PENGGUNAAN PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR RICCATI WAKTU DISKRIT PADA KENDALI OPTIMAL LINIER KUADRATIK
J . Mat h. and It s A ppl .
ISSN: 1829 -605X
Vol . 12, No. 1, Mei 2015, 23โ33
PENGGUNAAN PENYELESAIAN
PERSAMAAN ALJABAR RICCATI WAKTU
DISKRIT PADA KENDALI OPTIMAL LINIER
KUADRATIK
Dita Marsa Yuanita1, Soleha2
1,2
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
seha_07@matematika.its.ac.id
Abstrak
Permasalahan kendali optimal linier kuadratik adalah mendapatkan aturan
kendali optimal ๐(๐) dengan mendapatkan penyelesaian Persamaan Aljabar
Riccati Waktu Diskrit (PRAWD) ๐ท(๐) yang definit positif dan matriks gain
umpan balik ๐ฒ(๐). Untuk proses kendali berhingga, matriks-matriks ๐ท(๐) dan
๐ฒ(๐) adalah varian waktu. Akan tetapi, jika proses tersebut tidak berhingga
maka matriks tersebut menjadi matriks konstan ๐ท dan ๐ฒ. Untuk mendapatkan
penyelesaian kendali optimal steady state, diperlukan suatu penyelesaian
PRAWD steady state. Penyelesaian PRAWD steady state didapat dengan
membalik waktu dari PRAWD non steady state. Pendiskritan juga diperlukan
untuk menyelesaikan kendali optimal waktu diskrit apabila diberikan sistem
waktu kontinu dengan indeks performansi kontinu, contoh kasus adalah sistem
servo dengan plant pendulum terbalik. Analisis pada PRAWD menunjukkan
sifat invariant dari PRAWD jika matriks pemberat indeks performansi diganti.
Perlu diketahui juga bahwa PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang
unik.
Kata kunci: Kendali optimal linier kuadratik, Pendulum terbalik, Persamaan
Aljabar Riccati waktu diskrit, Penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu
diskrit, Sistem servo
1. Pendahuluan
Sejak awal tahun 60-an, Kalman telah menjelaskan dalam jurnal-jurnal
terdahulunya bahwa persamaan Aljabar Riccati memiliki peran krusial dalam
penyelesaian masalah kendali optimal linier kuadratik, pemfilteran serta estimasi.
Bahkan, pada 50 tahun terakhir persamaan Riccati ditemukan muncul dalam
permasalahan linear dinamis dengan kriteria indeks performansi kuadratik, masalah
faktorisasi spektral, teori perturbasi singular, teori stokastik realisasi dan identifikasi,
23
24
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
masalah nilai batas untuk persamaan differensial biasa, teori embedding dan
scattering invariant. Untuk alasan tersebut, persamaan Riccati secara universal
dianggap sebagai landasan dari teori kendali modern.
Pada masalah kendali optimal, persamaan Aljabar Riccati muncul pada beberapa
permasalahan yaitu masalah optimal kuadratik, Kalman Filter, ๐ป2 dan ๐ปโ .
Penelitian sebelumnya [1], memberikan salah satu bahasan pada kendali optimal
yang memunculkan persamaan Aljabar Riccati yaitu masalah optimal kuadratik pada
sistem yang berupa persamaan differensial yang memenuhi sifat kelinieran, atau
disebut sistem linier invariant waktu kontinu. Permasalahan tersebut diselesaikan
dengan mengoptimalkan indeks performansi menggunakan penyelesaian persamaan
Aljabar Riccati waktu kontinu. Penyelesaian dapat diperoleh apabila sistem dalam
keadaan terkontrol dan stabil.
Dengan cara sama, penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit
(PRAWD) berbentuk
(1.1)
๐ = ๐ + ๐น โ ๐๐น โ ๐น โ ๐๐บ (๐ + ๐บ โ ๐๐บ )โ1 ๐บ โ ๐๐น
dengan ๐ matriks definit positif, digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari
permasalahan kendali optimal linier kuadratik waktu diskrit. Sistem waktu diskrit
berbentuk persamaan beda
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก),
๐ฅ (0) = ๐
(1.2)
Dan asumsikan sistem terkontrol.
Permasalahan kendali optimal kuadratik waktu diskrit adalah mendapatkan
vektor ๐ข(๐ก) sedemikian hingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat
diminimalkan menggunakan aturan umpan balik
๐ข(๐ก) = โ๐พ๐ฅ (๐ก)
(1.3)
dengan ๐พ adalah matriks invarian waktu apabila proses kendali optimal tak
berhingga. Misal diberikan salah satu contoh indeks performansi kuadratik
โ
๐ฝ = โ[๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ (๐ก) + ๐ข โ (๐ก)๐ ๐ข (๐ก)]
๐ก=0
(1.4)
Matriks ๐ dan ๐ secara terurut, adalah matriks Hermit (simetris) definit positif.
Matriks tersebut merupakan pemberat dari vektor keadaan ๐ฅ (๐ก), dan vektor kendali
๐ข(๐). Diasumsikan bahwa vektor kendali ๐ข(๐ก) tidak memiliki kendala.
Pada tugas akhir ini, diberikan salah satu bahasan pada kendali optimal yang
memunculkan persamaan Aljabar Riccati yakni masalah optimal kuadratik dari
sistem (1.2) yaitu kendali optimal kuadratik waktu diskrit, kemudian kendali
optimal kuadratik waktu diskrit pada keadaan steady state, dengan contoh kasus pada
sistem pendulum terbalik mengenai penyelesaian PRAWD
2. Sistem Pendulum Tebalik
Proses-proses kimiawi, mekanik, elektronik dan lain-lain dapat dimodelkan
dengan suatu sistem yang dapat direpresentasikan sebagai berikut
๐ฅ(๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก),
๐ฅ(0) = ๐ฅ0
(2.1)
๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐ฅ (๐ก) + ๐ท๐ข(๐ก)
(2.2)
Persamaan ini disebut sistem linier invariant waktu diskrit. Persamaan (2.1)
disebut persamaan keadaan. Persamaan (2.2) disebut persamaan output.
Vektor ๐ฅ (๐ก) adalah vektor keadaan pada waktu ๐ก. Vektor ๐ข(๐ก) adalah vektor
input bebas linier dari sistem. Vektor ๐ฆ(๐ก) adalah output dari sistem. Matriks ๐น โ
๐๐ร๐ , ๐บ โ ๐๐ร๐ , ๐ถ โ ๐๐ร๐ dan ๐ท โ ๐๐ร๐ adalah matriks yang mengandung
parameter dari keseluruhan sistem.
Dita Marsa Yuanita, Soleha
25
Sistem di atas memiliki sifat linier dan invariant waktu. Linier artinya untuk
suatu operator ๐ berlaku jika input ๐ข1 (๐ก) memiliki output ๐ฆ1 (๐ก) dan ๐ข2 (๐ก) memiliki
output ๐ฆ2 (๐ก), maka
๐(๐ผ๐ข1 (๐ก) + ๐ฝ๐ข2 (๐ก)) = ๐ผ ๐ฆ1(๐ก) + ๐ฝ ๐ฆ2 (๐ก) = ๐ผ ๐(๐ข1 (๐ก)) + ๐ฝ ๐(๐ข2 (๐ก))
Sedangkan invariant waktu berarti jika input ๐ข(๐ก) menghasilkan output ๐ฆ(๐ก),
maka ๐ข(๐ก โ ๐) menghasilkan output ๐ฆ(๐ก โ ๐) untuk setiap ๐ โ โค. [4]
Dalam paper ini, akan diberikan salah satu sistem yang dapat diselesaikan
dengan persamaan Riccati, yakni pendulum terbalik.
Gambar 1. Pendulum terbalik
Pendulum terbalik adalah pendulum yang porosnya ditempelkan pada kereta
yang dapat bergerak dengan arah horizontal. Kereta digerakkan oleh suatu motor
kecil yang pada saat ๐ก, bekerja suatu gaya ๐ข(๐ก) pada kereta. Gaya tersebut adalah
variabel input pada sistem. Massa kereta dinotasikan dengan ๐, sedangkan ๐
adalah massa pendulum. Jarak antara titik poros pendulum ke pusat gravitasi massa
adalah ๐. Sudut yang dibentuk oleh pendulum dengan sumbu vertikal adalah ๐. Sudut
tersebut selalu diasumsikan bernilai kecil untuk menjaga pendulum terbalik tetap
vertikal. (๐ฅ๐บ , ๐ง๐บ ) menyatakan koordinat (๐ฅ, ๐ง) dari pusat gravitasi. Maka,
๐ฅ๐บ = ๐ฅ + ๐ sin ๐
๐ง๐บ = ๐ cos ๐
Dengan menggunakan hukum kedua Newton, persamaan gerak pendulum pada
arah sumbu ๐ฅ sebagai berikut
๐2 ๐ฅ๐บ
๐2 ๐ฅ
= ๐ข,
๐ 2 +๐
๐๐ก 2
๐๐ก
2
๐
(2.3)
(๐ + ๐) 2 (๐ฅ + ๐ sin ๐) = ๐ข,
๐๐ก
Persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut
(๐ + ๐ )๐ฅฬ โ ๐๐(sin ๐)๐ฬ 2 + ๐๐(cos ๐)๐ฬ = ๐ข
(2.4)
Kemudian, persamaan gerak massa ๐ pada arah ๐ง didapat dengan
menggunakan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar sehingga
๐ 2 ๐ฅ๐บ
๐2 ๐ง๐บ
(
)
(๐ sin ๐) = ๐๐๐ sin ๐,
๐
๐
cos
๐
โ
๐
๐๐ก 2
๐๐ก 2
๐๐ฅฬ cos ๐ + ๐๐๐ฬ = ๐๐ sin ๐
(2.5)
Dengan melakukan pendekatan untuk sin ๐ = ๐, cos ๐ = 1, dan ๐๐ฬ = 0 ,
persamaan (2.4) dan (2.5) dapat dilinierisasi menjadi
(๐ + ๐ )๐ฅฬ + ๐๐๐ฬ = ๐ข
(2.6)
๐๐ฅฬ + ๐๐๐ฬ = ๐๐๐
(2.7)
Linierisasi tersebut berlaku selama ๐ dan ๐ bernilai kecil. Persamaan (2.6) dan
(2.7) mendefinisikan suatu model matematika dari sistem pendulum terbalik.
26
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
Didefinisikan variabel keadaan sebagai berikut
๐ฅ1 = ๐
๐ฅ2 = ๐ฬ
๐ฅ3 = ๐ฅ
๐ฅ4 = ๐ฅฬ
๐ฅ adalah lokasi dari kereta, sehingga ๐ฅ merupakan output dari sistem, dapat ditulis
๐ฆ = ๐ฅ = ๐ฅ3
Dari persamaan (2.6) dan (2.7) didapat bentuk persamaan matriks-vektornya
0
0
1 0 0
๐ฅ1
1
๐+๐
โ
๐ 0 0 0
๐ฅ
2
๐๐
[๐ฅ ] + ๐๐ ๐ข
0
3
0
0 0 1
๐
1
๐ฅ4
0 0 0 ]
[ โ๐๐
[ ๐ ]
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฆ = [0 0 1 0] [๐ฅ ]
3
๐ฅ4
๐ฅฬ 1
๐ฅฬ
[ 2] =
๐ฅฬ 3
๐ฅฬ 4
(2.8)
(2.9)
Persamaan (2.8) dan (2.9) memberikan salah satu representasi ruang keadaan
dari sistem pendulum terbalik.
2.1 Desain Sistem Servo
Pada bagian ini, akan dijelaskan mengenai masalah pendekatan penempatan
pole pada desain dari sistem servo.
G
F
Gambar 2. Denah Sistem Servo
Gambar 2 menunjukkan konfigurasi antara suatu sistem servo dengan keadaan
umpan balik dan kontroler integral. Dari gambar tersebut didapat
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
(2.10)
๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐ฅ (๐ก)
(2.11)
Persamaan keadaan integratornya adalah
๐ฃ (๐ก) = ๐ฃ(๐ก โ 1) + ๐(๐ก) โ ๐ฆ(๐ก)
Vektor kendali ๐ข(๐) diberikan oleh
๐ข (๐ก) = โ๐พ2 ๐ฅ (๐ก) + ๐พ1 ๐ฃ (๐ก)
(2.12)
Desain sistem servo adalah menentukan matriks ๐พ1 dan ๐พ2 sedemikian hingga
sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan.
Perhatikan bahwa ๐ข (๐ก) adalah kombinasi linier dari vektor keadaan ๐ฅ(๐ก) dan
๐ฃ(๐ก) , definisikan suatu vektor keadaan baru yang mengandung ๐ฅ(๐ก) dan ๐ข(๐ก) .
Kemudian didapat dari (2.10) dan (2.12) persamaan berikut
[
๐น
๐ฅ(๐ก + 1)
]=[
๐พ2 โ ๐พ2 ๐น โ ๐พ1 ๐ถ๐น
๐ข(๐ก + 1)
๐บ
0
๐ฅ(๐ก)
][
] + [ ] ๐(๐ก + 1)
๐ผ โ ๐พ2 ๐บ โ ๐พ1 ๐ถ๐บ ๐ข(๐ก)
๐พ1
Persamaan output, (2.11), dapat ditulis sebagai berikut
(2.13)
27
Dita Marsa Yuanita, Soleha
๐ฆ(๐ก) = [๐ถ
0] [
๐ฅ(๐ก)
]
๐ข(๐ก)
Untuk persamaan berikutnya, didefinisikan vektor ๐(๐ก) adalah vektor konstan ๐.
Dan didefinisikan vektor error sebagai berikut
๐ฅ๐ธ (๐ก) = ๐ฅ (๐ก) โ ๐ฅ(โ)
๐ข๐ธ (๐ก) = ๐ข(๐ก) โ ๐ข(โ)
Perhatikan bahwa, untuk input ๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), dan ๐ฃ(๐ก) mencapai nilai konstan pada
๐ฅ (โ), ๐ข(โ), dan ๐ฃ(โ). Jadi, dari persamaan (2.13), didapatkan persamaan
representasi errornya berupa
๐ฅ (๐ก)
๐น
[ ๐ธ ]=[
๐พ2 โ ๐พ2 ๐น โ ๐พ1 ๐ถ๐น
๐ข๐ธ (๐ก)
Persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai
๐ฅ (๐ + 1)
[ ๐ธ
] = [๐น
0
๐ข๐ธ (๐ + 1)
jika didefinisikan
๐บ
๐ฅ (๐ก)
][ ๐ธ ]
๐ผ โ ๐พ2 ๐บ โ ๐พ1 ๐ถ๐บ ๐ข๐ธ (๐ก)
๐บ ] [๐ฅ๐ธ (๐) ] [0]
+
๐ค(๐ก)
0 ๐ข๐ธ (๐)
๐ผ
๐ค(๐ก) = [๐พ2 โ ๐พ2 ๐น โ ๐พ1 ๐ถ๐น
โฎ ๐ผ โ ๐พ2 ๐บ โ ๐พ1 ๐ถ๐บ] [
Kemudian definisikan juga
๐ฅ (๐ก)
๐น ๐บ
0
],
๐ (๐ก) = [ ๐ธ ] ,
๐นฬ = [
๐บฬ = [ ]
๐ข๐ธ (๐ก)
0 0
๐ผ
ฬ
โ
๐พ
๐น
โ
๐พ
๐ถ๐น
โฎ
๐ผ
โ
๐พ
๐บ
โ
๐พ
๐พ = โ[๐พ2
2
1
2
1 ๐ถ๐บ] :
Sehingga persamaan (2.15) menjadi
๐ (๐ก + 1) = ๐นฬ ๐(๐ก) + ๐บฬ ๐ค(๐ก)
ฬ ๐ (๐ก)
๐ค(๐ก) = โ๐พ
Perhatikan bahwa
โฎ ๐พ1 ] [๐น โ ๐ผ
๐ถ๐น
[๐พ2
๐ฅ๐ธ (๐ก)
]
๐ข๐ธ (๐ก)
๐บ] ฬ [
= ๐พ + 0 โฎ ๐ผ]
๐ถ๐บ
Matriks ๐พ1 dan ๐พ2 yang diinginkan dapat diperoleh dari persamaan (2.16).
(2.14)
(2.15)
(2.16)
2.2 Kendali Optimal Linier Kuadratik
Pada bagian ini dianalisis mengenai hubungan kendali optimal linier kuadratik
dengan penyelesaian PRAWD. Sebelumnya, pandang suatu sistem terkontrol
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก),
๐ฅ (0) = ๐
dengan ๐ก = 0,1,2, โฆ , ๐ โ 1 . Akan ditentukan vektor ๐ข(๐ก) sehingga indeks
performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan. Misal diberikan indeks
performansi kuadratik untuk waktu terbatas adalah
โ(
๐โ1
๐ฝ = ๐ฅ ๐)๐๐ฅ(๐) + โ[๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ (๐ก) + ๐ข โ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก)]
๐ก=0
dengan ๐ โ ๐๐ร๐ , ๐ โ ๐๐ร๐ , dan ๐ โ ๐๐ร๐ adalah matriks simetris (Hermit)
definit (semidefinit positif). Permasalahan kendali optimal pada bagian ini
diselesaikan dengan menggunakan pengali Lagrange ๐(1), ๐(2), โฆ , ๐(๐) .
Kemudian dapat didefinisikan Indeks Performansi:
๐ฟ = ๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) + โ
๐โ1
๐ก=0
[{๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก)}๐โ (๐ก + 1){๐น๐ฅ(๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
โ ๐ฅ(๐ก + 1)} + {๐น๐ฅ(๐ก) โ ๐บ๐ข(๐ก) โ ๐ฅ(๐ก + 1)}โ ๐(๐ก + 1)]
Untuk meminimalkan fungsi ๐ฟ, ๐ฟ didiferensialkan terhadap ๐ฅฬ (๐ก), ๐ขฬ (๐ก) dan ๐ฬ (๐ก)
dengan hasil sama dengan 0.
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
28
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐(๐ก) = ๐๐ฅ(๐ก) + ๐น โ๐(๐ก + 1)
๐ฟ๐ฅฬ (๐ก)
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐๐ฅ(๐) = ๐(๐)
๐ฟ๐ฅฬ (๐)
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐ข(๐ก) = โ๐ โ1 ๐บ โ ๐(๐ก + 1)
๐ฟ๐ขฬ (๐ก)
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐ฅ(๐ก + 1) = ๐น๐ฅ(๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
๐ฟ๐ฬ (๐ก)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Vektor ๐ข(๐ก) dapat ditemukan dari persamaan
๐ข(๐ก) = โ๐พ (๐ก)๐ฅ(๐ก)
matriks ๐พ(๐ก) adalah matriks anggota ๐๐ร๐ .
Asumsikan ๐(๐ก) sebagai fungsi dari vektor keadaan ๐ฅ (๐ก) dalam bentuk berikut:
๐(๐ก) = ๐ (๐ก)๐ฅ (๐ก)
๐(๐ก) adalah matriks Hermit (real simetris) anggota ๐๐ร๐
Dengan menyelesaikan persamaan (2.17) sampai (2.20) secara simultan
didapat
๐(๐ก) = ๐ + ๐น โ ๐(๐ก + 1)๐น โ ๐น โ ๐(๐ก + 1)๐บ[๐ + ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐บ]โ1 ๐บ๐(๐ก + 1)๐น
(2.21)
Persamaan (2.21) disebut juga persamaan Riccati dengan ๐(๐) = ๐. Persamaan
(2.21) bisa diselesaikan secara mundur dari ๐ก = ๐ ke ๐ก = 0 sampai didapat nilai
yang konstan. Dari persamaan (2.21), vektor kendali optimal menjadi:
๐ข(๐ก) = โ[๐ + ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐บ]โ1 ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐น๐ฅ(๐ก)
dengan
๐พ(๐ก) = [๐ + ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐บ]โ1 ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐น
matriks ๐พ(๐ก) dinamakan matriks umpan balik.
Kemudian, dicari nilai minimum dari indeks performansi
(2.22)
๐โ1
min ๐ฝ = min {๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) + โ[๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก)]}
๐ก=0
dengan mensubtitusikan persamaan yang telah didapatkan pada bagian
sebelumnya.
๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก) = ๐ฅ โ (๐ก)๐(๐ก)๐ฅ(๐ก) โ ๐ฅ โ (๐ก + 1)๐(๐ก + 1)๐ฅ(๐ก + 1)
(2.23)
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.23) ke persamaan indeks performansi ๐ฝ,
diperoleh
๐ฝ๐๐๐ = ๐ฅ
โ (๐)๐๐ฅ(๐)
๐โ1
+ โ[๐ฅ โ (๐ก)๐(๐ก)๐ฅ(๐ก) โ ๐ฅ โ (๐ก + 1)๐(๐ก + 1)๐ฅ(๐ก + 1)]
๐ก=0
= ๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) + ๐ฅ โ (0)๐(0)๐ฅ(0) โ ๐ฅ โ (๐)๐(๐)
Ingat bahwa ๐(๐) = ๐ , sehingga nilai minimum dari indeks performansi ๐ฝ
adalah
๐ฝ๐๐๐ = ๐ฅ โ (0)๐(0)๐ฅ(0)
(2.24)
2.3 Penyelesaian PRAWD
Setelah mengetahui bentuk dari penyelesaian persamaan Aljabar Riccati, berikut
ini diberikan teorema mengenai keberadaan dan keunikan penyelesaian Aljabar
Riccati. Terlebih dahulu, definisikan persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit
sebagai fungsi berikut
๐(๐) = ๐ โ ๐น โ ๐๐น + (๐ + ๐บ โ ๐๐น)โ (๐ + ๐บ โ ๐๐บ)โ1 (๐ + ๐บ โ ๐๐น) โ ๐ = 0
(2.25)
dengan matriks ๐น โ โ๐ร๐ , ๐ โ โ๐ร๐ , ๐บ โ โ๐ร๐ , ๐ = ๐ โ โ โ๐ร๐ , ๐ = ๐โ โ โ๐ร๐ .
29
Dita Marsa Yuanita, Soleha
Suatu matriks ๐ โ โ๐ร๐ disebut penyelesaian dari ๐(๐ ) apabila ๐ merupakan
matriks Hermit, det(๐ + ๐บ โ ๐๐บ ) โ 0 dan ๐(๐ ) = 0 . Sehingga didapat vektor
kendali optimal
โ1
๐ข๐๐๐ก (๐ก) = [๐น โ ๐บ(๐ + ๐บ โ ๐๐๐๐ก ๐บ) (๐ + ๐บ โ ๐๐๐๐ก ๐น)] ๐ฅ (๐ก)
yang akan meminimumkan indeks performansi
โ
๐
๐ฝ(๐ฅ0 , ๐ข) = โ(๐ฅ โ (๐ก) ๐ข โ (๐ก)) (
๐
๐ก=0
๐ โ ) ๐ฅ (๐ก)
(
)
๐ ๐ข(๐ก)
dengan ๐ฝ semidefinit positif. Indeks performansi optimal diberikan oleh
๐ฝ๐๐๐ก = ๐ฅ0โ ๐๐๐๐ก ๐ฅ0
๐๐๐๐ก adalah penyelesaian semidefinit terkecil dari persamaan Aljabar Riccati waktu
diskrit dan ๐ฅ (0) = ๐ฅ0 .
Serta definisikan suatu matriks loop tertutup terkait penyelesaian ๐ dari (2.25)
๐น๐ = ๐น โ ๐บ (๐ + ๐บ โ ๐๐บ )โ1 (๐ + ๐บ โ ๐๐น)
dan ๐(๐น๐ ) adalah himpunan seluruh nilai eigen yang berbeda dari ๐น๐ . Maka keadaan
optimal memenuhi ๐ฅ (๐ก + 1) = (๐น๐๐๐๐ก ) ๐ฅ(๐ก).
Suatu penyelesaian ๐ dikatakan sebagai penstabil jika |๐| < 1 untuk seluruh nilai
eigen ๐ dari ๐น๐ .
Misal ๐ป = {๐ง; |๐ง| < 1} adalah unit disk terbuka dan ๐ฟ๐ป = {๐ง; |๐ง| = 1} adalah
unit circle.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Kendali Optimal Kuadratik Steady State
Pada bagian ini diberikan kasus ketika proses kendali tidak berhingga atau ๐ =
โ, sehingga matiks gain varian waktu ๐พ(๐ก) menjadi suatu matriks konstan ๐พ. Serta
matriks penyelesaian PRAWD ๐(๐ก) menjadi ๐.
Pandang persamaan (1.2)
2
1
0]
, ๐บ = [ ], nilai awal ๐ฅ(0) = [ ] , serta indeks performansi
dengan ๐น = [ 0
0
โ0.5 1
2
yang akan diminimumkan
โ
๐ฝ = โ [๐ฅ โ (๐ก) [
๐ก=0
1 0
] ๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ข(๐ก)]
0 0.5
(3.4)
Bentuk ๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) tidak ada di persamaan (3.4) dikarenakan jika sistem
stabil maka ๐ฅ(โ) bernilai nol sehingga ๐ฅ โ (โ)๐๐ฅ (โ) = 0.
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Riccati untuk kendali optimal
steady state adalah dengan membalik waktu dari persamaan Riccati non steady state
pada persamaan (1.1) menjadi
๐ (๐ก + 1) = ๐ + ๐น โ ๐ (๐ก)๐น โ ๐น โ ๐ (๐ก)๐บ[๐ + ๐บ โ ๐(๐ก)๐บ]โ1 ๐บ๐(๐ก)๐น
dan iterasi persamaan tersebut dengan MATLAB mulai dari ๐ (0) = 0 hingga ๐
mencapai nilai konstan dengan syarat batas
0 0
]
๐=[
0 0
dan menghasilkan nilai yang tetap yaitu
1.5664 โ1.1328 ]
๐=[
โ1.1328 2.7556
Kemudian, matriks gain steady state ๐พ dapat ditentukan dari persamaan (2.22)
dapat diperoleh nilai ๐พ = [0.2207 โ0.4414]
30
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
Indeks performansi ๐ฝ yang bersesuaian dengan aturan kendali optimal steady
state didapat dari persamaan (2.24) dengan mensubtitusikan ๐ untuk ๐(0)
1.5664
โ1.1328 2
] [ ] = 8.2656
๐ฝ๐๐๐ = [2 2] [
โ1 โ 1328 2.7556 2
3.2 Kendali Optimal Kuadratik dari Sistem Servo
Diinginkan untuk mendapatkan model ruang keadaan kontinu kemudian
mendiskritkan model tersebut sehingga didapat model diskrit. Misalkan diketahui
๐ = 2.5๐๐,
๐ = 0.25๐๐,
๐ = 2๐
Pada bab 2 didapat representasi ruang keadaan dari pendulum terbalik pada
persamaan (2.8) dan (2.9). Subtitusikan nilai dari ๐, ๐, ๐ dan ๐ = 9.81 didapat
persamaan keadaan dan output dari pendulum terbalik adalah
0
0 ๐ฅ1
0 ] [๐ฅ2 ] + [โ0.2] ๐ข
1 ๐ฅ3
0
0 ๐ฅ4
0.4
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฆ = [0 0 1 0] [๐ฅ ]
3
๐ฅ4
๐ฅฬ1
0
๐ฅฬ 2
5.3955
[ ]=[
๐ฅฬ 3
0
โ0.981
๐ฅฬ 4
1
0
0
0
0
0
0
0
Untuk mendisain sistem kendali, diperlukan suatu model terdiskritisasi.
Persamaan sistem terdiskritisasi adalah
๐ต
๐ฅ(๐ + 1) = ๐ ๐ด ๐ฅ (๐) + (๐ ๐ด โ 1)๐ข (๐)
๐ด
Pendiskritan juga dapat dilakukan dengan menggunakan command pada
MATLAB. Perintah ini digunakan untuk mendiskritkan suatu sistem linier invariant
waktu kontinu, dengan dimisalkan periode sampel adalah ๐ = 0.1 ๐๐๐ก๐๐
[๐น, ๐บ] = ๐2๐(๐ด, ๐ต, ๐)
Sehingga, model ruang keadaan terdiskritisasi adalah
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐ฅ (๐ก) + ๐ท๐ข(๐ก)
dengan
1.0271
0.5444
๐น=[
โ0.0049
โ0.0990
0.1009
1.0271
โ0.0002
โ0.0049
0
0
1
0
โ0.0005
0
0 ] , ๐บ = [โ0.0101] , ๐ถ = [0 0
1 0], dan ๐ท = 0
0.1
0.002
1
0.04
Berikutnya adalah mendisain sistem servo dari sistem pendulum terbalik. Disain
sistem servo adalah menentukan matriks ๐พ dan konstanta ๐พ1 sedemikian hingga
sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan. Persamaan integrator
ditunjukkan oleh persamaan (2.10) sehingga diperoleh
๐ฅ (๐ก + 1)
๐น
0 ๐ฅ (๐ก)
๐บ
0
[
]=[
][
]+[
] ๐ข(๐ก) + [ ] ๐(๐ก + 1)
๐ฃ(๐ก + 1)
โ๐ถ๐น 1 ๐ฃ(๐ก)
โ๐ถ๐บ
1
Misalkan ๐ adalah fungsi tangga dan definisikan
๐ฅ๐ธ (๐ก) = ๐ฅ (๐ก) โ ๐ฅ (โ)
๐ฃ๐ธ (๐ก) = ๐ฃ(๐ก) โ ๐ฃ(โ)
Dapat diperoleh persamaan error seperti berbentuk
dengan
[
๐ฅ๐ (๐ก + 1)
]=[ ๐น
๐ฃ๐ (๐ก + 1)
โ๐ถ๐น
0] [๐ฅ๐ธ (๐ก)] [ ๐บ ]
๐ข (๐ก)
+
โ๐ถ๐บ ๐
1 ๐ฃ๐ธ (๐ก)
๐ข๐ (๐ก) = โ๐พ๐ฅ๐ธ (๐ก) + ๐พ1 ๐ฃ๐ธ (๐ก) = โ[๐พ
๐ฅ (๐ก)
๐พ1 ] [ ๐ธ ]
๐ฃ๐ธ (๐ก)
31
Dita Marsa Yuanita, Soleha
Sehingga dapat didefinisikan
๐น
๐นฬ = [
โ๐ถ๐น
๐บ
],
๐บฬ = [
โ๐ถ๐บ
0
],
1
ฬ = โ[๐พ ๐พ1 ]
๐พ
๐ฅ1๐ธ (๐ก)
๐ฅ2๐ธ (๐ก)
๐ฅ๐ (๐ก)
] = ๐ฅ3๐ธ (๐ก)
๐(๐ก) = [
๐ฃ๐ (๐ก)
๐ฅ4๐ธ (๐ก)
[ ๐ฃ๐ธ (๐ก) ]
๐ค(๐ก) = ๐ข๐ธ (๐ก),
Maka representasi ruang keadaan dari sistem dapat ditulis
๐ (๐ก + 1) = ๐นฬ ๐(๐ก) + ๐บฬ ๐ค(๐ก)
ฬ ๐(๐ก)
๐ค(๐ก) = โ๐พ
dengan
1.1048
2.1316
๐นฬ = [
โ0.0025
โ0.0508
0.1035 0 0
1.1048 0 0 ] ,
โ0.0001 1 0.1
โ0.0025 0 1
โ0.0051
โ0.1035
๐บฬ = 0.0025
0.0501
[โ0.0025]
Perhatikan bahwa representasi awal sistem pendulum terbalik berada pada
waktu kontinu, maka harus dipertimbangkan suatu indeks performansi waktu
kontinu. Indeks performansi waktu kontinu berbentuk
โ
๐ฝ = โซ [๐ โ (๐ก)๐๐(๐ก) + ๐ค โ (๐ก)๐ ๐ค (๐ก)] ๐๐ก
0
Indeks performansi tersebut didiskritkan menjadi
Ambil
โ
๐ฝ = โ[๐(๐ก)โ ๐๐(๐ก) + ๐ค(๐ก)โ ๐ ๐ค(๐ก)]
๐ก=0
10
0
๐= 0
0
[ 0
0
0
0 0
1
0
0 0
0 100 0 0 ,
0 0
1 0
0 0
0 1]
๐ =1
Dapat diperoleh matriks gain umpan balik ๐พ dan konstanta gain integral ๐พ1 sebagai
berikut
๐พ = [โ116.5430 โ74.1883 โ17.2665 โ20.0594 ],
๐พ1 = [โ0.6623]
Dari matriks gain ๐พ yang diketahui dapat diperoleh respon tangga satuan dengan
cara sebagai berikut. Karena
๐ข(๐ก) = โ๐พ๐ฅ (๐ก) + ๐พ1 ๐ฃ(๐ก)
maka
[
๐ฅ(๐ก + 1)
๐ฅ(๐ก)
] = ๐น๐น [
] + ๐บ๐บ๐
๐ฃ(๐ก + 1)
๐ฃ(๐ก)
๐ฅ(๐ก)
]
๐ฆ(๐ก) = [๐ถ 0] [
๐ฃ(๐ก)
dengan ๐ = 1. Definisikan
๐น โ ๐บ๐พ
๐บ๐พ1
0
],
๐น๐น = [
๐บ๐บ = [ ]
โ๐ถ๐น + ๐ถ๐บ๐พ โ๐ถ๐บ๐พ1 + 1
1
๐ถ๐ถ = [๐ถ 0] = [0 0 1 0 0]
Untuk mendapatkan response ๐ฅ1 (๐ก), notasikan
๐ฅ(๐ก)
]
๐ฅ1 (๐ก) = [1 0 0 0 0] [
๐ฃ (๐ก)
dengan mendefinisikan
๐ป๐ป = [1 0 0 0 0]
(3.11)
(3.12)
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
32
Konversikan persamaan ruang keadaan (3.11) dan (3.12) ke fungsi transfer
dengan
๐1(๐ง)
๐ (๐ง)
[๐๐ข๐1, ๐๐๐1] = ๐ ๐ 2๐ก๐ (๐น๐น, ๐บ๐บ, ๐ป๐ป, 0)
Kemudian gunakan perintah filter untuk mendapatkan respon tangga
๐ฅ1 = ๐๐๐๐ก๐๐(๐๐ข๐1, ๐๐๐1, ๐)
Dengan cara sama, untuk mendapatkan ๐ฅ2 (๐ก), ๐ฅ3 (๐ก) = ๐ฆ(๐ก), ๐ฅ4 (๐ก), dan
๐ฅ (๐ก)
] dengan mendefinisikan basis
๐ฅ5 (๐ก) = ๐ฃ(๐ก), kalikan basis liniernya dengan [
๐ฃ(๐ก)
linier tersebut sebagai
๐ฝ๐ฝ = [0 1 0 0 0]
๐ถ๐ถ = [0 0 1 0 0]
๐ฟ๐ฟ = [0 0 0 1 0]
๐๐ = [0 0 0 0 1]
Selanjutnya dilakukan hal yang sama untuk
๐2 (๐ก) ๐(๐ก) ๐4(๐ง)
,
,
๐ (๐ก) ๐ (๐ก) ๐ (๐ง)
, dan
๐(๐ง)
๐ (๐ง)
.
Plot respon tangga satuan versus ๐ก ditunjukkan pada gambar berikut
Gambar 3. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ1 (๐ก) versus ๐ก
Gambar 4. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ2 (๐ก) versus ๐ก
Gambar 5. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ3 (๐ก) versus ๐ก
Dita Marsa Yuanita, Soleha
33
Gambar 6. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ4 (๐ก) versus ๐ก
Gambar 7. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ5 (๐ก) versus ๐ก
Jika dimisalkan periode sampel adalah 0.1 detik, maka dari gambar di atas
didapat bahwa keadaan steady state tercapai saat 7 detik.
4. Kesimpulan
1. Persamaan keadaan dan output dari sistem pendulum terbalik berbentuk
persamaan kontinu dengan indeks performansi kontinu, pendiskritan
dilakukan untuk membentuk suatu sistem linier invariant waktu diskrit dari
sistem.
2. Desain servo diselesaikan dengan mendapatkan penyelesaian PRAWD ๐,
matriks ๐พ dan konstanta integral ๐พ1 dari persamaan ruang keadaan
๐(๐ก + 1) = ๐นฬ ๐(๐ก) + ๐บฬ๐ค(๐ก)
ฬ๐(๐ก)
๐ค(๐ก) = โ๐พ
3. Dari matriks ๐พ dan ๐พ1 dapat diperoleh respon tangga satuan
๐ฅ1 (๐ก), ๐ฅ2 (๐ก), ๐ฅ3 (๐ก) = ๐ฆ(๐ก), ๐ฅ4 (๐ก), dan ๐ฅ5 (๐ก) = ๐ฆ(๐ก) . Kemudian dapat
diberikan grafiknya versus ๐ก dengan menggunakan software MATLAB.
5. Daftar Pustaka
[1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory".
Mathematics Theses, Georgia State University.
[2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (2003). โExistence and Uniqueness of
Unmixed Solutions of the Discrete-time Algebraic Riccati Equationsโ.
Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340.
[3] Ogata, K. (1995). โDiscrete-Time Control Systemโ. Prentice-Hall
International, London.
[4] Subiono. (2010). โMatematika Sistemโ. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.
ISSN: 1829 -605X
Vol . 12, No. 1, Mei 2015, 23โ33
PENGGUNAAN PENYELESAIAN
PERSAMAAN ALJABAR RICCATI WAKTU
DISKRIT PADA KENDALI OPTIMAL LINIER
KUADRATIK
Dita Marsa Yuanita1, Soleha2
1,2
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
seha_07@matematika.its.ac.id
Abstrak
Permasalahan kendali optimal linier kuadratik adalah mendapatkan aturan
kendali optimal ๐(๐) dengan mendapatkan penyelesaian Persamaan Aljabar
Riccati Waktu Diskrit (PRAWD) ๐ท(๐) yang definit positif dan matriks gain
umpan balik ๐ฒ(๐). Untuk proses kendali berhingga, matriks-matriks ๐ท(๐) dan
๐ฒ(๐) adalah varian waktu. Akan tetapi, jika proses tersebut tidak berhingga
maka matriks tersebut menjadi matriks konstan ๐ท dan ๐ฒ. Untuk mendapatkan
penyelesaian kendali optimal steady state, diperlukan suatu penyelesaian
PRAWD steady state. Penyelesaian PRAWD steady state didapat dengan
membalik waktu dari PRAWD non steady state. Pendiskritan juga diperlukan
untuk menyelesaikan kendali optimal waktu diskrit apabila diberikan sistem
waktu kontinu dengan indeks performansi kontinu, contoh kasus adalah sistem
servo dengan plant pendulum terbalik. Analisis pada PRAWD menunjukkan
sifat invariant dari PRAWD jika matriks pemberat indeks performansi diganti.
Perlu diketahui juga bahwa PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang
unik.
Kata kunci: Kendali optimal linier kuadratik, Pendulum terbalik, Persamaan
Aljabar Riccati waktu diskrit, Penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu
diskrit, Sistem servo
1. Pendahuluan
Sejak awal tahun 60-an, Kalman telah menjelaskan dalam jurnal-jurnal
terdahulunya bahwa persamaan Aljabar Riccati memiliki peran krusial dalam
penyelesaian masalah kendali optimal linier kuadratik, pemfilteran serta estimasi.
Bahkan, pada 50 tahun terakhir persamaan Riccati ditemukan muncul dalam
permasalahan linear dinamis dengan kriteria indeks performansi kuadratik, masalah
faktorisasi spektral, teori perturbasi singular, teori stokastik realisasi dan identifikasi,
23
24
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
masalah nilai batas untuk persamaan differensial biasa, teori embedding dan
scattering invariant. Untuk alasan tersebut, persamaan Riccati secara universal
dianggap sebagai landasan dari teori kendali modern.
Pada masalah kendali optimal, persamaan Aljabar Riccati muncul pada beberapa
permasalahan yaitu masalah optimal kuadratik, Kalman Filter, ๐ป2 dan ๐ปโ .
Penelitian sebelumnya [1], memberikan salah satu bahasan pada kendali optimal
yang memunculkan persamaan Aljabar Riccati yaitu masalah optimal kuadratik pada
sistem yang berupa persamaan differensial yang memenuhi sifat kelinieran, atau
disebut sistem linier invariant waktu kontinu. Permasalahan tersebut diselesaikan
dengan mengoptimalkan indeks performansi menggunakan penyelesaian persamaan
Aljabar Riccati waktu kontinu. Penyelesaian dapat diperoleh apabila sistem dalam
keadaan terkontrol dan stabil.
Dengan cara sama, penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit
(PRAWD) berbentuk
(1.1)
๐ = ๐ + ๐น โ ๐๐น โ ๐น โ ๐๐บ (๐ + ๐บ โ ๐๐บ )โ1 ๐บ โ ๐๐น
dengan ๐ matriks definit positif, digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari
permasalahan kendali optimal linier kuadratik waktu diskrit. Sistem waktu diskrit
berbentuk persamaan beda
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก),
๐ฅ (0) = ๐
(1.2)
Dan asumsikan sistem terkontrol.
Permasalahan kendali optimal kuadratik waktu diskrit adalah mendapatkan
vektor ๐ข(๐ก) sedemikian hingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat
diminimalkan menggunakan aturan umpan balik
๐ข(๐ก) = โ๐พ๐ฅ (๐ก)
(1.3)
dengan ๐พ adalah matriks invarian waktu apabila proses kendali optimal tak
berhingga. Misal diberikan salah satu contoh indeks performansi kuadratik
โ
๐ฝ = โ[๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ (๐ก) + ๐ข โ (๐ก)๐ ๐ข (๐ก)]
๐ก=0
(1.4)
Matriks ๐ dan ๐ secara terurut, adalah matriks Hermit (simetris) definit positif.
Matriks tersebut merupakan pemberat dari vektor keadaan ๐ฅ (๐ก), dan vektor kendali
๐ข(๐). Diasumsikan bahwa vektor kendali ๐ข(๐ก) tidak memiliki kendala.
Pada tugas akhir ini, diberikan salah satu bahasan pada kendali optimal yang
memunculkan persamaan Aljabar Riccati yakni masalah optimal kuadratik dari
sistem (1.2) yaitu kendali optimal kuadratik waktu diskrit, kemudian kendali
optimal kuadratik waktu diskrit pada keadaan steady state, dengan contoh kasus pada
sistem pendulum terbalik mengenai penyelesaian PRAWD
2. Sistem Pendulum Tebalik
Proses-proses kimiawi, mekanik, elektronik dan lain-lain dapat dimodelkan
dengan suatu sistem yang dapat direpresentasikan sebagai berikut
๐ฅ(๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก),
๐ฅ(0) = ๐ฅ0
(2.1)
๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐ฅ (๐ก) + ๐ท๐ข(๐ก)
(2.2)
Persamaan ini disebut sistem linier invariant waktu diskrit. Persamaan (2.1)
disebut persamaan keadaan. Persamaan (2.2) disebut persamaan output.
Vektor ๐ฅ (๐ก) adalah vektor keadaan pada waktu ๐ก. Vektor ๐ข(๐ก) adalah vektor
input bebas linier dari sistem. Vektor ๐ฆ(๐ก) adalah output dari sistem. Matriks ๐น โ
๐๐ร๐ , ๐บ โ ๐๐ร๐ , ๐ถ โ ๐๐ร๐ dan ๐ท โ ๐๐ร๐ adalah matriks yang mengandung
parameter dari keseluruhan sistem.
Dita Marsa Yuanita, Soleha
25
Sistem di atas memiliki sifat linier dan invariant waktu. Linier artinya untuk
suatu operator ๐ berlaku jika input ๐ข1 (๐ก) memiliki output ๐ฆ1 (๐ก) dan ๐ข2 (๐ก) memiliki
output ๐ฆ2 (๐ก), maka
๐(๐ผ๐ข1 (๐ก) + ๐ฝ๐ข2 (๐ก)) = ๐ผ ๐ฆ1(๐ก) + ๐ฝ ๐ฆ2 (๐ก) = ๐ผ ๐(๐ข1 (๐ก)) + ๐ฝ ๐(๐ข2 (๐ก))
Sedangkan invariant waktu berarti jika input ๐ข(๐ก) menghasilkan output ๐ฆ(๐ก),
maka ๐ข(๐ก โ ๐) menghasilkan output ๐ฆ(๐ก โ ๐) untuk setiap ๐ โ โค. [4]
Dalam paper ini, akan diberikan salah satu sistem yang dapat diselesaikan
dengan persamaan Riccati, yakni pendulum terbalik.
Gambar 1. Pendulum terbalik
Pendulum terbalik adalah pendulum yang porosnya ditempelkan pada kereta
yang dapat bergerak dengan arah horizontal. Kereta digerakkan oleh suatu motor
kecil yang pada saat ๐ก, bekerja suatu gaya ๐ข(๐ก) pada kereta. Gaya tersebut adalah
variabel input pada sistem. Massa kereta dinotasikan dengan ๐, sedangkan ๐
adalah massa pendulum. Jarak antara titik poros pendulum ke pusat gravitasi massa
adalah ๐. Sudut yang dibentuk oleh pendulum dengan sumbu vertikal adalah ๐. Sudut
tersebut selalu diasumsikan bernilai kecil untuk menjaga pendulum terbalik tetap
vertikal. (๐ฅ๐บ , ๐ง๐บ ) menyatakan koordinat (๐ฅ, ๐ง) dari pusat gravitasi. Maka,
๐ฅ๐บ = ๐ฅ + ๐ sin ๐
๐ง๐บ = ๐ cos ๐
Dengan menggunakan hukum kedua Newton, persamaan gerak pendulum pada
arah sumbu ๐ฅ sebagai berikut
๐2 ๐ฅ๐บ
๐2 ๐ฅ
= ๐ข,
๐ 2 +๐
๐๐ก 2
๐๐ก
2
๐
(2.3)
(๐ + ๐) 2 (๐ฅ + ๐ sin ๐) = ๐ข,
๐๐ก
Persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut
(๐ + ๐ )๐ฅฬ โ ๐๐(sin ๐)๐ฬ 2 + ๐๐(cos ๐)๐ฬ = ๐ข
(2.4)
Kemudian, persamaan gerak massa ๐ pada arah ๐ง didapat dengan
menggunakan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar sehingga
๐ 2 ๐ฅ๐บ
๐2 ๐ง๐บ
(
)
(๐ sin ๐) = ๐๐๐ sin ๐,
๐
๐
cos
๐
โ
๐
๐๐ก 2
๐๐ก 2
๐๐ฅฬ cos ๐ + ๐๐๐ฬ = ๐๐ sin ๐
(2.5)
Dengan melakukan pendekatan untuk sin ๐ = ๐, cos ๐ = 1, dan ๐๐ฬ = 0 ,
persamaan (2.4) dan (2.5) dapat dilinierisasi menjadi
(๐ + ๐ )๐ฅฬ + ๐๐๐ฬ = ๐ข
(2.6)
๐๐ฅฬ + ๐๐๐ฬ = ๐๐๐
(2.7)
Linierisasi tersebut berlaku selama ๐ dan ๐ bernilai kecil. Persamaan (2.6) dan
(2.7) mendefinisikan suatu model matematika dari sistem pendulum terbalik.
26
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
Didefinisikan variabel keadaan sebagai berikut
๐ฅ1 = ๐
๐ฅ2 = ๐ฬ
๐ฅ3 = ๐ฅ
๐ฅ4 = ๐ฅฬ
๐ฅ adalah lokasi dari kereta, sehingga ๐ฅ merupakan output dari sistem, dapat ditulis
๐ฆ = ๐ฅ = ๐ฅ3
Dari persamaan (2.6) dan (2.7) didapat bentuk persamaan matriks-vektornya
0
0
1 0 0
๐ฅ1
1
๐+๐
โ
๐ 0 0 0
๐ฅ
2
๐๐
[๐ฅ ] + ๐๐ ๐ข
0
3
0
0 0 1
๐
1
๐ฅ4
0 0 0 ]
[ โ๐๐
[ ๐ ]
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฆ = [0 0 1 0] [๐ฅ ]
3
๐ฅ4
๐ฅฬ 1
๐ฅฬ
[ 2] =
๐ฅฬ 3
๐ฅฬ 4
(2.8)
(2.9)
Persamaan (2.8) dan (2.9) memberikan salah satu representasi ruang keadaan
dari sistem pendulum terbalik.
2.1 Desain Sistem Servo
Pada bagian ini, akan dijelaskan mengenai masalah pendekatan penempatan
pole pada desain dari sistem servo.
G
F
Gambar 2. Denah Sistem Servo
Gambar 2 menunjukkan konfigurasi antara suatu sistem servo dengan keadaan
umpan balik dan kontroler integral. Dari gambar tersebut didapat
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
(2.10)
๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐ฅ (๐ก)
(2.11)
Persamaan keadaan integratornya adalah
๐ฃ (๐ก) = ๐ฃ(๐ก โ 1) + ๐(๐ก) โ ๐ฆ(๐ก)
Vektor kendali ๐ข(๐) diberikan oleh
๐ข (๐ก) = โ๐พ2 ๐ฅ (๐ก) + ๐พ1 ๐ฃ (๐ก)
(2.12)
Desain sistem servo adalah menentukan matriks ๐พ1 dan ๐พ2 sedemikian hingga
sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan.
Perhatikan bahwa ๐ข (๐ก) adalah kombinasi linier dari vektor keadaan ๐ฅ(๐ก) dan
๐ฃ(๐ก) , definisikan suatu vektor keadaan baru yang mengandung ๐ฅ(๐ก) dan ๐ข(๐ก) .
Kemudian didapat dari (2.10) dan (2.12) persamaan berikut
[
๐น
๐ฅ(๐ก + 1)
]=[
๐พ2 โ ๐พ2 ๐น โ ๐พ1 ๐ถ๐น
๐ข(๐ก + 1)
๐บ
0
๐ฅ(๐ก)
][
] + [ ] ๐(๐ก + 1)
๐ผ โ ๐พ2 ๐บ โ ๐พ1 ๐ถ๐บ ๐ข(๐ก)
๐พ1
Persamaan output, (2.11), dapat ditulis sebagai berikut
(2.13)
27
Dita Marsa Yuanita, Soleha
๐ฆ(๐ก) = [๐ถ
0] [
๐ฅ(๐ก)
]
๐ข(๐ก)
Untuk persamaan berikutnya, didefinisikan vektor ๐(๐ก) adalah vektor konstan ๐.
Dan didefinisikan vektor error sebagai berikut
๐ฅ๐ธ (๐ก) = ๐ฅ (๐ก) โ ๐ฅ(โ)
๐ข๐ธ (๐ก) = ๐ข(๐ก) โ ๐ข(โ)
Perhatikan bahwa, untuk input ๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), dan ๐ฃ(๐ก) mencapai nilai konstan pada
๐ฅ (โ), ๐ข(โ), dan ๐ฃ(โ). Jadi, dari persamaan (2.13), didapatkan persamaan
representasi errornya berupa
๐ฅ (๐ก)
๐น
[ ๐ธ ]=[
๐พ2 โ ๐พ2 ๐น โ ๐พ1 ๐ถ๐น
๐ข๐ธ (๐ก)
Persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai
๐ฅ (๐ + 1)
[ ๐ธ
] = [๐น
0
๐ข๐ธ (๐ + 1)
jika didefinisikan
๐บ
๐ฅ (๐ก)
][ ๐ธ ]
๐ผ โ ๐พ2 ๐บ โ ๐พ1 ๐ถ๐บ ๐ข๐ธ (๐ก)
๐บ ] [๐ฅ๐ธ (๐) ] [0]
+
๐ค(๐ก)
0 ๐ข๐ธ (๐)
๐ผ
๐ค(๐ก) = [๐พ2 โ ๐พ2 ๐น โ ๐พ1 ๐ถ๐น
โฎ ๐ผ โ ๐พ2 ๐บ โ ๐พ1 ๐ถ๐บ] [
Kemudian definisikan juga
๐ฅ (๐ก)
๐น ๐บ
0
],
๐ (๐ก) = [ ๐ธ ] ,
๐นฬ = [
๐บฬ = [ ]
๐ข๐ธ (๐ก)
0 0
๐ผ
ฬ
โ
๐พ
๐น
โ
๐พ
๐ถ๐น
โฎ
๐ผ
โ
๐พ
๐บ
โ
๐พ
๐พ = โ[๐พ2
2
1
2
1 ๐ถ๐บ] :
Sehingga persamaan (2.15) menjadi
๐ (๐ก + 1) = ๐นฬ ๐(๐ก) + ๐บฬ ๐ค(๐ก)
ฬ ๐ (๐ก)
๐ค(๐ก) = โ๐พ
Perhatikan bahwa
โฎ ๐พ1 ] [๐น โ ๐ผ
๐ถ๐น
[๐พ2
๐ฅ๐ธ (๐ก)
]
๐ข๐ธ (๐ก)
๐บ] ฬ [
= ๐พ + 0 โฎ ๐ผ]
๐ถ๐บ
Matriks ๐พ1 dan ๐พ2 yang diinginkan dapat diperoleh dari persamaan (2.16).
(2.14)
(2.15)
(2.16)
2.2 Kendali Optimal Linier Kuadratik
Pada bagian ini dianalisis mengenai hubungan kendali optimal linier kuadratik
dengan penyelesaian PRAWD. Sebelumnya, pandang suatu sistem terkontrol
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก),
๐ฅ (0) = ๐
dengan ๐ก = 0,1,2, โฆ , ๐ โ 1 . Akan ditentukan vektor ๐ข(๐ก) sehingga indeks
performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan. Misal diberikan indeks
performansi kuadratik untuk waktu terbatas adalah
โ(
๐โ1
๐ฝ = ๐ฅ ๐)๐๐ฅ(๐) + โ[๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ (๐ก) + ๐ข โ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก)]
๐ก=0
dengan ๐ โ ๐๐ร๐ , ๐ โ ๐๐ร๐ , dan ๐ โ ๐๐ร๐ adalah matriks simetris (Hermit)
definit (semidefinit positif). Permasalahan kendali optimal pada bagian ini
diselesaikan dengan menggunakan pengali Lagrange ๐(1), ๐(2), โฆ , ๐(๐) .
Kemudian dapat didefinisikan Indeks Performansi:
๐ฟ = ๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) + โ
๐โ1
๐ก=0
[{๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก)}๐โ (๐ก + 1){๐น๐ฅ(๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
โ ๐ฅ(๐ก + 1)} + {๐น๐ฅ(๐ก) โ ๐บ๐ข(๐ก) โ ๐ฅ(๐ก + 1)}โ ๐(๐ก + 1)]
Untuk meminimalkan fungsi ๐ฟ, ๐ฟ didiferensialkan terhadap ๐ฅฬ (๐ก), ๐ขฬ (๐ก) dan ๐ฬ (๐ก)
dengan hasil sama dengan 0.
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
28
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐(๐ก) = ๐๐ฅ(๐ก) + ๐น โ๐(๐ก + 1)
๐ฟ๐ฅฬ (๐ก)
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐๐ฅ(๐) = ๐(๐)
๐ฟ๐ฅฬ (๐)
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐ข(๐ก) = โ๐ โ1 ๐บ โ ๐(๐ก + 1)
๐ฟ๐ขฬ (๐ก)
๐ฟ๐ฟ
= 0; ๐ฅ(๐ก + 1) = ๐น๐ฅ(๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
๐ฟ๐ฬ (๐ก)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Vektor ๐ข(๐ก) dapat ditemukan dari persamaan
๐ข(๐ก) = โ๐พ (๐ก)๐ฅ(๐ก)
matriks ๐พ(๐ก) adalah matriks anggota ๐๐ร๐ .
Asumsikan ๐(๐ก) sebagai fungsi dari vektor keadaan ๐ฅ (๐ก) dalam bentuk berikut:
๐(๐ก) = ๐ (๐ก)๐ฅ (๐ก)
๐(๐ก) adalah matriks Hermit (real simetris) anggota ๐๐ร๐
Dengan menyelesaikan persamaan (2.17) sampai (2.20) secara simultan
didapat
๐(๐ก) = ๐ + ๐น โ ๐(๐ก + 1)๐น โ ๐น โ ๐(๐ก + 1)๐บ[๐ + ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐บ]โ1 ๐บ๐(๐ก + 1)๐น
(2.21)
Persamaan (2.21) disebut juga persamaan Riccati dengan ๐(๐) = ๐. Persamaan
(2.21) bisa diselesaikan secara mundur dari ๐ก = ๐ ke ๐ก = 0 sampai didapat nilai
yang konstan. Dari persamaan (2.21), vektor kendali optimal menjadi:
๐ข(๐ก) = โ[๐ + ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐บ]โ1 ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐น๐ฅ(๐ก)
dengan
๐พ(๐ก) = [๐ + ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐บ]โ1 ๐บ โ ๐(๐ก + 1)๐น
matriks ๐พ(๐ก) dinamakan matriks umpan balik.
Kemudian, dicari nilai minimum dari indeks performansi
(2.22)
๐โ1
min ๐ฝ = min {๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) + โ[๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก)]}
๐ก=0
dengan mensubtitusikan persamaan yang telah didapatkan pada bagian
sebelumnya.
๐ฅ โ (๐ก)๐๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ ๐ข(๐ก) = ๐ฅ โ (๐ก)๐(๐ก)๐ฅ(๐ก) โ ๐ฅ โ (๐ก + 1)๐(๐ก + 1)๐ฅ(๐ก + 1)
(2.23)
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.23) ke persamaan indeks performansi ๐ฝ,
diperoleh
๐ฝ๐๐๐ = ๐ฅ
โ (๐)๐๐ฅ(๐)
๐โ1
+ โ[๐ฅ โ (๐ก)๐(๐ก)๐ฅ(๐ก) โ ๐ฅ โ (๐ก + 1)๐(๐ก + 1)๐ฅ(๐ก + 1)]
๐ก=0
= ๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) + ๐ฅ โ (0)๐(0)๐ฅ(0) โ ๐ฅ โ (๐)๐(๐)
Ingat bahwa ๐(๐) = ๐ , sehingga nilai minimum dari indeks performansi ๐ฝ
adalah
๐ฝ๐๐๐ = ๐ฅ โ (0)๐(0)๐ฅ(0)
(2.24)
2.3 Penyelesaian PRAWD
Setelah mengetahui bentuk dari penyelesaian persamaan Aljabar Riccati, berikut
ini diberikan teorema mengenai keberadaan dan keunikan penyelesaian Aljabar
Riccati. Terlebih dahulu, definisikan persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit
sebagai fungsi berikut
๐(๐) = ๐ โ ๐น โ ๐๐น + (๐ + ๐บ โ ๐๐น)โ (๐ + ๐บ โ ๐๐บ)โ1 (๐ + ๐บ โ ๐๐น) โ ๐ = 0
(2.25)
dengan matriks ๐น โ โ๐ร๐ , ๐ โ โ๐ร๐ , ๐บ โ โ๐ร๐ , ๐ = ๐ โ โ โ๐ร๐ , ๐ = ๐โ โ โ๐ร๐ .
29
Dita Marsa Yuanita, Soleha
Suatu matriks ๐ โ โ๐ร๐ disebut penyelesaian dari ๐(๐ ) apabila ๐ merupakan
matriks Hermit, det(๐ + ๐บ โ ๐๐บ ) โ 0 dan ๐(๐ ) = 0 . Sehingga didapat vektor
kendali optimal
โ1
๐ข๐๐๐ก (๐ก) = [๐น โ ๐บ(๐ + ๐บ โ ๐๐๐๐ก ๐บ) (๐ + ๐บ โ ๐๐๐๐ก ๐น)] ๐ฅ (๐ก)
yang akan meminimumkan indeks performansi
โ
๐
๐ฝ(๐ฅ0 , ๐ข) = โ(๐ฅ โ (๐ก) ๐ข โ (๐ก)) (
๐
๐ก=0
๐ โ ) ๐ฅ (๐ก)
(
)
๐ ๐ข(๐ก)
dengan ๐ฝ semidefinit positif. Indeks performansi optimal diberikan oleh
๐ฝ๐๐๐ก = ๐ฅ0โ ๐๐๐๐ก ๐ฅ0
๐๐๐๐ก adalah penyelesaian semidefinit terkecil dari persamaan Aljabar Riccati waktu
diskrit dan ๐ฅ (0) = ๐ฅ0 .
Serta definisikan suatu matriks loop tertutup terkait penyelesaian ๐ dari (2.25)
๐น๐ = ๐น โ ๐บ (๐ + ๐บ โ ๐๐บ )โ1 (๐ + ๐บ โ ๐๐น)
dan ๐(๐น๐ ) adalah himpunan seluruh nilai eigen yang berbeda dari ๐น๐ . Maka keadaan
optimal memenuhi ๐ฅ (๐ก + 1) = (๐น๐๐๐๐ก ) ๐ฅ(๐ก).
Suatu penyelesaian ๐ dikatakan sebagai penstabil jika |๐| < 1 untuk seluruh nilai
eigen ๐ dari ๐น๐ .
Misal ๐ป = {๐ง; |๐ง| < 1} adalah unit disk terbuka dan ๐ฟ๐ป = {๐ง; |๐ง| = 1} adalah
unit circle.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Kendali Optimal Kuadratik Steady State
Pada bagian ini diberikan kasus ketika proses kendali tidak berhingga atau ๐ =
โ, sehingga matiks gain varian waktu ๐พ(๐ก) menjadi suatu matriks konstan ๐พ. Serta
matriks penyelesaian PRAWD ๐(๐ก) menjadi ๐.
Pandang persamaan (1.2)
2
1
0]
, ๐บ = [ ], nilai awal ๐ฅ(0) = [ ] , serta indeks performansi
dengan ๐น = [ 0
0
โ0.5 1
2
yang akan diminimumkan
โ
๐ฝ = โ [๐ฅ โ (๐ก) [
๐ก=0
1 0
] ๐ฅ(๐ก) + ๐ขโ (๐ก)๐ข(๐ก)]
0 0.5
(3.4)
Bentuk ๐ฅ โ (๐)๐๐ฅ(๐) tidak ada di persamaan (3.4) dikarenakan jika sistem
stabil maka ๐ฅ(โ) bernilai nol sehingga ๐ฅ โ (โ)๐๐ฅ (โ) = 0.
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Riccati untuk kendali optimal
steady state adalah dengan membalik waktu dari persamaan Riccati non steady state
pada persamaan (1.1) menjadi
๐ (๐ก + 1) = ๐ + ๐น โ ๐ (๐ก)๐น โ ๐น โ ๐ (๐ก)๐บ[๐ + ๐บ โ ๐(๐ก)๐บ]โ1 ๐บ๐(๐ก)๐น
dan iterasi persamaan tersebut dengan MATLAB mulai dari ๐ (0) = 0 hingga ๐
mencapai nilai konstan dengan syarat batas
0 0
]
๐=[
0 0
dan menghasilkan nilai yang tetap yaitu
1.5664 โ1.1328 ]
๐=[
โ1.1328 2.7556
Kemudian, matriks gain steady state ๐พ dapat ditentukan dari persamaan (2.22)
dapat diperoleh nilai ๐พ = [0.2207 โ0.4414]
30
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
Indeks performansi ๐ฝ yang bersesuaian dengan aturan kendali optimal steady
state didapat dari persamaan (2.24) dengan mensubtitusikan ๐ untuk ๐(0)
1.5664
โ1.1328 2
] [ ] = 8.2656
๐ฝ๐๐๐ = [2 2] [
โ1 โ 1328 2.7556 2
3.2 Kendali Optimal Kuadratik dari Sistem Servo
Diinginkan untuk mendapatkan model ruang keadaan kontinu kemudian
mendiskritkan model tersebut sehingga didapat model diskrit. Misalkan diketahui
๐ = 2.5๐๐,
๐ = 0.25๐๐,
๐ = 2๐
Pada bab 2 didapat representasi ruang keadaan dari pendulum terbalik pada
persamaan (2.8) dan (2.9). Subtitusikan nilai dari ๐, ๐, ๐ dan ๐ = 9.81 didapat
persamaan keadaan dan output dari pendulum terbalik adalah
0
0 ๐ฅ1
0 ] [๐ฅ2 ] + [โ0.2] ๐ข
1 ๐ฅ3
0
0 ๐ฅ4
0.4
๐ฅ1
๐ฅ2
๐ฆ = [0 0 1 0] [๐ฅ ]
3
๐ฅ4
๐ฅฬ1
0
๐ฅฬ 2
5.3955
[ ]=[
๐ฅฬ 3
0
โ0.981
๐ฅฬ 4
1
0
0
0
0
0
0
0
Untuk mendisain sistem kendali, diperlukan suatu model terdiskritisasi.
Persamaan sistem terdiskritisasi adalah
๐ต
๐ฅ(๐ + 1) = ๐ ๐ด ๐ฅ (๐) + (๐ ๐ด โ 1)๐ข (๐)
๐ด
Pendiskritan juga dapat dilakukan dengan menggunakan command pada
MATLAB. Perintah ini digunakan untuk mendiskritkan suatu sistem linier invariant
waktu kontinu, dengan dimisalkan periode sampel adalah ๐ = 0.1 ๐๐๐ก๐๐
[๐น, ๐บ] = ๐2๐(๐ด, ๐ต, ๐)
Sehingga, model ruang keadaan terdiskritisasi adalah
๐ฅ (๐ก + 1) = ๐น๐ฅ (๐ก) + ๐บ๐ข(๐ก)
๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐ฅ (๐ก) + ๐ท๐ข(๐ก)
dengan
1.0271
0.5444
๐น=[
โ0.0049
โ0.0990
0.1009
1.0271
โ0.0002
โ0.0049
0
0
1
0
โ0.0005
0
0 ] , ๐บ = [โ0.0101] , ๐ถ = [0 0
1 0], dan ๐ท = 0
0.1
0.002
1
0.04
Berikutnya adalah mendisain sistem servo dari sistem pendulum terbalik. Disain
sistem servo adalah menentukan matriks ๐พ dan konstanta ๐พ1 sedemikian hingga
sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan. Persamaan integrator
ditunjukkan oleh persamaan (2.10) sehingga diperoleh
๐ฅ (๐ก + 1)
๐น
0 ๐ฅ (๐ก)
๐บ
0
[
]=[
][
]+[
] ๐ข(๐ก) + [ ] ๐(๐ก + 1)
๐ฃ(๐ก + 1)
โ๐ถ๐น 1 ๐ฃ(๐ก)
โ๐ถ๐บ
1
Misalkan ๐ adalah fungsi tangga dan definisikan
๐ฅ๐ธ (๐ก) = ๐ฅ (๐ก) โ ๐ฅ (โ)
๐ฃ๐ธ (๐ก) = ๐ฃ(๐ก) โ ๐ฃ(โ)
Dapat diperoleh persamaan error seperti berbentuk
dengan
[
๐ฅ๐ (๐ก + 1)
]=[ ๐น
๐ฃ๐ (๐ก + 1)
โ๐ถ๐น
0] [๐ฅ๐ธ (๐ก)] [ ๐บ ]
๐ข (๐ก)
+
โ๐ถ๐บ ๐
1 ๐ฃ๐ธ (๐ก)
๐ข๐ (๐ก) = โ๐พ๐ฅ๐ธ (๐ก) + ๐พ1 ๐ฃ๐ธ (๐ก) = โ[๐พ
๐ฅ (๐ก)
๐พ1 ] [ ๐ธ ]
๐ฃ๐ธ (๐ก)
31
Dita Marsa Yuanita, Soleha
Sehingga dapat didefinisikan
๐น
๐นฬ = [
โ๐ถ๐น
๐บ
],
๐บฬ = [
โ๐ถ๐บ
0
],
1
ฬ = โ[๐พ ๐พ1 ]
๐พ
๐ฅ1๐ธ (๐ก)
๐ฅ2๐ธ (๐ก)
๐ฅ๐ (๐ก)
] = ๐ฅ3๐ธ (๐ก)
๐(๐ก) = [
๐ฃ๐ (๐ก)
๐ฅ4๐ธ (๐ก)
[ ๐ฃ๐ธ (๐ก) ]
๐ค(๐ก) = ๐ข๐ธ (๐ก),
Maka representasi ruang keadaan dari sistem dapat ditulis
๐ (๐ก + 1) = ๐นฬ ๐(๐ก) + ๐บฬ ๐ค(๐ก)
ฬ ๐(๐ก)
๐ค(๐ก) = โ๐พ
dengan
1.1048
2.1316
๐นฬ = [
โ0.0025
โ0.0508
0.1035 0 0
1.1048 0 0 ] ,
โ0.0001 1 0.1
โ0.0025 0 1
โ0.0051
โ0.1035
๐บฬ = 0.0025
0.0501
[โ0.0025]
Perhatikan bahwa representasi awal sistem pendulum terbalik berada pada
waktu kontinu, maka harus dipertimbangkan suatu indeks performansi waktu
kontinu. Indeks performansi waktu kontinu berbentuk
โ
๐ฝ = โซ [๐ โ (๐ก)๐๐(๐ก) + ๐ค โ (๐ก)๐ ๐ค (๐ก)] ๐๐ก
0
Indeks performansi tersebut didiskritkan menjadi
Ambil
โ
๐ฝ = โ[๐(๐ก)โ ๐๐(๐ก) + ๐ค(๐ก)โ ๐ ๐ค(๐ก)]
๐ก=0
10
0
๐= 0
0
[ 0
0
0
0 0
1
0
0 0
0 100 0 0 ,
0 0
1 0
0 0
0 1]
๐ =1
Dapat diperoleh matriks gain umpan balik ๐พ dan konstanta gain integral ๐พ1 sebagai
berikut
๐พ = [โ116.5430 โ74.1883 โ17.2665 โ20.0594 ],
๐พ1 = [โ0.6623]
Dari matriks gain ๐พ yang diketahui dapat diperoleh respon tangga satuan dengan
cara sebagai berikut. Karena
๐ข(๐ก) = โ๐พ๐ฅ (๐ก) + ๐พ1 ๐ฃ(๐ก)
maka
[
๐ฅ(๐ก + 1)
๐ฅ(๐ก)
] = ๐น๐น [
] + ๐บ๐บ๐
๐ฃ(๐ก + 1)
๐ฃ(๐ก)
๐ฅ(๐ก)
]
๐ฆ(๐ก) = [๐ถ 0] [
๐ฃ(๐ก)
dengan ๐ = 1. Definisikan
๐น โ ๐บ๐พ
๐บ๐พ1
0
],
๐น๐น = [
๐บ๐บ = [ ]
โ๐ถ๐น + ๐ถ๐บ๐พ โ๐ถ๐บ๐พ1 + 1
1
๐ถ๐ถ = [๐ถ 0] = [0 0 1 0 0]
Untuk mendapatkan response ๐ฅ1 (๐ก), notasikan
๐ฅ(๐ก)
]
๐ฅ1 (๐ก) = [1 0 0 0 0] [
๐ฃ (๐ก)
dengan mendefinisikan
๐ป๐ป = [1 0 0 0 0]
(3.11)
(3.12)
Penggunaan Penyelesaian Persamaan Aljabar Riccati Waktu Diskrit โฆ
32
Konversikan persamaan ruang keadaan (3.11) dan (3.12) ke fungsi transfer
dengan
๐1(๐ง)
๐ (๐ง)
[๐๐ข๐1, ๐๐๐1] = ๐ ๐ 2๐ก๐ (๐น๐น, ๐บ๐บ, ๐ป๐ป, 0)
Kemudian gunakan perintah filter untuk mendapatkan respon tangga
๐ฅ1 = ๐๐๐๐ก๐๐(๐๐ข๐1, ๐๐๐1, ๐)
Dengan cara sama, untuk mendapatkan ๐ฅ2 (๐ก), ๐ฅ3 (๐ก) = ๐ฆ(๐ก), ๐ฅ4 (๐ก), dan
๐ฅ (๐ก)
] dengan mendefinisikan basis
๐ฅ5 (๐ก) = ๐ฃ(๐ก), kalikan basis liniernya dengan [
๐ฃ(๐ก)
linier tersebut sebagai
๐ฝ๐ฝ = [0 1 0 0 0]
๐ถ๐ถ = [0 0 1 0 0]
๐ฟ๐ฟ = [0 0 0 1 0]
๐๐ = [0 0 0 0 1]
Selanjutnya dilakukan hal yang sama untuk
๐2 (๐ก) ๐(๐ก) ๐4(๐ง)
,
,
๐ (๐ก) ๐ (๐ก) ๐ (๐ง)
, dan
๐(๐ง)
๐ (๐ง)
.
Plot respon tangga satuan versus ๐ก ditunjukkan pada gambar berikut
Gambar 3. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ1 (๐ก) versus ๐ก
Gambar 4. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ2 (๐ก) versus ๐ก
Gambar 5. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ3 (๐ก) versus ๐ก
Dita Marsa Yuanita, Soleha
33
Gambar 6. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ4 (๐ก) versus ๐ก
Gambar 7. Grafik Respon Tangga Satuan ๐ฅ5 (๐ก) versus ๐ก
Jika dimisalkan periode sampel adalah 0.1 detik, maka dari gambar di atas
didapat bahwa keadaan steady state tercapai saat 7 detik.
4. Kesimpulan
1. Persamaan keadaan dan output dari sistem pendulum terbalik berbentuk
persamaan kontinu dengan indeks performansi kontinu, pendiskritan
dilakukan untuk membentuk suatu sistem linier invariant waktu diskrit dari
sistem.
2. Desain servo diselesaikan dengan mendapatkan penyelesaian PRAWD ๐,
matriks ๐พ dan konstanta integral ๐พ1 dari persamaan ruang keadaan
๐(๐ก + 1) = ๐นฬ ๐(๐ก) + ๐บฬ๐ค(๐ก)
ฬ๐(๐ก)
๐ค(๐ก) = โ๐พ
3. Dari matriks ๐พ dan ๐พ1 dapat diperoleh respon tangga satuan
๐ฅ1 (๐ก), ๐ฅ2 (๐ก), ๐ฅ3 (๐ก) = ๐ฆ(๐ก), ๐ฅ4 (๐ก), dan ๐ฅ5 (๐ก) = ๐ฆ(๐ก) . Kemudian dapat
diberikan grafiknya versus ๐ก dengan menggunakan software MATLAB.
5. Daftar Pustaka
[1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory".
Mathematics Theses, Georgia State University.
[2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (2003). โExistence and Uniqueness of
Unmixed Solutions of the Discrete-time Algebraic Riccati Equationsโ.
Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340.
[3] Ogata, K. (1995). โDiscrete-Time Control Systemโ. Prentice-Hall
International, London.
[4] Subiono. (2010). โMatematika Sistemโ. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.