Xn AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

SISTIM PERSAMAAN LINIER BENTUK UMUM

  = KONSTANTA a , b a aaa b x x x x ij i

  11

  1

  12

  2 1 j j 1 n n

  1 X = VAR.YG DICARI

  j a a a a b x x  x  x

  21

  22

  2

  2

  2

  1 2 j j n n

  i = BARIS j = KOLOMa aaa b x x x x

  i

  1 1 i

  2 2 i j j i n n i

   a a a a b x x  x  x

  n1 1 n2 2 n j j nn n n

  PERMASALAHAN CARI X

  X SEDEMIKIAN RUPA SEHINGGA PERSAMAAN DIATAS 1 n TERPENUHI SECARA SIMULTAN ? BENTUK TERBATAS n = 3 a x a x a x b

  11

  12

  13

  1

  1

  2

  3

  a x a x a x b

  21

  1

  22

  2

  23

  3

  2

  a x a x a x b

  METODE CRAMER CARA ANALITIS DIMANA X

  X AKAN DIHITUNG DESKRIPSI : 1 n DENGAN DETERMINANNYA. UNTUK n = 3, PENYELESAIAN : U/ X GANTI KOLOM 2

  2 b a a

  1

  12

  13 PEMBILANG DGN RUAS

  b a a KANAN.

  2

  22

  23 A b a a

  1

  3

  32

  33

  x

  1

  a a a A

  11

  12

  13 U/ X GANTI KOLOM 3

  3 PEMBILANG DGN RUAS a a a

  21

  22

  23 KANAN.

  a a a

  31

  32

  33 METODE ELEMINASI GAUSS

  CARA SEMI NUMERIK DIMANA X

  X AKAN DESKRIPSI : 1 n DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT :

SISTIM PERSAMAAN

SISTIM TRIANGGULASI

  LINIER ( SEGIEMPAT ) ATAS ( SEGITIGA ATAS ) DEFINISIKAN FAKTOR PENGALI U/ MENGELIMINASIKAN ELEMEN-ELEMEN KOLOM DIBAWAH DIAGONAL PENYELESAIAN : UNTUK n = 3,

  BILA a FAKTOR PENGALI m = a / a

  11

  1

  21

  11BILA a = 0 PERMUTASIKAN / PERTUKARKAN LEBIH DULU

11 BARIS YG MENGANDUNG a 0.

  

11

TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS 2 DIKURANGKAN DGN

  [ BARIS 1 DIKALIKAN DGN m ] :

  1 ( a a m ) x ( a a m ) x ( b b m )

  22

  12

  23

  13

  2

  1

  1

  2

  1

  3

  1

  a ' x a ' x b '

  22

  23

  2

  2

  3

  ANALOOG UNTUK ELIMINASI a DAN a !!!

  31

  32HASIL TRIANGGULASI ATAS : a a a b x x x

  1

  2

  3

  11

  12

  13

  1

  a a b ' x ' x '

  22

  2

  23

  3

  2

  HASIL PENYELESAIAN AKHIR : b b a b a a

  " ' ' x x x

  33

  2

  23

  3

  1

  12

  2

  13

  3 x x x

  3

  2

  1 a a a

  " '

  33

  22

  11 KELEMAHAN :

TRANSFORMASI ELEMENTER MENGANDUNG BANYAK OPERASI

ARITMATIKA BILA n >>> MAKA OPERASI ARITMATIKA >>>

  SEHINGGA KESALAHAN >>> !!! METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL CARA NUMERIK PENUH DIMANA X

  X AKAN DESKRIPSI : 1 n DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT : (k) (k-1) SISTIM PERSAMAAN BENTUK RUMUS

  ITERASI S / D : X

  X DGN LINIER

  ITERASI KETELITIAN TERTENTU PENYELESAIAN PDKT AWAL (0) X , j j = 1,2,3 … . . n

  RUMUS ITERASI : U/ n = 3, a

  ASUMSI : 0 , a 0 , a DAN k = ITERASI

  11

  22

  33

  1

  • (k) (k 1) (k 1)
  • x x x -

  b a a

  1

  2

  3

  1

  12

  13 a

  11

  1

  • (k) (k) (k 1)

  x b a x a x

  2

  1

  3

  2

  21

  23 a

  22

  1

(k) (k) (k)

j 1,2,..., N x b a x a x

  3

  1

  2

  3

  31

  32 a

33 PROSES ITERASI :

  (0) (0) (0)

DIAMBIL P.P.A

X , X DAN X :

  ITERASI 1

  1

  2

  3

  1

  (1) (0) (0)

  b a a

x x x

- -

  1

  1

  12

  2

  13

  3

  a

  11

  1

  (1) (1) (0)

  b a a x x x

  2

  2

  21

  1

  23

  3

  a

  22

  1

  (1) (1) (1)

  b a a x x x

  3

  3

  31

  1

  32

  2

  (1) (1) (1)ITERASI 2 DIAMBIL

  X , X DAN X :

  1

  2

  3

  1

  (2) (1) (1)

  b a a x x x - -

  1

  1

  12

  2

  13

  3

  a

  11

  1

  (2) (2) (1)

  b a a x x x

  2

  2

  21

  1

  23

  3

  a

  22

  1

  (2) (2) (2)

  b a a x x x

  3

  3

  31

  1

  32

  2

  a

  33

  (k) (k-1)DAN SETERUSNYA S / D DIPEROLEH X

  X DAN ITERASI DIHENTIKAN ATAS DASAR KRITERIA :

  • (k) (k) (
  • m x x ketelitian

  RUMUS UMUM ITERASI : U/ ( n X n ), i 1 n

  • a a b

  i j i j (k 1) (k 1) (k) i x x x i j j a a a j 1 j i

  1 i i i i i i i , j 1,2,3,..., n k 1,2,3,..., N

  KELEMAHAN :SANGAT PEKA THD VARIASI ANTAR ELEMEN YG KECILSANGAT LAMBAT KONVERGEN BILA DETERMINAN 0

  1

  ELEMEN DIAGONAL HARUS DOMINAN !!! BENTUK SINGKAT :

  12

  1 nn nj n n in ij i i n j n j

  1

  1

  PERLU DIKEMBANGKAN KRITERIA KONVERGENSI !!! KRITERIA KONVERGENSI BENTUK MATRIKS BENTUK UMUM ( DIMENSI n X n ) : n 1, i j j i j i i a a

11 B

  2

  2

  1

                     

  1

  2

  2

  22

  21

     

  x x x x b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a

  2

  X A atau x i j ij b a

  n j n j

  2

  BENTUK AUGMENTASI : U/ n x n, BENTUK U/ n = 3 : PENYELESAIAN DG METODE INVERSI / CRAMER / KOFAKTOR : [A] -1 = INVERS MATRIKS A, adj [A] = ADJOINT MATRIKS A, ij = KOFAKTOR DAN M ij = MINOR.

  3

  21

  13

  12

  11

  b a a a b a a a b a a a b b b a a a a a a a a a

    

  2

  23

  1

  x x x ij j i ij ji

  M A adj A A adj A

  B A

  X ) 1 (

  1

  1

  22

  31

  3

  21

  33

  32

  31

  2

  23

  22

  1

  32

  13

  12

  11

  3

  2

  1

  33

  j ij  b a

  METODE CROUT ( DEKOMPOSISI MATRIKS ) DESKRIPSI : CARA SEMI NUMERIK DIMANA X

  1 T c T

  11

  12

  13

  1

  21

  22

  23

  2

  31

  32

  33

  3

     

  L 1 L L L  

  c

  1 X n AKAN DIHITUNG MELALUI PROSEDUR BERIKUT , PENYELESAIAN : U/ 3 x 3, [ a ij : b i ] = [ L ij ][ T ij : c i ] HITUNG KOEFISIEN L ij , T ij , C i PENYELESAIAN

  11

  21

  22

  31

  32

  33

  12

  13

  1

  23

  2

  3

  I ]

  X j TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN ) TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK PADA [ T ij : C

  b a a a b a a a b a a a

  HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN : PENYELESAIANNYA :

  11 L

  1

  2

  3

  L T L T L

  T L - T L L T L L L L T L T T L L L

  ) c L - c L c L L c c L c

  12

  32

  11

  13

  11

  21

  22

  21

  33

  31

  23

  1

  , c L c T x c x , T L L

  1,2,3,..., n j , j i kj 1 j- 1 k ik ij ij

  1 k kj ik ij ii ij n n

  2,3,4,..., n j n i 1 - i k ik i i n 1 j r r jr j j 1 - i

  1

  1

  2 ,

  23

  ) ,..., 1 ( 3 ,

  

( ) (

) ( b b b a a a a a a a a a

  11

  12

  13

  21

  22

  12

  21

  X

  13 X

  32

  2

  33

  2 RUMUS UMUM DAN PENYELESAIAN :

  12 X

  3 – T

  1 – T

  31

  1 =C

  

3

X

  23 X

  2 – T

  2 = C

  3 X

  3 = C

  1

  3

  13

  31

  22

  31

  32

  31

  12

  33

  13

  22

  32

  23

  1

  11

  2

  21

  1

  T , c x T L L b a a

  METODE CHOLESKI ( MATRIKS SIMETRIS ) CARA SEMI NUMERIK DIMANA X

  X AKAN DIHITUNG DESKRIPSI : 1 n MELALUI PROSEDUR BERIKUT : = [ ] [ U ][ U : ] a : b c ji ij ij i i TEKNIK INSPEKSI ( HASIL KESAMAAN RUAS KIRI DAN KANAN ) PENYELESAIAN HITUNG KOEFISIEN

  X j U , C ij i TEKNIK SUBSTITUSI TERBALIK PADA [ U : C ] ij

  I PENYELESAIAN : U/ 3 x 3, a a ab U U U U  c

  11

  12

  13

  1

  11

  11

  12

  13

  1

  a a a b U U U U c 

  

  21

  22

  23

  2

  12

  22

  22

  23

  2

  a a ab U U U U  c

  31

  32

  33

  3

  13

  23

  33

  33

  3

  HASIL PERHITUNGAN KOEFISIEN : PENYELESAIAN : RUMUS UMUM ( n x n ) :

11 U

  11

  23

  12

  1

  22

  11

  ( ) ( ) ( b a a b a a b a a

  1 - i 1 k k ki i i

  2,3,4,..., n j 1 - i 1 k kj ki ij ij

  

2,3,4,..., n i

i 1 k

  2 ki ii ii U U c

  , c U U U U

  , U U

b a

a

  1

  3

  13

  13

  2

  12

  1

  1

  22

  

3

  23

  2

  2

  33

  3

  U x - x U - c x U U x c x U c x

  2

  23

  33

  1

  23

  2

  13

  1

  3

  2

  23

  2

  13

  33

  12

  13

  22

  12

  2

  3

  22

  13

  12

  23

  11

  12

  11

  1

  2

  12

  22

  ) U c - U c U c U U U U

  U U c c U

  U U U U U U U c U U

3 U

  X

  2 ( 0,0 )

  1

  2 PENYELESAIANNYA : CONTOH SOAL :

  INTEPRETASI GEOMETRIK M ITERASI SPL 2 X 2 : 1) - (n 1,2,3,..., i i i n 1 i k k i k i i nn n n

  , U U x c x

  U c x

  2 X

  1 + X

  2 = 2

  X

  1 – 2 X

  2 = 2 TITIK POTONG PENYELESAIAN YANG DICARI !!! TITIK POTONG DUA KURVA KONVERGEN !!!

INVERSI MATRIKS

  

BENTUK MATRIKS U/ SPL DGN 3 PERSAMAAN :

a a a x b

  11

  12

  13

  1

  1 a a a x b

  21

  22

  23

  2

  2 a a a x b

  31

  32

  33

  3

  3 DALAM BNTK SINGKAT DAN BNTK AUGMENTASI : A

  X B Ab PENYELESAIAN : BILA [ A ] NON SINGULAR ( A 0 ), MAKA :

  1

  1

  1 A A

  X A B A A

  I

  1

  1 X A B A Matriks Invers

  ATURAN CRAMER ( METODE KOFAKTOR )

  1 T

  1 A C A T A = DETERMINAN [ A ], [ C ] = ADJOINT [ A ].

  METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN :AMBIL : c c c

  11

  12

  13

1 A C c c c A C C A

  I

  21

  22

  23

  c c c

  31

  32

  33

  a a a c c c

  11

  12

  13

  11

  12

  13

  1 a a a c c c

  1

  21

  22

  23

  21

  22

  23

  1 a a a c c c

  31

  32

  33

  31

  32

  33 HASIL PERKALIAN DLM BNTK MATRIKS : ac

  1

  11

  11 ac

  21

  12 a c

  

  31

  13        aa c

  1

  31

  33

  33 C, C , . . . , C DAPAT DIHITUNG, NAMUN PERHITUNGAN

  11

  12

  33

  PENYEDERHANAAN DLM BTK AUGMENTASI : A

  I I C  

  1

  1 a a a c c c

   

  11

  12

  13

  11

  12

  13

  1

  1 a a a

   c c c

  21

  22

  23

  21

  22

  23

  

1

  1 a a a

   c c c

  31

  32

  33

  31

  32

  33 METODE REDUKSI

  AMBIL SPL DG 3 PERSAMAAN DLM BTK MATRIKS : a a a x b

  11

  12

  13

  1

  1 a a a x b A

  X B

  21

  22

  23

  2

  2 a a a x b

  31

  32

  33

  3

  3 PROSEDUR REDUKSI : i 1,2,3

  R A R B X , i i

  [ R ] = MATRIKS PEREDUKSI, DIAMBIL SDRS HASIL PERKALIAN i AKHIR [ R ] [ A ] = [ I ], DENGAN i = DIMENSI MATRIKS.

  I

  REDUKSI KOLOM 1 DR [ A ] [ R

1 X

  2

  1

  B R A

  1 b b b R a a a a a a

  12 x x x

  22 ' 13 '

  32 ' 23 '

  1 ' 33 '

  2

  3

  1

  1

  3

  1 ] DIAMBIL BERIKUT :

  1

  1

  1

  11

  21

  11

  31

  11

  1

  1

  R

  B R A R a a a a a

  HASIL PERKALIAN :DALAM BENTUK SINGKAT :

1 X

  REDUKSI KOLOM 2 DR [ A ] [ R ] DIAMBIL BERIKUT :

  2

  '

  a

  12

  1

  '

  a

  22

1 R

  R A

  X R R B

  2

  2

  1

  2

  1 '

  a

  22 '

  a

  32

  1

  '

  a

  22

  HASIL PERKALIAN : "

  1 a b x

  13

  1

  1 " 1 a R R b x

  23

  2

  2

  1

  2 " a b x

  33

  3

  3 DALAM BENTUK SINGKAT :

  A

  X R R B

  2

  2

  

1

  REDUKSI KOLOM 3 DR [ A ] [ R ] DIAMBIL BERIKUT :

  3 " a

  13

  1 " a

  33 " a

  23 R

  1 R A

  X R R R B

  3

  3

  2

  3

  2

  1 " a

  33

  1 " a

  33 HASIL PERKALIAN :

  1 x b

  1

  1

  1 x R R R b

  2

  3

  2

  1

  2

  1 x b

  3

  3 DENGAN DEMIKIAN :

  • 1

  A R R R

  3

  2

  1 BENTUK UMUM U/ MATRIKS n x n :

  • 1

  

A R R RR

n n 1 n

  2

  1

Dokumen yang terkait