Ideal Dasar Prima dalam Aljabar Atas Suatu Ring Komutatif

  JURNAL FOURIER | Oktober 2018, Vol. 7, No. 2, 79-86

  ISSN 2252-763X

E-ISSN 2541-5239

  Ideal Dasar Prima dalam Aljabar Atas Suatu Ring Komutatif Khurul Wardati

  Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia

  Korespondensi; Email: khurulwardati@gmail.com Abstrak

Definisi ideal dasar dan ideal bebas dalam aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan adalah ekuivalen.

  

Namun, ideal dasar dalam suatu aljabar tak bebas belum tentu merupakan ideal bebas, sementara ideal bebas pasti

ideal dasar. Artikel ini membahas beberapa sifat ideal dasar prima dalam aljabar tak bebas atas ring komutatif

dengan elemen satuan. Kata Kunci aljabar tak bebas; ideal bebas; ideal dasar; ideal dasar prima Abstract

The definitions of basic ideal and free ideal in free algebras over a unital commutative ring are equivalent. However,

a basic ideal in the non-free algebra is not necessarily a free ideal, while any free ideal is definitely a basic ideal.

This paper will discuss some properties of prime basic ideal in non-free algebras over a unital commutative ring. Keywords basic ideal; free ideal; non-free algebra; prime basic ideal Pendahuluan Aljabar atas lapangan merupakan ruang vektor, sehingga aljabar atas lapangan pasti memiliki basis.

  Sebarang subruang vektor pasti memiliki basis, demikian pula ideal dari aljabar atas lapangan juga mempunyai basis. Analogi perumuman ruang vektor ke modul, aljabar atas lapangan dapat diperumum atas ring komutatif dengan elemen satuan. Salah satu akibat perumuman ini adalah bahwa aljabar atas ring komutatif dengan elemen satuan belum tentu mempunyai basis. Aljabar yang mempunyai basis disebut aljabar bebas

  Berdasarkan [4], aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan selalu merupakan R-aljabar bebas. Aljabar ini merupakan perumuman dari aljabar lintasan Leavitt atas

  R-aljabar lintasan lapangan. Temuan penting dalam [4] adalah didefinisikannya ideal dasar dalam Leavitt. Definisi ideal dasar diperumum [2] dalam R-aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, sehingga dapat diimplementasikan dalam aljabar lintasan atas

  . Jika adalah aljabar atas lapangan , maka sebarang ideal di A berlaku: ∈ ⇒ ∈ untuk setiap

  ∈ \{0} dan setiap ∈ dengan sebarang basis dari . Hal ini, dikarenakan setiap elemen tak nol di lapangan F selalu mempunyai invers. Sifat tersebut belum tentu berlaku untuk suatu ideal di R-aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan. Wardati, dkk. ([2]) telah mendefinisikan Ideal dalam R-aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, disebut

  x

  X

  ideal dasar, jika berlaku

   dengan

  ∈ ⇒ ∈ untuk setiap ∈ \{0} dan setiap sebarang R-aljabar bebas basis dari

  . Tampak bahwa setiap ideal dalam aljabar atas lapangan merupakan idel dasar. Sub-aljabar dari aljabar atas lapangan selalu merupakan aljabar bebas dengan basisnya merupakan subhimpunan suatu basis dari aljabarnya. Akan tetapi sub-aljabar dari aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, belum tentu merupakan aljabar bebas. Wardati, dkk. ([3]) mendefinisikan ideal

  80 Khurul Wardati bebas ( free ideal) dalam R-aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, jika merupakan R-subaljabar bebas dengan basis subhimpunan dari suatu basisnya

  . Artinya, ideal dalam R-aljabar bebas meskipun merupakan R-subaljabar bebas belum tentu merupakan ideal bebas. Berdasarkan [3, Teorema 2.8], bahwa sebarang ideal dalam aljabar bebas merupakan ideal bebas jika dan hanya jika ideal tersebut merupakan ideal dasar.

  Himpunan bilangan rasional ℚ merupakan lapangan, sehingga ℚ dapat dipandang sebagai ruang vektor atas dirinya sendiri. Selain itu,

  ℚ juga dapat dipandang sebagai ℤ-modul dan sekaligus ℤ- aljabar, karena ℚ adalah grup abelian aditif. Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat tak nol

  1

  , = { | ∈ ℤ, ≠ 0} ⊂ ℚ membangun ℚ karena untuk setiap ∈ ℚ dapat dinyatakan sebagai

  1

  1

  kombinasi linear dari elemen-elemen dalam yaitu ℚ = ( ) + 2 ( − 1) ( ). Akan tetapi,

  2

  tidak bebas linear karena terdapat koefisien tak nol dalam ℚ

  ℤ sehingga

  1

  1

  1

  1 2 ( ) + (−4) ( ) + 0 ( ) + 0 ( ) = 0.

  2

  4

  6

  8 Jadi, bukan basis dari

  saling bergantung ℚ ℤ-aljabar ℚ. Setiap bilangan rasional tak nol ,

  = , = − sehingga = 0. Hal ini berarti bahwa ℤ-aljabar ℚ. tidak mempunyai basis, sehingga ℚ merupakan ℤ-aljabar tak bebas. Karena

• linear dikarenakan terdapat bilangan bulat

  ℚ lapangan maka ideal dari ℤ-aljabar ℚ hanyalah ideal nol dan dirinya sendiri. Ambil sebarang bilangan bulat tak nol dan setiap

  , maka selalu berlaku bahwa setiap ∈ ℚ 0 ≠ ∈ ℤ, ∈ {0} ⟹ ∈ {0} karena antisedennya selalu salah. Hal ini menginspirasikan bahwa definisi ideal

  R-aljabar tak bebas dengan melibatkan pembangun aljabarnya yang tidak dasar dapat diperumum pada harus merupakan basis. Perumuman ini berimplikasi perlunya diselidiki sifat-sifat ideal dasar pada R- aljabar tak bebas tersebut. basically simple) aljabar

  Berdasarkan ideal dasarnya, telah didefinisikan sifat sederhana mendasar ( lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan, sebagai aljabar bebas yang ideal dasarnya hanyalah ideal nol dan dirinya sendiri ([4]). Berdasarkan sifat ini, telah didefinisikan dalam [1] tentang sifat ideal dasar minimal, prima dan semiprima yang secara berurutan mengkarakterisasi aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan, yang semisederhana mendasar ( basically semisimple), basically prime) dan semiprime mendasar (basically semiprime) dengan merujuk [6] prima mendasar ( dan [7].

  Penelitian terus berlanjut pada aljabar bebas atas ring komutatif unital. Sifat-sifat ideal dasar minimal yang mengkarakterisasi aljabar semisederhana mendasar telah dikaji dalam [3], sedangkan keprimaan mendasar aljabar tersebut berdasarkan sifar ideal dasar prima dibahas dalam [2]. Artikel ini akan membahas beberapa sifat ideal dasar prima pada aljabar tak bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, setelah dikaji ideal dasar dan ideal bebas dalam aljabar tersebut.

  Perumuman Ideal Dasar dan Ideal Bebas dalam Aljabar Atas Ring Komutatif Unital Definisi ideal prima dalam [6] dan [7] mensyaratkan ring (aljabar)nya dengan elemen satuan. Oleh karenanya, ruang lingkup dalam artikel ini adalah aljabar unital.

  Definisi 2.1 [8] Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan. Himpunan tak kosong disebut R-aljabar jika merupakan ring sekaligus R-modul (kiri). Aljabar dikatakan R-aljabar unital jika memiliki elemen satuan . Jika diberikan sub-subhimpunan tak kosong

  1 , ⊆ , maka dikatakan R-subaljabar dari

  , jika subring dari dan merupakan R-submodul dari . Subhimpunan dikatakan ideal dari R-aljabar A, jika ideal dari ring dan merupakan R-submodul dari R-modul .

  Grillet [5] mendefinisikan suatu R-aljabar (unital) dikatakan R-aljabar bebas (free R-algebra), jika merupakan R-modul bebas, yang artinya modul mempunyai basis. Jika R-aljabar bebas

  Ideal Dasar Prima dalam Aljabar Atas Suatu Ring Komutatif …

  81 mempunyai basis maka dibangun oleh dinotasikan = ⟨ ⟩ dengan bebas linear. Perlu R-aljabar bebas. kiranya diingatkan kembali pengertian ideal dasar dalam Definisi 2.2 [3] Diberikan R-aljabar bebas

  . Suatu ideal di dikatakan ideal dasar, jika untuk setiap basis dari berlaku: untuk setiap elemen tak nol ∈ dan setiap ∈ , jika ∈ maka ∈ . Jika basis dari R-aljabar bebas maka setiap elemen tak nol ∈ dan setiap ∈ , berlaku

  ≠ 0. Berdasarkan Definisi 2.2, ideal nol selalu merupakan ideal dasar. Hal ini berakibat bahwa sebarang R-aljabar bebas mempunyai dua ideal dasar trivial, yaitu ideal nol dan dirinya sendiri sebagaimana telah dikaji dalam [3].

  ℤ

  6 6 ℤ

  6

  6 Contoh 2.3 Diberikan -aljabar bebas

  merupakan ideal ℤ = (ℤ ) maka ideal = (ℤ

  6

  0 ℤ 0 )

  6

  2ℤ

  6

  6

  2 0 dasar. Akan tetapi, ideal tetapi

  = (2ℤ ) bukan ideal dasar, karena 2 (1 0 2ℤ 0 0) = ( 0 0) ∈

  6 .

  (1 0 0 0) ∉ Ideal -subaljabar tidak bebas dari dalam Contoh 2.3 merupakan ℤ . Hal ini membuktikan

  6

  bahwa tidak semua subaljabar dari aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan merupakan aljabar bebas. Akan tetapi, ideal -subaljabar bebas dari merupakan ℤ dengan basis

  6

  0 1 , yang merupakan subset dari suatu basis di

  {(1 0 . Perhatikan bahwa ideal 2ℤ 0 0) , ( 0 0)} merupakan

  ℤ-subaljabar bebas dari aljabar bebas ℤ atas dirinya sendiri. Namun, basis dari 3ℤ adalah singleton {3} atau {−3} yang bukan merupakan subset dari sebarang basis aljabar ℤ. Hal ini menginspirasikan perlunya didefinisikan ideal yang sekaligus merupakan subaljabar bebas dengan basis subset dari suatu basis aljabarnya.

  Definisi 2.4 [3] Diberikan R-aljabar bebas

  . Ideal di dikatakan ideal bebas, jika merupakan R-submodul bebas dari dengan basis subset dari suatu basis dari . Berdasarkan Definisi 2.4, ideal nol selalu merupakan ideal bebas karena ideal nol merupakan subaljabar bebas dengan basis himpunan kosong. Ideal dasar dalam Contoh 2.3 merupakan ideal bebas, sedangkan ideal bukan ideal dasar sekaligus bukan ideal bebas. Ideal 2ℤ dalam ℤ bukan merupakan ideal bebas meskipun

  2ℤ merupakan ℤ-submodul bebas. Telah dibuktikan secara lengkap dalam [3, Teorema 2.8] bahwa ideal dalam R-aljabar bebas merupakan ideal dasar jika dan hanya jika merupakan ideal bebas di .

  Himpunan dalam Contoh 2.3 dapat dipandang sebagai ℤ-aljabar tak bebas dengan , keduanya tetap merupakan ideal dari

  . Jika R-aljabar dibangun oleh ⊂ yang tak bebas linear maka tidak selalu berlaku bahwa setiap elemen tak nol ∈ dan setiap elemen ∈ , ≠ 0. Hal inilah yang memotivasi perumuman ideal dasar dalam aljabar tak bebas.

  Definisi 2.5 Diberikan R-aljabar

  = ⟨ ⟩. Ideal di dikatakan ideal dasar, jika untuk setiap elemen tak nol ∈ dan setiap ∈ , berlaku jika 0 ≠ ∈ maka ∈ .

  R-aljabar Perlu dipertegas bahwa

  = ⟨ ⟩ = {∑ : ∈ , ∈ , ∈ } dengan ⊂ tidak

  

=1

  harus bebas linear untuk Definisi 2.5. Penegasan inilah yang memperlihatkan perumuman Definisi 2.5 dari Definisi 2.2. Jika = {0} maka antiseden dalam Definisi 2.5 selalu salah, sehingga berakibat bahwa ideal nol selalu merupakan ideal dasar.

  Akibat 2.6 R-aljabar

  Sebarang selalu memiliki dua ideal dasar trivial yaitu ideal nol dan itu sendiri.

  82 Khurul Wardati Contoh 2.7 Diberikan

  x

  0 ≠ ∑ ∈

  =1

  maka ∈ untuk setiap ; 3.

  Ideal dasar = ⟨ ⟩ dengan = ∩ .

  Bukti: Ambil sebarang ⊂ sedemikian sehingga R-aljabar = ⟨ ⟩. Misalkan ideal dasar dari , maka:

  1.

  (⟹) Ambil sebarang ∈ sedemikian sehingga ∈ . Andaikan bahwa bukan merupakan suatu elemen pembangun dari sebagai R-submodul dari , maka terdapat elemen tak nol

  c R 

  sehingga ∉ Karena ideal dan ∉ , diperoleh ∉ kontradiksi dengan ∈ . Jadi, salah satu elemen pembangun

  . (⇐) Karena

  pembangun dari sebagai R-submodul dari , maka setiap elemen tak nol

  1. Untuk setiap ∈ , ∈ jika dan hanya jika merupakan suatu elemen pembangun dari sebagai R-submodul dari

  r R 

  dengan 0 ≠ ∈ berlaku ∈ karena ideal dasar.

  2. Ambil sebarang elemen-elemen tak nol ∈ dan sebarang ∈ dengan = 1,2, … , dan ∈ ℕ, sedemikian sehingga ∑ ∈

  =1

  . Akan ditunjukkan merupakan elemen pembangun sebagai R-submodul untuk setiap

  = 1,2, … , . Tanpa mengurangi keumuman bukti, andaikan terdapat dengan 1 ≤ ≤ untuk suatu ≤ sedemikian sehingga bukan elemen-elemen pembangun sebagai R-submodul. Artinya, terdapat elemen-elemen tak nol

  ∈ , 1 ≤ ≤ sehingga

  =1

  . Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi, haruslah merupakan elemen- elemen pembangun sebagai R-submodul dan menurut sifat 1., ∈ untuk setiap = 1,2, … , karena ideal dasar.

  3. Karena merupakan ideal dasar, maka menurut 1., untuk setiap ∈ sedemikian sehingga 0 ≠ ∈ , merupakan elemen pembangun dari . Misalkan himpunan semua elemen di yang merupakan elemen pembangun dituliskan maka

  = { ∈ | ∈ } = { ∈ | ∈ } = ∩ . Menurut poin 1. dan 2. diperoleh

  ; 2. Untuk setiap elemen tak nol ∈ dan setiap ∈ dengan = 1,2, … , untuk suatu ∈ , jika

  Lemma 2.8 Diberikan ideal dasar dari R-aljabar dan sebarang pembangun dari , maka berlaku:

  ℤ-aljabar = (ℤ

  6

  6

  ℤ

  6

  0 ℤ

  6

  ) = ⟨ ⟩ dengan = {(1 0 0 0) , ( 0 1 0 0) , (

  0 0 0 1)} tak bebas linear. Ideal

  = (ℤ

  6

  ℤ

  0 ) merupakan ideal dasar, dan = (2ℤ

  0 2)} ⊄ bahkan pembangun dari juga bukan subset untuk sebarang pembangun dari M. Hal ini menginspirasikan sifat dari ideal dasar dalam R-aljabar tak bebas berikut.

  6

  2ℤ

  6

  2ℤ

  6

  ) bukan ideal dasar, dengan alasan serupa pada Contoh 2.3. Tampak jelas dari Contoh 2.7, adanya elemen pembangun

  (1 0 0 0) dan bilangan bulat 6 dengan 6 (1 0

  0 0) = ( 0 0 0 0) membuktikan salah satu sifat yang tidak bertahan dalam R-aljabar tak bebas.

  Lihat kembali ideal-ideal , dalam ℤ-aljabar . Ideal dibangun oleh {(1 0 0 0) , (

  0 1 0 0)} = ∩ Akan tetapi, pembangun dari ideal adalah {(2 0

  0 0) , ( 0 2 0 0) , ( 0 0

  = ⟨ ⟩. ∎ Perhatikan kembali Contoh 2.7, ideal dasar dalam aljabar merupakan ℤ-subaljabar tak bebas, sehingga tidak mungkin ideal dasar merupakan ideal bebas. Namun, ideal dasar nol merupakan

  Ideal Dasar Prima dalam Aljabar Atas Suatu Ring Komutatif …

  83 ℤ-subaljabar bebas dari aljabar tidak bebas . Uraian ini menginspirasikan perumuman pengertian ideal bebas dalam Definisi 2.4.

  Definisi 2.9 Diberikan R-aljabar

  = ⟨ ⟩ dengan ⊂ dan ideal dari . Ideal disebut ideal bebas (free ideal) jika merupakan R-submodul bebas dari dengan basisnya subset suatu pembangun dari .

  R-aljabar Berdasarkan Definisi 2.9, ideal nol selalu merupakan ideal bebas. Akan tetapi yang tidak bebas pasti bukan merupakan ideal bebas.

  Akibat 2.10 Ideal bebas trivial dari R-aljabar tak bebas hanyalah ideal nol, sehingga ideal nol merupakan ideal bebas sekaligus ideal dasar.

  Ideal-ideal , dari aljabar pada Contoh 2.7, keduanya bukan merupakan ℤ-submodul bebas dari maka kedua , bukan ideal bebas. Artinya ideal merupakan ideal dasar tetapi bukan ideal

  R- bebas. Contoh 2.7 ini dapat sebagai contoh kontra tidak berlakunya Teorema 2.8 dalam [3], pada aljabar yang tidak bebas.

  Contoh 2.11 Diberikan ℤ-aljabar tak bebas = (ℤ, ℤ ) = ⟨{(1,0), (0,1)}⟩ maka:

  6 1.

  Ideal = (ℤ, 0) = ⟨{(1,0)}⟩ merupakan ideal bebas sekaligus ideal dasar di ; 2. Ideal = (2ℤ, 0) = ⟨{(2,0)}⟩ bukan ideal bebas dan bukan ideal dasar di ; 3. Ideal = (0, ℤ ) = ⟨{(0,1)}⟩ adalah ideal dasar tetapi bukan ideal bebas.

6 Contoh 2.7 dan 2.11 mengisyaratkan hubungan antara ideal dasar dengan ideal bebas dalam R-

  aljabar tak bebas. Ideal bebas pasti merupakan ideal dasar tetapi tidak sebaliknya, merupakan sifat yang diperkuat oleh Lemma 2.8 dan Definisi 2.9. Teorema 2.12

  R-aljabar Diberikan

  = ⟨ ⟩ dengan ⊂ dan ideal dari . Jika ideal bebas maka merupakan ideal dasar. Bukti: Ideal merupakan ideal bebas dari = ⟨ ⟩ maka menurut Definisi 2.9, merupakan R- submodul bebas dengan

  = ⟨ ⟩ untuk suatu ⊂ dengan bebas linear. Ambil sebarang elemen tak nol ∈ dan sebarang ∈ sedemikian sehingga 0 ≠ ∈ maka berdasarkan Lemma 2.8,

  ∈ , sehingga = 1 ∈ Jadi, ideal dasar. ∎ Beberapa sifat dari ideal dasar dalam R-aljabar bebas dibuktikan dengan ideal bebas, karena

  R-aljabar tak bebas hanya keduanya ekuivalen. Akan tetapi menurut Teorema 2.12, ideal bebas dalam merupakan syarat perlu dan bukan syarat cukup dari ideal dasar, dengan contoh kontranya Contoh

  R-aljabar tak bebas, sehingga beberapa sifat ideal dasar tidak dapat dibuktikan dengan bertahan pada ideal bebas. Salah satu sifat ideal dasar tersebut adalah ideal dasar prima.

  Ideal Dasar Prima dan Beberapa Sifatnya

  Berdasarkan [6] dan [7], ideal merupakan ideal prima dari ring (aljabar) unital jika ≠ dan untuk setiap ideal-ideal

  , ⊆ . Jika ⊆ maka ⊆ atau ⊆ . Secara analog, ideal dasar prima dalam aljabar unital dapat didefinisikan. Definisi 3.1 Diberikan R-aljabar unital

  . Ideal dasar ⊊ disebut ideal dasar prima (prime basic ideal) jika setiap ideal dasar , ⊆ , jika ⊆ maka ⊆ atau ⊆ .

  84 Khurul Wardati R-aljabar bebas ([2]). Jelas ideal

  Definisi 3.1 ini merupakan perumuman ideal dasar prima dalam prima belum tentu merupakan ideal dasar prima karena idealnya belum tentu ideal dasar. Sebagai contoh, ideal prima

  3ℤ dalam aljabar ℤ atas dirinya sendiri, bukan merupakan ideal dasar. Namun, ideal dasar prima juga belum tentu ideal prima. Contoh 3.2 Diberikan

  ℤ-aljabar pada Contoh 2.11, maka ideal-ideal dasar tak nol dari hanyalah ). = (ℤ, 0), = (0, ℤ

  6 1.

  Ideal dasar adalah prima, tetapi bukan ideal prima karena (0,2ℤ )(0,3ℤ ) = {(0,0)} ⊂

  6

  6

  dan (0,2ℤ ) ⊄ , (0,3ℤ ) ⊄ ;

  6

  6 2.

  Ideal merupakan ideal dasar prima sekaligus ideal prima; 3. Karena = {(0,0)} maka ideal nol dalam bukan ideal dasar prima sekaligus bukan ideal prima.

  Catatan 3.3 Keprimaan ideal dan ideal dasar dalam R-aljabar tidak saling mempengaruhi. Jika diambil

  ⊂ dengan pembangun R-aljabar tak bebas maka R-submodul yang dibangun oleh , ⟨ ⟩ = { | ∈ , ∈ } belum tentu merupakan ideal dari . Sebagai contoh, ⟨(1 0 0 0)⟩ =

  6

  adalah (ℤ ℤ-submodul sekaligus ℤ-subaljabar yang bukan ideal dari pada Contoh 2.7. 0 0)

  R-aljabar Submodul tersebut dibangun oleh singleton . Telah diketahui bersama bahwa

  {(1 0 0 0)} merupakan ring, sehingga untuk setiap

  ∈ dapat didefinisikan ideal (dua sisi) yang dibangun oleh , yaitu:

  (1) }

  ( ) = {∑ | , ∈ Contoh 3.4 Diberikan ℤ-aljabar pada Contoh 2.7 dan pada Contoh 2.11.

  2 0 2 0 1. dengan . Menurut persamaan (1), diperoleh ideal-

  (1 0 (1 0 0 0) , ( 0 0) ∈ 0 0) ∈ , ( 0 0) ∉ ideal dari berikut:

  ℤ ℤ 1 0 ℤ

  6

  6

  6

  a. merupakan ideal dasar, dengan ((1 0

  ((1 0 0 0)) = ( 0 ) = 0 0)) ≠ ⟨( 0 0)⟩ = ( 0 0) 2ℤ 2ℤ

  2 0 2ℤ

  6

  6 6 b. bukan ideal dasar dengan .

  ((2 0 ((2 0 0 0)) = ( 0 ) = ′ 0 0)) ≠ ⟨( 0 0)⟩ = ( 0)

  2.

  ⟨(1,0)⟩ = ((1,0)) = , ⟨(0,1)⟩ = ((0,1)) = , keduanya ideal dasar dalam yang dibangun oleh elemen pembangun dalam ℤ-modul.

  Membangun dalam aljabar sebagai ring, sangat jelas bedanya dengan membangun dalam aljabar merupakan sebagai R-modul. Contoh 3.4 poin 1.a., ideal (dua sisi) yang dibangun oleh (1 0

  0 0) ∈ 1 0 1 0 0 1 ideal dasar. Karena maka akibatnya

  (0 1 (0 1 (0 1 0 0) = ( 0 1) ( 0 0) ( 0 0) 0 0) ∈ 0 0) = 1 0

  6

  untuk setiap (0 ( ) ) ∈ untuk setiap ∈ ℤ. Akan tetapi (0 0 0 )

  0 1) ≠ ( 0 ) ( 0 0) ( 0 0 maka dan untuk setiap berakibat

  ( (0 0 ∈ ℤ, jika (0 0 0 ) ∈ 0 ) , ( 0 1) ∉ 0 1) ≠ ( 0 0)

  ℤ

  6

  6

  (0 0 ) ∉ . Berdasarkan Lemma 2.8, pembangun ideal dasar = (ℤ 0 ( ) 0 1) = (

  6

  0 ) = 0 1 sebagai submodul adalah . Secara sama, kedua ideal dari Contoh

  ((1 0 {(1 0 0 0)) 0 0) , ( 0 0)} ⊂

  Ideal Dasar Prima dalam Aljabar Atas Suatu Ring Komutatif …

  85 0 ℤ 0 ℤ

  0 0

  6

  6

  2.7, dan merupakan

  ((0 1 ⟨(0 1 ((0 0 ) = ⟨{(0 1 0 ℤ 0 0)) = ( 0 0 ) = 0 0)⟩ 0 1)) = (

  6 0 0) , ( 0 1)}⟩ ideal dasar.

  Lemma 3.5 R-aljabar

  Diberikan = ⟨ ⟩ dengan ⊂ . Jika ∈ maka ideal yang dibangun oleh , yakni ( ) merupakan ideal dasar.

  Bukti: Jika ∈ ⊂ maka = 1 1 ∈ ( ) sehingga ⋂( ) ≠ ∅. Karena ( ) ideal dari R-aljabar

  x

  merupakan salah maka ( ) merupakan R-submodul, sehingga setiap ∈ , ∈ ( ) yang berarti satu elemen pembangun

  ( ) atas . Ambil sebarang sedemikian sehingga ( ) = ⟨ ⟩. Ambil sebarang elemen tak nol ∈ , ∈ dengan ∉ ( ), ≠ 0 maka akan ditunjukkan bahwa ∉ ( ). Karena untuk setiap

  ∉ ( ) maka ≠ ∑ , ∈ , 1 ≤ ≤ dan ∈ ℕ. Karena ≠ 0 maka

  =1

  =1 =1

  dengan ≠ ∑ = ∑ ( ∈ ( ) , ∈ , 1 ≤ ≤ . Terbukti bahwa ∉ ( ). )

  Jadi, untuk setiap elemen tak nol ∈ , ∈ , jika 0 ≠ ∈ ( ) maka ∈ ( ) dengan kata lain,

  ( ) ideal dasar. ∎ Beberapa bukti sifat ideal dasar prima dalam R-aljabar bebas dalam [2] menggunakan ideal bebas. Ideal dasar yang dibangun oleh suatu elemen dalam aljabar sebagai ring, juga dapat digunakan untuk menyelidiki dan membuktikan keprimaan suatu ideal dasar. Teorema 3.6 Diberikan R-aljabar unital

  , dan ideal dasar ⊂ , maka ketiga pernyataan di bawah ini ekuivalen: 1. Ideal dasar adalah prima.

  2. Untuk setiap , ∈ dengan ( ), ( ) ideal-ideal dasar di , jika ( )( ) ⊆ maka ∈ atau ∈ .

  3. Untuk setiap , ∈ dengan ( ), ( ) ideal-ideal dasar di , jika ⊆ maka ∈ atau ∈ . Bukti: (12) Ambil sebarang

  , ∈ sedemikian sehingga ( ), ( ) ideal-ideal dasar di . Karena ideal dasar prima dan ( )( ) ⊆ , maka menurut Definisi 2.9, ( ) ⊆ atau ( ) ⊆ . Di sisi lain,

  = 1 1 ∈ ( ), = 1 1 ∈ ( ) sehingga diperoleh ∈ atau ∈ . Kedua, akan ditunjukkan (23), ambil sebarang

  , ∈ sedemikian sehingga ( ), ( ) ideal-ideal dasar di . Jika ⊆ maka tampak jelas bahwa setiap ∈ berlaku = (1 )(1 1 ) ∈ ( )( ) ⊆ .

  Berdasarkan hipotesis, diperoleh ∈ atau ∈ . Terakhir, dibuktikan (31). Ambil sebarang ideal- ideal dasar

  ⟩ , di sedemikian sehingga ⊂ , dan ⊄ . Menurut Lemma 2.8, = ⟨ ⟩, = ⟨ dengan

  = ⋂ , = ⋂ sehingga terdapat elemen pembangun ∈ ⊂ , ∉ . Berdasarkan Lemma 3.5,

  ⊂ , ( ) juga ideal dasar. Di sisi lain, ⊂ ( ) ideal dasar dan untuk setiap ∈

  . Ambil sebarang ⊂ sehingga berdasarkan hipotesis diperoleh ∈ untuk setiap ∈ ∈ , maka terdapat

  . Diperoleh bahwa ∈ , ∈ 1 ≤ ≤ sehingga = ∑ ∈ ⊂ . Jadi,

  =1 ideal dasar prima.

  Teorema 3.6 adalah syarat perlu dan cukup ideal dasar prima dalam R-aljabar , yang tidak berubah dengan adanya generalisasi dari aljabar bebas. Perbedaan utama pembuktian syarat perlu dan cukup ideal dasar prima dalam aljabar bebas pada [2,Proposisi 3.4], terletak pada peran ideal bebas karena ekuivalen dengan ideal dasar pada bukti (31). Tampak bahwa bukti Teorema 3.6 tidak menggunakan ideal bebas tetapi cukup pembangunnya yang belum tentu bebas linear. Teorema 3.6 memberikan kemudahan dalam menyelidiki suatu ideal dasar apakah prima atau tidak. Sebagai contoh, Ideal nol di bukan ideal dasar prima karena ((1,0)), ((0,1)) = {(0,0)}. Demikian pula, ideal nol di sehingga . juga tidak prima karena terdapat = (0 1 = {(0 0 0 0) 0 0)}

  86 Khurul Wardati

  Kesimpulan

  R-aljabar unital Diberikan atas ring komutatif dengan elemen satuan. Ideal dasar dalam R-aljabar bebas merupakan syarat perlu dan cukup ideal bebas. Akan tetapi, ideal dasar hanya merupakan syarat perlu ideal bebas dalam R-aljabar tak bebas. Secara umum, ideal bebas pasti merupakan ideal dasar tetapi tidak sebaliknya.

  R-aljabar Ideal prima dan ideal dasar prima dalam didefinisikan secara analog, namun keduanya tidak saling bergantung. Artinya, ideal prima belum tentu ideal dasar prima dan sebaliknya ideal dasar prima juga belum tentu ideal prima. Ideal dasar yang dibangun oleh suatu elemen dalam aljabar sebagai ring dapat mengkarakterisasi ideal dasar prima. Hasil utama dalam artikel ini adalah Teorema 3.6. yaitu syarat perlu dan cukup dari ideal dasar prima dalam R-aljabar

  . Pembuktian teorema ini tidak melibatkan ideal bebas, tetapi menggunakan peran dari pembangun ideal dasar yang dipandang sebagai submodul. Kajian dapat dilanjutkan pada karakteristik ideal dasar yang lain maupun sifat aljabar berdasarkan ideal dasarnya.

  Ucapan Terimakasih

  Terimakasih kepada LPPM UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta yang telah mendanai penelitian Klaster Research Leader Nasional tahun 2018. Artikel ini merupakan bagian dari hasil penelitian tersebut.

  Referensi [1]

K. Wardati, I.E. Wijayanti, S. Wahyuni, 2012, Ideal Mendasar dalam Aljabar Lintasan Leavitt, Prosiding pada Konferensi

  Nasional Matematika XVI, Jurusam Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, Indonesia, 75-84. [2]

K. Wardati, I.E. Wijayanti, S. Wahyuni, 2014, On Primeness of Path Algebras over a Unital Commutative Ring, JP.

  Journal of Algebra, Number Theory and Applications, 34(2), 121-138 [3]

K. Wardati, I.E. Wijayanti, S. Wahyuni, 2015, On Free Ideals In Free Algebras Over A Commutative Ring, J. Indones.

  Math. Soc, 21 (1)}, 59-69.

[4] 2011 , Leavitt Path Algebras with Coefficient in a Commutative Ring, J. Pure. Appl. Algebra, 215, 471-

M. Tomforde,

  484. [5] P. A. Grillet, 2007, Abstract Algebra, Graduated Texts in Mathematics, Spinger-Verlag, New York.

  Wisbauer

[6] , 1991, Foundations of Module and Ring Theory, A Handbook for Study and Research, University of

R.

  Dusseldorf, Gordon and Breach Publisher. [7] T.Y. Lam, 1991, A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, New York. [8] Adkins , S.S. Weintraub, 1999, Algebra an Approach Via Module Theory, Springer-Verlag NewYork, 1999.