ๐‘ฅ(๐‘ก + 1) = ๐น๐‘ฅ(๐‘ก) + ๐บ๐‘ข(๐‘ก)
๐›ฟ๐œ†ฬ…(๐‘ก)

(2.17)
(2.18)

(2.19)

(2.20)

Vektor ๐‘ข(๐‘ก) dapat ditemukan dari persamaan
๐‘ข(๐‘ก) = โˆ’๐พ (๐‘ก)๐‘ฅ(๐‘ก)
matriks ๐พ(๐‘ก) adalah matriks anggota ๐‘€๐‘Ÿร—๐‘› .
Asumsikan ๐œ†(๐‘ก) sebagai fungsi dari vektor keadaan ๐‘ฅ (๐‘ก) dalam bentuk berikut:
๐œ†(๐‘ก) = ๐‘ƒ (๐‘ก)๐‘ฅ (๐‘ก)
๐‘ƒ(๐‘ก) adalah matriks Hermit (real simetris) anggota ๐‘€๐‘›ร—๐‘›
Dengan menyelesaikan persamaan (2.17) sampai (2.20) secara simultan
didapat
๐‘ƒ(๐‘ก) = ๐‘„ + ๐น โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐น โˆ’ ๐น โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐บ[๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐บ]โˆ’1 ๐บ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐น

(2.21)

Persamaan (2.21) disebut juga persamaan Riccati dengan ๐‘‹(๐‘) = ๐‘†. Persamaan
(2.21) bisa diselesaikan secara mundur dari ๐‘ก = ๐‘ ke ๐‘ก = 0 sampai didapat nilai
yang konstan. Dari persamaan (2.21), vektor kendali optimal menjadi:
๐‘ข(๐‘ก) = โˆ’[๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐บ]โˆ’1 ๐บ โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐น๐‘ฅ(๐‘ก)

dengan

๐พ(๐‘ก) = [๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐บ]โˆ’1 ๐บ โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐น

matriks ๐พ(๐‘ก) dinamakan matriks umpan balik.
Kemudian, dicari nilai minimum dari indeks performansi

(2.22)

๐‘โˆ’1

min ๐ฝ = min {๐‘ฅ โˆ— (๐‘)๐‘†๐‘ฅ(๐‘) + โˆ‘[๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก)๐‘„๐‘ฅ(๐‘ก) + ๐‘ขโˆ— (๐‘ก)๐‘…๐‘ข(๐‘ก)]}
๐‘ก=0

dengan mensubtitusikan persamaan yang telah didapatkan pada bagian
sebelumnya.
๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก)๐‘„๐‘ฅ(๐‘ก) + ๐‘ขโˆ— (๐‘ก)๐‘…๐‘ข(๐‘ก) = ๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก)๐‘ƒ(๐‘ก)๐‘ฅ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก + 1)๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐‘ฅ(๐‘ก + 1)

(2.23)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.23) ke persamaan indeks performansi ๐ฝ,
diperoleh
๐ฝ๐‘š๐‘–๐‘› = ๐‘ฅ

โˆ— (๐‘)๐‘†๐‘ฅ(๐‘)

๐‘โˆ’1

+ โˆ‘[๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก)๐‘ƒ(๐‘ก)๐‘ฅ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก + 1)๐‘ƒ(๐‘ก + 1)๐‘ฅ(๐‘ก + 1)]
๐‘ก=0

= ๐‘ฅ โˆ— (๐‘)๐‘†๐‘ฅ(๐‘) + ๐‘ฅ โˆ— (0)๐‘ƒ(0)๐‘ฅ(0) โˆ’ ๐‘ฅ โˆ— (๐‘)๐‘ƒ(๐‘)

Ingat bahwa ๐‘‹(๐‘) = ๐‘† , sehingga nilai minimum dari indeks performansi ๐ฝ
adalah
๐ฝ๐‘š๐‘–๐‘› = ๐‘ฅ โˆ— (0)๐‘ƒ(0)๐‘ฅ(0)

(2.24)

2.3 Penyelesaian PRAWD
Setelah mengetahui bentuk dari penyelesaian persamaan Aljabar Riccati, berikut
ini diberikan teorema mengenai keberadaan dan keunikan penyelesaian Aljabar
Riccati. Terlebih dahulu, definisikan persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit
sebagai fungsi berikut

๐’Ÿ(๐‘ƒ) = ๐‘ƒ โˆ’ ๐น โˆ— ๐‘ƒ๐น + (๐‘† + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐น)โˆ— (๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐บ)โˆ’1 (๐‘† + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐น) โˆ’ ๐‘„ = 0
(2.25)
dengan matriks ๐น โˆˆ โ„‚๐‘›ร—๐‘› , ๐‘† โˆˆ โ„‚๐‘šร—๐‘› , ๐บ โˆˆ โ„‚๐‘›ร—๐‘š , ๐‘… = ๐‘…โˆ— โˆˆ โ„‚๐‘šร—๐‘š , ๐‘„ = ๐‘„โˆ— โˆˆ โ„‚๐‘šร—๐‘š .

29

Dita Marsa Yuanita, Soleha

Suatu matriks ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚๐‘›ร—๐‘› disebut penyelesaian dari ๐’Ÿ(๐‘ƒ ) apabila ๐‘ƒ merupakan
matriks Hermit, det(๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐บ ) โ‰  0 dan ๐’Ÿ(๐‘ƒ ) = 0 . Sehingga didapat vektor
kendali optimal
โˆ’1
๐‘ข๐‘œ๐‘๐‘ก (๐‘ก) = [๐น โˆ’ ๐บ(๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐‘œ๐‘๐‘ก ๐บ) (๐‘† + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐‘œ๐‘๐‘ก ๐น)] ๐‘ฅ (๐‘ก)
yang akan meminimumkan indeks performansi
โˆž

๐‘„
๐ฝ(๐‘ฅ0 , ๐‘ข) = โˆ‘(๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก) ๐‘ข โˆ— (๐‘ก)) (
๐‘†
๐‘ก=0

๐‘† โˆ— ) ๐‘ฅ (๐‘ก)
(
)
๐‘… ๐‘ข(๐‘ก)

dengan ๐ฝ semidefinit positif. Indeks performansi optimal diberikan oleh
๐ฝ๐‘œ๐‘๐‘ก = ๐‘ฅ0โˆ— ๐‘ƒ๐‘œ๐‘๐‘ก ๐‘ฅ0
๐‘ƒ๐‘œ๐‘๐‘ก adalah penyelesaian semidefinit terkecil dari persamaan Aljabar Riccati waktu
diskrit dan ๐‘ฅ (0) = ๐‘ฅ0 .
Serta definisikan suatu matriks loop tertutup terkait penyelesaian ๐‘ƒ dari (2.25)
๐น๐‘ƒ = ๐น โˆ’ ๐บ (๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐บ )โˆ’1 (๐‘† + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ๐น)
dan ๐œŽ(๐น๐‘ƒ ) adalah himpunan seluruh nilai eigen yang berbeda dari ๐น๐‘ƒ . Maka keadaan
optimal memenuhi ๐‘ฅ (๐‘ก + 1) = (๐น๐‘ƒ๐‘œ๐‘๐‘ก ) ๐‘ฅ(๐‘ก).
Suatu penyelesaian ๐‘ƒ dikatakan sebagai penstabil jika |๐œ†| < 1 untuk seluruh nilai
eigen ๐œ† dari ๐น๐‘ƒ .
Misal ๐”ป = {๐‘ง; |๐‘ง| < 1} adalah unit disk terbuka dan ๐›ฟ๐”ป = {๐‘ง; |๐‘ง| = 1} adalah
unit circle.

3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Kendali Optimal Kuadratik Steady State
Pada bagian ini diberikan kasus ketika proses kendali tidak berhingga atau ๐‘ =
โˆž, sehingga matiks gain varian waktu ๐พ(๐‘ก) menjadi suatu matriks konstan ๐พ. Serta
matriks penyelesaian PRAWD ๐‘ƒ(๐‘ก) menjadi ๐‘ƒ.
Pandang persamaan (1.2)
2
1
0]
, ๐บ = [ ], nilai awal ๐‘ฅ(0) = [ ] , serta indeks performansi
dengan ๐น = [ 0
0
โˆ’0.5 1
2
yang akan diminimumkan
โˆž

๐ฝ = โˆ‘ [๐‘ฅ โˆ— (๐‘ก) [
๐‘ก=0

1 0
] ๐‘ฅ(๐‘ก) + ๐‘ขโˆ— (๐‘ก)๐‘ข(๐‘ก)]
0 0.5

(3.4)

Bentuk ๐‘ฅ โˆ— (๐‘)๐‘†๐‘ฅ(๐‘) tidak ada di persamaan (3.4) dikarenakan jika sistem
stabil maka ๐‘ฅ(โˆž) bernilai nol sehingga ๐‘ฅ โˆ— (โˆž)๐‘†๐‘ฅ (โˆž) = 0.
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Riccati untuk kendali optimal
steady state adalah dengan membalik waktu dari persamaan Riccati non steady state
pada persamaan (1.1) menjadi
๐‘ƒ (๐‘ก + 1) = ๐‘„ + ๐น โˆ— ๐‘ƒ (๐‘ก)๐น โˆ’ ๐น โˆ— ๐‘ƒ (๐‘ก)๐บ[๐‘… + ๐บ โˆ— ๐‘ƒ(๐‘ก)๐บ]โˆ’1 ๐บ๐‘ƒ(๐‘ก)๐น
dan iterasi persamaan tersebut dengan MATLAB mulai dari ๐‘ƒ (0) = 0 hingga ๐‘ƒ
mencapai nilai konstan dengan syarat batas
0 0
]
๐‘ƒ=[
0 0
dan menghasilkan nilai yang tetap yaitu
1.5664 โˆ’1.1328 ]
๐‘ƒ=[
โˆ’1.1328 2.7556
Kemudian, matriks gain steady state ๐พ dapat ditentukan dari persamaan (2.22)
dapat diperoleh nilai ๐พ = [0.2207 โˆ’0.4414]

30

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โ€ฆ

Indeks performansi ๐ฝ yang bersesuaian dengan aturan kendali optimal steady
state didapat dari persamaan (2.24) dengan mensubtitusikan ๐‘ƒ untuk ๐‘ƒ(0)
1.5664
โˆ’1.1328 2
] [ ] = 8.2656
๐ฝ๐‘š๐‘–๐‘› = [2 2] [
โˆ’1 โˆ’ 1328 2.7556 2

3.2 Kendali Optimal Kuadratik dari Sistem Servo
Diinginkan untuk mendapatkan model ruang keadaan kontinu kemudian
mendiskritkan model tersebut sehingga didapat model diskrit. Misalkan diketahui
๐‘€ = 2.5๐‘˜๐‘”,
๐‘š = 0.25๐‘˜๐‘”,
๐‘™ = 2๐‘š
Pada bab 2 didapat representasi ruang keadaan dari pendulum terbalik pada
persamaan (2.8) dan (2.9). Subtitusikan nilai dari ๐‘€, ๐‘š, ๐‘™ dan ๐‘” = 9.81 didapat
persamaan keadaan dan output dari pendulum terbalik adalah
0
0 ๐‘ฅ1
0 ] [๐‘ฅ2 ] + [โˆ’0.2] ๐‘ข
1 ๐‘ฅ3
0
0 ๐‘ฅ4
0.4
๐‘ฅ1
๐‘ฅ2
๐‘ฆ = [0 0 1 0] [๐‘ฅ ]
3
๐‘ฅ4

๐‘ฅฬ‡1
0
๐‘ฅฬ‡ 2
5.3955
[ ]=[
๐‘ฅฬ‡ 3
0
โˆ’0.981
๐‘ฅฬ‡ 4

1
0
0
0

0
0
0
0

Untuk mendisain sistem kendali, diperlukan suatu model terdiskritisasi.
Persamaan sistem terdiskritisasi adalah
๐ต
๐‘ฅ(๐‘˜ + 1) = ๐‘’ ๐ด ๐‘ฅ (๐‘˜) + (๐‘’ ๐ด โˆ’ 1)๐‘ข (๐‘˜)
๐ด
Pendiskritan juga dapat dilakukan dengan menggunakan command pada
MATLAB. Perintah ini digunakan untuk mendiskritkan suatu sistem linier invariant
waktu kontinu, dengan dimisalkan periode sampel adalah ๐‘‡ = 0.1 ๐‘‘๐‘’๐‘ก๐‘–๐‘˜
[๐น, ๐บ] = ๐‘2๐‘‘(๐ด, ๐ต, ๐‘‡)
Sehingga, model ruang keadaan terdiskritisasi adalah
๐‘ฅ (๐‘ก + 1) = ๐น๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐บ๐‘ข(๐‘ก)
๐‘ฆ(๐‘ก) = ๐ถ๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐ท๐‘ข(๐‘ก)
dengan

1.0271
0.5444
๐น=[
โˆ’0.0049
โˆ’0.0990

0.1009
1.0271
โˆ’0.0002
โˆ’0.0049

0
0
1
0

โˆ’0.0005
0
0 ] , ๐บ = [โˆ’0.0101] , ๐ถ = [0 0
1 0], dan ๐ท = 0
0.1
0.002
1
0.04

Berikutnya adalah mendisain sistem servo dari sistem pendulum terbalik. Disain
sistem servo adalah menentukan matriks ๐พ dan konstanta ๐พ1 sedemikian hingga
sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan. Persamaan integrator
ditunjukkan oleh persamaan (2.10) sehingga diperoleh
๐‘ฅ (๐‘ก + 1)
๐น
0 ๐‘ฅ (๐‘ก)
๐บ
0
[
]=[
][
]+[
] ๐‘ข(๐‘ก) + [ ] ๐‘Ÿ(๐‘ก + 1)
๐‘ฃ(๐‘ก + 1)
โˆ’๐ถ๐น 1 ๐‘ฃ(๐‘ก)
โˆ’๐ถ๐บ
1
Misalkan ๐‘Ÿ adalah fungsi tangga dan definisikan
๐‘ฅ๐ธ (๐‘ก) = ๐‘ฅ (๐‘ก) โˆ’ ๐‘ฅ (โˆž)
๐‘ฃ๐ธ (๐‘ก) = ๐‘ฃ(๐‘ก) โˆ’ ๐‘ฃ(โˆž)
Dapat diperoleh persamaan error seperti berbentuk
dengan

[

๐‘ฅ๐‘’ (๐‘ก + 1)
]=[ ๐น
๐‘ฃ๐‘’ (๐‘ก + 1)
โˆ’๐ถ๐น

0] [๐‘ฅ๐ธ (๐‘ก)] [ ๐บ ]
๐‘ข (๐‘ก)
+
โˆ’๐ถ๐บ ๐‘’
1 ๐‘ฃ๐ธ (๐‘ก)

๐‘ข๐‘’ (๐‘ก) = โˆ’๐พ๐‘ฅ๐ธ (๐‘ก) + ๐พ1 ๐‘ฃ๐ธ (๐‘ก) = โˆ’[๐พ

๐‘ฅ (๐‘ก)
๐พ1 ] [ ๐ธ ]
๐‘ฃ๐ธ (๐‘ก)

31

Dita Marsa Yuanita, Soleha

Sehingga dapat didefinisikan
๐น
๐นฬ‚ = [
โˆ’๐ถ๐น

๐บ
],
๐บฬ‚ = [
โˆ’๐ถ๐บ

0
],
1

ฬ‚ = โˆ’[๐พ ๐พ1 ]
๐พ
๐‘ฅ1๐ธ (๐‘ก)
๐‘ฅ2๐ธ (๐‘ก)
๐‘ฅ๐‘’ (๐‘ก)
] = ๐‘ฅ3๐ธ (๐‘ก)
๐œ‰(๐‘ก) = [
๐‘ฃ๐‘’ (๐‘ก)
๐‘ฅ4๐ธ (๐‘ก)
[ ๐‘ฃ๐ธ (๐‘ก) ]

๐‘ค(๐‘ก) = ๐‘ข๐ธ (๐‘ก),

Maka representasi ruang keadaan dari sistem dapat ditulis
๐œ‰ (๐‘ก + 1) = ๐นฬ‚ ๐œ‰(๐‘ก) + ๐บฬ‚ ๐‘ค(๐‘ก)
ฬ‚ ๐œ‰(๐‘ก)
๐‘ค(๐‘ก) = โˆ’๐พ
dengan
1.1048
2.1316
๐นฬ‚ = [
โˆ’0.0025
โˆ’0.0508

0.1035 0 0
1.1048 0 0 ] ,
โˆ’0.0001 1 0.1
โˆ’0.0025 0 1

โˆ’0.0051
โˆ’0.1035
๐บฬ‚ = 0.0025
0.0501
[โˆ’0.0025]

Perhatikan bahwa representasi awal sistem pendulum terbalik berada pada
waktu kontinu, maka harus dipertimbangkan suatu indeks performansi waktu
kontinu. Indeks performansi waktu kontinu berbentuk
โˆž

๐ฝ = โˆซ [๐œ‰ โˆ— (๐‘ก)๐‘„๐œ‰(๐‘ก) + ๐‘ค โˆ— (๐‘ก)๐‘…๐‘ค (๐‘ก)] ๐‘‘๐‘ก
0

Indeks performansi tersebut didiskritkan menjadi

Ambil

โˆž

๐ฝ = โˆ‘[๐œ‰(๐‘ก)โˆ— ๐‘„๐œ‰(๐‘ก) + ๐‘ค(๐‘ก)โˆ— ๐‘…๐‘ค(๐‘ก)]
๐‘ก=0

10
0
๐‘„= 0
0
[ 0

0
0
0 0
1
0
0 0
0 100 0 0 ,
0 0
1 0
0 0
0 1]

๐‘…=1

Dapat diperoleh matriks gain umpan balik ๐พ dan konstanta gain integral ๐พ1 sebagai
berikut
๐พ = [โˆ’116.5430 โˆ’74.1883 โˆ’17.2665 โˆ’20.0594 ],
๐พ1 = [โˆ’0.6623]
Dari matriks gain ๐พ yang diketahui dapat diperoleh respon tangga satuan dengan
cara sebagai berikut. Karena
๐‘ข(๐‘ก) = โˆ’๐พ๐‘ฅ (๐‘ก) + ๐พ1 ๐‘ฃ(๐‘ก)
maka
[

๐‘ฅ(๐‘ก + 1)
๐‘ฅ(๐‘ก)
] = ๐น๐น [
] + ๐บ๐บ๐‘Ÿ
๐‘ฃ(๐‘ก + 1)
๐‘ฃ(๐‘ก)
๐‘ฅ(๐‘ก)
]
๐‘ฆ(๐‘ก) = [๐ถ 0] [
๐‘ฃ(๐‘ก)

dengan ๐‘Ÿ = 1. Definisikan
๐น โˆ’ ๐บ๐พ
๐บ๐พ1
0
],
๐น๐น = [
๐บ๐บ = [ ]
โˆ’๐ถ๐น + ๐ถ๐บ๐พ โˆ’๐ถ๐บ๐พ1 + 1
1
๐ถ๐ถ = [๐ถ 0] = [0 0 1 0 0]
Untuk mendapatkan response ๐‘ฅ1 (๐‘ก), notasikan
๐‘ฅ(๐‘ก)
]
๐‘ฅ1 (๐‘ก) = [1 0 0 0 0] [
๐‘ฃ (๐‘ก)
dengan mendefinisikan
๐ป๐ป = [1 0 0 0 0]

(3.11)

(3.12)

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โ€ฆ

32

Konversikan persamaan ruang keadaan (3.11) dan (3.12) ke fungsi transfer
dengan

๐‘‹1(๐‘ง)
๐‘…(๐‘ง)

[๐‘›๐‘ข๐‘š1, ๐‘‘๐‘’๐‘›1] = ๐‘ ๐‘ 2๐‘ก๐‘“ (๐น๐น, ๐บ๐บ, ๐ป๐ป, 0)
Kemudian gunakan perintah filter untuk mendapatkan respon tangga
๐‘ฅ1 = ๐‘“๐‘–๐‘™๐‘ก๐‘’๐‘Ÿ(๐‘›๐‘ข๐‘š1, ๐‘‘๐‘’๐‘›1, ๐‘Ÿ)
Dengan cara sama, untuk mendapatkan ๐‘ฅ2 (๐‘ก), ๐‘ฅ3 (๐‘ก) = ๐‘ฆ(๐‘ก), ๐‘ฅ4 (๐‘ก), dan
๐‘ฅ (๐‘ก)
] dengan mendefinisikan basis
๐‘ฅ5 (๐‘ก) = ๐‘ฃ(๐‘ก), kalikan basis liniernya dengan [
๐‘ฃ(๐‘ก)
linier tersebut sebagai
๐ฝ๐ฝ = [0 1 0 0 0]
๐ถ๐ถ = [0 0 1 0 0]
๐ฟ๐ฟ = [0 0 0 1 0]
๐‘€๐‘€ = [0 0 0 0 1]
Selanjutnya dilakukan hal yang sama untuk

๐‘‹2 (๐‘ก) ๐‘Œ(๐‘ก) ๐‘‹4(๐‘ง)

,

,

๐‘…(๐‘ก) ๐‘…(๐‘ก) ๐‘…(๐‘ง)

, dan

๐‘‰(๐‘ง)
๐‘…(๐‘ง)

.

Plot respon tangga satuan versus ๐‘ก ditunjukkan pada gambar berikut

Gambar 3. Grafik Respon Tangga Satuan ๐‘ฅ1 (๐‘ก) versus ๐‘ก

Gambar 4. Grafik Respon Tangga Satuan ๐‘ฅ2 (๐‘ก) versus ๐‘ก

Gambar 5. Grafik Respon Tangga Satuan ๐‘ฅ3 (๐‘ก) versus ๐‘ก

Dita Marsa Yuanita, Soleha

33

Gambar 6. Grafik Respon Tangga Satuan ๐‘ฅ4 (๐‘ก) versus ๐‘ก

Gambar 7. Grafik Respon Tangga Satuan ๐‘ฅ5 (๐‘ก) versus ๐‘ก

Jika dimisalkan periode sampel adalah 0.1 detik, maka dari gambar di atas
didapat bahwa keadaan steady state tercapai saat 7 detik.

4. Kesimpulan

1. Persamaan keadaan dan output dari sistem pendulum terbalik berbentuk
persamaan kontinu dengan indeks performansi kontinu, pendiskritan
dilakukan untuk membentuk suatu sistem linier invariant waktu diskrit dari
sistem.
2. Desain servo diselesaikan dengan mendapatkan penyelesaian PRAWD ๐‘ƒ,
matriks ๐พ dan konstanta integral ๐พ1 dari persamaan ruang keadaan
๐œ‰(๐‘ก + 1) = ๐นฬ‚ ๐œ‰(๐‘ก) + ๐บฬ‚๐‘ค(๐‘ก)
ฬ‚๐œ‰(๐‘ก)
๐‘ค(๐‘ก) = โˆ’๐พ

3. Dari matriks ๐พ dan ๐พ1 dapat diperoleh respon tangga satuan
๐‘ฅ1 (๐‘ก), ๐‘ฅ2 (๐‘ก), ๐‘ฅ3 (๐‘ก) = ๐‘ฆ(๐‘ก), ๐‘ฅ4 (๐‘ก), dan ๐‘ฅ5 (๐‘ก) = ๐‘ฆ(๐‘ก) . Kemudian dapat
diberikan grafiknya versus ๐‘ก dengan menggunakan software MATLAB.

5. Daftar Pustaka

[1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory".
Mathematics Theses, Georgia State University.
[2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (2003). โ€œExistence and Uniqueness of
Unmixed Solutions of the Discrete-time Algebraic Riccati Equationsโ€.
Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340.
[3] Ogata, K. (1995). โ€œDiscrete-Time Control Systemโ€. Prentice-Hall
International, London.
[4] Subiono. (2010). โ€œMatematika Sistemโ€. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.

Dokumen yang terkait

PENGARUH PEMBERIAN SEDUHAN BIJI PEPAYA (Carica Papaya L) TERHADAP PENURUNAN BERAT BADAN PADA TIKUS PUTIH JANTAN (Rattus norvegicus strain wistar) YANG DIBERI DIET TINGGI LEMAK

23 199 21

KEPEKAAN ESCHERICHIA COLI UROPATOGENIK TERHADAP ANTIBIOTIK PADA PASIEN INFEKSI SALURAN KEMIH DI RSU Dr. SAIFUL ANWAR MALANG (PERIODE JANUARI-DESEMBER 2008)

2 106 1

FREKUENSI KEMUNCULAN TOKOH KARAKTER ANTAGONIS DAN PROTAGONIS PADA SINETRON (Analisis Isi Pada Sinetron Munajah Cinta di RCTI dan Sinetron Cinta Fitri di SCTV)

27 310 2

MANAJEMEN PEMROGRAMAN PADA STASIUN RADIO SWASTA (Studi Deskriptif Program Acara Garus di Radio VIS FM Banyuwangi)

29 282 2

ANALISIS PROSPEKTIF SEBAGAI ALAT PERENCANAAN LABA PADA PT MUSTIKA RATU Tbk

273 1263 22

PENERIMAAN ATLET SILAT TENTANG ADEGAN PENCAK SILAT INDONESIA PADA FILM THE RAID REDEMPTION (STUDI RESEPSI PADA IKATAN PENCAK SILAT INDONESIA MALANG)

43 322 21

KONSTRUKSI MEDIA TENTANG KETERLIBATAN POLITISI PARTAI DEMOKRAT ANAS URBANINGRUM PADA KASUS KORUPSI PROYEK PEMBANGUNAN KOMPLEK OLAHRAGA DI BUKIT HAMBALANG (Analisis Wacana Koran Harian Pagi Surya edisi 9-12, 16, 18 dan 23 Februari 2013 )

64 565 20

PENGARUH PENGGUNAAN BLACKBERRY MESSENGER TERHADAP PERUBAHAN PERILAKU MAHASISWA DALAM INTERAKSI SOSIAL (Studi Pada Mahasiswa Jurusan Ilmu Komunikasi Angkatan 2008 Universitas Muhammadiyah Malang)

127 505 26

PEMAKNAAN BERITA PERKEMBANGAN KOMODITI BERJANGKA PADA PROGRAM ACARA KABAR PASAR DI TV ONE (Analisis Resepsi Pada Karyawan PT Victory International Futures Malang)

18 209 45

STRATEGI KOMUNIKASI POLITIK PARTAI POLITIK PADA PEMILIHAN KEPALA DAERAH TAHUN 2012 DI KOTA BATU (Studi Kasus Tim Pemenangan Pemilu Eddy Rumpoko-Punjul Santoso)

119 459 25