STKIP KUSUMA NEGARA POKJAR SERPONG GADING
MATERI KULIAH
MATEMATIKA DASAR
By
BUDI NURACHMAN
STKIP KUSUMA NEGARA POKJAR SERPONG GADING
SISTEM BILANGAN REAL
[1]
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang diseb
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
MA 1114 Kalkulus 1
7
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x £ a}
{x a < x < b}
{x a £ x £ b}
{x x > b}
{x x ³ b}
{x x Î Â}
selang
(- ¥ , a )
(-
¥ , a]
(a, b)
[a, b]
Grafk
a
a
a
b
a
b
(b, ¥ )
b
[b, ¥ )
b
(¥ , ¥ )
MA 1114 Kalkulus 1
8
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel
adalah suatu bentuk aljabar
dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi
urutan.
BentukAumum
:
x Dxpertidaksamaan
B x
E x
dengan A(x), B(x), D(x), E(x)
adalah suku banyak (polinom)
MA 1114 Kalkulus 1
10
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu
pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku.
Himpunan bilangan real ini disebut
juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1.P(Bentuk
pertidaksamaan diubah
x)
0
:
Q(menjadi
x)
, dengan cara :
MA 1114 Kalkulus 1
11
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan
menyederhanakan bentuk pembilangnya
2.
3.
Dicari titik-titik pemecah dari
pembilang dan penyebut dengan
cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi
faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah
tersebut pada garis bilangan,
kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang
bagian yang muncul MA 1114 Kalkulus 1
12
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13 2 x 3 5
13 3 2 x 5 3
16 2 x 8
8x 4
4 x 8
Hp
=
4,8
4
8
MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2 6 4x 8
8 4 x 2
8 4 x 2
2 4x 8
1
x2
2
1
Hp ,2
2
12
2
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2
x
5x 3 0
3
2 x 1x 3 0
1
Titik Pemecah (TP) x
2
:
++
--
1
2
dan
x 3
++
3
1
Hp = 2 ,3
MA 1114 Kalkulus 1
15
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2 x 4 6 7 x 3x 6
2x 4 6 7x
2x 7 x 6 4
9 x 10
10
x
9
10
x
9
dan 6 7 x 3x 6
dan 7 x 3x 6 6
dan
10x 0
dan
10 x 0
dan
x 0
MA 1114 Kalkulus 1
16
10
Hp = , 0,
9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp
=
10
0, 9
MA 1114 Kalkulus 1
17
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
5.
x 1 3x 1
1
2
0
x 1 3 x 1
3x 1 2 x 2 0
x 13x 1
--1
+
+
-1
3
+
3+
1
Hp = ,1 ,3
3
x 3
0
x 13x 1
1
,3
TP : -1,
3
MA 1114 Kalkulus 1
18
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6. x 1
2x
x
3 x
x 1
x
0
2 x 3 x
x 13 x x2 x 0
2 x 3 x
2x2 2x 3
0
2 x x 3
MA 1114 Kalkulus 1
19
Untuk
2 x 2 2 x 3 mempunyai
pembilang
nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga
nilainya
selalu positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik
pemecah.
--
++
-3
Hp =
--
2
,3 2,
MA 1114 Kalkulus 1
20
Pertidaksamaan nilai
mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefnisikan
sebagai jarak x dari titik pusat pada
garis bilangan, sehingga jarak selalu
bernilai positif.
Defnisi nilai mutlak :
x ,x 0
x
x , x 0
MA 1114 Kalkulus 1
21
Pertidaksamaan nilai
mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
1 x x2
2 x a, a 0
3 x a, a 0
4 x y
a x a
x a
2
x y
atau
x a
2
x
x
5
y
y
6. Ketaksamaan segitiga
xy x y
xy x y
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x 5 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3 2 x 5 3
5 3 2x 3 5
2 2x 8
1 x 4
Hp
1,4
=
1
4
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x 5 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2
2 x 5 9
2
4 x 20 x 16 0
4 x 2 20 x 25 9
2
2 x 10 x 8 0
2 x 2x 4 0
++
-1
++
4
Hp = 1,4
TP : 1, 4
MA 1114 Kalkulus 1
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake defnisi
3. 2 x 3 4 x 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
2
2
2 x 3 4 x 5
4 x 2 12 x 9 16 x 2 40 x 25
12 x 2 28x 16 0
2
3x 7 x 4 0
4 , -1
TP :
3
MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
+
+
Hp =
-4
3
-1
+
+
4
,1
3
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
7 2
2
x
7 2
2
x
5
2
x
atau
7 2
2
atau x 9
2
x 10
atau x 18
Hp = 10, ,18
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x 2 x 1 2
Kita defnisikan dahulu :
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
x 2 x 2
x 2
2 x x 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
,1
-1
II
III
1,2
2,
2
MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x 1 atau ,1
3 x 2 x 1 2
32 x x 1 2
6 3x x 1 2
7 2 x 2
2 x 9
2x 9
9
x
2
atau
9
,
2
MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 = , ,1
2
9
2
1
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
,1
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
sehingga Hp1 = ,1
MA 1114 Kalkulus 1
30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval 1 x 2 atau
1,2
3 x 2 x 1 2
32 x x 1 2
6 3x x 1 2
5 4 x 2
4 x 7
4x 7
7
x
4
7
atau ,
4
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 =
, 1,2
4
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
7
7
sehingga Hp2 =1,
4
1,
4
MA 1114 Kalkulus 1
32
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval x 2
atau 2,
3 x 2 x 1 2
3x 2 x 1 2
3x 6 x 1 2
2 x 7 2
2x 5
5
x
2
5
atau ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
33
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 = 5 ,
2,
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
5
,
sehingga
2
5
Hp3 = ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
34
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1 Hp2 Hp3
7 5
Hp ,1 1, ,
4 2
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
35
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5
4
4
7
Jadi Hp = ,
4
5
2
2
5
,
2
MA 1114 Kalkulus 1
36
PR
Jadi HP =
5
FUNGSI & GRAFIKNYA
2.1 Fungsi
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y
(tunggal) mengkait nilai x.
Contoh: 1. a.
y 2 x
2
b.
5
y
x
2
9
Definisi:
Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x
disebut daerah asalA(domain ) dan himpunanB semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (kodomain) dari fungsi
f
Notasi: f : A →B
x
y = f(x)
Daerah hasil
Daerah asal
Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah
himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi:
f
{(x, y ) / 2 x
x
0
1
-1
2
-2
y
5
7
7
13
13
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);
(2,13);(-2,13);(10,205)
Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.
…
2
5}
10
205
42
Catatan:
1. Himpunan A, B є
2. Fungsi:
y = f(x) ,
x peubah bebas
y peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: Wyf = {y є B | y = f(x), x є Df }
5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }y = f(x)
y
Wf
Df
Soal:
x
x
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian
tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.
a. y = 2x + 1
b. y = x2 - 1
Ada beberapa penyajian fungsi yaitu
a.
b.
c.
d.
Secara verbal :
Secara numerik :
Secara visual :
Secara aljabar :
dengan uraian kata-kata.
dengan tabel
dengan grafik
dengan aturan/rumusan eksplisit
43
Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).
Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai
satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan
sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons)
Biaya B(w) (rupiah)
0 0, D = 0
a > 0, D < 0
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
a. y = x2 + 2x - 1
b. y = -2x2 + 2x - 4
3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f(x) = xn ,
Daerah asal: Df =
Grafik: y
y=x
0
x
nє
y y = x2
0
y
x
0
y = x3
x
46
4. Fungsi akar
y
Bentuk Umum:
f (x) n x ,
n 2 , 3 , 4 , ...
Daerah asal dan daerah hasil:
Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap
y
Df = , Wf = ,
jika
y n ganjil
x
y
2
Grafik:
y
x
0
3
x
0
x
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
a.
y
x 1
5. Fungsi kebalikan
y
b.
y
Bentuk umum:
y
Daerah asal dan daerah hasil:
1
,
x
0
2
2 x 2
x 0
Df = - {0}, Wf = - {0}
y
Grafik:
x
1
x
x
47
6. Fungsi rasional
y
Bentuk umum:
dimana: P, Q adalah polinom
Df = - { x | Q(x) = 0}
Daerah asal:
Contoh:
P (x)
Q (x)
x 1
y
x 1
y
x 2
x 2 1
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
7. Fungsia.aljabar
b.
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
a.
f (x)
x 1
x 1
b.
f (x)
x 2
x 2 1
(x 2)3 x 1
Catatan:
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi
balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar .
48
8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus
Bentuk umum: y = f(x) = sin x, y x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
y = sin x
Grafik:
1
-2π
0
-π
-1
π
2π
x
8.2 Fungsi cosinus
Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df =y, Wf = [-1,1]
y = cos x
1
Grafik:
π
-π
0
-2π
x
2π
-1
8.3 Fungsi tangen
y
f ( x ) ta n x
Bentuk umum:
Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є }
Daerah hasil: Wf =
s in x
,
cos x
x d a la m
ra d ia n
49
y
Grafik:
y = tan x
1
-2π
--π
-1
0
π
2π
x
8.4 Fungsi trigonometri lainnya
1
,
x d a la m ra d ia n
cos x
1
b. y f (x) cosec x
,
x d a la m ra d ia n
s in x
1
c. y f (x) cot x
,
x d a la m ra d ia n
ta n x
a . umum:
y f
Bentuk
(x) sec x
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤ sin x ≤ 1
c. sin x = sin (x + 2π)
e. tan x = tan (x + π)
b. -1 ≤ cos x ≤ 1
d. cos x = cos (x + 2 π)
50
9. Fungsi eksponensial
Bentuk umum: y = f(x) = ax,
a>0
y
Daerah asal dan daerah
hasil: Df = , Wf = (0,
Grafik:
y
)
y = ax , a > 1
y = ax , 0 < a < 1
1
0
1
x
1
0
1
x
10. Fungsi logaritma
Bentuk umum : y = f(x) = loga x,
a>0
y hasil: D = (0,
Daerah asal dan daerah
f
Grafik:
y = loga x
1
0
1
) , Wf =
x
51
11. Fungsi transenden
Definisi:
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri
Contoh:
invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.
Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
1.
f (x) 4 x 1
3.
f (x) 10 x
2.
f ( x ) ta n 2 x
x 6
4. f ( x)
x 6
5.
f ( x ) lo g 1 0 x
7.
f (x) 2t5 t2
x 2
6. f ( x) x
x 2
lo g 1 0 x
8 . f ( x ) x1 0
2 x x 2
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
(piecewise function)
Definisi:
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah
fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku
y
pada bagian tertentu dari daerah asal.
x
1 . f ( x ) | x |
Contoh:
x
x 0
x 0
y = |x|
1
-1
0
1
x
52
x
2. f (x) 2 x
0
y
0 x 1
1 x 2
x 2
y = f(x)
0
1
x
2
3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
y
atau sama dengan x. 0
0 x 1
y = f(x)
f(x) = x
1
= 2
3
1 x 2
2 x 3
3 x 4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
Catatan:
1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak
2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebuty fungsi genap.
f(x)
-x
x
y = f(x)
x
Catatan:
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
53
Definisi: [Fungsi ganjil]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebuty fungsi ganjil.
y = f(x)
f(x)
-x
-f(x)
x
x
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
Soal:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi
ganjil atau bukan kedua-duanya.
a. f(x) = 1 - x4
b. f(x) = x + sin x
c. f(x) naik
= x2 +dan
cos xfungsid.turun
f(x) = 2x - x2
14. Fungsi
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika
f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika
y
y
f(x1) > f(x2)y =untuk
setiap
x
<
x
di
I.
f(x)
1
2
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
Fungsi f naik
x
x1
Fungsi f turun
y = f(x)
x2
x
54
Soal:
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi
turun pada selang I.
a. f(x) = x2
b. f(x) = sin x
I = [0, )
I = [ , 2]
15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan
2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian
3. Komposisi fungsi
Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi)
Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:
1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x) + c
y
y = f(x+c)
c
c
y = f(x)
y = f(x-c)
c
c
y = f(x) - c
x
55
2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
b. Peregangan (dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan
faktor c.
2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak
dengan faktor c.
3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar
dengan faktor c.
y
4. y = f(x/c), regangkan grafik
y
=
f(x)
secara
medatar
y = 2 cos x
2
dengan faktor c.
y
2
y = cos x
y = ½ cos x
1
0
π
2π
y = cos x
1
x
0
-1
-1
-2
-2
π
y = cos 2x
x
2π
y = cos ½ x
56
c. Pencerminan
Untuk memperoleh grafik:
1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x
2. y = f(-x),
y cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y
y = f(x)
y
y = f(x)
y = f(-x)
f(x)
f(x)
x
-f(x)
x
y = -f(x)
-x
x
x
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan
sifat transformasi fungsi.
1. f(x)= |x-1|
3. f(x)= sin 2x
2. f(x) = x2+2x+1
4. f(x) = 1 - cos x
57
OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi: [Aljabar fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Df+g = Df Dg.
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Df-g = Df Dg.
3. (fg)(x) = f(x) g(x)
Dfg = Df Dg.
1.
f (x) x
2.
f (x)
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x)
2
g ( x) x
Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}
1 x
g (x)
1 x
Contoh:
Komposisi
fungsi
Tentukan f+g,
f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika
Definisi: [Komposisi fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
(f o g)(x) = f(g(x))
di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }
58
Dg
g
a
x
Wg
Df
f
g(a)
g(x)
Wf
f(g(x))
f°g
Soal :
Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
1.
f (x) x
2.
f (x)
1
x
2
g ( x)
x
g ( x) x 1
59
TRANFORMASI
TRANFORMASI
1.
2.
Pergeseran ( Translasi )
Perkalian bangun ( Dilatasi)
Pergeseran
(Translasi)
Pergeseran (Translasi)
Y
5
1
O
1
6
X
Rumus :
A(x,y)
A(2,3)
a
T b
3
T 5
xa
A’ y b
2 3
A’ 3 5
A’(5,8)
B(4,2)
T 3
4
4 3
B’ 2 4
B’(7,6)
C(6,2)
1
T 7
6 1
C’ 2 7
C’(7,9)
D(-6,-2)
T 3
4
63
D’ 24
D’(-3,2)
E(5,-2)
T 1
7
51
E’ 27
E’(4,5)
Perkalian Bangun
(Dilatasi)
Perkalian Bangun (dilatasi)
O
1
A
2
k
A
’
Berdasarkan gambar diatas :
OA'
OA
= k
ata
u
OA’ = k.
OA
Dilatasi pada bidang
koordinat
1.Dilatasi pusat O(0,0)
Notasi :
A(x,y)
D(0,k)
A’(kx,ky)
Rumus OA’ = k.
OA
Dilatasi pada bidang
koordinat
2. Dilatasi pusat P(a,b)
Notasi :
A(x,y)
D[P(a,b),k]
A’(x’, y’ )
x’- a = k(x- a) atau x’=k(xa)
+
a
y’- b = k(y- b) atau y’=k(yb) + b Rumus PA’ = k.
PA
PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN
MATEMATIKA DASAR
By
BUDI NURACHMAN
STKIP KUSUMA NEGARA POKJAR SERPONG GADING
SISTEM BILANGAN REAL
[1]
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang diseb
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
MA 1114 Kalkulus 1
7
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x £ a}
{x a < x < b}
{x a £ x £ b}
{x x > b}
{x x ³ b}
{x x Î Â}
selang
(- ¥ , a )
(-
¥ , a]
(a, b)
[a, b]
Grafk
a
a
a
b
a
b
(b, ¥ )
b
[b, ¥ )
b
(¥ , ¥ )
MA 1114 Kalkulus 1
8
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel
adalah suatu bentuk aljabar
dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi
urutan.
BentukAumum
:
x Dxpertidaksamaan
B x
E x
dengan A(x), B(x), D(x), E(x)
adalah suku banyak (polinom)
MA 1114 Kalkulus 1
10
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu
pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku.
Himpunan bilangan real ini disebut
juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1.P(Bentuk
pertidaksamaan diubah
x)
0
:
Q(menjadi
x)
, dengan cara :
MA 1114 Kalkulus 1
11
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan
menyederhanakan bentuk pembilangnya
2.
3.
Dicari titik-titik pemecah dari
pembilang dan penyebut dengan
cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi
faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah
tersebut pada garis bilangan,
kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang
bagian yang muncul MA 1114 Kalkulus 1
12
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13 2 x 3 5
13 3 2 x 5 3
16 2 x 8
8x 4
4 x 8
Hp
=
4,8
4
8
MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2 6 4x 8
8 4 x 2
8 4 x 2
2 4x 8
1
x2
2
1
Hp ,2
2
12
2
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2
x
5x 3 0
3
2 x 1x 3 0
1
Titik Pemecah (TP) x
2
:
++
--
1
2
dan
x 3
++
3
1
Hp = 2 ,3
MA 1114 Kalkulus 1
15
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2 x 4 6 7 x 3x 6
2x 4 6 7x
2x 7 x 6 4
9 x 10
10
x
9
10
x
9
dan 6 7 x 3x 6
dan 7 x 3x 6 6
dan
10x 0
dan
10 x 0
dan
x 0
MA 1114 Kalkulus 1
16
10
Hp = , 0,
9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp
=
10
0, 9
MA 1114 Kalkulus 1
17
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
5.
x 1 3x 1
1
2
0
x 1 3 x 1
3x 1 2 x 2 0
x 13x 1
--1
+
+
-1
3
+
3+
1
Hp = ,1 ,3
3
x 3
0
x 13x 1
1
,3
TP : -1,
3
MA 1114 Kalkulus 1
18
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6. x 1
2x
x
3 x
x 1
x
0
2 x 3 x
x 13 x x2 x 0
2 x 3 x
2x2 2x 3
0
2 x x 3
MA 1114 Kalkulus 1
19
Untuk
2 x 2 2 x 3 mempunyai
pembilang
nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga
nilainya
selalu positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik
pemecah.
--
++
-3
Hp =
--
2
,3 2,
MA 1114 Kalkulus 1
20
Pertidaksamaan nilai
mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefnisikan
sebagai jarak x dari titik pusat pada
garis bilangan, sehingga jarak selalu
bernilai positif.
Defnisi nilai mutlak :
x ,x 0
x
x , x 0
MA 1114 Kalkulus 1
21
Pertidaksamaan nilai
mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
1 x x2
2 x a, a 0
3 x a, a 0
4 x y
a x a
x a
2
x y
atau
x a
2
x
x
5
y
y
6. Ketaksamaan segitiga
xy x y
xy x y
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x 5 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3 2 x 5 3
5 3 2x 3 5
2 2x 8
1 x 4
Hp
1,4
=
1
4
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x 5 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2
2 x 5 9
2
4 x 20 x 16 0
4 x 2 20 x 25 9
2
2 x 10 x 8 0
2 x 2x 4 0
++
-1
++
4
Hp = 1,4
TP : 1, 4
MA 1114 Kalkulus 1
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake defnisi
3. 2 x 3 4 x 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
2
2
2 x 3 4 x 5
4 x 2 12 x 9 16 x 2 40 x 25
12 x 2 28x 16 0
2
3x 7 x 4 0
4 , -1
TP :
3
MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
+
+
Hp =
-4
3
-1
+
+
4
,1
3
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
7 2
2
x
7 2
2
x
5
2
x
atau
7 2
2
atau x 9
2
x 10
atau x 18
Hp = 10, ,18
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x 2 x 1 2
Kita defnisikan dahulu :
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
x 2 x 2
x 2
2 x x 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
,1
-1
II
III
1,2
2,
2
MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x 1 atau ,1
3 x 2 x 1 2
32 x x 1 2
6 3x x 1 2
7 2 x 2
2 x 9
2x 9
9
x
2
atau
9
,
2
MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 = , ,1
2
9
2
1
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
,1
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
sehingga Hp1 = ,1
MA 1114 Kalkulus 1
30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval 1 x 2 atau
1,2
3 x 2 x 1 2
32 x x 1 2
6 3x x 1 2
5 4 x 2
4 x 7
4x 7
7
x
4
7
atau ,
4
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 =
, 1,2
4
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
7
7
sehingga Hp2 =1,
4
1,
4
MA 1114 Kalkulus 1
32
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval x 2
atau 2,
3 x 2 x 1 2
3x 2 x 1 2
3x 6 x 1 2
2 x 7 2
2x 5
5
x
2
5
atau ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
33
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 = 5 ,
2,
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
5
,
sehingga
2
5
Hp3 = ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
34
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1 Hp2 Hp3
7 5
Hp ,1 1, ,
4 2
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
35
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5
4
4
7
Jadi Hp = ,
4
5
2
2
5
,
2
MA 1114 Kalkulus 1
36
PR
Jadi HP =
5
FUNGSI & GRAFIKNYA
2.1 Fungsi
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y
(tunggal) mengkait nilai x.
Contoh: 1. a.
y 2 x
2
b.
5
y
x
2
9
Definisi:
Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x
disebut daerah asalA(domain ) dan himpunanB semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (kodomain) dari fungsi
f
Notasi: f : A →B
x
y = f(x)
Daerah hasil
Daerah asal
Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah
himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi:
f
{(x, y ) / 2 x
x
0
1
-1
2
-2
y
5
7
7
13
13
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);
(2,13);(-2,13);(10,205)
Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.
…
2
5}
10
205
42
Catatan:
1. Himpunan A, B є
2. Fungsi:
y = f(x) ,
x peubah bebas
y peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: Wyf = {y є B | y = f(x), x є Df }
5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }y = f(x)
y
Wf
Df
Soal:
x
x
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian
tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.
a. y = 2x + 1
b. y = x2 - 1
Ada beberapa penyajian fungsi yaitu
a.
b.
c.
d.
Secara verbal :
Secara numerik :
Secara visual :
Secara aljabar :
dengan uraian kata-kata.
dengan tabel
dengan grafik
dengan aturan/rumusan eksplisit
43
Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).
Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai
satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan
sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons)
Biaya B(w) (rupiah)
0 0, D = 0
a > 0, D < 0
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
a. y = x2 + 2x - 1
b. y = -2x2 + 2x - 4
3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f(x) = xn ,
Daerah asal: Df =
Grafik: y
y=x
0
x
nє
y y = x2
0
y
x
0
y = x3
x
46
4. Fungsi akar
y
Bentuk Umum:
f (x) n x ,
n 2 , 3 , 4 , ...
Daerah asal dan daerah hasil:
Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap
y
Df = , Wf = ,
jika
y n ganjil
x
y
2
Grafik:
y
x
0
3
x
0
x
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
a.
y
x 1
5. Fungsi kebalikan
y
b.
y
Bentuk umum:
y
Daerah asal dan daerah hasil:
1
,
x
0
2
2 x 2
x 0
Df = - {0}, Wf = - {0}
y
Grafik:
x
1
x
x
47
6. Fungsi rasional
y
Bentuk umum:
dimana: P, Q adalah polinom
Df = - { x | Q(x) = 0}
Daerah asal:
Contoh:
P (x)
Q (x)
x 1
y
x 1
y
x 2
x 2 1
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
7. Fungsia.aljabar
b.
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
a.
f (x)
x 1
x 1
b.
f (x)
x 2
x 2 1
(x 2)3 x 1
Catatan:
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi
balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar .
48
8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus
Bentuk umum: y = f(x) = sin x, y x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
y = sin x
Grafik:
1
-2π
0
-π
-1
π
2π
x
8.2 Fungsi cosinus
Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df =y, Wf = [-1,1]
y = cos x
1
Grafik:
π
-π
0
-2π
x
2π
-1
8.3 Fungsi tangen
y
f ( x ) ta n x
Bentuk umum:
Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є }
Daerah hasil: Wf =
s in x
,
cos x
x d a la m
ra d ia n
49
y
Grafik:
y = tan x
1
-2π
--π
-1
0
π
2π
x
8.4 Fungsi trigonometri lainnya
1
,
x d a la m ra d ia n
cos x
1
b. y f (x) cosec x
,
x d a la m ra d ia n
s in x
1
c. y f (x) cot x
,
x d a la m ra d ia n
ta n x
a . umum:
y f
Bentuk
(x) sec x
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤ sin x ≤ 1
c. sin x = sin (x + 2π)
e. tan x = tan (x + π)
b. -1 ≤ cos x ≤ 1
d. cos x = cos (x + 2 π)
50
9. Fungsi eksponensial
Bentuk umum: y = f(x) = ax,
a>0
y
Daerah asal dan daerah
hasil: Df = , Wf = (0,
Grafik:
y
)
y = ax , a > 1
y = ax , 0 < a < 1
1
0
1
x
1
0
1
x
10. Fungsi logaritma
Bentuk umum : y = f(x) = loga x,
a>0
y hasil: D = (0,
Daerah asal dan daerah
f
Grafik:
y = loga x
1
0
1
) , Wf =
x
51
11. Fungsi transenden
Definisi:
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri
Contoh:
invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.
Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
1.
f (x) 4 x 1
3.
f (x) 10 x
2.
f ( x ) ta n 2 x
x 6
4. f ( x)
x 6
5.
f ( x ) lo g 1 0 x
7.
f (x) 2t5 t2
x 2
6. f ( x) x
x 2
lo g 1 0 x
8 . f ( x ) x1 0
2 x x 2
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
(piecewise function)
Definisi:
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah
fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku
y
pada bagian tertentu dari daerah asal.
x
1 . f ( x ) | x |
Contoh:
x
x 0
x 0
y = |x|
1
-1
0
1
x
52
x
2. f (x) 2 x
0
y
0 x 1
1 x 2
x 2
y = f(x)
0
1
x
2
3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
y
atau sama dengan x. 0
0 x 1
y = f(x)
f(x) = x
1
= 2
3
1 x 2
2 x 3
3 x 4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
Catatan:
1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak
2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebuty fungsi genap.
f(x)
-x
x
y = f(x)
x
Catatan:
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
53
Definisi: [Fungsi ganjil]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebuty fungsi ganjil.
y = f(x)
f(x)
-x
-f(x)
x
x
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
Soal:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi
ganjil atau bukan kedua-duanya.
a. f(x) = 1 - x4
b. f(x) = x + sin x
c. f(x) naik
= x2 +dan
cos xfungsid.turun
f(x) = 2x - x2
14. Fungsi
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika
f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika
y
y
f(x1) > f(x2)y =untuk
setiap
x
<
x
di
I.
f(x)
1
2
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
Fungsi f naik
x
x1
Fungsi f turun
y = f(x)
x2
x
54
Soal:
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi
turun pada selang I.
a. f(x) = x2
b. f(x) = sin x
I = [0, )
I = [ , 2]
15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan
2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian
3. Komposisi fungsi
Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi)
Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:
1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x) + c
y
y = f(x+c)
c
c
y = f(x)
y = f(x-c)
c
c
y = f(x) - c
x
55
2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
b. Peregangan (dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan
faktor c.
2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak
dengan faktor c.
3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar
dengan faktor c.
y
4. y = f(x/c), regangkan grafik
y
=
f(x)
secara
medatar
y = 2 cos x
2
dengan faktor c.
y
2
y = cos x
y = ½ cos x
1
0
π
2π
y = cos x
1
x
0
-1
-1
-2
-2
π
y = cos 2x
x
2π
y = cos ½ x
56
c. Pencerminan
Untuk memperoleh grafik:
1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x
2. y = f(-x),
y cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y
y = f(x)
y
y = f(x)
y = f(-x)
f(x)
f(x)
x
-f(x)
x
y = -f(x)
-x
x
x
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan
sifat transformasi fungsi.
1. f(x)= |x-1|
3. f(x)= sin 2x
2. f(x) = x2+2x+1
4. f(x) = 1 - cos x
57
OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi: [Aljabar fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Df+g = Df Dg.
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Df-g = Df Dg.
3. (fg)(x) = f(x) g(x)
Dfg = Df Dg.
1.
f (x) x
2.
f (x)
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x)
2
g ( x) x
Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}
1 x
g (x)
1 x
Contoh:
Komposisi
fungsi
Tentukan f+g,
f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika
Definisi: [Komposisi fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
(f o g)(x) = f(g(x))
di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }
58
Dg
g
a
x
Wg
Df
f
g(a)
g(x)
Wf
f(g(x))
f°g
Soal :
Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
1.
f (x) x
2.
f (x)
1
x
2
g ( x)
x
g ( x) x 1
59
TRANFORMASI
TRANFORMASI
1.
2.
Pergeseran ( Translasi )
Perkalian bangun ( Dilatasi)
Pergeseran
(Translasi)
Pergeseran (Translasi)
Y
5
1
O
1
6
X
Rumus :
A(x,y)
A(2,3)
a
T b
3
T 5
xa
A’ y b
2 3
A’ 3 5
A’(5,8)
B(4,2)
T 3
4
4 3
B’ 2 4
B’(7,6)
C(6,2)
1
T 7
6 1
C’ 2 7
C’(7,9)
D(-6,-2)
T 3
4
63
D’ 24
D’(-3,2)
E(5,-2)
T 1
7
51
E’ 27
E’(4,5)
Perkalian Bangun
(Dilatasi)
Perkalian Bangun (dilatasi)
O
1
A
2
k
A
’
Berdasarkan gambar diatas :
OA'
OA
= k
ata
u
OA’ = k.
OA
Dilatasi pada bidang
koordinat
1.Dilatasi pusat O(0,0)
Notasi :
A(x,y)
D(0,k)
A’(kx,ky)
Rumus OA’ = k.
OA
Dilatasi pada bidang
koordinat
2. Dilatasi pusat P(a,b)
Notasi :
A(x,y)
D[P(a,b),k]
A’(x’, y’ )
x’- a = k(x- a) atau x’=k(xa)
+
a
y’- b = k(y- b) atau y’=k(yb) + b Rumus PA’ = k.
PA
PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN