M_Mat_3_Supriyadi Wibowo
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATIF- F α DARI FUNGSI f : F → DENGAN
DIMENSI- γ DARI HIMPUNAN FRAKTAL F
Supriyadi Wibowo
Jurusan Matematika F MIPA UNS
Abstrak
Kurva-kurva kontinu tetapi mempunyai struktur yang tidak teratur (fraktal)
seperti fungsi anak tangga Lebesgue-Cantor (fungsi singular Lebesgue-Cantor) dimana
fungsi ini tidak terdiferensial hampir dimana-mana, sehingga fungsi ini bukan
merupakan solusi dari persamaan diferensial biasa. Sebagai konsekuensinya, kalkulus
biasa tidak dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah yang terkait dengan
fungsi ini . Sehingga perlunya dikonstruksikan suatu derivatif dalam hal ini derivatif-
F α ,yang dapat bekerja pada suatu himpunan fraktal. Dalam makalah ini dibahas
α
hubungan antara order derivatif- F fungsi f : F → dengan dimensi- γ dari
α
himpunan fraktal F. Dengan menggunakan sifat-sifat derivatif- F dan dimensi- γ ,
dapat dibuktikan bahwa dimensi- γ himpunan perfek- α F sama dengan order derivatif
α
fungsi f : F → terhadap derivatif - F .
α
Kata kunci : fungsi singular Lebesgue-Cantor, order derivatif- F , dimensi- γ
himpunan fraktal F
PENDAHULUAN
Kurva-kurva kontinu tetapi mempunyai struktur yang tidak teratur (fraktal) seperti fungsi
singular Lebesgue-Cantor (fungsi anak tangga Cantor) dimana fungsi ini tidak terdiferensial hampir
dimana-mana, sehingga fungsi ini bukan merupakan solusi dari persamaan diferensial biasa.
Sebagai konsekuensinya, kalkulus biasa tidak dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah
yang terkait dengan fungsi ini, sehingga perlunya dikembangkan kalkulus baru, dalam hal ini
seperti pendekatan Riemann dalam integral-Riemann, yang didasarkan pada himpunan fraktal
F ⊂ . Dalam kalkulus baru ini juga memuat formulasi tentang derivatif dan integral dengan
order α ∈ ( 0,1] berdasarkan himpunan fraktal F ⊂ , selanjutnya berturut-turut disebut
derivatif- F α dan integral- F α . Jika himpunan F ⊂
berdimensi α ∈ ( 0,1] , maka dengan
derivatif- F α , turunan dari fungsi anak tangga Cantor SCα ( x ) dengan α = 3 ln 2 dan C himpunan
pertigaan Cantor adalah fungsi karakteristik χ C ( x ) , yaitu fungsi yang bernilai satu pada C dan
bernilai nol untuk yang lain. Fungsi anak tangga Cantor SCα ( x ) dapat diperumum untuk sebarang
himpunan fraktal F menjadi fungsi anak tangga S Fα ( x ) dengan α ∈ ( 0,1] dan F himpunan fraktal.
Fungsi anak tangga memainkan peran sentral dalam kalkulus- F α , dalam derivatif- F α kuantitas
S F ( y ) − S F ( x ) menggantikan posisi ( y − x ) , panjang interval [ x, y ] atau jarak antara x dan y
(
)
dalam kalkulus biasa (Parvate dan Gangal, 2003 dan 2005).
Fungsi singular Lebesgue-Cantor terdiferensial hampir dimana-mana pada
[0,1] ,
dalam
artian fungsi tersebut mempunyai turunan order satu pada himpunan [ 0,1] − C yang berdimensi
satu, tetapi tidak mempunyai turunan biasa (bernilai tak hingga) pada himpunan berukuran nol
yaitu himpunan pertigaan Cantor C ⊂ [ 0,1] yang berdimensi α = 3 ln 2 (Bartle, 2001). Tampak
M-303
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
bahwa ada hubungan erat antara order derivatif suatu fungsi dengan dimensi domain dimana fungsi
tersebut terdefinisi. Dalam penelitian ini akan diselidiki hubungan antara order derivatif- F α suatu
fungsi dengan dimensi- γ dari domain dimana fungsi tersebut terdefinisi.
LANDASAN TEORI
Berikut akan dikonstruksikan fungsi singular Cantor-Lebesgue atau Devil’s staircase
function L : [ 0,1] → secara rekursif sebagai berikut
fungsi L1 : [ 0,1] → adalah fungsi linear sepotong-sepotong (piecewise linear function) dengan
L1 (0) =
0, L1 ( x) =
1 2 , untuk x ∈ [1 3, 2 3] dan L1 (1) =
1.
Fungsi L2 : [ 0,1] → adalah fungsi linear sepotong-sepotong dengan
L2 (0) =
0, L2 ( x) =
1 4 , untuk x ∈ [1 9, 2 9] ,L2 ( x) =
1 2 , untuk x ∈ [1 3, 2 3] ,
L2 ( x) =
3 4 , untuk x ∈ [ 7 9,8 9] dan L2 (1) =
1.
Secara umum, fungsi Ln : [ 0,1] → adalah fungsi linear sepotong-sepotong dengan
=
Ln (0) 0,=
Ln (1) 1
dan bernilai 1 2n , 2 2n ,..., 2n −1 2n pada interval-interval tertutup yang berkorespondensi dengan
interval-interval penghapusan dalam membentuk Cn .
Dari uraian di atas tampak bahwa barisan fungsi { Ln } memenuhi sifat-sifat berikut
i.
ii.
fungsi Ln adalah fungsi kontinu pada [ 0,1] untuk n = 1, 2,3,...
fungsi Ln adalah fungsi naik pada [ 0,1] untuk n = 1, 2,3,... .
Berdasarkan i dan ii diperoleh beberapa sifat fungsi L : [ 0,1] → , sebagai berikut
Teorema 2.1
(Bartel, 2001 dan Barra, 1981)
L : [ 0,1] → , maka berlaku sifat-sifat berkut
i.
Diberikan fungsi singular Cantor-Lebesgue
fungsi L adalah kontinu pada [ 0,1]
ii. fungsi L adalah naik pada [ 0,1]
iii. turunan D1 ( L( x) ) =
∞,
x ∈C
0 , x ∈ [ 0,1] − C
.
Berikut diberikan gambar fungsi singular Cantor-Lebesgue L : [ 0,1] → .
Gambar 2.1
Gambar fungsi singular Cantor-Lebesgue L( x)
M-304
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Diberikan himpunan F himpunan bagian bilangan real. Berikut akan didefinisikan konten
(content) atau massa- α dari F di dalam [ a, b ] , yaitu massa F [ a, b ] dengan order- α , 0 < α ≤ 1
.Definisi 2.2 ( Parvate and Gangal, 2003) Subdivisi (subdivision) P[ a ,b] (P) dari interval [ a, b ] ,
=
xn b} , xi < xi +1 . Sebarang interval
a < b adalah himpunan titik-titik berhingga=
{a x0 , x1 ,...,
yang berbentuk
[ xi , xi +1 ]
disebut interval komponen (component interval) atau komponen
(component) dari subdivisi P. Jika Q adalah sebarang subdivisi dari [ a, b ] dan P ⊂ Q , maka
dikatakan Q sebagai penghalus dari P. Jika a = b , maka himpunan {a} adalah hanya subdivisi
dari [ a, b ] .
Definisi 2.3 ( Parvate and Gangal, 2003) Untuk himpunan F dan subdivisi P[ a ,b] , a < b , fungsi
massa γ α ( F , a, b ) didefinisikan oleh
(x − x )
γ ( F , a, b ) = lim inf ∑ i +1 i θ ( F , [ xi , xi +1 ])
δ →0 {P : P ≤δ }
[ ]
i = 0 Γ (α + 1)
dengan θ ( F , [ xi , xi +1 ]) = 1 jika F [ xi , xi +1 ] tidak kosong
=
P max ( xi +1 − xi ) .
o ≤i ≤ n −1
α
n −1
α
a ,b
dan nol untuk yang lain, serta
Motivasi dari definisi di atas berasal dari kalkulus fraksional (fractional calculus) dan
konstruksi ukuran Hausdorff.
Sifat penskalaan dan translasi untuk fungsi massa diberikan oleh teorema berikut
Teorema 2.4 ( Parvate and Gangal, 2003) Diberikan F ⊂ dan λ ∈ , misalkan F + λ
menotasikan himpunan F + λ = { x + λ : x ∈ F } dan misalkan λ F menotasikan himpunan
=
λF
(a)
(b)
{λ x : x ∈ F } , maka berlaku
Translasi
: γ α ( F + λ, a + λ, c + λ ) =
γ α ( F , a, b )
Penskalaan ( λ ≥ 0 ) : γ α ( λ F , λ a, λ c ) = λ α γ α ( F , a, b ) .
Remark
:
Jika
himpunan
F
adalah
sebangun
diri
(self-similar)
diperoleh
λ0 F ∩ [ λ0 a, λ0b ] =
F ∩ [ λ0 a, λ0b ] untuk suatu λ0 , maka dengan sifat penskalaan dapat dituliskan
sebagai γ α ( F , λ0 a, λ0 c ) = λ0 γ α ( F , a, b ) . Sebagai contoh himpunan pertigaan Cantor (middel
α
1
1
Cantor set) C dengan=
a 0,=
b 1 dan λ0 = n .
3
3
Definisi 2.5 ( Parvate and Gangal, 2003) Misalkan a0 adalah sebarang bilangan real tetapi
tertentu. Fungsi integral anak tangga (staircase ) S Fα ( x ) dengan order α untuk himpunan F
diberikan oleh
γ α ( F , a0 , x ) , x ≥ 0
.
SF ( x ) = α
−γ ( F , x, a0 ) , x < 0
Fungsi S Fα adalah fungsi anak tangga (staircase function) untuk himpunan fraktal F dengan
α
order 0 < α ≤ 1 , merupakan perumuman fungsi anak tangga Cantor SCα ( x )
dengan α = 3 ln 2
dan C himpunan pertigaan Cantor. Berikut diberikan gambar fungsi anak tangga Cantor
Γ (α + 1) SCα ( x ) .
M-305
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
Gambar 2.2
Gambar fungsi anak tangga Cantor Γ (α + 1) SCα ( x )
Berikut diberikan beberapa sifat fungsi anak tangga S Fα ( x ) terkait dengan fungsi massa
γ α ( F , a, b ) .
Teorema 2.6 ( Parvate and Gangal, 2003)
Diberikan F ⊂ dan 0 < α ≤ 1 . Jika
α
γ ( F , a, b ) < ∞ , maka untuk semua x, y ∈ ( a, b ) dengan x < y , memenuhi sifat-sifat berikut
(a) S Fα ( x ) adalah naik di x.
(b) Jika F ∩ ( a, b ) =
∅ , maka S Fα adalah konstan di [ x, y ] .
(c) S Fα ( y ) − S Fα ( x ) =
γ α ( F , x, y ) .
(d) S Fα adalah kontinu pada ( a, b ) .
Berdasarkan keserupaan definisi antara fungsi massa dengan ukuran luar Hausdorff
(Hausdorff outer measure), maka fungsi massa dapat digunakan untuk mendefinisikan dimensi
fraktal, serta diberikan hubungan dengan dimensi fraktal yang lain yaitu dimensi Hausdorff dan
dimensi kotak.
Definisi 2.7 ( Parvate and Gangal, 2003)
dimγ ( F ∩ [ a, b ]) , didefinisikan sebagai
Dimensi- γ
dari F ∩ [ a, b ] , dinotasikan
{
}
= sup {α : γ ( F , a, b ) = ∞}
α
dimγ (=
F ∩ [ a, b ]) inf α : γ=
( F , a, b ) 0
α
Hubungan antara dimensi Hausdorff, dimensi- γ dan dimensi kotak (box dimension) berturut-turut
dituliskan dengan dim H , dimγ dan dim B diberikan oleh Parvate dan Gangal (2003), sebagai
berikut
dim H ( F ∩ [ a, b ]) ≤ dimγ ( F ∩ [ a, b ]) ≤ dim B ( F ∩ [ a, b ]) .
Dalam bagian ini akan diberikan limit dan kekontinuan menggunakan topologi F ⊂ dengan
metrik inherited dari .
M-306
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Definisi 2.8 ( Parvate and Gangal, 2003) Diberikan F ⊂ , f : → dan x ∈ F . Bilangan l
dikatakan limit-F untuk y → x , jika diberikan sebarang ε > 0 , terdapat δ > 0 yang memenuhi :
y ∈ F dan y − x < δ ⇒ f ( y ) − l < ε .
Jika bilangan tersebut ada, maka dituliskan dengan
=
l F − lim f ( y ) .
y→x
Definisi ini tidak termasuk nilai fungsi di y jika y ∉ F , juga limit-F tidak terdefinisi di titik-titik
x∉F .
Sebagaimana turunan order satu, derivatif- F α untuk 0 < α ≤ 1 juga merupakan limit
pembagian, tetapi dengan limit-F sedangkan penyebutnya adalah nilai dari fungsi anak tangga S Fα
di dua titik anggota himpunan perfek- α ( α -perfect) yaitu himpunan tertutup dan semua titiknya
adalah titik limit-F.
Definisi 2.9 ( Parvate and Gangal, 2003) Jika F adalah himpunan perfek- α ( α -perfect) untuk
0 < α ≤ 1 , maka derivatif F α dari fungsi f didefinisikan oleh:
f ( y) − f ( x)
,x∈F
F y−→lim
x
DF ( f ( x ) ) =
S Fα ( y ) − S Fα ( x )
0
,x∉F
α
jika limit-F ada.
Sifat kelinearan derifatif- F α adalah konsekuensi dari Definisi 2.9 dan diberikan oleh teorema
berikut.
Teorema 2.10 ( Parvate and Gangal, 2003) Diberikan fungsi f dan g pada [ a, b ] .
(
)
(
)
D ( λ f ( x )) = λ D ( f ( x )) .
(ii) Jika Dα ( f ( x ) ) dan Dα ( g ( x ) ) ada untuk semua x ∈ [ a, b ] , maka
dan berlaku Dα ( f ( x ) + g ( x=
) ) Dα ( f ( x ) ) + Dα ( g ( x ) ) .
(i) Jika DFα f ( x ) ada untuk semua x ∈ [ a, b ] , maka DFα λ f ( x ) ada dan berlaku
α
α
F
F
F
F
F
F
Lemma 2.11 ( Parvate and Gangal, 2003)
DFα ( f ( x ) + g ( x ) ) ada
F
Derifatif- F α dari fungsi S Fα ( x ) adalah fungsi
karakteristik χ F ( x ) , yaitu
(
)
DFα S Fα ( x ) = χ F ( x ) untuk 0 < α ≤ 1 .
Bukti:
Jika x ∉ F , DFα S Fα ( x ) = 0 .
(
)
Jika x ∈ F , maka
(
DF S F ( x )
α
α
)
S Fα ( y ) − S Fα ( x )
F − lim α
=
=
1 untuk 0 < α ≤ 1 .
y→ x
S F ( y ) − S Fα ( x )
3. Pembahasan
M-307
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
Berikut diberikan teorema yang memberikan hubungan antara α dan β , untuk sebarang
α , β ∈ ( 0,1] pada dimensi- γ , kemudian hasil tersebut digunakan untuk menentukan hubungan
antara order- α dan order- β , untuk sebarang α , β ∈ ( 0,1] pada derivatif- F α .
Teorema 3.1 Diberikan F ⊂ dan untuk setiap a, b ∈ F .
∞, 0 < β < α ≤ 1
i. Jika γ α ( F , a, b ) < ∞ , maka γ β ( F , a, b ) =
ii. Jika γ α ( F , a, b ) > 0 , maka γ β ( F , a, b ) = 0, 0 < α < β ≤ 1 .
Bukti
Diberikan F ⊂ dan untuk setiap a, b ∈ F .
i. Untuk 0 < α < β ≤ 1 dengan γ α ( F , a, b ) < ∞ , maka diperoleh
σ β [ F , P] ≤ P
β −α
σ α [ F , P]
Γ (α + 1)
Γ ( β + 1)
berakibat
γ δβ ( F , a, b ) ≤ δ
β −α
γ δα ( F , a, b )
Γ (α + 1)
Γ ( β + 1)
.
Limit untuk δ → 0 , diperoleh
γ β ( F , a, b ) = 0 untuk 0 < α < β ≤ 1 .
(3.1)
ii. Untuk 0 < β < α ≤ 1 dengan 0 < γ α ( F , a, b ) , andaikan γ β ( F , a, b ) ∈ + , maka diperoleh
σ α [ F , P] ≤ P
α −β
σ β [ F , P]
Γ ( β + 1)
Γ (α + 1)
berakibat
γ δα ( F , a, b ) ≤ δ
α −β
γ δβ ( F , a, b )
Γ ( β + 1)
Γ (α + 1)
.
Limit untuk δ → 0 , diperoleh
γ α ( F , a, b ) = 0 untuk 0 < β < α ≤ 1 .
Kontradiksi dengan 0 < γ α ( F , a, b ) , jadi pengandaian γ β ( F , a, b ) ∈ + salah. Terbukti
γ β ( F , a, b ) = ∞ untuk 0 < α < β ≤ 1 .
(3.2)
Definisi 3.2 Fungsi f : F → dikatakan mempunyai order- α terhadap derivatif- F α
semua titik x ∈ F , jika
∞, 0 < β ≤ 1} =
α=
inf {β : DFβ ( f ( x ) ) =
sup {β : DFβ ( f ( x ) ) =
0, 0 < β ≤ 1}
.
Teorema
3.3 Diberikan himpunan perfek- α F ⊂ dan fungsi f : → .
(
)
(
)
i. jika 0 < DFα f ( x ) , maka DFβ f ( x ) = 0 untuk semua x ∈ F dan 0 < β < α ≤ 1
(
)
(
)
ii. jika DFα f ( x ) < ∞ , maka DFβ f ( x ) = ∞ untuk semua x ∈ F dan 0 < α < β ≤ 1 .
Bukti
Diberikan himpunan perfek- α F ⊂ dan fungsi f : → .
Diberikan sebarang x, y ∈ F , diperoleh:
M-308
untuk
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
f ( y) − f ( x)
S Fα ( y ) − S Fα ( x )
y→x
S Fβ ( y ) − S Fβ ( x ) F y−→lim
x
=
F − lim S Fβ ( y ) − S Fβ ( x )
f ( y) − f ( x)
y→x
F − lim α
y→x
S F ( y ) − S Fα ( x )
F − lim
DF ( f ( x ) )
=
DFα ( f ( x ) )
β
= F − lim
y→x
γ α ( F , x, y )
γ β ( F , x, y )
DF ( f ( x ) )= F − lim
β
y→x
(
γ α ( F , x, y )
γ
β
( F , x, y )
DFα ( f ( x ) ) .
(3.3)
)
i. jika 0 < DFα f ( x ) , maka dari (3.1) dan dengan Teorema 3.1.i, diperoleh
DFβ ( f ( x ) ) = 0 untuk semua x ∈ F dan 0 < β < α ≤ 1 .
(
)
ii. jika DFα f ( x ) < ∞ , maka dari (3.1) dan dengan Teorema 3.2.ii, diperoleh
DFβ ( f ( x ) ) = ∞ untuk semua x ∈ F dan 0 < α < β ≤ 1 .
Corollary 3.4 Diberikan himpunan perfek- α F ⊂ dan fungsi f : → .
Untuk semua x ∈ F , berlaku
0, 0 < β < α ≤ 1
.
0 < DFα ( f ( x ) ) < ∞ jika hanya jika DFβ ( f ( x ) ) =
∞, 0 < α < β ≤ 1
Bukti
(
)
(syarat perlu) Diberikan 0 < DFα f ( x ) < ∞ , dengan Teorema 3.3 diperoleh
0, 0 < β < α ≤ 1
.
DFβ ( f ( x ) ) =
∞, 0 < α < β ≤ 1
0, 0 < β < α ≤ 1
,
(syarat cukup) Diberikan DFβ ( f ( x ) ) =
∞, 0 < α < β ≤ 1
dengan Definisi 3.2 diperoleh
0 < DFα ( f ( x ) ) < ∞ .
∞
]
(
(
. DFα f ( x )
)
)
0
α
1
Gambar 3.1
Order derivative fungsi f terhadap derivatif- F α pada himpunan fraktal F
M-309
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
Dari Teorema 3.1 dan Teorema 3.3 dapat disimpulkan bahwa dimensi- γ himpunan fraktal F sama
dengan order derivatif fungsi f : F → terhadap derivatif - F α .
Contoh 3.5
Diberikan himpunan pertigaan Cantor C dan fungsi anak tangga SCα ( x ) dan
dimensi- γ untuk himpunan pertigaan Cantor adalah α =
ln 2
log 2
( dimγ ( C ) =
), maka dengan
ln 3
log 3
Teorema 3.3, diperoleh
x ∈C
1,
DCα SCα ( x ) = χ C ( x ) =
0 , x ∈ [ 0,1] − C
(
)
(
)
0, 0 < β < α ≤ 1
log 2
untuk semua x ∈ [ 0,1] dengan α =
.
log 3
∞, 0 < α < β ≤ 1
tetapi DCβ SCα ( x ) =
Fungsi anak tangga Cantor SCα ( x ) tidak terdiferensial biasa (order satu), tetapi terdiferensial-
F α dengan order α =
log 2
.
log 3
DAFTAR PUSTAKA
Bartle.R.G (2001)” A Modern Theory of Integration” American Mathematical Society
De Barra.G (1981)” Measure Theory and Integration” Ellis Hardwood Ltd. England
Parvate.A and Gangal.A.D (2003)”Calculus on Fractal Subsets of Real Line-I: Formulation”
http://arxiv.org/abs/math-ph/0310047v1
Parvate.A and Gangal.A.D (2005)” Fractal Differential Equations and Fractal-Time Dynamical
System” Pramana. Journal of Physics.Vol. 64, no, 3. March 2005. pp. 389-4009
M-310
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATIF- F α DARI FUNGSI f : F → DENGAN
DIMENSI- γ DARI HIMPUNAN FRAKTAL F
Supriyadi Wibowo
Jurusan Matematika F MIPA UNS
Abstrak
Kurva-kurva kontinu tetapi mempunyai struktur yang tidak teratur (fraktal)
seperti fungsi anak tangga Lebesgue-Cantor (fungsi singular Lebesgue-Cantor) dimana
fungsi ini tidak terdiferensial hampir dimana-mana, sehingga fungsi ini bukan
merupakan solusi dari persamaan diferensial biasa. Sebagai konsekuensinya, kalkulus
biasa tidak dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah yang terkait dengan
fungsi ini . Sehingga perlunya dikonstruksikan suatu derivatif dalam hal ini derivatif-
F α ,yang dapat bekerja pada suatu himpunan fraktal. Dalam makalah ini dibahas
α
hubungan antara order derivatif- F fungsi f : F → dengan dimensi- γ dari
α
himpunan fraktal F. Dengan menggunakan sifat-sifat derivatif- F dan dimensi- γ ,
dapat dibuktikan bahwa dimensi- γ himpunan perfek- α F sama dengan order derivatif
α
fungsi f : F → terhadap derivatif - F .
α
Kata kunci : fungsi singular Lebesgue-Cantor, order derivatif- F , dimensi- γ
himpunan fraktal F
PENDAHULUAN
Kurva-kurva kontinu tetapi mempunyai struktur yang tidak teratur (fraktal) seperti fungsi
singular Lebesgue-Cantor (fungsi anak tangga Cantor) dimana fungsi ini tidak terdiferensial hampir
dimana-mana, sehingga fungsi ini bukan merupakan solusi dari persamaan diferensial biasa.
Sebagai konsekuensinya, kalkulus biasa tidak dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah
yang terkait dengan fungsi ini, sehingga perlunya dikembangkan kalkulus baru, dalam hal ini
seperti pendekatan Riemann dalam integral-Riemann, yang didasarkan pada himpunan fraktal
F ⊂ . Dalam kalkulus baru ini juga memuat formulasi tentang derivatif dan integral dengan
order α ∈ ( 0,1] berdasarkan himpunan fraktal F ⊂ , selanjutnya berturut-turut disebut
derivatif- F α dan integral- F α . Jika himpunan F ⊂
berdimensi α ∈ ( 0,1] , maka dengan
derivatif- F α , turunan dari fungsi anak tangga Cantor SCα ( x ) dengan α = 3 ln 2 dan C himpunan
pertigaan Cantor adalah fungsi karakteristik χ C ( x ) , yaitu fungsi yang bernilai satu pada C dan
bernilai nol untuk yang lain. Fungsi anak tangga Cantor SCα ( x ) dapat diperumum untuk sebarang
himpunan fraktal F menjadi fungsi anak tangga S Fα ( x ) dengan α ∈ ( 0,1] dan F himpunan fraktal.
Fungsi anak tangga memainkan peran sentral dalam kalkulus- F α , dalam derivatif- F α kuantitas
S F ( y ) − S F ( x ) menggantikan posisi ( y − x ) , panjang interval [ x, y ] atau jarak antara x dan y
(
)
dalam kalkulus biasa (Parvate dan Gangal, 2003 dan 2005).
Fungsi singular Lebesgue-Cantor terdiferensial hampir dimana-mana pada
[0,1] ,
dalam
artian fungsi tersebut mempunyai turunan order satu pada himpunan [ 0,1] − C yang berdimensi
satu, tetapi tidak mempunyai turunan biasa (bernilai tak hingga) pada himpunan berukuran nol
yaitu himpunan pertigaan Cantor C ⊂ [ 0,1] yang berdimensi α = 3 ln 2 (Bartle, 2001). Tampak
M-303
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
bahwa ada hubungan erat antara order derivatif suatu fungsi dengan dimensi domain dimana fungsi
tersebut terdefinisi. Dalam penelitian ini akan diselidiki hubungan antara order derivatif- F α suatu
fungsi dengan dimensi- γ dari domain dimana fungsi tersebut terdefinisi.
LANDASAN TEORI
Berikut akan dikonstruksikan fungsi singular Cantor-Lebesgue atau Devil’s staircase
function L : [ 0,1] → secara rekursif sebagai berikut
fungsi L1 : [ 0,1] → adalah fungsi linear sepotong-sepotong (piecewise linear function) dengan
L1 (0) =
0, L1 ( x) =
1 2 , untuk x ∈ [1 3, 2 3] dan L1 (1) =
1.
Fungsi L2 : [ 0,1] → adalah fungsi linear sepotong-sepotong dengan
L2 (0) =
0, L2 ( x) =
1 4 , untuk x ∈ [1 9, 2 9] ,L2 ( x) =
1 2 , untuk x ∈ [1 3, 2 3] ,
L2 ( x) =
3 4 , untuk x ∈ [ 7 9,8 9] dan L2 (1) =
1.
Secara umum, fungsi Ln : [ 0,1] → adalah fungsi linear sepotong-sepotong dengan
=
Ln (0) 0,=
Ln (1) 1
dan bernilai 1 2n , 2 2n ,..., 2n −1 2n pada interval-interval tertutup yang berkorespondensi dengan
interval-interval penghapusan dalam membentuk Cn .
Dari uraian di atas tampak bahwa barisan fungsi { Ln } memenuhi sifat-sifat berikut
i.
ii.
fungsi Ln adalah fungsi kontinu pada [ 0,1] untuk n = 1, 2,3,...
fungsi Ln adalah fungsi naik pada [ 0,1] untuk n = 1, 2,3,... .
Berdasarkan i dan ii diperoleh beberapa sifat fungsi L : [ 0,1] → , sebagai berikut
Teorema 2.1
(Bartel, 2001 dan Barra, 1981)
L : [ 0,1] → , maka berlaku sifat-sifat berkut
i.
Diberikan fungsi singular Cantor-Lebesgue
fungsi L adalah kontinu pada [ 0,1]
ii. fungsi L adalah naik pada [ 0,1]
iii. turunan D1 ( L( x) ) =
∞,
x ∈C
0 , x ∈ [ 0,1] − C
.
Berikut diberikan gambar fungsi singular Cantor-Lebesgue L : [ 0,1] → .
Gambar 2.1
Gambar fungsi singular Cantor-Lebesgue L( x)
M-304
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Diberikan himpunan F himpunan bagian bilangan real. Berikut akan didefinisikan konten
(content) atau massa- α dari F di dalam [ a, b ] , yaitu massa F [ a, b ] dengan order- α , 0 < α ≤ 1
.Definisi 2.2 ( Parvate and Gangal, 2003) Subdivisi (subdivision) P[ a ,b] (P) dari interval [ a, b ] ,
=
xn b} , xi < xi +1 . Sebarang interval
a < b adalah himpunan titik-titik berhingga=
{a x0 , x1 ,...,
yang berbentuk
[ xi , xi +1 ]
disebut interval komponen (component interval) atau komponen
(component) dari subdivisi P. Jika Q adalah sebarang subdivisi dari [ a, b ] dan P ⊂ Q , maka
dikatakan Q sebagai penghalus dari P. Jika a = b , maka himpunan {a} adalah hanya subdivisi
dari [ a, b ] .
Definisi 2.3 ( Parvate and Gangal, 2003) Untuk himpunan F dan subdivisi P[ a ,b] , a < b , fungsi
massa γ α ( F , a, b ) didefinisikan oleh
(x − x )
γ ( F , a, b ) = lim inf ∑ i +1 i θ ( F , [ xi , xi +1 ])
δ →0 {P : P ≤δ }
[ ]
i = 0 Γ (α + 1)
dengan θ ( F , [ xi , xi +1 ]) = 1 jika F [ xi , xi +1 ] tidak kosong
=
P max ( xi +1 − xi ) .
o ≤i ≤ n −1
α
n −1
α
a ,b
dan nol untuk yang lain, serta
Motivasi dari definisi di atas berasal dari kalkulus fraksional (fractional calculus) dan
konstruksi ukuran Hausdorff.
Sifat penskalaan dan translasi untuk fungsi massa diberikan oleh teorema berikut
Teorema 2.4 ( Parvate and Gangal, 2003) Diberikan F ⊂ dan λ ∈ , misalkan F + λ
menotasikan himpunan F + λ = { x + λ : x ∈ F } dan misalkan λ F menotasikan himpunan
=
λF
(a)
(b)
{λ x : x ∈ F } , maka berlaku
Translasi
: γ α ( F + λ, a + λ, c + λ ) =
γ α ( F , a, b )
Penskalaan ( λ ≥ 0 ) : γ α ( λ F , λ a, λ c ) = λ α γ α ( F , a, b ) .
Remark
:
Jika
himpunan
F
adalah
sebangun
diri
(self-similar)
diperoleh
λ0 F ∩ [ λ0 a, λ0b ] =
F ∩ [ λ0 a, λ0b ] untuk suatu λ0 , maka dengan sifat penskalaan dapat dituliskan
sebagai γ α ( F , λ0 a, λ0 c ) = λ0 γ α ( F , a, b ) . Sebagai contoh himpunan pertigaan Cantor (middel
α
1
1
Cantor set) C dengan=
a 0,=
b 1 dan λ0 = n .
3
3
Definisi 2.5 ( Parvate and Gangal, 2003) Misalkan a0 adalah sebarang bilangan real tetapi
tertentu. Fungsi integral anak tangga (staircase ) S Fα ( x ) dengan order α untuk himpunan F
diberikan oleh
γ α ( F , a0 , x ) , x ≥ 0
.
SF ( x ) = α
−γ ( F , x, a0 ) , x < 0
Fungsi S Fα adalah fungsi anak tangga (staircase function) untuk himpunan fraktal F dengan
α
order 0 < α ≤ 1 , merupakan perumuman fungsi anak tangga Cantor SCα ( x )
dengan α = 3 ln 2
dan C himpunan pertigaan Cantor. Berikut diberikan gambar fungsi anak tangga Cantor
Γ (α + 1) SCα ( x ) .
M-305
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
Gambar 2.2
Gambar fungsi anak tangga Cantor Γ (α + 1) SCα ( x )
Berikut diberikan beberapa sifat fungsi anak tangga S Fα ( x ) terkait dengan fungsi massa
γ α ( F , a, b ) .
Teorema 2.6 ( Parvate and Gangal, 2003)
Diberikan F ⊂ dan 0 < α ≤ 1 . Jika
α
γ ( F , a, b ) < ∞ , maka untuk semua x, y ∈ ( a, b ) dengan x < y , memenuhi sifat-sifat berikut
(a) S Fα ( x ) adalah naik di x.
(b) Jika F ∩ ( a, b ) =
∅ , maka S Fα adalah konstan di [ x, y ] .
(c) S Fα ( y ) − S Fα ( x ) =
γ α ( F , x, y ) .
(d) S Fα adalah kontinu pada ( a, b ) .
Berdasarkan keserupaan definisi antara fungsi massa dengan ukuran luar Hausdorff
(Hausdorff outer measure), maka fungsi massa dapat digunakan untuk mendefinisikan dimensi
fraktal, serta diberikan hubungan dengan dimensi fraktal yang lain yaitu dimensi Hausdorff dan
dimensi kotak.
Definisi 2.7 ( Parvate and Gangal, 2003)
dimγ ( F ∩ [ a, b ]) , didefinisikan sebagai
Dimensi- γ
dari F ∩ [ a, b ] , dinotasikan
{
}
= sup {α : γ ( F , a, b ) = ∞}
α
dimγ (=
F ∩ [ a, b ]) inf α : γ=
( F , a, b ) 0
α
Hubungan antara dimensi Hausdorff, dimensi- γ dan dimensi kotak (box dimension) berturut-turut
dituliskan dengan dim H , dimγ dan dim B diberikan oleh Parvate dan Gangal (2003), sebagai
berikut
dim H ( F ∩ [ a, b ]) ≤ dimγ ( F ∩ [ a, b ]) ≤ dim B ( F ∩ [ a, b ]) .
Dalam bagian ini akan diberikan limit dan kekontinuan menggunakan topologi F ⊂ dengan
metrik inherited dari .
M-306
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
Definisi 2.8 ( Parvate and Gangal, 2003) Diberikan F ⊂ , f : → dan x ∈ F . Bilangan l
dikatakan limit-F untuk y → x , jika diberikan sebarang ε > 0 , terdapat δ > 0 yang memenuhi :
y ∈ F dan y − x < δ ⇒ f ( y ) − l < ε .
Jika bilangan tersebut ada, maka dituliskan dengan
=
l F − lim f ( y ) .
y→x
Definisi ini tidak termasuk nilai fungsi di y jika y ∉ F , juga limit-F tidak terdefinisi di titik-titik
x∉F .
Sebagaimana turunan order satu, derivatif- F α untuk 0 < α ≤ 1 juga merupakan limit
pembagian, tetapi dengan limit-F sedangkan penyebutnya adalah nilai dari fungsi anak tangga S Fα
di dua titik anggota himpunan perfek- α ( α -perfect) yaitu himpunan tertutup dan semua titiknya
adalah titik limit-F.
Definisi 2.9 ( Parvate and Gangal, 2003) Jika F adalah himpunan perfek- α ( α -perfect) untuk
0 < α ≤ 1 , maka derivatif F α dari fungsi f didefinisikan oleh:
f ( y) − f ( x)
,x∈F
F y−→lim
x
DF ( f ( x ) ) =
S Fα ( y ) − S Fα ( x )
0
,x∉F
α
jika limit-F ada.
Sifat kelinearan derifatif- F α adalah konsekuensi dari Definisi 2.9 dan diberikan oleh teorema
berikut.
Teorema 2.10 ( Parvate and Gangal, 2003) Diberikan fungsi f dan g pada [ a, b ] .
(
)
(
)
D ( λ f ( x )) = λ D ( f ( x )) .
(ii) Jika Dα ( f ( x ) ) dan Dα ( g ( x ) ) ada untuk semua x ∈ [ a, b ] , maka
dan berlaku Dα ( f ( x ) + g ( x=
) ) Dα ( f ( x ) ) + Dα ( g ( x ) ) .
(i) Jika DFα f ( x ) ada untuk semua x ∈ [ a, b ] , maka DFα λ f ( x ) ada dan berlaku
α
α
F
F
F
F
F
F
Lemma 2.11 ( Parvate and Gangal, 2003)
DFα ( f ( x ) + g ( x ) ) ada
F
Derifatif- F α dari fungsi S Fα ( x ) adalah fungsi
karakteristik χ F ( x ) , yaitu
(
)
DFα S Fα ( x ) = χ F ( x ) untuk 0 < α ≤ 1 .
Bukti:
Jika x ∉ F , DFα S Fα ( x ) = 0 .
(
)
Jika x ∈ F , maka
(
DF S F ( x )
α
α
)
S Fα ( y ) − S Fα ( x )
F − lim α
=
=
1 untuk 0 < α ≤ 1 .
y→ x
S F ( y ) − S Fα ( x )
3. Pembahasan
M-307
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
Berikut diberikan teorema yang memberikan hubungan antara α dan β , untuk sebarang
α , β ∈ ( 0,1] pada dimensi- γ , kemudian hasil tersebut digunakan untuk menentukan hubungan
antara order- α dan order- β , untuk sebarang α , β ∈ ( 0,1] pada derivatif- F α .
Teorema 3.1 Diberikan F ⊂ dan untuk setiap a, b ∈ F .
∞, 0 < β < α ≤ 1
i. Jika γ α ( F , a, b ) < ∞ , maka γ β ( F , a, b ) =
ii. Jika γ α ( F , a, b ) > 0 , maka γ β ( F , a, b ) = 0, 0 < α < β ≤ 1 .
Bukti
Diberikan F ⊂ dan untuk setiap a, b ∈ F .
i. Untuk 0 < α < β ≤ 1 dengan γ α ( F , a, b ) < ∞ , maka diperoleh
σ β [ F , P] ≤ P
β −α
σ α [ F , P]
Γ (α + 1)
Γ ( β + 1)
berakibat
γ δβ ( F , a, b ) ≤ δ
β −α
γ δα ( F , a, b )
Γ (α + 1)
Γ ( β + 1)
.
Limit untuk δ → 0 , diperoleh
γ β ( F , a, b ) = 0 untuk 0 < α < β ≤ 1 .
(3.1)
ii. Untuk 0 < β < α ≤ 1 dengan 0 < γ α ( F , a, b ) , andaikan γ β ( F , a, b ) ∈ + , maka diperoleh
σ α [ F , P] ≤ P
α −β
σ β [ F , P]
Γ ( β + 1)
Γ (α + 1)
berakibat
γ δα ( F , a, b ) ≤ δ
α −β
γ δβ ( F , a, b )
Γ ( β + 1)
Γ (α + 1)
.
Limit untuk δ → 0 , diperoleh
γ α ( F , a, b ) = 0 untuk 0 < β < α ≤ 1 .
Kontradiksi dengan 0 < γ α ( F , a, b ) , jadi pengandaian γ β ( F , a, b ) ∈ + salah. Terbukti
γ β ( F , a, b ) = ∞ untuk 0 < α < β ≤ 1 .
(3.2)
Definisi 3.2 Fungsi f : F → dikatakan mempunyai order- α terhadap derivatif- F α
semua titik x ∈ F , jika
∞, 0 < β ≤ 1} =
α=
inf {β : DFβ ( f ( x ) ) =
sup {β : DFβ ( f ( x ) ) =
0, 0 < β ≤ 1}
.
Teorema
3.3 Diberikan himpunan perfek- α F ⊂ dan fungsi f : → .
(
)
(
)
i. jika 0 < DFα f ( x ) , maka DFβ f ( x ) = 0 untuk semua x ∈ F dan 0 < β < α ≤ 1
(
)
(
)
ii. jika DFα f ( x ) < ∞ , maka DFβ f ( x ) = ∞ untuk semua x ∈ F dan 0 < α < β ≤ 1 .
Bukti
Diberikan himpunan perfek- α F ⊂ dan fungsi f : → .
Diberikan sebarang x, y ∈ F , diperoleh:
M-308
untuk
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009
f ( y) − f ( x)
S Fα ( y ) − S Fα ( x )
y→x
S Fβ ( y ) − S Fβ ( x ) F y−→lim
x
=
F − lim S Fβ ( y ) − S Fβ ( x )
f ( y) − f ( x)
y→x
F − lim α
y→x
S F ( y ) − S Fα ( x )
F − lim
DF ( f ( x ) )
=
DFα ( f ( x ) )
β
= F − lim
y→x
γ α ( F , x, y )
γ β ( F , x, y )
DF ( f ( x ) )= F − lim
β
y→x
(
γ α ( F , x, y )
γ
β
( F , x, y )
DFα ( f ( x ) ) .
(3.3)
)
i. jika 0 < DFα f ( x ) , maka dari (3.1) dan dengan Teorema 3.1.i, diperoleh
DFβ ( f ( x ) ) = 0 untuk semua x ∈ F dan 0 < β < α ≤ 1 .
(
)
ii. jika DFα f ( x ) < ∞ , maka dari (3.1) dan dengan Teorema 3.2.ii, diperoleh
DFβ ( f ( x ) ) = ∞ untuk semua x ∈ F dan 0 < α < β ≤ 1 .
Corollary 3.4 Diberikan himpunan perfek- α F ⊂ dan fungsi f : → .
Untuk semua x ∈ F , berlaku
0, 0 < β < α ≤ 1
.
0 < DFα ( f ( x ) ) < ∞ jika hanya jika DFβ ( f ( x ) ) =
∞, 0 < α < β ≤ 1
Bukti
(
)
(syarat perlu) Diberikan 0 < DFα f ( x ) < ∞ , dengan Teorema 3.3 diperoleh
0, 0 < β < α ≤ 1
.
DFβ ( f ( x ) ) =
∞, 0 < α < β ≤ 1
0, 0 < β < α ≤ 1
,
(syarat cukup) Diberikan DFβ ( f ( x ) ) =
∞, 0 < α < β ≤ 1
dengan Definisi 3.2 diperoleh
0 < DFα ( f ( x ) ) < ∞ .
∞
]
(
(
. DFα f ( x )
)
)
0
α
1
Gambar 3.1
Order derivative fungsi f terhadap derivatif- F α pada himpunan fraktal F
M-309
Supriyadi Wibowo/Hubungan Antara Order
Dari Teorema 3.1 dan Teorema 3.3 dapat disimpulkan bahwa dimensi- γ himpunan fraktal F sama
dengan order derivatif fungsi f : F → terhadap derivatif - F α .
Contoh 3.5
Diberikan himpunan pertigaan Cantor C dan fungsi anak tangga SCα ( x ) dan
dimensi- γ untuk himpunan pertigaan Cantor adalah α =
ln 2
log 2
( dimγ ( C ) =
), maka dengan
ln 3
log 3
Teorema 3.3, diperoleh
x ∈C
1,
DCα SCα ( x ) = χ C ( x ) =
0 , x ∈ [ 0,1] − C
(
)
(
)
0, 0 < β < α ≤ 1
log 2
untuk semua x ∈ [ 0,1] dengan α =
.
log 3
∞, 0 < α < β ≤ 1
tetapi DCβ SCα ( x ) =
Fungsi anak tangga Cantor SCα ( x ) tidak terdiferensial biasa (order satu), tetapi terdiferensial-
F α dengan order α =
log 2
.
log 3
DAFTAR PUSTAKA
Bartle.R.G (2001)” A Modern Theory of Integration” American Mathematical Society
De Barra.G (1981)” Measure Theory and Integration” Ellis Hardwood Ltd. England
Parvate.A and Gangal.A.D (2003)”Calculus on Fractal Subsets of Real Line-I: Formulation”
http://arxiv.org/abs/math-ph/0310047v1
Parvate.A and Gangal.A.D (2005)” Fractal Differential Equations and Fractal-Time Dynamical
System” Pramana. Journal of Physics.Vol. 64, no, 3. March 2005. pp. 389-4009
M-310