Polinomial Kombinatorik
POLINOMIAL KOMBINATORIK
DISERTASI
Oleh
MARDININGSIH
098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
POLINOMIAL KOMBINATORIK
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam
Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MARDININGSIH
098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Judul Disertasi
Nama Mahasiswa
Nomor Pokok
Program Studi
:
:
:
:
POLINOMIAL KOMBINATORIK
Mardiningsih
098110007
Doktor Ilmu Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Co-Promotor
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Tanggal lulus: 24 Juli 2013
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Co-Promotor
Dekan
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 24 Juli 2013
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua
Anggota
: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
: 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
4. Dr. Sutarman, M.Sc
5. Dr. Marwan Ramli, M.Si
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul:
POLINOMIAL KOMBINATORIK
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program
sejenis di perguruan tinggi lainnya.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan
dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, Juli 2013
Penulis,
Mardiningsih
i
ABSTRAK
Polinomial kombinatorik merupakan masalah optimisasi yang berasal dari
masalah kombinatorial yang berbentuk pemrograman polinomial dan integer.
Penelitian ini menyajikan syarat agar suatu polinomial kombinatorik mempunyai
penyelesaian. Syarat eksistensi (adanya) nilai optimum dapat diperoleh dengan
memberikan batasan pada variabel keputusan dan menggunakan sifat-sifat himpunan penyelesaian (polihedra) dari model yang diberikan, dan menggunakan
definisi kekonvekan fungsi pada bilangan bulat.
Kata kunci: Polinomial kombinatorik, Polihedra, Nilai optimum
ii
ABSTRACT
The combinatoric polynomial comes from optimization problem combinatorial in form the nonlinear and integer programming. This reasearch present a
condition such that the combinatoric polynomial has solution. Existence of optimum value will be found by restriction of decision variable and properties of
feasible solution set and definition convexity at integer. Through this condition,
the optimum value could be known.
Keywords: Combinatoric polynomial, Polihedra, Optimum value.
iii
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr. Wb. Syukur Alhamdulilah, segala puji bagi Allah
atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi yang berjudul Polinomial Kombinatorik.
Dalam meyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan
dan bimbingan, baik moril maupun material dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini juga dengan segala kerendahan hati, penulis sampaikan ucapan terima
kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan dan bantuan dana kepada penulis untuk mengikuti Program Studi
Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan komisi penguji yang
telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2009, dan telah memberikan masukan dan saran hingga selesainya disertasi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi S3 Ilmu
Matematika, dan selaku komisi penguji. Atas keiklasan dan kesabaran serta
ketulusan hati dalam memberi bimbingan dan dorongan dari awal hingga
selesainya disertasi ini.
iv
4. Bapak, Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Promotor, atas ketulusan hati dan keiklasan dalam membimbing dan mendukung dan mengarahkan penulis pada pembahasan isi dan penulisan hingga selesainya disertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor dengan ketulusan hati
dan memberi motivasi, mendukung dan mengarahkan penulis untuk masalah penulisan karya ilmiah serta membimbing penulis dalam menyelesaikan
disertasi ini.
6. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Co-Promotor yang atas keiklasan dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi
disertasi ini.
7. Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku komisi penguji yang atas keiklasan
dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi disertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar Program Studi S3 Ilmu Matematika dan staf pengajar
Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.
9. Buat sahabat-sahabatku, dan seluruh teman-teman S-3 Ilmu Matematika
yang tidak disebutkan satu persatu, yang memberi semangat dan dorongan
dan doanya kepada penulis.
10. Saudari Misiani S.Si dan Staf Administrasi Program Doktor Ilmu Matemav
tika serta Staf Administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara.
Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih kepada Alm. Ayahanda
dan Almh. Ibunda tercinta, yang telah tak terhingga banyaknya mendidik tentang
arti hidup dan mendoakan agar penulis berhasil dan manjadi orang yang bermanfaat. Penulis turut menyampaikan penghargaan dan terimakasih tak terhingga
yang sangat mendalam kepada suamiku tercinta dan anak-anakku tersayang, juga buat semua kakak-kakak dan adik-adikku yang sangat menyayangiku yang telah
memberikan support luar biasa demi keberhasilan pendidikan ini.
Akhir kata penulis, semoga pendidikan yang saya peroleh ini bermanfaat
untuk kebaikan umat manusia. Sekian maaf dan terimakasih.
Medan,
Juli 2013
Penulis,
Mardiningsih
vi
RIWAYAT HIDUP
Mardiningsih dilahirkan di Medan pada tanggal 5 april 1963, dari Ayah yang
bernama Wiryamiharja (Alm) dan Ibu bernama Markonah (almh) sebagai anak
bungsu dari delapan bersaudara. Pada tahun 1975 lulus SD Swasta Budisatrya
Medan. Pada tahun 1978 lulus SMP Swasta PAB Sampali. Pada tahun 1981
Lulus SMA swasta Josua Medan. Pada tahun 1986 Lulus Sarjana Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada tahun 1999 memperoleh gelar Master Science pada Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Selanjutnya pada tahun
2009 penulis mengikuti pendidikan S3 program studi Ilmu Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada tahun 1988, penulis diterima sebagai staf pengajar di FMIPA USU,
dan sampai saat ini penulis memperoleh pangkat Lektor Kepala golongan IV/c di
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penulis menikah tanggal 1 Maret 1986, dan sampai saat ini telah dikaruniai
Allah SWT dengan tiga orang putra.
vii
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI
a. R = Himpunan semua bilangan real
b. Z = Himpunan bilangan bulat
c. Z[x1, x2 , x3, . . . , xn ] = Z[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1 , . . . , xn dan koefisien bilangan bulat
d. K[x1, x2, x3 , . . . , xn ] = K[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1 , . . . , xn dan koefisien field K
e. Misalkan suatu field K dan bilangan bulat positif n, didefinisikan suatu
ruang Eucledian atas K berdimensi n adalah himpunan
K n = {(a1, . . . , an )|a1, . . . , an ∈ K}
Zn = {(a1 , . . . , an )|a1, . . . , an ∈ Z}
Rn = {(a1, . . . , an )|a1, . . . , an ∈ R}
f. Z+ = himpunan bilangan real positif = {x ∈ R|x ≥ 0}
g. Z+ = himpunan bilangan bulat positif = {x ∈ Z|x ≥ 0}
h. Conv (K) = Konveks hull dari K memuat titik-titik interior bilangan bulat
yang bukan elemen K
i. Kn = Graph komplit dengan n verteks
j. Himpunan tutup [a, b] = {x ∈ R|a ≥ x ≥ b}
k. ∅ = Himpunan kosong
l. ⊆ adalah himpunan bagian (subset)
viii
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vii
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI
viii
DAFTAR ISI
ix
DAFTAR TABEL
xi
DAFTAR GAMBAR
xii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Tujuan penelitian
11
1.3 Manfaat Penelitian
11
1.4 Metodologi Penelitian
12
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL
14
2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial
14
2.2 Beberapa Masalah Optimisasi Kombinatorial
16
2.2.1 Himpunan stabil dan bilangan stabil
16
2.3 Hubungan Masalah Kombinatorial dengan Optimisasi Kombinatorial
18
2.4 Jaminan Nullstellensatz dan Optimisasi Kombinatorial
19
ix
2.5 Definisi dan Notasi
20
BAB 3 KRITERIA KEOPTIMALAN DARI MASALAH OPTIMISASI POLINOMIAL
22
3.1 Eksistensi Optimisasi Polinomial
22
3.2 Pengali Lagrange
25
3.3 Syarat Keoptimalan KARUSH-KUHN-TUCKER
25
3.4 Kekonvekan
27
3.5 Pendekatan Optimisasi Berkendala
28
3.5.1 Metode dasar
30
3.5.2 Variabel superbasic
32
3.5.3 Metode derivatif
34
3.5.4 Arah pencarian
37
3.5.5 Implementasi
39
3.5.6 Ringkasan prosedur
39
BAB 4 POLINOMIAL KOMBINATORIK
44
4.1 Definisi dan Notasi
44
4.2 Kekonvekan pada Bilangan Bulat
47
BAB 5 EKSISTENSI NILAI OPTIMUM POLINOMIAL KOMBINATORIK 52
5.1 Masalah Polinomial Kombinatorik
53
5.2 Himpunan Layak (Polihedra)
54
5.3 Eksistensi (keberadaan) Nilai Optimum
59
BAB 6 KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN
61
6.1 Kesimpulan
61
6.2 Penelitian Lanjutan
62
DAFTAR PUSTAKA
63
x
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
1.1 Kompleksitas komputasi dengan dimensi fix
xi
10
DAFTAR GAMBAR
Nomor
3.1
Judul
Masalah partisi pada konstrain dan konsep variabel super basic
xii
Halaman
33
DISERTASI
Oleh
MARDININGSIH
098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
POLINOMIAL KOMBINATORIK
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam
Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MARDININGSIH
098110007/Ilmu Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Judul Disertasi
Nama Mahasiswa
Nomor Pokok
Program Studi
:
:
:
:
POLINOMIAL KOMBINATORIK
Mardiningsih
098110007
Doktor Ilmu Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Promotor
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Co-Promotor
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Tanggal lulus: 24 Juli 2013
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Co-Promotor
Dekan
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 24 Juli 2013
PANITIA PENGUJI DISERTASI
Ketua
Anggota
: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
: 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
4. Dr. Sutarman, M.Sc
5. Dr. Marwan Ramli, M.Si
PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul:
POLINOMIAL KOMBINATORIK
Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program
sejenis di perguruan tinggi lainnya.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan
dapat diperiksa kebenarannya.
Medan, Juli 2013
Penulis,
Mardiningsih
i
ABSTRAK
Polinomial kombinatorik merupakan masalah optimisasi yang berasal dari
masalah kombinatorial yang berbentuk pemrograman polinomial dan integer.
Penelitian ini menyajikan syarat agar suatu polinomial kombinatorik mempunyai
penyelesaian. Syarat eksistensi (adanya) nilai optimum dapat diperoleh dengan
memberikan batasan pada variabel keputusan dan menggunakan sifat-sifat himpunan penyelesaian (polihedra) dari model yang diberikan, dan menggunakan
definisi kekonvekan fungsi pada bilangan bulat.
Kata kunci: Polinomial kombinatorik, Polihedra, Nilai optimum
ii
ABSTRACT
The combinatoric polynomial comes from optimization problem combinatorial in form the nonlinear and integer programming. This reasearch present a
condition such that the combinatoric polynomial has solution. Existence of optimum value will be found by restriction of decision variable and properties of
feasible solution set and definition convexity at integer. Through this condition,
the optimum value could be known.
Keywords: Combinatoric polynomial, Polihedra, Optimum value.
iii
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr. Wb. Syukur Alhamdulilah, segala puji bagi Allah
atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi yang berjudul Polinomial Kombinatorik.
Dalam meyelesaikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan
dan bimbingan, baik moril maupun material dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini juga dengan segala kerendahan hati, penulis sampaikan ucapan terima
kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan dan bantuan dana kepada penulis untuk mengikuti Program Studi
Doktor Ilmu Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan komisi penguji yang
telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menjadi peserta Program Doktor Ilmu Matematika angkatan 2009, dan telah memberikan masukan dan saran hingga selesainya disertasi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi S3 Ilmu
Matematika, dan selaku komisi penguji. Atas keiklasan dan kesabaran serta
ketulusan hati dalam memberi bimbingan dan dorongan dari awal hingga
selesainya disertasi ini.
iv
4. Bapak, Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Promotor, atas ketulusan hati dan keiklasan dalam membimbing dan mendukung dan mengarahkan penulis pada pembahasan isi dan penulisan hingga selesainya disertasi ini.
5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Co-Promotor dengan ketulusan hati
dan memberi motivasi, mendukung dan mengarahkan penulis untuk masalah penulisan karya ilmiah serta membimbing penulis dalam menyelesaikan
disertasi ini.
6. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Co-Promotor yang atas keiklasan dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi
disertasi ini.
7. Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku komisi penguji yang atas keiklasan
dan ketulusan hati dalam memberi masukan dan arahan, mengenai isi disertasi ini.
8. Seluruh Staf Pengajar Program Studi S3 Ilmu Matematika dan staf pengajar
Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.
9. Buat sahabat-sahabatku, dan seluruh teman-teman S-3 Ilmu Matematika
yang tidak disebutkan satu persatu, yang memberi semangat dan dorongan
dan doanya kepada penulis.
10. Saudari Misiani S.Si dan Staf Administrasi Program Doktor Ilmu Matemav
tika serta Staf Administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara.
Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih kepada Alm. Ayahanda
dan Almh. Ibunda tercinta, yang telah tak terhingga banyaknya mendidik tentang
arti hidup dan mendoakan agar penulis berhasil dan manjadi orang yang bermanfaat. Penulis turut menyampaikan penghargaan dan terimakasih tak terhingga
yang sangat mendalam kepada suamiku tercinta dan anak-anakku tersayang, juga buat semua kakak-kakak dan adik-adikku yang sangat menyayangiku yang telah
memberikan support luar biasa demi keberhasilan pendidikan ini.
Akhir kata penulis, semoga pendidikan yang saya peroleh ini bermanfaat
untuk kebaikan umat manusia. Sekian maaf dan terimakasih.
Medan,
Juli 2013
Penulis,
Mardiningsih
vi
RIWAYAT HIDUP
Mardiningsih dilahirkan di Medan pada tanggal 5 april 1963, dari Ayah yang
bernama Wiryamiharja (Alm) dan Ibu bernama Markonah (almh) sebagai anak
bungsu dari delapan bersaudara. Pada tahun 1975 lulus SD Swasta Budisatrya
Medan. Pada tahun 1978 lulus SMP Swasta PAB Sampali. Pada tahun 1981
Lulus SMA swasta Josua Medan. Pada tahun 1986 Lulus Sarjana Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada tahun 1999 memperoleh gelar Master Science pada Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Selanjutnya pada tahun
2009 penulis mengikuti pendidikan S3 program studi Ilmu Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada tahun 1988, penulis diterima sebagai staf pengajar di FMIPA USU,
dan sampai saat ini penulis memperoleh pangkat Lektor Kepala golongan IV/c di
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Penulis menikah tanggal 1 Maret 1986, dan sampai saat ini telah dikaruniai
Allah SWT dengan tiga orang putra.
vii
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI
a. R = Himpunan semua bilangan real
b. Z = Himpunan bilangan bulat
c. Z[x1, x2 , x3, . . . , xn ] = Z[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1 , . . . , xn dan koefisien bilangan bulat
d. K[x1, x2, x3 , . . . , xn ] = K[x] adalah himpunan semua polinomial dengan n
variabel x1 , . . . , xn dan koefisien field K
e. Misalkan suatu field K dan bilangan bulat positif n, didefinisikan suatu
ruang Eucledian atas K berdimensi n adalah himpunan
K n = {(a1, . . . , an )|a1, . . . , an ∈ K}
Zn = {(a1 , . . . , an )|a1, . . . , an ∈ Z}
Rn = {(a1, . . . , an )|a1, . . . , an ∈ R}
f. Z+ = himpunan bilangan real positif = {x ∈ R|x ≥ 0}
g. Z+ = himpunan bilangan bulat positif = {x ∈ Z|x ≥ 0}
h. Conv (K) = Konveks hull dari K memuat titik-titik interior bilangan bulat
yang bukan elemen K
i. Kn = Graph komplit dengan n verteks
j. Himpunan tutup [a, b] = {x ∈ R|a ≥ x ≥ b}
k. ∅ = Himpunan kosong
l. ⊆ adalah himpunan bagian (subset)
viii
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vii
DAFTAR SINGKATAN DAN NOTASI
viii
DAFTAR ISI
ix
DAFTAR TABEL
xi
DAFTAR GAMBAR
xii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Tujuan penelitian
11
1.3 Manfaat Penelitian
11
1.4 Metodologi Penelitian
12
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL
14
2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial
14
2.2 Beberapa Masalah Optimisasi Kombinatorial
16
2.2.1 Himpunan stabil dan bilangan stabil
16
2.3 Hubungan Masalah Kombinatorial dengan Optimisasi Kombinatorial
18
2.4 Jaminan Nullstellensatz dan Optimisasi Kombinatorial
19
ix
2.5 Definisi dan Notasi
20
BAB 3 KRITERIA KEOPTIMALAN DARI MASALAH OPTIMISASI POLINOMIAL
22
3.1 Eksistensi Optimisasi Polinomial
22
3.2 Pengali Lagrange
25
3.3 Syarat Keoptimalan KARUSH-KUHN-TUCKER
25
3.4 Kekonvekan
27
3.5 Pendekatan Optimisasi Berkendala
28
3.5.1 Metode dasar
30
3.5.2 Variabel superbasic
32
3.5.3 Metode derivatif
34
3.5.4 Arah pencarian
37
3.5.5 Implementasi
39
3.5.6 Ringkasan prosedur
39
BAB 4 POLINOMIAL KOMBINATORIK
44
4.1 Definisi dan Notasi
44
4.2 Kekonvekan pada Bilangan Bulat
47
BAB 5 EKSISTENSI NILAI OPTIMUM POLINOMIAL KOMBINATORIK 52
5.1 Masalah Polinomial Kombinatorik
53
5.2 Himpunan Layak (Polihedra)
54
5.3 Eksistensi (keberadaan) Nilai Optimum
59
BAB 6 KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN
61
6.1 Kesimpulan
61
6.2 Penelitian Lanjutan
62
DAFTAR PUSTAKA
63
x
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
1.1 Kompleksitas komputasi dengan dimensi fix
xi
10
DAFTAR GAMBAR
Nomor
3.1
Judul
Masalah partisi pada konstrain dan konsep variabel super basic
xii
Halaman
33