Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :
SISTIM PERSAMAAN LINIER BENTUK UMUM
= KONSTANTA a , b a a a a b x x x x ij i
11
1
12
2 1 j j 1 n n
1 X = VAR.YG DICARI
j a a a a b x x x x
21
22
2
2
2
1 2 j j n n
i = BARIS j = KOLOM a a a a b x x x x
i
1 1 i
2 2 i j j i n n i
a a a a b x x x x
n1 1 n2 2 n j j nn n n
PERMASALAHAN CARI X
X SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS 1 n TERPENUHI SECARA SIMULTAN ? BENTUK TERBATAS n = 3 a x a x a x b
11
12
13
1
1
2
3
a x a x a x b
21
1
22
2
23
3
2
a x a x a x b
METODE CRAMER CARA ANALITIS DIMANA X
X AKAN DIHITUNG DESKRIPSI : 1 n DENGAN DETERMINANNYA. UNTUK n = 3, PENYELESAIAN : U/ X GANTI KOLOM 2
2 b a a
1
12
13 PEMBILANG DGN RUAS
b a a KANAN.
2
22
23 A b a a
1
3
32
33
x
1
a a a A
11
12
13 U/ X GANTI KOLOM 3
3 PEMBILANG DGN RUAS a a a
21
22
23 KANAN.
a a a
31
32
33 METODE ELEMINASI GAUSS
CARA SEMI NUMERIK DIMANA X
X AKAN DESKRIPSI : 1 n DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :
SISTIM PERSAMAAN
SISTIM TRIANGGULASI
LINIER ( SEGIEMPAT ) ATAS ( SEGITIGA ATAS ) DEFINISIKAN FAKTOR PENGALI U/ MENGELIMINASIKAN ELEMEN-ELEMEN KOLOM DIBAWAH DIAGONAL PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,
BILA a FAKTOR PENGALI m = a / a
11
1
21
11 BILA a = 0 PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU
11 BARIS YG MENGANDUNG a 0.
11
TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN[ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m ] :
1 ( a a m ) x ( a a m ) x ( b b m )
22
12
23
13
2
1
1
2
1
3
1
a ' x a ' x b '
22
23
2
2
3
ANALOOG UNTUK ELIMINASI a DAN a !!!
31
32 HASIL TRIANGGULASI ATAS : a a a b x x x
1
2
3
11
12
13
1
a a b ' x ' x '
22
2
23
3
2
HASIL PENYELESAIAN AKHIR : b b a b a a
" ' ' x x x
33
2
23
3
1
12
2
13
3 x x x
3
2
1 a a a
" '
33
22
11 KELEMAHAN :
TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI
ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>>SEHINGGA KESALAHAN >>> !!! METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL CARA NUMERIK PENUH DIMANA X
X AKAN DESKRIPSI : 1 n DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT : (k) (k-1) SISTIM PERSAMAAN BENTUK RUMUS
ITERASI S / D : X
X DGN LINIER
ITERASI KETELITIAN TERTENTU PENYELESAIAN PDKT AWAL (0) X , j j = 1,2,3 … . . n
RUMUS ITERASI : U/ n = 3, a
ASUMSI : 0 , a 0 , a DAN k = ITERASI
11
22
33
1
- (k) (k 1) (k 1)
- x x x -
b a a
1
2
3
1
12
13 a
11
1
- (k) (k) (k 1)
x b a x a x
2
1
3
2
21
23 a
22
1
(k) (k) (k)
j 1,2,..., N x b a x a x3
1
2
3
31
32 a
33 PROSES ITERASI :
(0) (0) (0)
DIAMBIL P.P.A
X , X DAN X :ITERASI 1
1
2
3
1
(1) (0) (0)
b a a
x x x
- -1
1
12
2
13
3
a
11
1
(1) (1) (0)
b a a x x x
2
2
21
1
23
3
a
22
1
(1) (1) (1)
b a a x x x
3
3
31
1
32
2
(1) (1) (1) ITERASI 2 DIAMBIL
X , X DAN X :
1
2
3
1
(2) (1) (1)
b a a x x x - -
1
1
12
2
13
3
a
11
1
(2) (2) (1)
b a a x x x
2
2
21
1
23
3
a
22
1
(2) (2) (2)
b a a x x x
3
3
31
1
32
2
a
33
(k) (k-1) DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X
X DAN ITERASI DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :
- (k) (k) (
- m x x ketelitian
RUMUS UMUM ITERASI : U/ ( n X n ), i 1 n
- a a b
i j i j (k 1) (k 1) (k) i x x x i j j a a a j 1 j i
1 i i i i i i i , j 1,2,3,..., n k 1,2,3,..., N
KELEMAHAN : SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECIL SANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0
1
ELEMEN DIAGONAL HARUS DOMINAN !!! BENTUK SINGKAT :
12
1 nn nj n n in ij i i n j n j
1
1
PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!! KRITERIA KONVERGENSI BENTUK MATRIKS BENTUK UMUM ( DIMENSI n X n ) : n 1, i j j i j i i a a
11 B
2
2
1
1
2
2
22
21
x x x x b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a
2
X A atau x i j ij b a
n j n j
2
BENTUK AUGMENTASI : U/ n x n, BENTUK U/ n = 3 : PENYELESAIAN DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR : [A] -1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A, ij = KOFAKTOR DAN M ij = MINOR.
3
21
13
12
11
b a a a b a a a b a a a b b b a a a a a a a a a
2
23
1
x x x ij j i ij ji
M A adj A A adj A
B A
X ) 1 (
1
1
22
31
3
21
33
32
31
2
23
22
1
32
13
12
11
3
2
1
33
j ij b a
METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS ) DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X
1 T c T
11
12
13
1
21
22
23
2
31
32
33
3
L 1 L L L
c
1 X n AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT , PENYELESAIAN : U/ 3 x 3, [ a ij : b i ] = [ L ij ][ T ij : c i ] HITUNG KOEFISIEN L ij , T ij , C i PENYELESAIAN
11
21
22
31
32
33
12
13
1
23
2
3
I ]
X j TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN ) TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK PADA [ T ij : C
b a a a b a a a b a a a
HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN : PENYELESAIANNYA :
11 L
1
2
3
L T L T L
T L - T L L T L L L L T L T T L L L
) c L - c L c L L c c L c
12
32
11
13
11
21
22
21
33
31
23
1
, c L c T x c x , T L L
1,2,3,..., n j , j i kj 1 j- 1 k ik ij ij
1 k kj ik ij ii ij n n
2,3,4,..., n j n i 1 - i k ik i i n 1 j r r jr j j 1 - i
1
1
2 ,
23
) ,..., 1 ( 3 ,
( ) (
) ( b b b a a a a a a a a a11
12
13
21
22
12
21
X
13 X
32
2
33
2 RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN :
12 X
3 – T
1 – T
31
1 =C
3
X23 X
2 – T
2 = C
3 X
3 = C
1
3
13
31
22
31
32
31
12
33
13
22
32
23
1
11
2
21
1
T , c x T L L b a a
METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS ) CARA SEMI NUMERIK DIMANA X
X AKAN DIHITUNG DESKRIPSI : 1 n MELALUI PROSEDUR BERIKUT : = [ ] [ U ][ U : ] a : b c ji ij ij i i TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN ) PENYELESAIAN HITUNG KOEFISIEN
X j U , C ij i TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK PADA [ U : C ] ij
I PENYELESAIAN : U/ 3 x 3, a a a b U U U U c
11
12
13
1
11
11
12
13
1
a a a b U U U U c
21
22
23
2
12
22
22
23
2
a a a b U U U U c
31
32
33
3
13
23
33
33
3
HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN : PENYELESAIAN : RUMUS UMUM ( n x n ) :
11 U
11
23
12
1
22
11
( ) ( ) ( b a a b a a b a a
1 - i 1 k k ki i i
2,3,4,..., n j 1 - i 1 k kj ki ij ij
2,3,4,..., n i
i 1 k2 ki ii ii U U c
, c U U U U
, U U
b a
a1
3
13
13
2
12
1
1
22
3
23
2
2
33
3
U x - x U - c x U U x c x U c x
2
23
33
1
23
2
13
1
3
2
23
2
13
33
12
13
22
12
2
3
22
13
12
23
11
12
11
1
2
12
22
) U c - U c U c U U U U
U U c c U
U U U U U U U c U U
3 U
X
2 ( 0,0 )
1
2 PENYELESAIANNYA : CONTOH SOAL :
INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 : 1) - (n 1,2,3,..., i i i n 1 i k k i k i i nn n n
, U U x c x
U c x
2 X
1 + X
2 = 2
X
1 – 2 X
2 = 2 TITIK POTONG PENYELESAIAN YANG DICARI !!! TITIK POTONG DUA KURVA KONVERGEN !!!
INVERSI MATRIKS
BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :
a a a x b11
12
13
1
1 a a a x b
21
22
23
2
2 a a a x b
31
32
33
3
3 DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI : A
X B A b PENYELESAIAN : BILA [ A ] NON SINGULAR ( A 0 ), MAKA :
1
1
1 A A
X A B A A
I
1
1 X A B A Matriks Invers
ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )
1 T
1 A C A T A = DETERMINAN [ A ], [ C ] = ADJOINT [ A ].
METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN : AMBIL : c c c
11
12
13
1 A C c c c A C C A
I
21
22
23
c c c
31
32
33
a a a c c c
11
12
13
11
12
13
1 a a a c c c
1
21
22
23
21
22
23
1 a a a c c c
31
32
33
31
32
33 HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS : a c
1
11
11 a c
21
12 a c
31
13 a a c
1
31
33
33 C , C , . . . , C DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN
11
12
33
PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI : A
I I C
1
1 a a a c c c
11
12
13
11
12
13
1
1 a a a
c c c
21
22
23
21
22
23
1
1 a a a
c c c
31
32
33
31
32
33 METODE REDUKSI
AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS : a a a x b
11
12
13
1
1 a a a x b A
X B
21
22
23
2
2 a a a x b
31
32
33
3
3 PROSEDUR REDUKSI : i 1,2,3
R A R B X , i i
[ R ] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN i AKHIR [ R ] [ A ] = [ I ], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS.
I
REDUKSI KOLOM 1 DR [ A ] [ R
1 X
2
1
B R A
1 b b b R a a a a a a
12 x x x
22 ' 13 '
32 ' 23 '
1 ' 33 '
2
3
1
1
3
1 ] DIAMBIL BERIKUT :
1
1
1
11
21
11
31
11
1
1
R
B R A R a a a a a
HASIL PERKALIAN : DALAM BENTUK SINGKAT :
1 X
REDUKSI KOLOM 2 DR [ A ] [ R ] DIAMBIL BERIKUT :
2
'
a
12
1
'
a
22
1 R
R A
X R R B
2
2
1
2
1 '
a
22 '
a
32
1
'
a
22
HASIL PERKALIAN : "
1 a b x
13
1
1 " 1 a R R b x
23
2
2
1
2 " a b x
33
3
3 DALAM BENTUK SINGKAT :
A
X R R B
2
2
1
REDUKSI KOLOM 3 DR [ A ] [ R ] DIAMBIL BERIKUT :
3 " a
13
1 " a
33 " a
23 R
1 R A
X R R R B
3
3
2
3
2
1 " a
33
1 " a
33 HASIL PERKALIAN :
1 x b
1
1
1 x R R R b
2
3
2
1
2
1 x b
3
3 DENGAN DEMIKIAN :
- 1
A R R R
3
2
1 BENTUK UMUM U/ MATRIKS n x n :
- 1
A R R R R
n n 1 n2
1