https://drive.google.com/file/d/0B9HTG AMkP1YM1VFZm0yU1h6UG8/view?usp=sharing
2015 International Conference on Automation, Cognitive Science, Optics, Micro Electro-Mechanical System, and
Information Technology (ICACOMIT), Bandung, Indonesia, October 29–30, 2015
*XDUDQWHHG&RVW)LOWHU'HVLJQIRU'LVFUHWH7LPH
1HXWUDO6\VWHPV
(UZLQ6XVDQWR,J3UDVHW\D'ZL:LEDZD-XQDUWKR
+DORPRDQDQG$JXQJ6XU\D:LERZR
0LWVXDNL,VKLWREL
'HSDUWPHQWRI0HFKDQLFDO6\VWHPV(QJLQHHULQJ
.XPDPRWR8QLYHUVLW\
.XPDPRWR-DSDQ
6FKRRORI(OHFWULFDO(QJLQHHULQJ
7HONRP8QLYHUVLW\
%DQGXQJ,QGRQHVLD
Abstract²7KLV SDSHU SUHVHQWV WKH JXDUDQWHHG FRVW ILOWHU RI
EHFDXVHVRPHLQYHUVHUHODWLRQVDSSHDU7KHUHIRUHZHXVH/0,
XQFHUWDLQ OLQHDU QHXWUDO V\VWHPV %\ GLVFUHWL]LQJ WKH V\VWHP WKH
EDVHGLWHUDWLYHDOJRULWKP>@
ZRUN LV DQ H[WHQVLRQ RI WKH SUHYLRXV VWXG\ RQ FRQWLQXRXV FDVH
:HSURSRVHWKHUREXVWILOWHUGHVLJQYLDOLQHDUPDWUL[LQHTXDOLWLHV
/0,V %HFDXVH WKH LQHTXDOLWLHV REWDLQHG FRQWDLQ LQYHUVH
UHODWLRQVDQ/0,EDVHGLWHUDWLYHDOJRULWKPLVXVHG$QXPHULFDO
H[DPSOH LV JLYHQ WR LOOXVWUDWH WKH DGYDQWDJH RI WKH SURSRVHG
PHWKRG
Keywords—guaranteed
systems
cost
filter,
discrete-time;
neutral
, ,1752'8&7,21
%HFDXVH WKH XQFHUWDLQWLHV SOD\ PDLQ UROH LQ VWDELOLW\ DQG
SHUIRUPDQFHRIFRQWUROV\VWHPDQGVLJQDOSURFHVVLQJDGHVLUHG
FRQWUROOHURUILOWHUGHVLJQLVQRWRQO\WRDFKLHYHWKHVWDELOLW\RI
WKH XQFHUWDLQ V\VWHP EXW DOVR JXDUDQWHH DQ DGHTXDWH OHYHO RI
SHUIRUPDQFH 2Q WKH UREXVW ILOWHU GHVLJQ WKH PRVW SUREOHP
IDFHG LV WKDW WKH RXWSXW LV SHUWXUEHG E\ WKH XQFHUWDLQW\ >@
*XDUDQWHHG FRVW ILOWHU LV RQH RI WKH FRQVLGHUDEOH PHWKRGV WR
VROYHWKLVNLQGRISUREOHP>@>@
)RUVHYHUDOODVWGHFDGHV/0,DSSURDFKHVKDYHFRQWULEXWHG
WR VROYH PDQ\ FRPSOH[ SUREOHPV RI FRQWURO V\VWHP EDVHG RQ
FRQYH[RSWLPL]DWLRQZLWKREWDLQLQJWKHIHDVLEOHVROXWLRQ>@
%DVHG RQ WKH GHOD\ VL]H WLPH GHOD\ V\VWHPV VWDELOL]DWLRQ
FULWHULDFDQEHFDWHJRUL]HGLQWRWZRW\SHVQDPHO\QHXWUDODQG
UHWDUGHGV\VWHPV7KHV\VWHPZLWKG\QDPLFVGHSHQGVRQVWDWH
GHOD\DQGWKHGHULYDWLYHLVQHXWUDORQH>@7KLVW\SHLVHDVLO\
IRXQG LQ YDULRXV DSSOLFDWLRQV VXFK DV FKHPLFDO DQG SURFHVV
LQGXVWULHVURERWLFVDQGRWKHUWHFKQRORJLHV>@
6RPH UHVHDUFKHV RQ ILOWHU GHVLJQ FRQVLGHULQJ VWDELOLW\
DQDO\VHVIRUH[DPSOHVDUH>@>@$OOUHSRUWVPHQWLRQHG
EHIRUH DUH LQ FRQWLQXRXV IRUP %HFDXVH LQ UHDO
LPSOHPHQWDWLRQ WKH GLJLWDO IRUP LV PRUH DSSOLFDEOH ZH DUH
PRWLYDWHG WR DQDO\]H WKH GLVFUHWHWLPH ILOWHU GHVLJQ %\
GLVFUHWL]LQJRXUSUHYLRXVZRUNRQFRQWLQXRXVQHXWUDOV\VWHPV
FDVHZHSURSRVHWKHJXDUDQWHHGFRVWILOWHUGHVLJQLQGLVFUHWH
WLPH FDVH 2QH RI WKH UHVHDUFKHV LQ GLVFUHWHWLPH JXDUDQWHHG
FRVW ILOWHU GHVLJQ LV >@ ZKLFK ZDV VROYLQJ WKH SUREOHP RI
WLPH GHOD\ V\VWHPV ZLWK FRQYH[ ERXQGHG XQFHUWDLQWLHV
+RZHYHUZHH[WHQGWRWKHFDVHZLWKSDUDPHWULFXQFHUWDLQWLHV
,Q WKLV SDSHU WKH LQHTXDOLWLHV UHVXOWHG DUH QRW UHDOO\ DQ /0,
978-1-4673-7408-8/15/$31.00©2015 IEEE
,, 352%/(067$7(0(176
$GLVFUHWL]HGQHXWUDOV\VWHPRI>@FDQEHZULWWHQLQWKHIRUP
x k + = A + Δ A k x k + Ad + Δ Ad k x k − h
+ An + ΔAn k x k + − τ
y k = Cx k
x k = ψ k k ∈ [− PD[^ h τ ` ]
ZKHUH h LVDWLPHGHOD\ τ LVDQHXWUDOGHOD\ x k ∈ ℜ n
LVWKHVWDWHYHFWRU y k ∈ ℜ LVWKHPHDVXUHGRXWSXWYHFWRU
n
A Ad An ∈ ℜ n DUH WKH UHDO FRQVWDQW PDWULFHV ZLWK
DSSURSULDWHGLPHQVLRQVZKLFKUHSUHVHQWWKHQRPLQDORIQHXWUDO
WLPHGHOD\ V\VWHP x k = ψ k LV D JLYHQ YHFWRUYDOXHG
LQLWLDOIXQFWLRQDQG C LVDNQRZQFRQVWDQWUHDOYDOXHGPDWUL[
ZLWKDSSURSULDWHGLPHQVLRQ
0DWULFHV Δ A k Δ Ad k Δ An k GHQRWH UHDO QRUP
ERXQGHG PDWUL[ IXQFWLRQV UHSUHVHQWLQJ SDUDPHWHU
XQFHUWDLQWLHV,WLVDVVXPHGWKDW
ΔA k = D A FA k E A ΔAd k = D Ad FAd k E Ad
ΔAn k = D An FAn k E An
ZKHUH FA k FAd k FAn k DUH WLPH YDU\LQJ XQFHUWDLQ
PDWULFHVDQGVDWLVI\WKHLQHTXDOLWLHV
T
F AT k F A k ≤ I F Ad
k F Ad k ≤ I
T
FAn
k FAn k ≤ I
D A D Ad D An E A E Ad E An DUH FRQVWDQW UHDOYDOXHG
NQRZQPDWULFHVZLWKDSSURSULDWHGLPHQVLRQV
$QDV\PSWRWLFDOO\VWDEOHILOWHUIRUV\VWHP DERYHLVLQ
WKHIROORZLQJIRUP
xÖ k + = GxÖ k + Ky k
ZKHUHG DQGKDUHILOWHUYDULDEOHV
6XSSRVH HUURU VWDWH YHFWRU DQG LWV GLIIHUHQFH HTXDWLRQ DV
IROORZV
e k = x k − x k
e k + = x k + − x k +
e k + = Ge k + A + ΔA k − KC − G x k
+ Ad + ΔAd k x k − h
+ An + ΔAn k x k + − τ
:HFDQGHILQHDXJPHQWHGVWDWHYHFWRU
ª x k º
»
¬ e k ¼
xa = «
VRWKDWWKHFORVHGORRSV\VWHPLV
∞
ª− γ
«
¬«
−∞
ZKHUH z k LVWKHHUURUVWDWHRXWSXWDQG LVDJLYHQPDWUL[
7KHUHIRUHZHPD\UHZULWH
x a k + = A x a k + A x a k − h + A x a k + − τ
z k = C x a k
ZKHUH
A + ΔA
º
ª
A = «
»
¬ A + ΔA − KC − G G ¼
ª A + ΔAd º
A = « d
»
¬ Ad + ΔAd ¼
DFE + E T F T D T ≤ α DD T + α − E T E
7KHFRQVLGHUHGSUREOHPWREHVROYHGLVWRHVWLPDWHWKHVLJQDO
DQGPLQLPL]HWKHXSSHUERXQGRIJXDUDQWHHGFRVW
z k = Le k
J = ¦ z T k z k
Lemma 2.1 VHH>@ /HWDDQGEEHPDWULFHVRIDSSURSULDWH
GLPHQVLRQV DQG F EH D PDWUL[ IXQFWLRQ VDWLVI\LQJ
F T k F k ≤ I
IRUDQ\SRVLWLYHVFDODU α WKHIROORZLQJLQHTXDOLW\KROGV
ª− E + W + CT C
«
«
«
«
¬«
A + ΔA
º
ª
x a k + «
» x a k
¬ A + ΔA − KC − G G ¼
ª A + ΔAd º
+« d
» x a k − h
¬ Ad + ΔAd ¼
º
x a k + − τ
»¼
$IWHUZDUGWKHIROORZLQJOHPPDZLOOEHXVHIXOIRUWKHSURRI
7KLV VHFWLRQ SUHVHQWV D VXIILFLHQW FRQGLWLRQ RI WKH GLVFUHWH
JXDUDQWHHG FRVW ILOWHU DQG LWV XSSHU ERXQG RI WKH JXDUDQWHHG
FRVW7KHPDLQUHVXOWLVSURYLGHGE\IROORZLQJWKHRUHP
Theorem 3.1
,IWKHIROORZLQJPDWUL[LQHTXDOLWLHVRSWLPL]DWLRQSUREOHP
PLQ {γ + γ + tr M + tr M + tr M + tr M } VXEMHFW
WR
º ª x k + − τ º
»¼ «¬ e k + − τ »¼
ª A + ΔAn
+« n
¬ An + ΔAn
º
C = [ L ]
»¼
,,, 0$,15(68/76
A + ΔA
º ª x k º
ª x k + º ª
« e k + » = « A + ΔA − KC − G G » « e k »
¼
¼¬
¼ ¬
¬
ª A + ΔAd º ª x k − h º
+« d
»«
»
¬ Ad + ΔAd ¼ ¬ e k − h ¼
ª A + ΔAn
+« n
¬ An + ΔAn
ª A + ΔAn
A = « n
¬ An + ΔAn
ª− M
«
«¬
ª− M
«
«¬
−W
−S
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» <
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A
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T
T
ª− γ
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» < «
− E x inv ¼»
¬«
T
e º
» E x > E e > W x >
We > S x > S e > M > M > M >
M > γ > γ > tr M > tr M >
tr M > tr M >
ZKLFKVDWLVI\WKHLQYHUVHUHODWLRQV E inv
= E − Winv = W −
S inv = S − WKHQWKHV\VWHP LVDJXDUDQWHHGFRVWILOWHUZLWK
DQXSSHUERXQGRIWKHJXDUDQWHHGFRVW
J = x T E x x + e T E e e
+ ¦ xT i Wx x i + ¦ eT i Wee i
−
¦x
i =−h
+
ª− E + W + CT C
«
«
«
«
¬«
−
T
s = −τ
s S x x s + ¦ e s See s
i =−h
T
s = −τ
= γ + γ + tr M + tr M + tr M + tr M
Proof of Theorem 3.1.
'HILQHDFDQGLGDWHRI/\DSXQRYIXQFWLRQ
V x a k = x aT k Ex a k +
¦x
T
a
i Wx a i
i=k −h
k
+
¦x
k −
T
a
s = k −τ
s Sx a s
º
ªS x
S = «
»
We ¼
¬
º
ªW x
W = «
»
Ee ¼
¬
ªE x
¬
ZKHUH E = «
º
S e »¼
7KHGLIIHUHQFHRI DORQJWKHWUDMHFWRU\ LVIRUPXODWHGLQ
ΔV = V x a k + − V x a k
−W
AT E + S º
»
AT E + S »
@ LW
FDQEHZULWWHQ
ª −
A=«
¬
ª
DA = «
¬
º
ª − º
ª − º
Ad = «
» An = « »
− »¼
¬
¼
¬
¼
º
ª º
ª º
EA = «
» D Ad = « »
»¼
¬ ¼
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¼
ª º
ª º
ª º
E Ad = «
E An = «
D An = «
»
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»
¬ ¼
¬ ¼
¬ ¼
ª º
ªº
ª − s º
C = « » L = « » x s = «
»
¬¼
¬¼
¬− + s ¼
ª − s º
xÖ s = «
» s ∈ [− ] h = τ =
¬− + s ¼
T
9 &21&/86,21
T
)URP LWLVHDVLO\REWDLQHG
ª º
ª º
Y = «
Y = «
»
»
¬ ¼
¬ ¼
ª º
ª º
Y = «
Y = «
»
»
¬ ¼
¬ ¼
$SSO\LQJ 7KHRUHP DQG DGRSWLQJ WKH LWHUDWLYH DOJRULWKP
>@ZHKDYH
ª
Sx = «
¬
ª
Se = «
¬
ª
Wx = «
¬
ª
We = «
¬
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Ex = «
¬
ª
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º
ª º
S xinv = «
»
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¬ ¼
º
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»
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¬ ¼
º
º
ª
Wxinv = «
»
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¼
º
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»
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º
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E xinv = «
»
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º
ª º
Eeinv = «
»
»¼
¬ ¼
J ∗ =
1
S ta te s x (k )
0.5
0
-0.5
10
20
30
k
40
50
)LJ7UDMHFWRULHVRIVWDWHVx ² DQGx
ĐŬŶŽǁůĞĚŐŵĞŶƚ
7KLV UHVHDUFK LV IXQGHG E\ GLUHFWRUDWH JHQHUDO RI KLJKHU
HGXFDWLRQ ',.7, ,QGRQHVLD PLQLVWU\ RI HGXFDWLRQ DQG
FXOWXUH LQ WKH UHVHDUFK JUDQW µ)XQGDPHQWDO 5HVHDUFK¶
'HFLVLRQRIWKH'LUHFWRURI5HVHDUFKDQG&RPPXQLW\6HUYLFH
1XPEHU (
ZĞĨĞƌĞŶĐĞƐ
ª º −
K = [ ] G = «
»
¬ ¼
-1
0
$ JXDUDQWHHG FRVW ILOWHU GHVLJQ IRU XQFHUWDLQ GLVFUHWL]HG
QHXWUDO V\VWHPV LV GHULYHG RQ WKH EDVLV RI WKH /0, IHDVLEOH
VROXWLRQV 7R REWDLQ WKH RSWLPDO FRVW PLQLPL]LQJ WKH XSSHU
ERXQG RI WKH JXDUDQWHHG FRVW LV GHWHUPLQHG $ QXPHULFDO
H[DPSOHLVVKRZQWRYHULI\WKHSURSRVHGPHWKRG
60
)LJXUHV VKRZV WKH WUDMHFWRULHV RI VWDWHV ZLWK WLPH VDPSOLQJ
VHFRQG ,W LV QRWLILHG WKDW WKH V\VWHP LV VWDEOH DQG
FRQYHUJHGWR]HURVWDWH
>@ (6XVDQWRDQG0,VKLWREL³$Q/0,DSSURDFKWRJXDUDQWHHGFRVWILOWHU
IRU XQFHUWDLQ QHXWUDO V\VWHPV ZLWK WLPHYDU\LQJ GHOD\´ 3URF RI
,QWHUQDWLRQDO &RQIHUHQFH RQ $GYDQFHG &RPSXWHU 6FLHQFH DQG
,QIRUPDWLRQ6\VWHPV%DOLSS
>@ 66/ &KDQJ DQG 7.& 3HQJ ³$GDSWLYH JXDUDQWHHG FRVW FRQWURO RI
V\VWHPV ZLWK XQFHUWDLQ SDUDPHWHUV´ ,((( 7UDQVDFWLRQV RQ $XWRPDWLF
&RQWURO9RO SS±
>@ -+ .LP ³5REXVW JXDUDQWHHG FRVW ILOWHULQJ IRUXQFHUWDLQ V\VWHPV ZLWK
WLPHYDU\LQJ GHOD\ YLD /0, DSSURDFK´ 7UDQVDFWLRQV RQ &RQWURO
$XWRPDWLRQDQG6\VWHPV(QJLQHHULQJ9RO1RSS±
>@ 6 %R\G (O *KDRXL ( )HURQ DQG 9 %DODNULVKQDQ /LQHDU Matrix
Inequalities in System and Control Theory6,$03KLODGHOSKLD
>@ .: @ -@ ()ULGPDQDQG86KDNHG³$QLPSURYHGGHOD\GHSHQGHQW+ILOWHULQJ
RI OLQHDU QHXWUDO V\VWHPV´ ,((( 7UDQVDFWLRQV RQ 6LJQDO 3URFHVVLQJ
9ROSS±
>@ -+ .LP ³'LVFUHWHWLPH UREXVW JXDUDQWHHG FRVW ILOWHULQJ IRU FRQYH[
ERXQGHG XQFHUWDLQ V\VWHPV ZLWK WLPH GHOD\´ ,&$6( 7KH ,QVWLWXWH RI
&RQWURO $XWRPDWLRQ DQG 6\VWHPV (QJLQHHULQJ .RUHD 9RO 1R
SS±
Information Technology (ICACOMIT), Bandung, Indonesia, October 29–30, 2015
*XDUDQWHHG&RVW)LOWHU'HVLJQIRU'LVFUHWH7LPH
1HXWUDO6\VWHPV
(UZLQ6XVDQWR,J3UDVHW\D'ZL:LEDZD-XQDUWKR
+DORPRDQDQG$JXQJ6XU\D:LERZR
0LWVXDNL,VKLWREL
'HSDUWPHQWRI0HFKDQLFDO6\VWHPV(QJLQHHULQJ
.XPDPRWR8QLYHUVLW\
.XPDPRWR-DSDQ
6FKRRORI(OHFWULFDO(QJLQHHULQJ
7HONRP8QLYHUVLW\
%DQGXQJ,QGRQHVLD
Abstract²7KLV SDSHU SUHVHQWV WKH JXDUDQWHHG FRVW ILOWHU RI
EHFDXVHVRPHLQYHUVHUHODWLRQVDSSHDU7KHUHIRUHZHXVH/0,
XQFHUWDLQ OLQHDU QHXWUDO V\VWHPV %\ GLVFUHWL]LQJ WKH V\VWHP WKH
EDVHGLWHUDWLYHDOJRULWKP>@
ZRUN LV DQ H[WHQVLRQ RI WKH SUHYLRXV VWXG\ RQ FRQWLQXRXV FDVH
:HSURSRVHWKHUREXVWILOWHUGHVLJQYLDOLQHDUPDWUL[LQHTXDOLWLHV
/0,V %HFDXVH WKH LQHTXDOLWLHV REWDLQHG FRQWDLQ LQYHUVH
UHODWLRQVDQ/0,EDVHGLWHUDWLYHDOJRULWKPLVXVHG$QXPHULFDO
H[DPSOH LV JLYHQ WR LOOXVWUDWH WKH DGYDQWDJH RI WKH SURSRVHG
PHWKRG
Keywords—guaranteed
systems
cost
filter,
discrete-time;
neutral
, ,1752'8&7,21
%HFDXVH WKH XQFHUWDLQWLHV SOD\ PDLQ UROH LQ VWDELOLW\ DQG
SHUIRUPDQFHRIFRQWUROV\VWHPDQGVLJQDOSURFHVVLQJDGHVLUHG
FRQWUROOHURUILOWHUGHVLJQLVQRWRQO\WRDFKLHYHWKHVWDELOLW\RI
WKH XQFHUWDLQ V\VWHP EXW DOVR JXDUDQWHH DQ DGHTXDWH OHYHO RI
SHUIRUPDQFH 2Q WKH UREXVW ILOWHU GHVLJQ WKH PRVW SUREOHP
IDFHG LV WKDW WKH RXWSXW LV SHUWXUEHG E\ WKH XQFHUWDLQW\ >@
*XDUDQWHHG FRVW ILOWHU LV RQH RI WKH FRQVLGHUDEOH PHWKRGV WR
VROYHWKLVNLQGRISUREOHP>@>@
)RUVHYHUDOODVWGHFDGHV/0,DSSURDFKHVKDYHFRQWULEXWHG
WR VROYH PDQ\ FRPSOH[ SUREOHPV RI FRQWURO V\VWHP EDVHG RQ
FRQYH[RSWLPL]DWLRQZLWKREWDLQLQJWKHIHDVLEOHVROXWLRQ>@
%DVHG RQ WKH GHOD\ VL]H WLPH GHOD\ V\VWHPV VWDELOL]DWLRQ
FULWHULDFDQEHFDWHJRUL]HGLQWRWZRW\SHVQDPHO\QHXWUDODQG
UHWDUGHGV\VWHPV7KHV\VWHPZLWKG\QDPLFVGHSHQGVRQVWDWH
GHOD\DQGWKHGHULYDWLYHLVQHXWUDORQH>@7KLVW\SHLVHDVLO\
IRXQG LQ YDULRXV DSSOLFDWLRQV VXFK DV FKHPLFDO DQG SURFHVV
LQGXVWULHVURERWLFVDQGRWKHUWHFKQRORJLHV>@
6RPH UHVHDUFKHV RQ ILOWHU GHVLJQ FRQVLGHULQJ VWDELOLW\
DQDO\VHVIRUH[DPSOHVDUH>@>@$OOUHSRUWVPHQWLRQHG
EHIRUH DUH LQ FRQWLQXRXV IRUP %HFDXVH LQ UHDO
LPSOHPHQWDWLRQ WKH GLJLWDO IRUP LV PRUH DSSOLFDEOH ZH DUH
PRWLYDWHG WR DQDO\]H WKH GLVFUHWHWLPH ILOWHU GHVLJQ %\
GLVFUHWL]LQJRXUSUHYLRXVZRUNRQFRQWLQXRXVQHXWUDOV\VWHPV
FDVHZHSURSRVHWKHJXDUDQWHHGFRVWILOWHUGHVLJQLQGLVFUHWH
WLPH FDVH 2QH RI WKH UHVHDUFKHV LQ GLVFUHWHWLPH JXDUDQWHHG
FRVW ILOWHU GHVLJQ LV >@ ZKLFK ZDV VROYLQJ WKH SUREOHP RI
WLPH GHOD\ V\VWHPV ZLWK FRQYH[ ERXQGHG XQFHUWDLQWLHV
+RZHYHUZHH[WHQGWRWKHFDVHZLWKSDUDPHWULFXQFHUWDLQWLHV
,Q WKLV SDSHU WKH LQHTXDOLWLHV UHVXOWHG DUH QRW UHDOO\ DQ /0,
978-1-4673-7408-8/15/$31.00©2015 IEEE
,, 352%/(067$7(0(176
$GLVFUHWL]HGQHXWUDOV\VWHPRI>@FDQEHZULWWHQLQWKHIRUP
x k + = A + Δ A k x k + Ad + Δ Ad k x k − h
+ An + ΔAn k x k + − τ
y k = Cx k
x k = ψ k k ∈ [− PD[^ h τ ` ]
ZKHUH h LVDWLPHGHOD\ τ LVDQHXWUDOGHOD\ x k ∈ ℜ n
LVWKHVWDWHYHFWRU y k ∈ ℜ LVWKHPHDVXUHGRXWSXWYHFWRU
n
A Ad An ∈ ℜ n DUH WKH UHDO FRQVWDQW PDWULFHV ZLWK
DSSURSULDWHGLPHQVLRQVZKLFKUHSUHVHQWWKHQRPLQDORIQHXWUDO
WLPHGHOD\ V\VWHP x k = ψ k LV D JLYHQ YHFWRUYDOXHG
LQLWLDOIXQFWLRQDQG C LVDNQRZQFRQVWDQWUHDOYDOXHGPDWUL[
ZLWKDSSURSULDWHGLPHQVLRQ
0DWULFHV Δ A k Δ Ad k Δ An k GHQRWH UHDO QRUP
ERXQGHG PDWUL[ IXQFWLRQV UHSUHVHQWLQJ SDUDPHWHU
XQFHUWDLQWLHV,WLVDVVXPHGWKDW
ΔA k = D A FA k E A ΔAd k = D Ad FAd k E Ad
ΔAn k = D An FAn k E An
ZKHUH FA k FAd k FAn k DUH WLPH YDU\LQJ XQFHUWDLQ
PDWULFHVDQGVDWLVI\WKHLQHTXDOLWLHV
T
F AT k F A k ≤ I F Ad
k F Ad k ≤ I
T
FAn
k FAn k ≤ I
D A D Ad D An E A E Ad E An DUH FRQVWDQW UHDOYDOXHG
NQRZQPDWULFHVZLWKDSSURSULDWHGLPHQVLRQV
$QDV\PSWRWLFDOO\VWDEOHILOWHUIRUV\VWHP DERYHLVLQ
WKHIROORZLQJIRUP
xÖ k + = GxÖ k + Ky k
ZKHUHG DQGKDUHILOWHUYDULDEOHV
6XSSRVH HUURU VWDWH YHFWRU DQG LWV GLIIHUHQFH HTXDWLRQ DV
IROORZV
e k = x k − x k
e k + = x k + − x k +
e k + = Ge k + A + ΔA k − KC − G x k
+ Ad + ΔAd k x k − h
+ An + ΔAn k x k + − τ
:HFDQGHILQHDXJPHQWHGVWDWHYHFWRU
ª x k º
»
¬ e k ¼
xa = «
VRWKDWWKHFORVHGORRSV\VWHPLV
∞
ª− γ
«
¬«
−∞
ZKHUH z k LVWKHHUURUVWDWHRXWSXWDQG LVDJLYHQPDWUL[
7KHUHIRUHZHPD\UHZULWH
x a k + = A x a k + A x a k − h + A x a k + − τ
z k = C x a k
ZKHUH
A + ΔA
º
ª
A = «
»
¬ A + ΔA − KC − G G ¼
ª A + ΔAd º
A = « d
»
¬ Ad + ΔAd ¼
DFE + E T F T D T ≤ α DD T + α − E T E
7KHFRQVLGHUHGSUREOHPWREHVROYHGLVWRHVWLPDWHWKHVLJQDO
DQGPLQLPL]HWKHXSSHUERXQGRIJXDUDQWHHGFRVW
z k = Le k
J = ¦ z T k z k
Lemma 2.1 VHH>@ /HWDDQGEEHPDWULFHVRIDSSURSULDWH
GLPHQVLRQV DQG F EH D PDWUL[ IXQFWLRQ VDWLVI\LQJ
F T k F k ≤ I
IRUDQ\SRVLWLYHVFDODU α WKHIROORZLQJLQHTXDOLW\KROGV
ª− E + W + CT C
«
«
«
«
¬«
A + ΔA
º
ª
x a k + «
» x a k
¬ A + ΔA − KC − G G ¼
ª A + ΔAd º
+« d
» x a k − h
¬ Ad + ΔAd ¼
º
x a k + − τ
»¼
$IWHUZDUGWKHIROORZLQJOHPPDZLOOEHXVHIXOIRUWKHSURRI
7KLV VHFWLRQ SUHVHQWV D VXIILFLHQW FRQGLWLRQ RI WKH GLVFUHWH
JXDUDQWHHG FRVW ILOWHU DQG LWV XSSHU ERXQG RI WKH JXDUDQWHHG
FRVW7KHPDLQUHVXOWLVSURYLGHGE\IROORZLQJWKHRUHP
Theorem 3.1
,IWKHIROORZLQJPDWUL[LQHTXDOLWLHVRSWLPL]DWLRQSUREOHP
PLQ {γ + γ + tr M + tr M + tr M + tr M } VXEMHFW
WR
º ª x k + − τ º
»¼ «¬ e k + − τ »¼
ª A + ΔAn
+« n
¬ An + ΔAn
º
C = [ L ]
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,,, 0$,15(68/76
A + ΔA
º ª x k º
ª x k + º ª
« e k + » = « A + ΔA − KC − G G » « e k »
¼
¼¬
¼ ¬
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ª A + ΔAd º ª x k − h º
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¬ Ad + ΔAd ¼ ¬ e k − h ¼
ª A + ΔAn
+« n
¬ An + ΔAn
ª A + ΔAn
A = « n
¬ An + ΔAn
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T
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M > γ > γ > tr M > tr M >
tr M > tr M >
ZKLFKVDWLVI\WKHLQYHUVHUHODWLRQV E inv
= E − Winv = W −
S inv = S − WKHQWKHV\VWHP LVDJXDUDQWHHGFRVWILOWHUZLWK
DQXSSHUERXQGRIWKHJXDUDQWHHGFRVW
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+ ¦ xT i Wx x i + ¦ eT i Wee i
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T
s = −τ
s S x x s + ¦ e s See s
i =−h
T
s = −τ
= γ + γ + tr M + tr M + tr M + tr M
Proof of Theorem 3.1.
'HILQHDFDQGLGDWHRI/\DSXQRYIXQFWLRQ
V x a k = x aT k Ex a k +
¦x
T
a
i Wx a i
i=k −h
k
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¦x
k −
T
a
s = k −τ
s Sx a s
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W = «
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¬
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7KHGLIIHUHQFHRI DORQJWKHWUDMHFWRU\ LVIRUPXODWHGLQ
ΔV = V x a k + − V x a k
−W
AT E + S º
»
AT E + S »
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ª º
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¬− + s ¼
T
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40
50
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7KLV UHVHDUFK LV IXQGHG E\ GLUHFWRUDWH JHQHUDO RI KLJKHU
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FXOWXUH LQ WKH UHVHDUFK JUDQW µ)XQGDPHQWDO 5HVHDUFK¶
'HFLVLRQRIWKH'LUHFWRURI5HVHDUFKDQG&RPPXQLW\6HUYLFH
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K = [ ] G = «
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QHXWUDO V\VWHPV LV GHULYHG RQ WKH EDVLV RI WKH /0, IHDVLEOH
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ERXQG RI WKH JXDUDQWHHG FRVW LV GHWHUPLQHG $ QXPHULFDO
H[DPSOHLVVKRZQWRYHULI\WKHSURSRVHGPHWKRG
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VHFRQG ,W LV QRWLILHG WKDW WKH V\VWHP LV VWDEOH DQG
FRQYHUJHGWR]HURVWDWH
>@ (6XVDQWRDQG0,VKLWREL³$Q/0,DSSURDFKWRJXDUDQWHHGFRVWILOWHU
IRU XQFHUWDLQ QHXWUDO V\VWHPV ZLWK WLPHYDU\LQJ GHOD\´ 3URF RI
,QWHUQDWLRQDO &RQIHUHQFH RQ $GYDQFHG &RPSXWHU 6FLHQFH DQG
,QIRUPDWLRQ6\VWHPV%DOLSS
>@ 66/ &KDQJ DQG 7.& 3HQJ ³$GDSWLYH JXDUDQWHHG FRVW FRQWURO RI
V\VWHPV ZLWK XQFHUWDLQ SDUDPHWHUV´ ,((( 7UDQVDFWLRQV RQ $XWRPDWLF
&RQWURO9RO SS±
>@ -+ .LP ³5REXVW JXDUDQWHHG FRVW ILOWHULQJ IRUXQFHUWDLQ V\VWHPV ZLWK
WLPHYDU\LQJ GHOD\ YLD /0, DSSURDFK´ 7UDQVDFWLRQV RQ &RQWURO
$XWRPDWLRQDQG6\VWHPV(QJLQHHULQJ9RO1RSS±
>@ 6 %R\G (O *KDRXL ( )HURQ DQG 9 %DODNULVKQDQ /LQHDU Matrix
Inequalities in System and Control Theory6,$03KLODGHOSKLD
>@ .: @ -@ ()ULGPDQDQG86KDNHG³$QLPSURYHGGHOD\GHSHQGHQW+ILOWHULQJ
RI OLQHDU QHXWUDO V\VWHPV´ ,((( 7UDQVDFWLRQV RQ 6LJQDO 3URFHVVLQJ
9ROSS±
>@ -+ .LP ³'LVFUHWHWLPH UREXVW JXDUDQWHHG FRVW ILOWHULQJ IRU FRQYH[
ERXQGHG XQFHUWDLQ V\VWHPV ZLWK WLPH GHOD\´ ,&$6( 7KH ,QVWLWXWH RI
&RQWURO $XWRPDWLRQ DQG 6\VWHPV (QJLQHHULQJ .RUHD 9RO 1R
SS±