ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS

  

RANGKUMAN BAB 5

( Teknik Riset Operasi )

  

ANALISIS SENSITIFITAS DAN DUALITAS

ANALISIS SENSITIVITAS

( Dosen : Dewi Fatmasari, SE )

  

Disusun oleh

Ayu Wahyuningrat

Fathila

Kusnandar Diono

  

Moch. Apip Yamin

Shandy Sukma Gayunalapraya

TI S1 2008 A

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

UNIVERSITAS KUNINGAN

  

2010

  

ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS

ANALISIS SENSITIVITAS

  Analisis sensitivitas adalah studi tentang bagaimana perubahan penyelesaian optimal dan nilai penyelesaian optimal dari programasi linear sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variabel keputusan.

  Analisis sensitivitas digunakan untuk melakukan interpretasi penyelesaian yang telah dicapai sehingga menjadi lebih mudah dipahami. Alasan utama pentingnya dilakukan analisis ini adalah dinamisasi dunia nyata. Artinya, kasus- kasus dalam dunia nyata yang dipecahkan dalam programasi linear selalu mengalami perubahan. Misalnya, adanya perubahan harga bahan mentah yang digunakan oleh perusahaan, kenaikan upah, penggantian mesin dan sebagainya akan mengubah koefisien fungsi tujuan.

  Analisis sensitivitas dapat memeberikan estimasi kritis terhadap pormulasi koefisien dalam model. Hasil analisis dapat memberi informasi kepada manager apakah perkiraan keuntungan atau harga per unit produk merupakan perkiraan yang baik atau tidak berdasarkan range optimalitas koefisien fungsi tujuan. Range optimalitas adalah range nilai keuntungan atau harga perunit yang mungkin bagi perusahaan tanpa perusahaan harus merubah penyelesaian optimal jumlah produksi.

  Aspek lain dari analisi sensitivitas adalah yang berkaitan dengan perubahan nilai pada sisi kanan funsgsi kendala. Perubahan yang demikian dapat terjadi bila terdapat perubahan kapasitas produksi atau perubahan waktu operasi pada tiap-tiap unit produksi.

ANALISIS SENSITIVITAS SECARA GRAFIS

  Pada kasus sederhana, metode grafik dapat digunakan untuk menunjukan analisis sensitivitas pada koefisien fungsi tujuan, koefisien variabel kendala dan nilai sisi kanan fungsi kendala. Kita akan bahas kasus UD.Shuma untuk ketiga macam perubahan tersebut.

  Koefisien Fungsi Tujuan

  Mula-mula akan kita lihat berapa range optimalitas bagi kasusu UD.Shuma tanpa harus mengubah jumlah produksi 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak. Dari gambar 5.1 yang memperlihatkan penyelesaina dengan methode grafik dari kasus UD.Shuma, kita lihat bahwa peyelesaian optimal terjadi pada titik ekstrem 4, yaitu pada titik potong antara kendala pengukuran dan pemotongan pola dengan kendala pengeleman dan pengeringan. Perubahan koefisien X

  1 dan X 2 pada fungsi-

  fungsi tujuan akan menyebabkan perubahan slope fungsi tujuan. Dari gambar kita bisa mengetahui bahwa perubahan yang demikian menyebabkan garis fungsi tujuan berputar disekitar titik ekstrem 4 tersebut. Namun selama garis fungsi tujuan masih berada didalam daerah yang diarsis (daerah layak), titik ekstrem 4 akan tetap optimal, yaitu bila slope garis kendala I ≤ slope garis fungsi tujuan ≤ slope garis kendala II.

  

Gambar 5.1.

  Penyelesaian dengan Metode Grafik Kasus Perusahaan UD.Shuma Dari persamaan garis kendala I 10X

  1 +2X 2 =300 kita bisa mengetahu slope dan

  intersep garis tersebut dengan menuliskan persamaan tersebut jadi X =150 -5X

  2

  1

  dimana 150 menunjukan besarnya intersape dan -5 menunjukan slope. Sedang

  Intersape garis kendala sebesar 60 dan koefisien sebesar -3/2. Dengan demikian kita bisa mengetahuia bahwa supaya titik ekstreme 4 tetap merupakan penyelesaian optimal harus memenuhi

• 5 ≤ slope garis fungsi tujuan ≤ -3/2 Kita bisa menentukan range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c )

  2

  dengan mengubah persamaan garis kendala I dan II serta persamaan tujuan sebagai

  X

  1 =f(X 2 ) .

  Garis kendala 1 (pengukuran dan pemotongan pola):

  10X +2X =300 atau X =30-2/10X

  1

  2

  1

  

2

Garis kendala II (pengeleman dan pengeringan):

  3X

  1 +2X 2 =120 atau X 1 =40-2/3X

2 Persamaan umum garis fungsi tujuan:

  Z=c X +c X atau X =Z/c -c /c

  X

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  1

2 Sehinga titik ekstrem 4 akan tetap optimal bila

• 2/10 ≥ -c /c ≥ -2/3

  2

  1

• 2/10 ≥ -c

  2 /c 1 dan –c 2 /c 1 ≥ -2/3

  Atau 2/10 ≤ c /c dan c /c ≤2/3

  2

  1

  2

1 Untuk c = 4000, maka

  1

  2/10 ≤ c

  2 /4000 dan c 2 /4000 ≤ 2/3

  8000/10 ≤c

  2 dan c 2 ≤ 8000/3

  800 ≤ c dan c ≤ 2666,67

  2

  2 Atau 800 ≤ c ≤ 2666,67

  2 Dengan range optimalitas tersebut, perkiraan keuntungan sepatu anak sebesar Rp 1000,00 merupakan perkiraan yang baik karena berada diantara range tersebut.

  Sisi Kanan Fungsi Kendala

  Sekarang kita lihat bagaimana perubahan nilai sisi kanan fungsi kendala berpengaruh terhadap penyelesaian optimal. Misalkan, waktu operasi unit produksi pengeleman dan pengeringan dalam perusahaan UD. Shuma ditambah dari 120 menit, maka sisi kanan kendala pengleman dan pengeringan akan berubah. Fungsi kendala pengeleman dan pengeringan menjadi 3X +2X ≤ 150.

  1

  2 Tambahan waktu 30 menit akan menyebabkan daerah layak menjadi

  bertambah luas, seperti ditunjukan pada Gambar 5.2. dengan kendala baru tersebut, kini kita hanya mempunyai 4 titik ekstrem yaitu (0,0),(0,50),(25,25), dan (30,0).

  

Gambar 5.2.

  

Daerah Layak Kasus Perusahaan UD Shuma

Dengan Kendala Pengleman dan Pengeringan yang Baru

  Perubahan nilai fungsi tujuan yang dihasilkan dari kenaikan satu unit nilai sisi kanan fungsi kendala disebut harga bayangan (shadow price). Semakin banyak tambahan waktu yang bisa dilakukan menyebabkan nilai sisi kanan fungsi kendala semakin meningkat. Oleh karena itu nilai harga bayangan hanya dapat digunakan pada perubahan yang kecil dari nilai sisi kanan fungsi kendala.

  ANALISIS SENSITIVITAS DENGAN TABEL SIMPLEKS

  Informasi yang terdapat pada table simpleks akhir dapat kita digunakan untuk menghitung range koefisien fungsi tujuan, harga bayangan,dan range nilai sisi kanan

• – Z

  X

  X

  1 1000

  Koefisien Fungsi Kendala

  Koefisien fungsi tujuan terletak dalam suatu range tertentu, maka penyelesaian optimal tidak berubah. Range dimana nilai fungsi tujuan terletak disebut range optimalitas koefisien fungsi tujuan.

  Tabel simpleks ini menunjukan bahwa penyelesaian sudah optimal karena semua nilai pada baris C

  j

  j

  lebih kecil sama dengan nol. Adanya perubahan pada salah satu koefisien fungsi tujuan akan menyebabkan nilai C j – Z j untuk variable non-dasar menjadi positif, sehingga penyelesaian menjadi tidak optimal lagi. Bila hal iini terjadi, maka dibutuhkan tambahan iterasi untuk menemukan penyelesaian optimal nilai C j untuk semua variable non-dasar yang memenuhi C j – Z j ≤ 0.

  Kombinas i Produk C 1 4000

2 S

• 3/14 38/70
• 1/7 10/14
• 8/7

  1000/7

• 2500/7
• 1000/7

  2 S

  3 Kuantitas

  X

  1 X

  2 S

  3 c

  1

  1000

  1

  1 1/7

  1 180/7 150/7

  407 Z

  j

  C j – Z j

  c

  1

  1000

  1/7 c ^{1 -3000/14}

  1 S

  X

  2 S

  1

  1 S

  2 S

  3 Kuantitas

  X

  1 X

  2 S

  3

  4000 1000

  1 1/7

  1 1000

  1 180/7 150/7

  407 Z

  j

  C j – Z j 4000 1000 2500/7

  124300

  Untuk melihat proses perhitungan range optimalisasi ini kita misalkan nilai koefisien

  X ^{1 (keuntungan per unit sepatu wanita) sebesar c 1 (bukan 4000), sehingga kita dapatkan table} simpleks akhir sebagai berikut : Kombinas i Produk C j c

  1 X

• 3/14 38/70
• 1/7 10/14
• 8/7
• 1/7 c
¹ +10000/14 1/7 c ¹ -10000/14 180/7 c 1 +10000/7<
• 1/7 c

¹ +3000/14 Dari table kita mendapatkan :

• 1/7 c +3000/14 ≤ 0

  1

  (-2 c +3000)/14 ≤ 0

  1

  2 c

  1 ≥ 3000

  c ≥ 1500

  1

  dan 1/7 c

  1 - 10000/14 ≤ 0

  (2 c

  1 - 10000)/14 ≤ 0

  2 c ≥ 10000

  1

  c ≥ 5000

1 Range optimalitas yang kita peroleh adalah 1500 ≤ c ≤ 5000. Hasil ini sama

  1 dengan yang kita peroleh dengan menggunakan metode grafik.

  Berdasarkan range optimalitas c

  1 ini, manajer dapat menggunakannya untuk

  memeperoleh informasi apakah penyelesaian masih optimal atau tidak. Misal, karena naiknya harga bahan mentah, menyebabkan keuntungan per unit sepatu wanita turun menjadi Rp 2000 (masih di dalam range optimalitas). Hasil iterasi terakhir untuk perubahan ini, seperti yang terlihat pada table di bawah, masih optimal (semua nilai baris C – Z ≤ 0). Sedang keuntungan total yang diperoleh menjadi Rp 2000 (25,7) +

  j j Rp 1000 (21,5) = Rp 72.900.

  

Kombinas C j 200 1000 Kuantitas

i

  X

  2 S

  1 S

  2 S

  3 Produk

  X

  1 X 1 2000

  1 1/7 -1/7 180/7 X 1000 1 -3/14 10/14 150/7

2 S 38/70 -8/7

  1 407

  3 1000/14 6000/14

  Z 200 1000 729000

  j

• 1000/14 -6000/14

  C – Z

  j j

  Misalkan sekarang keuntungan sepatu wanita ini turun lagi menjadi Rp 1000 (di luar range optimalitas). Hasil iterasi tidak lagi optimal karena nilai kolom S

2 S

• 3/14 38/70
• 1/7 10/14
• 8/7
• 1000/14 1000/14 8000/14
• 6000/14
• – Z

  ≥ 800 atau 800 ≤ c

  (3 c

  2 - 8000)/14 ≤ 0

  c

  2

  ≤ 8000/3 c

  2

  ≤ 2666,67 dan 4000/7 - 10/14 c

  2 ≤ 0

  (8000 - 10 c

  2

  )/14 ≤ 0 c

  2

  2 ≤ 2666,67

  pada table simpleks akhir. Sebagai akibatnya :

  Artinya selama keuntungan per unit sepatu anak berada didalam range tersebut, produksi sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak akan merupakan penyelesaian optimal.

  Kombinas i Produk C j

  X

  1 400

  X

  2 c

  1 S

  2 S

  3 Kuantitas

  X

  1

  4000 1 1/7 -1/7 180/7

  2 ≤ 0

  2

  1 1/7

  dan c

  X

  1 1000

  X

  1 S

  2 S

  3 Kuantitas

  X

  1 X

  2 S

  3

  1000 1000

  1

  1 180/7 150/7

  pada baris C j – Z j positif. Berarti masih diperlukan iterasi lagi hingga dicapai penyelesaian optimal yang baru. Dengan kata lain, penyelesaian sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak tidak lagi merupakan produksi yang optimal pada keadaan di mana keuntungan per unit sepatu wanita sebesar Rp 1000.

  407 Z

  j

  C

  j

  j

  100 1000

  47200 Range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c

  2 ) dapat kita tentukan

  dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan terhadap c

  1

  , yaitu dengan cara mengubah koefisien X

  2

  Kombinas i Produk C j 100

• 4000/7 + 3/14 c

2 S S

  X c 1 -3/14 10/14 150/7

  2

  2 S 3 38/70 -8/7

  1 407

  4000/7 - 3/14 c ^{2 -4000/7 + 10/14 720000/7 +150/7 c 2} Z 400 c j

  2 c ²

• 4000/7 + 3/14

  C j – Z j ₂

  4000/7 - 10/14 c c ² Ruas Kanan Fungsi Kendala

  Nilai sisi kanan fungsi kendala pada programasi linear biasanya di interpretasikan sebagai kapasitas yang tersedia (dapat digunakan). Analisis sensitifitas sisi kanan fungsi kendala dapat member informasi kepada manajer tentang seberapa besar perubahan kapasitas tersebut bernilai bagi perusahaan.

  

Kombinas C j 200 1000 Kuantitas

i

  X

  2 S

  1 S

  2 S

  3 Produk

  X

  1 X 1 4000

  1 1/7 -1/7 180/7 X 1000 1 -3/14 10/14 150/7

2 S 38/70 -8/7

  1 407

  3 2500/7 1000/7

  Z 400 1000 124300

  j

• 2500/7 -1000/7

  C – Z

  j j

  Tabel simpleks diatas menunjukan nilai Z j untuk variable slack S

  1 , S 2 dan S

  3

  masing-masing sebesar 2500/7, 1000/7 dan 0. Jadi harrga bayyangan untuk waktu pengukuyran dan pemotongan pola adalah Rp. 2500/7, untuk waktu pengeleman dan pengeringan Rp. 1000/7 dan untuk pengeslepan sebesar Rp. 0.

  Informasi yang bisa kita turunkan dari hasil ini adalah penambahan tiap menit waktu akan menambah keuntungan sebesar harga bayangan pada masing-masing unit produksi. Berarti pula, penambahan waktu yang member kontribusi terbesar pada keuntungan terjadi pada unit produksi pengukuran dan pemotongan pola yaitu sebesar Rp. 2500/7 per menit.

• Bila primal mempunyai n variable keputusan, maka dual akan mempunyai n kendala. Kendala pertama dual berkaitan dengan variable keputusan (X
• Bila primal mempunyai m kendala, dual akan mempunyai m keputusan.
• Nilai-nilai sisi kanan fungsi kendala primal menjadi nilai-nilai koefisien fungsi tujuan dual.
• Koefisien fungsi tujuan primal menjadi nilai ruas kanan fungsi kendala dalam dual.
• Koefisien-koefisien fungsi kendala ke-i variable primal menjadi koefisien- koefisien dalam kendala ke-i dari dual.
• Dual seperti halnya primal, mempunyai syarat non negativity.

  3 X

  

2

  1

  Dual : meminimumkan Y = 300u

  1 , X 2 ≥ 0

  X

  ≤ 100

  2

  1

  2 X

  ≤ 120

  2

  1

  2 Kendala 10 X 1 + 2X 2 ≤ 300

  1 + 1000 X

  Berdasarkan persyaratan umum tentang dual di atas, kita bisa menurunkan formulasi dual untuk kasus perusahaan UD. Shuma. Primal : memaksimumkan 4000X

  ) berkaitan dengan kendala kedua dari primal, dan seterusnya.

  2

  primal. Variable keputusan kedua dual (u

  1 ) berkaitan dengan kendala pertama dari

  Variable keputusan pertama dual (u

  2 . Dalam primal dan seterusnya.

  ) dalam primal, sedang kendala kedua dalam dual berkaitan dengan variable X

  1

  Formulasi kasus dual dapat diturunkan dari kasus primal sebagai berikut : - Dual merupakan kasus minimisasi dan karenanya mempunyai kendala ≥.

  Dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relative masing-masing kegiatan. Dengan menggunakan penyelesaian dual dimungkinkan untuk memformulasikan suatu kasus dalam konteks yang berbeda dan mendapatkan hasil yang sama. Dalam metode simpleks, dual disebut juga sebagai penyelesaian persamaan menurut kolom.

• 2X
• 2X
• 120u
• 100u

  3 Kendala 10u

  1 + 3u 2 + 2u 3 ≥ 4000

  2u + 2u + 2u ≥ 1000

  1

  2

  3

  u , u , u ≥ 0

  1

  2

3 Sekarang kita mencoba menyelesaikan kasus dual ini dengan metode

  simpleks. Mula-mula kita ubah dulu menjadi kasus maksimisasi dengan cara mengalihkan fungsi tujuan dengan -1, kemudian memasukkan variable surplus dan variable artificial untuk mengubah formulasi menjadi bentuk yang dapat dituliskan ke dalam table. Memaksimumkan –Y = -300u - 120u - 100u + 0S + 0S – Ma – Ma

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2 Kendala 10u 1 + 3u 2 + 2u 3 - S 1 + a 1 = 4000

  2u + 2u + 2u - S + a = 1000

  1

  2

  3

  2

  2

  u , u , u , S , S , a , a ≥ 0

  1

  2

  3

  1

  2

  1

  2 Tabel simpleks yang diturunkan dari formulasi tersebut adalah : Kombinas C

• - j -300 -120 -1000 -M Kuantitas i u u u S S M a

  1

  2

  3

  1

  2

  2 Produk a

  1 a -M

  10

  3 2 -1 1 4000

  1 a -M

  2

  2 2 -1 1 1000

  3

• 12M -5M -4M

  Z M M -M -5000M -

  j

• 100+4M -
• – C -M -M M

  j 300+12M 120+5M

  Z j Hasil iterasi pertama :

  

Kombi- C -300 -120 -1000 -M -M Kuantitas

j nasi u 1 u 2 u

  3 S

  1 S 2 a 1 a

  2 Produk a 1 -M -7 -8 -1

  5 1 -5 -1000

  a -300

  1

  1 1 -1/2 1/2 500

  3

• 300 -300+7M -300+8M M 150+5M -M 150+5M -150000M+1000M

  Z j

• 420-7M -400+8M -M -150+5M -150+5M

  C – Z

  j j

  

Kombi- C -300 -120 -1000 -M -M Kuantitas

j nasi u 1 u 2 u

  

3 S

  1 S 2 a 1 a

  2 Produk u 1 -120

  1 8/7 1/7 -5/7 -1/7 5/7 142,86

  u 3 -300

  1 -1/7 -1/7 3/14 1/7 -3/14 357,14

• 300 -120 -660/7 180/7 150/7 -180/7 -150/7-M 124300

  Z j

• 40/7 -180/7 -150/7 180/7-M 150/7-M

  C j – Z j Penyelesaian di atas sudah mencapai optimal karena semua nilai pada baris C

  j

• – Z ≤ 0. Nilai fungsi tujuan yang kita peroleh bertanda negatif,maka penyelesaian

  j

  dual fungsi tujuan haruslah –(-124300) atau 124300. Hasil ini sama dengan yang kita peroleh dari penyelesaian optimal primal.Hal ini berlaku untuk semua kasus dual, yaitu bila primal mempunyai penyelesaian optimal, maka dual juga mempunyai

  penyelesaian optimal dan sebaliknya.Nilai fungsi tujuan optimal dari keduanya akan sama.

  Kalau kita perhatikan nilai penyelesaian optimal kasus dual adalah u

  1 =

  357,14, u

  2 , = 142,86, u 3 = 0. Ternyata bahwa nilai-nilai tersebut sama dengan harga

  bayangan. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa nilai harga bayangan dan

  nilai dual adalah satu dan sama. Berarti nilai optimal variabel dual menyatakan

  juga nilai tambahan per unit waktu (sumber daya) atau mengidentifikasi kontribusi ekonomi sumber daya dalam kasus primal.