SOAL OSK MATEMATIKA SMP 2016

OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN
TAHUN 2016

ttp

BIDANG MATEMATIKA

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

://

1. Nilai dari

2017  (2016 2  16)  2015
adalah ... .
2020  (2016 2  1)

ww

A. 2012

B. 2013

C. 2014

D. 2015

w.

2. Misalkan x  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x.
Jika x 

2

A. 35
B. 36
D. 38

3. Jika n! = n . (n – 1).(n – 2) . ... . 2 .1, maka

ic
as

uk

C. 37

, maka x  = ...

ed

1
2
3
10


 ... 
1001 1002 1003

1010

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = ...
A. (n – 1)! + 1
B. (n + 1 )! – 1
C. (n + 1)! + 1
D. n! + n

kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F
adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC
adalah ... cm2
B. 72,25
C. 68,00
D. 63,75

et
.n

s
pu

A. 74,00

am

4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang

5. Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, - 1). Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B. Jarak antara
titik A dan garis l adalah ... satuan panjang.
A. 4
B. 5
C. 6
Diketik ulang oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang)
ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 1

/

D. 7

OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah
... cm

ttp

6
4

B.

6
3

C.

3
4

://

A.

D.

2 3
3

ww

7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang
bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di
samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1m yang mempunyai bayangan

B.
C.
D.

uk

15
10  3
15
10  3
10
52
10
52

A.

ed

w.

sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah ... m.

A. 0

B. 1
C. 2
D. 3

 x 2014  x 2015  x 2013 adalah ... .

mx + 3y = 21

4x – 3y = 0

am

9. Jika sistem persamaan

2016

ic
as

8. Banyak bilangan real x yang memenuhi x

Memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ... .

B. 10
C. 11
D. 12

et
.n

s
pu

A. 9

10. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti
kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:


25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti

kegiatan tersebut;



90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 2

/

Diketik ulang oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang)

OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ... .
A. 9 : 1
B. 9 : 2

ttp

C. 9 : 3
D. 9 : 4

11. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus

://

2 x  1, untuk x genap
f ( x)  
 2 x  1, untuk x ganjil

ww

Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah ... .
A. 21

B. 39

C. 61

D. 77

w.

12. Banyak bilangan bulat k > - 20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran
x2 + y2 = 9 adalah ... .

B. 19
C. 11
D. 10

uk

ed

A. 20

13. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari
tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut.

ic
as
s
pu

am
Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

A. 1000
B. 1340
C. 1350
D. 1500

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 3

/

Diketik ulang oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang)

et
.n

Tahun
2012 2013 2014 2015
Produk A
1200 2400 2400 3600
Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ... .

OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

14. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna
berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1
sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang
terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ... .

ttp

5
13
8
B.
26
19
C.
52
31
D.
104
A.

://

ww

15. Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum yang
mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah ... .
B. 49
C. 48

ed

D. 45

w.

A. 50

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

uk
2

 1.2.4  2.4.8  ...  n.2n.4n  3
1. Nilai dari 
 adalah ... .
 1.3.9  2.6.18  ...  n.3n.9n 

ic
as

2. Bilangan bulat terbesar n agar 2 . 6. 10 .14 . 18 . ... . 198 dapat dibagi 6 n adalah ... .
3. Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut
dengan volume 392  cm3. Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan
volume 1344  cm3. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah ... cm.

gambar di samping. Balok tersebut dipancung sepanjang
permukaan bangun datar yang dicetak tebal. Luas
permukaan balok terpancung adalah ... satuan luas.

s
pu

am

4. Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada

5. Diketahui barisan fungsi f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x),... sedemikian hingga f1 ( x)  x dan f n 1 ( x ) 

et
.n

untuk bilangan bulat n  1 . Nilai dari f 2016 (2016)  ....

1
1  f n ( x)

6. Jika akar-akar persamaan 2016 x   2015  2017 x  1  0 adalah m dan n dengan m  n , serta
2

akar-akar persamaan x 2  2105 x  2016  0 adalah a dan b dengan a  b , maka m  b  ...

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 4

/

Diketik ulang oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang)

OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

7. Diketahui suatu barisan dengan suku ke-n adalah an dengan

 3k , untuk n  2k-1;
an  
51  k , untuk n  2k

ttp

Jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah ... .

8. Misalkan x dan y merupakan bilangan asli berbeda yang memenuhi 4x + 7y = 2016. Banyak

://

pasangan (x,y) yang mungkin adalah ... .

ww

9. Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga
berturut-turut mereka menerima 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Banyak cara pembagian buku
tersebut adalah ... .

10. Di kelas VIII terdapat 11 siswa. Pada saat ulangan Matematika, ada satu orang siswa yang sakit

w.

sehingga harus mengikuti ulangan susulan. Nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada
waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30. Jika nilai siswa yang mengikuti ulangan
susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Nilai terbesar

ic
as

uk

ed

yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah ... .

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 5

/

et
.n

s
pu

am
Diketik ulang oleh: Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang)

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

PEMBAHASAN SOAL
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP
SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN

ttp

TAHUN 2016
BIDANG MATEMATIKA

://

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

2017  (2016 2  16)  2015
adalah ... .
2020  (2016 2  1)

ww

1. Nilai dari

A. 2012

B. 2013

C. 2014

w.

D. 2015
Jawaban: A

Pembahasan:

ed

Misalkan 2016 = x, maka

2017  (2016 2  16)  2015 ( x  1)  ( x 2  16)  ( x  1)

2020  (2016 2  1)
( x  4)  ( x 2  1)

Jadi nilainya 2016 – 4 = 2012

ic
as

uk

( x 2  1)  ( x  4)( x  4)

( x  4)  ( x 2  1)
 x4

2. Misalkan x  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x.
Jika x 

2
, maka x  = ...
1
2
3
10


 ... 
1001 1002 1003
1010

B. 36
C. 37
D. 38

Pembahasan:

s
pu

Jawaban: C

am

A. 35

Artinya 36,4  x  36,73 .
Bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x adalah 37

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 1

/

Dibahas oleh: Saiful Ar if, M.Pd (Gur u SMPN 13 Malang)

et
.n

2
2002
2


 36,4
1
2
3
10
55
55


 ... 
1001
1001 1001 1001
1001
2
2020
2
Nilai maksimum untuk x adalah x 


 36,73
1
2
3
10
55
55


 ... 
1010
1010 1010 1010
1010
Nilai minimum untuk x adalah x 

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

3. Jika n! = n . (n – 1).(n – 2) . ... . 2 .1, maka
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = ...
A. (n – 1)! + 1
B. (n + 1 )! – 1

ttp

C. (n + 1)! + 1
D. n! + n
Jawaban: B

://

Pembahasan:

Perhatikan pola berikut:

ww

1 . 1! = 1

1 . 1! + 2 . 2! =1 + 4 = 5 = 6 – 1 = 3! - 1
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! = 5 + 18 = 23 = 24 – 1 = 4! – 1
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! = 23 + 96 = 119 = 120 – 1 = 5! – 1
........................................................

w.

1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ...+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = (n + 1)! - 1

4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang

ed

kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F
adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC
adalah ... cm2
A. 74,00
C. 68,00
D. 63,75
Jawaban: B
Pembahasan:

ic
as

uk

B. 72,25

s
pu

am
Gunakan teorema Pythagoras pada segitiga BCE diperoleh BE = 15 cm, sehingga AE = 2 cm.
Perhatikan bahwa segitiga AEF sebangun dengan segitiga BCE, sehingga,

Luas EFDC dapat dihitung sbb:

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 2

/

Dibahas oleh: Saiful Ar if, M.Pd (Gur u SMPN 13 Malang)

et
.n

AF AE

BE BC
AF 2

15 8
3
AF  3
4

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

L = 17 x 8 – ½ .8.15 – ½ .2. 3 ¾
L = 72,25
Jadi luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm2

ttp

5. Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, - 1). Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B. Jarak antara
titik A dan garis l adalah ... satuan panjang.
A. 4

://

B. 5

C. 6

D. 7

ww
Jawaban: B

Pembahasan:

Garis l dengan gradien – ¾ melalui titik B(12, - 1) adalah

y – (-1) = – ¾ (x – 12)

w.

y +1 =– ¾ x +9

4y + 4 = -3x + 36
3x + 4y – 32 = 0

d

3.1  4.1  32
32  4 2



ed

Jarak titik A (1,1) terhadap garis l dicari dengan

25
5
5

Jadi jarak titik A (1,1) terhadap garis l adalah 5 satuan

uk

6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah
... cm

B.

6
3

C.

3
4

D.

2 3
3

Jawaban: D

Gunakan kesebangunan pada segitiga ABC dengan garis tinggi AF didapat
AF2 = BF x CF

Dibahas oleh: Saiful Ar if, M.Pd (Gur u SMPN 13 Malang)
ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 3

/

AF2 = 8 x 4

et
.n

s
pu

Pembahasan:

am

6
4

ic
as

A.

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

AF = 32  4 2

Karena segitiga BDE dan BCA sebangun, maka

DE
2

4 3 12

ttp

DE 

2 3
3

://

Jadi panjang DE adalah

2 3
cm.
3

7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang

ww

bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di
samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1m yang mempunyai bayangan
sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah ... m.
A.

D.

Pembahasan:

ic
as

uk

Jawaban: A

ed

C.

w.

B.

15
10  3
15
10  3
10
52
10
52

s
pu

am
Gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABC diperoleh AC = 10 m

dan,

EG EF

AC AB
EG 5

10 1
EG  5 10
Sehingga

ED  5 10  15

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 4

/

Dibahas oleh: Saiful Ar if, M.Pd (Gur u SMPN 13 Malang)

et
.n

 ABC sebangun dengan  EFG sehingga:
EF FG

AB BC
EF 15

1
3
EF  5

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

Segitiga EDO sebangun segitiga EFG, sehingga

ttp

OD ED

FG EF
r 5 10  15

15
5
r
10  3

15
1
r
10  3 10  3


15
1
10  3
r
10  9

15
10  3
r
1

15
10  3
15
r
10  3

://

ed

w.

ww

8. Banyak bilangan real x yang memenuhi x
A. 0
B. 1
D. 3
Jawaban: D

 x 2014  x 2015  x 2013 adalah ... .

Pembahasan:

x 2016  x 2014  x 2015  x 2013
( x 2015  x 2013 ) x  ( x 2015  x 2013 )  0
( x  1)( x 2015  x 2013 )  0
( x  1)( x 2  1)( x 2013 )  0
( x  1) 2 ( x  1)( x 2013 )  0
x = 1, atau x = -1, atau x = 0

am

( x  1)( x  1)( x  1)( x 2013 )  0

ic
as

uk

C. 2

2016

Jadi ada 3 bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut.

mx + 3y = 21

4x – 3y = 0

s
pu

9. Jika sistem persamaan

A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 5

/

Dibahas oleh: Saiful Ar if, M.Pd (Gur u SMPN 13 Malang)

et
.n

Memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah ... .

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

Jawaban: B
Pembahasan:
mx + 3y = 21

ttp

4x – 3y = 0 y =

4
x
3

Kedua persamaan di atas dijumlahkan diperoleh
(m + 4) x = 21

://

Dengan memperhatikan x dan y bilangan bulat, dan faktor 21 = 1, 3, 7, 21,

4
4
.1  , dan m + x + y bukan bilangan bulat
3
3
4
Untuk m = 3, maka x = 3, sehingga y = .3  4 , dan m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10
3

Untuk m = 17, maka x = 1, sehingga y =

ww

Jadi nilai m + x + y yang mungkin adalah 10

w.

10. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti
kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:
25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti

ed



kegiatan tersebut;


90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.

A. 9 : 1
B. 9 : 2
D. 9 : 4
Jawaban: B
Pembahasan:

ic
as

C. 9 : 3

uk

Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ... .

Misalkan banyaknya siswa peminat paskibra adalah N, maka

Siswa putri peminat paskibra adalah 90%N, dan ini merupakan 50% = ½ dari total siswa
putri. Ini berarti total siswa putri = 2 x 90%N=180%N



am



Siswa putra peminat paskibra adalah 10%N, dan ini merupakan 25% = ¼ dari total siswa
putra. Ini berarti total siswa putra = 4 x 10%N = 40%N

Total siswa putri : total siswa putra = 180%N : 40%N = 9 : 2

11. Suatu fungsi ditentukan dengan rumus

2 x  1, untuk x genap
f ( x)  
 2 x  1, untuk x ganjil

Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah ... .
A. 21
B. 39
C. 61
D. 77

ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 6

/

Dibahas oleh: Saiful Ar if, M.Pd (Gur u SMPN 13 Malang)

et
.n

s
pu

Jadi rasionya adalah 9 : 2

PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 2016

Jawaban: B
Pembahasan:

Andaikan untuk a bilangan asli f(a) = 39.
Kasus 1: jika a genap, maka 2a + 1 = 39 a=17 merupakan bilangan ganjil

ttp

Kasus 2: jika a ganjil, maka 2a – 1 = 39 a = 20 merupakan bilangan genap
Dari kasus 1 dan 2 tidak mungkin ada bilangan asli a yang merupakan bilangan ganjil dan
sekaligus bilangan genap.

://

Jadi nilai f(a) tidak mugkin 39

12. Banyak bilangan bulat k > - 20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran

ww

x2 + y2 = 9 adalah ... .

A. 20

B. 19

C. 11

D. 10

w.

Jawaban: D

Pembahasan:

ed

Ralat : menurut saya kalimat “bilangan bulat k > - 20” perlu diganti “ bilangan bulat negatif k > - 20”.
Coba amati untuk semua bilangan bulat k >3 parabola jelas tidak memotong lingkaran. Jadi ada tak hingga
nilai k yang memenuhi.

ic
as

uk
am

y = x2 + k  x2 = y - k

Subtitusikan x2 = y - k ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 9, diperoleh:
y – k + y2 =9
a = 1, b = 1, c = -(k+9)

Syarat kedua grafik tidak berpotongan nilai diskriminan D < 0.
D = b2 – 4 a c < 0

12 – 4 . 1 . (-(k+9)) < 0
4k < - 37
k < -9,25

Ini berarti -20 < k < -9,25, dengan k bilangan bulat
k = -19, -18, ..., -10

Dibahas oleh: Saiful Ar if, M.Pd (Gur u SMPN 13 Malang)
ht t p:/ / olimat ik.blogspot .com , email: koniciwa71@yahoo.co.id

Page 7

/

banyaknya k adalah 19 – 10 + 1 = 10

et
.n

1 + 4k + 36