MODIFIKASI DALAM PENAKSIR RASIO MENGGUNAKAN RANK SET SAMPLING | Utami | JURNAL ILMIAH MATEMATIKA DAN TERAPAN 30 110 1 PB
MODIFIKASI DALAM PENAKSIR RASIO MENGGUNAKAN RANK SET SAMPLING
Iut Tri Utami1
1Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Untad,
e-mail: Triutami_iut@yahoo.com
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk memodifikasi penaksir rasio dengan menggunakan Rank Set Sampling
Rˆmrss . Varians dari penaksir ini akan diperoleh dan dibandingkan dengan varians rasio Rank Set
Sampling klasik Rˆ rss . Dengan kondisi perbandingan ini menghasilkan penaksir yang dimodifikasi lebih
efisien daripada penaksir klasik.
Kata Kunci : Rank Set Sampling, Simple Random Sampling, Penaksir Rasio
I.
Pendahuluan
Metode menaksir rasio digunakan untuk memperoleh penaksir baru dengan presisi yang
tinggi untuk menaksir rata-rata atau total populasi. (Scheaffer, dkk, 1990). McIntyre (1952)
memperkenalkan metode Ranked Set Sampling (RSS) untuk menaksir hasil di padang rumput.
McIntyre mengemukakan bahwa rata-rata dari m unit sampel berdasarkan RSS adalah sebuah
penaksir dari rata-rata populasi. Penaksir ini adalah penaksir takbias dengan varians paling kecil
dibandingkan dengan rata-rata sampel berdasarkan Simple Random Sampling (SRS) dengan
ukuran yang sama.
II.
Menaksir Rasio Menggunakan SRS
Andaikan bahwa
X1 , Y1 , X2 , Y2 ,..., X n , Yn
adalah sampel acak bivariat dengan fungsi
kepadatan peluang bivariat f ( x, y) dengan parameter
sebagai R
y
dimana penaksirnya adalah Rˆ
x
R2
Va r ( Rˆ )
nX 2
C x2
C y2
y
x
x
,
y
,
x
,
y
. Rasio populasi didefinisikan
dengan varians :
2 C xC y
dimana C x adalah koefisien variasi populasi dari variabel x ; C y adalah koefisien variasi populasi
dari variabel y dan
adalah koefisien korelasi antara x dan y .
Kadilar dan Cingi (2004) menyatakan bahwa modifikasi dalam tipe penaksir rasio adalah
Rˆ mrss
y
b( X
Dengan MSE adalah
1 f
MSE
x)
x
nX 2
( R 2 S x2
(1
2
)S y2 )
Modifikasi Dalam Penaksir Rasio Menggunakan Rank Set Sampling
III.
Menaksir Rasio Menggunakan RSS
Andaikan bahwa X11, Y11 , X12 , Y12 ,..., X1n , Y1n , X21, Y21 ,..., X2n , Y2n ,..., X nn , Ynn
adalah vektor
acak bivariat yang independen dengan fungsi distribusi kumulatif yang sama. X i[1] , Yi[1] ,..., X i[ n ] , Yi[ n ]
adalah
order
statistik
dari
dan
X i[1] , X i[ 2] ,..., X i[ n ]
Yi[1] , Yi[ 2 ] ,...,Yi[ n ] .
merupakan sampel rank set dimana
X1[1] , Y1[1] , X 2[ 2] , Y2[ 2] ,..., X n[ n ] , Yn[ n ]
Andaikan
X i[ i ] , Yi[ i ]
bahwa
adalah order
statistik ke- i dalam sampel ke- i untuk variabel X dan Y maka penaksir rasio RSS yang
dikemukakan oleh Samawi dan Muttlak (1996) adalah
y( i )
Rˆ rss
x( i )
Dimana y( i ) adalah rata-rata sampel dari variabel y dan
x( i ) adalah rata-rata sampel dari variabell
x.
Variansnya adalah
R2 2
C x[ n ]
n
Var ( Rˆ RSS )
C y2[ n ]
2 C x[ n ]C y[ n ]
(3.1)
dimana
S x[ n ]
C x[ i ]
S y[ n ]
, C y[ n ]
X
Y
III.1 Modifikasi penaksir rasio
Kita anggap bahwa penaksir yang dimodifikasi adalah
b( X
yi ( n )
Rˆ mrss
xi ( n ) )
xi ( n )
dimana
b
s xi [ n ] yi [ n ]
s x2i [ n ]
2
dimana s xi [ n ] adalah varians sampel dari x dan s xi [ n ] yi [ n ] adalah kovarians antara variabel x dan y .
MSE dari penaksir ini dapat dihasilkan dengan menggunakan deret Taylor yang
didefinisikan sebagai
h xin , yin
Dimana h xi[ n ] , yi[ n ]
h( X , Y )
h(c, d )
c
Rˆ mrss
dan h ( X , Y )
xin , yin
( xin
X)
h(c, d )
c
xin , yin
( yin
Y)
R seperti ditunjukkan dalam Wolter (3.2) yang dapat
diterapkan pada penaksir yang dimodifikasi untuk memperoleh MSE dari penaksir ini.
( yi[ n ]
Rˆ mrss
R
Rˆ mrss
R
b( X
xi[ n ] ))
( yi [ n ]
xi[ n ]
X ,Y
xi[ n ]
yi[ n ]
bxi[ n ]
xi2[ n ]
xi2[ n ]
X ,Y
( xi[ n ]
( xi[ n ]
X)
b( X
xi[ n ]
X)
1
xi[ n ]
X ,Y
xi[ n ] ))
yi[ n ]
X ,Y
( yi [ n ] Y )
(3.2)
( yi[ n ] Y )
16
JIMT, Vol. 7, No.12, Mei 2010 : 15 – 18
E Rˆ mrss
BX ) 2
(1 f ) (Y
2
R
nX
2
X2
(1 f ) Y 2
nX
B2 X 2
2 BXY
2
X
(1 f )
nX 2
(1 f )
nX 2
2(Y
Va r ( xi[ n ] )
Va r ( xi[ n ] )
R 2 S xi2 [ n ]
2 BR S xi[ n ] S yi[ n ]
R 2 S x2[ i ]
S y2[ i ] (1
R2
n
C x2[ i ]
C y2[ i ] (1
2
2
BX )
X
2
Cov ( xi [ n ] , yi [ n ] )
2(Y
BX )
X
S yi2 [ n ]
var( yi[ n ] )
Cov( xi [ n ] , yi [ n ] )
2 R S xi[ n ] S yi[ n ]
2
2
var( yi[ n ] )
S yi2 [ n ]
S yi2 [ n ]
)
(3.3)
)
Dimana
S yi[ n ]
B
S xi2 [ n ]
adalah koefisien korelasi populasi antara X i[ n ] dan Yi[ n ]
S
2
x[ i ]
adalah varians populasi dari x dan
S y2[ i ] adalah varians populasi dari y
S x2[i ]
C x[ i ]
S x2
n
1
n
n
S x[i ]
S[2i ] ; S[2i ]
2
, C y[i ]
X
E X i[ n ]
E ( X i[ n ] )
2
i 1
S y[i ]
Y
Asumsikan bahwa penaksir bias pada persamaan (2.2) dapat diabaikan untuk ukuran sampel yang
besar sehingga :
E ( Rˆ mrss
R) 2
Var ( Rˆ mrss )
Jika B
0 pada penaksir yang dimodifikasi maka penaksir yang dimodifikasi akan sama
dengan penaksir rasio dengan menggunakan RSS klasik.
III.2 Perbandingan Efisiensi
Pada bagian ini, kita bandingkan Var ( Rˆ mrss ) dengan Var ( Rˆ rss ) menggunakan persamaan (3.2)
dan (3.1) yaitu :
Var (Rˆ mrss ) Var (Rˆ rss )
R2
n
C x2[i ]
(1
2
)C y2[i ]
2
C y2[ i ]
R2
n
C x2[i ]
C y2[ i ]
2 C x[i ] C y[i ]
2 C x[ i ] C y[ i ]
Sehingga modifikasi dari penaksir rasio dengan menggunakan RSS adalah
2C x[i ]
0
jika
C y[ i ]
2C xi
C yi
17
jika
0
(3.4)
Modifikasi Dalam Penaksir Rasio Menggunakan Rank Set Sampling
Ketika kondisi (3.4) cukup maka penaksir rasio yang dimodifikasi akan lebih efisien
daripada penaksir rasio dengan menggunakan rank set sampling klasik.
IV.
Kesimpulan
Dengan kondisi perbandingan efisiensi dari penaksir rasio yang dimodifikasi dan penaksir
rasio menggunakan rank set sampling akan menghasilkan penaksir rasio yang dimodifikasi lebih
efisien daripada penaksir rank set sampling klasik.
V.
Referensi
1.
Kadilar, C. dan Cingi, H. 2004. Ratio Estimator in Simple Random Sampling. Applied
Mathematics and Computation, 151, 893-902.
2.
McIntyre, G. A. 1952. A Method of Unbiased Selective Sampling Using Ranked Set. Australian,
J. Agricultural Research, 3, 385-390.
3.
Samawi, H. M. And Muttlak, H. A. 1996. Estimation of Ratio Using Rank Set Sampling, Biom.
Journal, 38, 753-764.
4.
Scheaffer, R. L., Mendenhall, W., and Ott, L. 1990. Elementary Survey Sampling. Duxbury
Press. California.
5.
Wolter, K. M. 1985. Introduction to Variance Estimation, Springer-verlag.
18
Iut Tri Utami1
1Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Untad,
e-mail: Triutami_iut@yahoo.com
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk memodifikasi penaksir rasio dengan menggunakan Rank Set Sampling
Rˆmrss . Varians dari penaksir ini akan diperoleh dan dibandingkan dengan varians rasio Rank Set
Sampling klasik Rˆ rss . Dengan kondisi perbandingan ini menghasilkan penaksir yang dimodifikasi lebih
efisien daripada penaksir klasik.
Kata Kunci : Rank Set Sampling, Simple Random Sampling, Penaksir Rasio
I.
Pendahuluan
Metode menaksir rasio digunakan untuk memperoleh penaksir baru dengan presisi yang
tinggi untuk menaksir rata-rata atau total populasi. (Scheaffer, dkk, 1990). McIntyre (1952)
memperkenalkan metode Ranked Set Sampling (RSS) untuk menaksir hasil di padang rumput.
McIntyre mengemukakan bahwa rata-rata dari m unit sampel berdasarkan RSS adalah sebuah
penaksir dari rata-rata populasi. Penaksir ini adalah penaksir takbias dengan varians paling kecil
dibandingkan dengan rata-rata sampel berdasarkan Simple Random Sampling (SRS) dengan
ukuran yang sama.
II.
Menaksir Rasio Menggunakan SRS
Andaikan bahwa
X1 , Y1 , X2 , Y2 ,..., X n , Yn
adalah sampel acak bivariat dengan fungsi
kepadatan peluang bivariat f ( x, y) dengan parameter
sebagai R
y
dimana penaksirnya adalah Rˆ
x
R2
Va r ( Rˆ )
nX 2
C x2
C y2
y
x
x
,
y
,
x
,
y
. Rasio populasi didefinisikan
dengan varians :
2 C xC y
dimana C x adalah koefisien variasi populasi dari variabel x ; C y adalah koefisien variasi populasi
dari variabel y dan
adalah koefisien korelasi antara x dan y .
Kadilar dan Cingi (2004) menyatakan bahwa modifikasi dalam tipe penaksir rasio adalah
Rˆ mrss
y
b( X
Dengan MSE adalah
1 f
MSE
x)
x
nX 2
( R 2 S x2
(1
2
)S y2 )
Modifikasi Dalam Penaksir Rasio Menggunakan Rank Set Sampling
III.
Menaksir Rasio Menggunakan RSS
Andaikan bahwa X11, Y11 , X12 , Y12 ,..., X1n , Y1n , X21, Y21 ,..., X2n , Y2n ,..., X nn , Ynn
adalah vektor
acak bivariat yang independen dengan fungsi distribusi kumulatif yang sama. X i[1] , Yi[1] ,..., X i[ n ] , Yi[ n ]
adalah
order
statistik
dari
dan
X i[1] , X i[ 2] ,..., X i[ n ]
Yi[1] , Yi[ 2 ] ,...,Yi[ n ] .
merupakan sampel rank set dimana
X1[1] , Y1[1] , X 2[ 2] , Y2[ 2] ,..., X n[ n ] , Yn[ n ]
Andaikan
X i[ i ] , Yi[ i ]
bahwa
adalah order
statistik ke- i dalam sampel ke- i untuk variabel X dan Y maka penaksir rasio RSS yang
dikemukakan oleh Samawi dan Muttlak (1996) adalah
y( i )
Rˆ rss
x( i )
Dimana y( i ) adalah rata-rata sampel dari variabel y dan
x( i ) adalah rata-rata sampel dari variabell
x.
Variansnya adalah
R2 2
C x[ n ]
n
Var ( Rˆ RSS )
C y2[ n ]
2 C x[ n ]C y[ n ]
(3.1)
dimana
S x[ n ]
C x[ i ]
S y[ n ]
, C y[ n ]
X
Y
III.1 Modifikasi penaksir rasio
Kita anggap bahwa penaksir yang dimodifikasi adalah
b( X
yi ( n )
Rˆ mrss
xi ( n ) )
xi ( n )
dimana
b
s xi [ n ] yi [ n ]
s x2i [ n ]
2
dimana s xi [ n ] adalah varians sampel dari x dan s xi [ n ] yi [ n ] adalah kovarians antara variabel x dan y .
MSE dari penaksir ini dapat dihasilkan dengan menggunakan deret Taylor yang
didefinisikan sebagai
h xin , yin
Dimana h xi[ n ] , yi[ n ]
h( X , Y )
h(c, d )
c
Rˆ mrss
dan h ( X , Y )
xin , yin
( xin
X)
h(c, d )
c
xin , yin
( yin
Y)
R seperti ditunjukkan dalam Wolter (3.2) yang dapat
diterapkan pada penaksir yang dimodifikasi untuk memperoleh MSE dari penaksir ini.
( yi[ n ]
Rˆ mrss
R
Rˆ mrss
R
b( X
xi[ n ] ))
( yi [ n ]
xi[ n ]
X ,Y
xi[ n ]
yi[ n ]
bxi[ n ]
xi2[ n ]
xi2[ n ]
X ,Y
( xi[ n ]
( xi[ n ]
X)
b( X
xi[ n ]
X)
1
xi[ n ]
X ,Y
xi[ n ] ))
yi[ n ]
X ,Y
( yi [ n ] Y )
(3.2)
( yi[ n ] Y )
16
JIMT, Vol. 7, No.12, Mei 2010 : 15 – 18
E Rˆ mrss
BX ) 2
(1 f ) (Y
2
R
nX
2
X2
(1 f ) Y 2
nX
B2 X 2
2 BXY
2
X
(1 f )
nX 2
(1 f )
nX 2
2(Y
Va r ( xi[ n ] )
Va r ( xi[ n ] )
R 2 S xi2 [ n ]
2 BR S xi[ n ] S yi[ n ]
R 2 S x2[ i ]
S y2[ i ] (1
R2
n
C x2[ i ]
C y2[ i ] (1
2
2
BX )
X
2
Cov ( xi [ n ] , yi [ n ] )
2(Y
BX )
X
S yi2 [ n ]
var( yi[ n ] )
Cov( xi [ n ] , yi [ n ] )
2 R S xi[ n ] S yi[ n ]
2
2
var( yi[ n ] )
S yi2 [ n ]
S yi2 [ n ]
)
(3.3)
)
Dimana
S yi[ n ]
B
S xi2 [ n ]
adalah koefisien korelasi populasi antara X i[ n ] dan Yi[ n ]
S
2
x[ i ]
adalah varians populasi dari x dan
S y2[ i ] adalah varians populasi dari y
S x2[i ]
C x[ i ]
S x2
n
1
n
n
S x[i ]
S[2i ] ; S[2i ]
2
, C y[i ]
X
E X i[ n ]
E ( X i[ n ] )
2
i 1
S y[i ]
Y
Asumsikan bahwa penaksir bias pada persamaan (2.2) dapat diabaikan untuk ukuran sampel yang
besar sehingga :
E ( Rˆ mrss
R) 2
Var ( Rˆ mrss )
Jika B
0 pada penaksir yang dimodifikasi maka penaksir yang dimodifikasi akan sama
dengan penaksir rasio dengan menggunakan RSS klasik.
III.2 Perbandingan Efisiensi
Pada bagian ini, kita bandingkan Var ( Rˆ mrss ) dengan Var ( Rˆ rss ) menggunakan persamaan (3.2)
dan (3.1) yaitu :
Var (Rˆ mrss ) Var (Rˆ rss )
R2
n
C x2[i ]
(1
2
)C y2[i ]
2
C y2[ i ]
R2
n
C x2[i ]
C y2[ i ]
2 C x[i ] C y[i ]
2 C x[ i ] C y[ i ]
Sehingga modifikasi dari penaksir rasio dengan menggunakan RSS adalah
2C x[i ]
0
jika
C y[ i ]
2C xi
C yi
17
jika
0
(3.4)
Modifikasi Dalam Penaksir Rasio Menggunakan Rank Set Sampling
Ketika kondisi (3.4) cukup maka penaksir rasio yang dimodifikasi akan lebih efisien
daripada penaksir rasio dengan menggunakan rank set sampling klasik.
IV.
Kesimpulan
Dengan kondisi perbandingan efisiensi dari penaksir rasio yang dimodifikasi dan penaksir
rasio menggunakan rank set sampling akan menghasilkan penaksir rasio yang dimodifikasi lebih
efisien daripada penaksir rank set sampling klasik.
V.
Referensi
1.
Kadilar, C. dan Cingi, H. 2004. Ratio Estimator in Simple Random Sampling. Applied
Mathematics and Computation, 151, 893-902.
2.
McIntyre, G. A. 1952. A Method of Unbiased Selective Sampling Using Ranked Set. Australian,
J. Agricultural Research, 3, 385-390.
3.
Samawi, H. M. And Muttlak, H. A. 1996. Estimation of Ratio Using Rank Set Sampling, Biom.
Journal, 38, 753-764.
4.
Scheaffer, R. L., Mendenhall, W., and Ott, L. 1990. Elementary Survey Sampling. Duxbury
Press. California.
5.
Wolter, K. M. 1985. Introduction to Variance Estimation, Springer-verlag.
18