M4.1 M5 Peta Karnaugh
PETA KARNAUGH
PETA KARNAUGH
Suatu metode yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah Rangkaian Logika
METODE K-MAP
Nilai-nilai tabel kebenaran diletakkan pada K-Map
Kotak-kotak K-Map yang berdekatan
secara horizontal dan vertikal hanya
berbeda 1 variabel. Pola dari atas ke bawah atau kiri ke kanan harus berbentuk AB, AB, AB, AB
Bentuk SOP bisa didapatkan dengan
melakukan operasi OR pada semuaterm(AND) dari kotak yang bernilai 1.
TEKNIK-TEKNIK PELINGKARAN SATUAN PASANGAN :
DUA BUAH 1 YANG BERTETANGGA
Contoh :Sederhanakanlah fungsi berikut : A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’B’CD’ + A’BCD’ + ABC’D + ABCD + AB’C’D = Y
Peta C’ C’ CD
Karnaugh : Penghilangan A’B’C’
D’ D CD ’ D A’B Penghilangan
A’C D’
1
1
1 ’
B A’B
1 Penghilangan A B D
C AB
1
1 Penghilangan A C’
B D AB’
1 KUAD:
EMPAT BUAH 1 YANG BERTETANGGA
Contoh :Sederhanakanlah fungsi berikut : A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’BC’D’ + A’BC’D + A’B’CD’ + A’BCD’ + ABCD’ + AB’C’D’ + AB’C’D + AB’CD + AB’CD’ = Y
Peta C’ C’ CD
Penghilangan A’C’ Karnaugh :
D’ D CD ’ D dan B A’B Penghilangan
C D’
1
1
1 ’
A dan B
A’B
1
1
1 Penghilangan A B’
C dan D
AB
1 AB’
1
1
1
1 OKTET:
8 BUAH 1 YANG BERTETANGGA
1 AB’
Peta Karnaugh :
A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’BC’D’ + A’B’CD + A’B’CD’ + A’BC’D’ + ABC’D + A’BC’D’ + AB’C’D + A’BCD + A’BCD’ + ABCD + ABCD’ + AB’CD + AB’CD’ = Y Sederhanakanlah fungsi berikut :
C Contoh :
A, B, dan D
A’ Penghilangan
C, D, dan B
1 Penghilangan
1
C’ D’ C’ D CD
CD ’ A’B ’
1 AB
1
1
1
1 A’B
1
1
1
1
VARIASI PELINGKARAN YANG
LAIN C’ D’
1
A’B AB AB’Y = A’B’C’D + A’B’CD + AB’C’D + AB’CD Y = A’BC’D’ +
Penghilangan A dan C Y = A’B’C + AB’C Y = B’C
Penghilangan C dan A
1 Penghilangan A
1 A’B AB AB’
1
C’ C A’B ’1
1
C’ D CD CD ’
A’B ’
C’ D CD CD ’
1 AB’ C’ D’
1
1 AB
1
A’B ’ A’B
A’BCD’ + ABC’D’ + ABCD’
VARIASI PELINGKARAN YANG
LAIN C’ C’ CD D’ D CD ’A’B
1
1 ’ A’B
AB AB’
1
1 Penghilangan C
dan A Y = A’B’C’D’ + A’B’CD’ + AB’C’D’ + AB’CD’ PENCERMINAN C’D’ E’
C’D’ E C’DE C’DE ’ CDE’ CDE CD’E
CD’E ’ A’B ’
1
1
1
1 A’B
1
1
1
1 AB
1
1
1
1 AB’
1
1 A’B’E’ BE AD’E Garis pencerminan
PENGGUNAAN PETA KARNAUGH
DENGAN PERNYATAAN MINTERM LANGKAH-LANGKAH 1.
Tuliskan pernyataan Boolean minterm dari tabel kebenaran
2. Plot 1 pada peta untuk masing-masing variabel yang di-AND-kan. Bilangan pada kolom keluaran dari tabel
kebenaran akan sama dengan bilangan pada peta.
3. Gambarkan lingkaran mengelilingi kelompok dari
dua, empat atau delapan satuan yang berdekatan
pada peta.4. Hilangkan variabel yang muncul dengan
komplemennya, dan simpanlah variabel-variabel
yang sebelah kiri.5. OR-kan kelompok-kelompok yang tersisa untuk membentuk pernyataan minterm yang disederhanakan
PETA KARNAUGH DUA
VARIABEL m m
1 m
2 m
3
1 x’y’ x’y
1 xy’ xy
00 01 10 11 x y
PENGGAMBARAN PETA
PETA KARNAUGH DUA
VARIABEL
Pernyataan minterm
Aljabar Boolean yang disederhanakan
Pelingkaran satuan Penghilangan variabel Hilangkan A Hilangkan A + B = Y
1
1
A’ B’ B
1 A Penggambaran satuan
1
1
A’ B’ B
A’B +A.B’+AB =
YMasuka n Keluara n
1 A . B Tabel Kebenaran
1
1
B’
1 A .
1
B
1 A’.
1
A B Y
1 A
PETA KARNAUGH TIGA
VARIABEL PENGGAMBARAN PETA y z x
00
01
11
10 x’y’ m m m m
1
3
2 0 x’y’ x’yz x’yz z’ z ’ m m m m
4
5
7
6 1 xy’z xy’z xyz xyz’ ’
PETA KARNAUGH TIGA
VARIABEL y’z
Tabel ’ y’z yz yz’
Kebenaran f(x, y, x y z x’ z)
0 0 0
1 0 0 1
x’yz’
0 1 0
1 x 0 1 1 1 0 0
1
1 1 0 1
xyz’
1 1 0
1
xyz
1 1 1
1
PETA KARNAUGH TIGA
VARIABEL Tabel
Pernyataan Kebenaran minterm
Masukan Keluaran
A’B’C + A’BC’ + A’B C + AB’C + A B C Y ABC = Y
Penggambaran A’.
B’ B’ BC
1
1
satuan B’.C
C’ C BC ’ A’.B.
1
1 C’
A’ A’.B.
1
1
1 C
1
1
1
1 A.B’.
1
1
1 C
Aljabar Boolean yang Pelingkaran satuan Penghilangan
1
1 B’ B’ BC
disederhanakan variabel A
1
1
1
1 A.B.C
C’ C BC ’ Hilangkan C
1
1 A’ A’B + C = Y
Hilangkan AB
1
1
1
PETA KARNAUGH EMPAT
11 m
’ PENGGAMBARAN PETA
10 wx’y’ z’ wx’y’ z wx’yz wx’yz
’ 11 wxy’z ’ wxy’z wxyz wxyz’
01
w’xy’ z’ w’xy’ z w’xyz w’xyz
00
w’x’y’ z’ w’x’y’ z w’x’y z w’x’y z’10
11
01
00
10 yz wx
VARIABEL m m
1 m
8 m
14 m
15 m
13 m
12 m
6 m
7 m
5 m
4 m
2 m
3 m
9 m CONTOH
Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh. w x y z f(w, x, y, z)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
yz wx 00 01 11 10 00 0
1
1 01 0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 11 0 1 10 0
PETA KARNAUGH EMPAT
Tabel Kebenaran Pernyataan minterm
1
1
1
1 A.B.C’.D
1
1
1
1
1
1
1
1 A.B.C.D
A’. B’.C’.D + A’.B’.C.D + A’.B.C’.D + A’.B.C.D’ + A’.B.C.D + A.B’.C’.D + A.B’.C.D + A.B.C’.D + A.B.C.D = Y
1
C’ D’ C’ D CD
CD ’ A’B ’
1
1 A’B
1
1
1 AB
1
1 AB’
1
1 Peta Karnaugh D + A’BC = Y
Aljabar Boolean yang
1
VARIABEL
Masukan Keluaran
1
A B C D Y
1
1 A’. B’.C’.D
1
1
1
1 A’.B’.C.D
1
1
1
1 A’.B.C’.D
1
1 A’.B.C.D’
1
1
1
1
1 A’.B.C.D
1
1
1
1 A.B’.C’.D
1
1
1
1
1 A.B’.C.D
PETA KARNAUGH LIMA
VARIABEL PENGGAMBARAN PETA CDE
AB 000 001 011 010 110 111 101 100
00 m m m m m m m m 1 3 2 6 7 5 4
01 m m m m m m m m 8 9 11 10 14 15 13 12
11 m m m m m m m m 24 25 27 26 30 31 29 28
10 m m m m m m m m 16 17 19 18 22 23 21 20 Garis pencerminan CONTOH
PENGGUNAAN PETA 5 PEUBAH
C’D’ E’C’D’ E C’DE C’DE ’ CDE’ CDE CD’E
1 AB
1 Jadi fungsi f(A,B,C,D,E) = BE + A’B’E’ + AD’E Peta Karnaugh dari fungsi :
f(A,B,C,D,E) = (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)
1
1 AB’
1
1
1
1
CD’E ’ A’B ’
1
1
1 A’B
1
1
1
A’B’E’ BE AD’E CONTOH :
1. sederhanakan fungsi dari
f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’ yz wx
00
01
11
10
00
01
11
1
1
10 Hasil Penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxy
Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’
= wxy(z + z’) = wxy(1) = wxy CONTOH :
2. Sederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’
yz wx
00
01
11
10
00
01
11
1
1
1
1
10 Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wx
Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy = wx(z’ + z)
= wx(1) = wx Contoh sederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wy’ yz wx
00
01
11
10
00
01
11
1
1
10
1
1 CONTOH : 3. sederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ + wx’y’z’ + wx’y’z + wx’yz + wx’yz’
yz wx
00
01
11
10
00
01
11
1
1
1
1
10
1
1
1
1 Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w
Bukti secara aljabar: f(w, x, y, z) = wy’ + wy = w(y’ + y)
= w
PENGGUNAAN PETA KARNAUGH DENGAN PERNYATAAN MAKSTERM
LANGKAH-LANGKAH
Tuliskan aljabar Boolean maksterm dari tabel kebenaran. (ingat bentuk yang dibalik)
Plotkan satuan pada peta tersebut untuk masing-
masing kelompok variabel yang di-OR-kan. Jumlah
nol-an pada kolom Keluaran dari tabel kebenaran akan sama dengan jumlah satuan pada peta.
Gambarkan lingkaran-lingkaran yang mengelilingi
kelompok dua, empat, atau delapan satuan yang berdekatan pada peta.
Hilangkan variabel-variabel yang muncul bersama-
sama dengan komplemennya di dalam suatu lingkar, dan simpalah variabel yang tertinggal. AND-kan kelompok-kelompok yang tersisa untuk
+ C
1 1 balik
A’
B’+ C B+C B+C ’
Aljabar Boolean yang disederhanakan B’+ C’
Hilangkan A Hilangkan B (B +C) . (A’+C) = Y
Penggambaran Peta dan Pelingkaran satuan Penghilangan variabel
(A’+B’+C) = Y Pernyataan maxterm
Kebenaran (A+B+C) .(A’+B+ C).
1 Tabel
1
1
1
A’+B’+ C
1
CONTOH : PETA KARNAUGH TIGA VARIABEL
1
1
balik A’+B+ C
1
1
1
1
1
1
1
1
A B C Y balik A + B
Masukan Keluaran
1