VEKTOR-VEKTOR di BIDANG DAN di RUANG

  

VEKTOR-VEKTOR di BIDANG DAN di RUANG

1.

Ruang-2 Dan Ruang-3

  Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh

• – contoh dari vektor karena semuanya memililiki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif. Vektor-vektor dalam dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis yang terarah atau panah-panah di dalam ruang-2 atau ruang-3. Jika vektor bearada di R
₃ ^{2 maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor} berada di R maka dikatakan vektor berada di ruang. Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya.

  Komponen Dan Panjang Vektor

  Elemen-elemen dari pada vektor biasanya disebut komponen-komponen dan sebagai notasinya biasa dipakai huruf latin kecil (misalnya komponen x , x , x , x untuk n = 4) sedangkan _{1 2 3 4} untuk vektornya dipakai huruf latin besar (A, K, V); kecil tebal (a, k, v, w, x); atau huruf kecil dengan ruas garis

  ̅. Panjang vector disimbolkan dengan | |, contohnya |a|. Secara geometri vektor memiliki titik pangkal/awal/permulaan (initial point) dan titik ujung/akhir/terminal (terminal point). Apabila diperhatikan, maka vektor tidak lain daripada matirx yang terdiri dari satu baris dan n kolom untuk vektor baris dan terdiri dari satu kolom dan n baris untuk vektor kolom, yaitu sebagai berikut:

• X = (x ^{1 , x 2 , x 3 )}

  Untuk vektor baris X:

  Untuk vektor kolom B:

• 1

  Y = y2 [ ]

  3 ^{1 , x 2 , x 3 ) = (4, 5, 6) dan Y = [y 1 , y 2 ] = [1, 2]} Jadi: X = (x

   Gambar 1 Vektor 

  Visualisasi Vektor

• Vektor a dan b dikatakan sama, jika Arah kedua vektor sama dan |a| = |b|
• Vektor a dan b dikatakan tidak sama, jika Arah kedua vektor tidak sama, meskipun |a|

  = |b|

• Vektor a dan b dikatakan tidak sama, jika Arah kedua vektor tidak sama dan |a|

  ≠ |b|

  Vektor dalam sistem koordinat kartesian 1.

  Koordinat kartesian dua dimensi

  a. Gambar vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!

  b. Gambar vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (1,-2) !!

  2. Koordinat kartesian tiga dimensi Gambar vektor b (-2, 5, 1) dengan pangkal a (3, 4, 7)

  Panjang Vektor 1.

  Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) didefinisikan sebagai: Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a1=a2=0 Contoh : Cari panjang vektor a (5,-3) ! _{2 2}

  a

  | |  5  (  3 )  25  9  36 

  6 2. ^{2 , y 2 , z 2 ) dan berpangkal pada (x 1 , y 1 , z 1 ) didefinisikan sebagai:} Panjang vektor a (x

  Contoh : Cari panjang vektor a (5,-3,1) dengan titik pangkal (1,1,1) Gambar vektor b (-2, 5, 1) dengan pangkal a (3, 4, 7)! _{| |  ( a 5  1 )  (  2 3  1 )  ( 2 1  1 )  2 16  16   32  4 2} LATIHAN 1

  1. Gambarkan dalam satu koordinat, vektor-vektor berikut : a. s (5,-4) dengan titik pangkal (0,0) g (2,1) dengan titik pangkal (-3,-2) b.

  c. j (-3,2) dengan titik pangkal (5,-2)

  d. m (3,2,1) dengan titik pangkal (1,2,1) b (3,-2,-1) dengan titik pangkal (-1,1,-3) e.

  2. Cari panjang dari masing2 vektor yang ada pada soal no 1 2.

OPERASI DENGAN VEKTOR 1. Penjumlahan dan pengurangan Vektor

  Metode penjumlahan dan pengurangan vektor a.

  Cara Segitiga Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b.

  b.

  Cara Jajaran Genjang Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir.

  Penjumlahan dan pengurangan dari dua buah vektor a dan b, dimana A = (a , a , a ) dan B = (b , b , b ) _{1 2 3 1 2 3} maka C = a i ± b j contoh: A = (a ^{1 , a 2 ) = (3, 5)}

  1) C = A + B = (a + b , a + b ) = (3 + 1, 5 + 4) = (4, 9) _{1 1 2 2} 2) C = A - B = (a ^{1 - b 1 , a 2 - b 2 ) = (3}

• – 1, 5 – 4) = (2, 1) Sifat Penjumlahan Vektor

  a. a + b = b + a komutatif

  b. asosiatif ( u + v ) + w = u + ( v + w )

  c. elemen netral a + 0 = 0 + a = a d. elemen invers a + (-a) = 0

  Perkalian vektor dengan skalar Apabila vektor X dikalikan dengan suatu skalar, maka X.k = k.X Contoh: X = [2, 3, 1] dan k = 2 X.k = 2 [2, 3, 1]= 4, 6, 2 b.

  Perkalian vektor dengan vektor Dua buah vektor bisa dikalikan apabila jumlah kolom vektor sebelah kiri sama dengan jumlah baris vektor sebelah kanan.

  Contoh: X = ( 1, 2, 3) Y = ( 3, 4, 5)

  1 3 4 5 X’Y = [ 2 ] ( 3, 4, 5 ) = [ 6 8 10 ], suatu matrix 3 9 12 15

  3 XY’ = ( 1, 2, 3 ) [ 4 ] = 3 + 8 + 15 = 26, suatu skalar

  5 c. Perkalian Vektor dengan Matrix

  X = ( x ^{1 , x 2 , ... , x n )} 11 12 … 1 B =

  [ 21 22 … 2 ] 1 2 …

  X.B hanya bisa dilakukan apabila jumlah baris dari matrix itu sama dengan banyakanya jumlah komponen dari vektor tersebut (jumlah kolom).

  3. Perkalian Titik dan Perkalian Silang vektor satuan

  Diketahui dua vektor ^{1 , a 2 , a 3 dan 1 , b 2 , b 3 . Perkalian titik dua vektor} ̅ = a ̅ = b tersebut didefinisikan sebagai: ₁ b + a b + a b _{1 2 2 3 3}

  ̅. ̅= a

  Perkalian Silang (Cross Product)

  Hasil perkalian silang diantara dua vektor ̅ dan ̅ adalah sebuah vektor lain ̅. Arah dari

  ̅ sebagai hasil ̅ dan ̅ didefinisikan tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh ̅ dan ̅. Padaini ada ketentuan sebagai berikut : i x i = 0 i x j = k j x i = -k _k j x j = 0 j x k = i k x j = -i _i k x k = 0 k x i = j i x k = -j _j

  Contoh: Tentukan perkalian titik dan silang dari vektor berikut:

X = 2i – 2j + 4k Y = i – 3j + 2

  Perkalian Titik Perkalian Silang X . Y = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2

  i j k

  = 16

• -

  2

  2

  4 -

  

1

  3

  2 X.Y =

  = { (-2).2

• – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k = (-4+12) i
• – (4-4) j + (-6+2) k
• – 0j – 4k = 8i
• – 4k LATIHAN 2 1.

  Diketahui vektor A=(3, 4, 12), B=(-4, 3, 0) dan C=(1, 2, 1) Tentukan: a.

  |A| b. |B| c. A+B-C d.

  |A+B-C| e.

• 3A f.

  |-3A| g.

  Nilai x sehingga -3A+B+x=4x+C 2. Tentukan perkalian titik dan perkalian silang vektor berikut: a.

  A = 4i + 3j − 2k dan B = 7i + 2j + 5k

  

Kombinasi Linear

  jika ^{1 , a 2 , a 3 ) dapat dinyatakan dengan 1 2 3} ̅ = (a ̅ = a ̅ + a ̅ + a ̅. Dalam hal ini kita sebut bahwa vektor dapat disajikan dalam kombinasi linear dari tiga vektor .

  ̅ ̅, ̅ dan ̅

  Secara umum, misalkan diketahui vektor ^{1 , 2 , 3 , ... , n dan vektor . Vektor dapat} ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ disebut kombinasi linear dari vektor ^{1 , 2 , 3 , ... , n, jika terdapat bilangan s 1 , s 2 , s n}

  ̅ ̅ ̅ ̅ (bilangan skalar), sehingga berlaku: _{1 1 + s 2 2 + .... + s n}

  ̅ = s ̅ ̅ ̅ Contoh: Diketahui vektor U = ( 2, -1, 3) dan V (-1, 5, -2). Jika mungkin tuliskan vektor A (4, 7, 5) sebagai kombinasi linear dari vaktor U dan V! Jawab 2 −1

  4 Tulis s ^{1 U + s 2 V = A atau s 1 2} [ ] + s [ ] = [ ]

  −1

  5

  7 3 −2

  5 2s1 – s2 = 4 2 −1 4

  Bentuk persamaan linear { − 1 + 5 2 = 7 }  matriks lengkap ( −1

  5 7 ) 3 1 − 2 2 = 5 3 −2 5

  Dengan eliminasi Gauss 1 0 3 _{1 = 3 dan s 2 = 2.} ( ). Kita perw.oleh jawaban dari persamaan linear s 0 1 2

  0 0 0 Oleh karena itu, vektor A sebagai kombinasi dari vaktor U dan V dapat ditulis A = 3 U + 2 V .

  LATIHAN 3 ₃ 1.

  . Tentukan apakah vektor Misal U = ( 2, 4, 0 ), dan V = ( 1, -1, 3) adalah vektor di R berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor U dan V! a)

  A = ( 4, 2, 6 )

  b) B = ( 1, 5, 6 )

  c) C = ( 0, 0, 0 )

  Jawaban

  a) Tulis k u  k v  a . Akan diperiksa apakah ada k _{1 2} ^{1 , k 2 , sehingga kesamaan tersebut} dipenuhi. Tulis

  2

  1

  4

  2 1 k

  4             ₁

             

  k _{1  } 4  k _{2          } - - 1 

  2

  4 1 

  2            

  3

  6 3 k ₂

  6          

    dengan OBE, diperoleh: dengan demikian A merupakan kombinasi linear dari U dan V atau ditulis A=U + 2 V

  b) tulis b v k u k      _{2 1}

  2 ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyaisolusi). Jadi, tidak ada nilai k ^{1 dan k 2 yang memenuhi}

  2

  1

  1 ~

  6

  3

  3 3 -

  1 ~

  6

  3

  5 1 -

  4

  1

  1

   b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v c) Dengan memilih k ^{1 = 0 dan k 2 = 0, maka dapat ditulis c v k u k  }

      

    _{2 1} .

  artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun

       

     

       

     

  2

  1

  2

  1 ~

  6

  3 6 - 3 -

  1

  2

  3

      

  . Akan diperiksa apakah ada k ^{1 , k 2 , sehingga kesamaan tersebut} dipenuhi. Tulis     

      

      

       

      

       

      

  6

  5

  1

  3 1 -

  1

  4

  2 _{2 1}

  k k

  dapat ditulis menjadi     

     

      

    

      

      

  6

  5

  1

  3 1 -

  4

  1

  2 _{2 1}

  k k

  dengan     

      

      

  1 ₂ ¹ ₂ ¹

  

Bebas Linear

Kumpulan vektor { ^{1 , 2 , 3 , ... , n } disebut kumpulan bebas linear jika persamaan:} ̅ ̅ ̅ ̅ s ^{1 1 + s 2 2 + .... + s n = 0} ̅ ̅ ̅

  hanya diperoleh jika s ^{1 = s 2 = ... = s n = 0. Jika skalar s 1 , s 2 , ... s n salah satunya tidak 0,} maka vektor tersebut bergantung linear. Contoh

  a) ^{1 = ( 1, 0 ) dan 2 (1, 1). Buktikan bahwa vektor { 1 2 } adalah} Diketahui vektor ̅ ̅ ̅ , ̅ bebas linear!

  Jawab Harus memenuhi persamaan s ^{1 1 + s 2 2 = 0 atau s 1 2 = 0}

  ̅ ̅ (1, 0) + s (1, 1) dengan operasi vektor dapat ditulis (s ^{1 + s 2 2 ) = (0, 0).}

  , s Karena s ^{2 = 0 dan juga s 1 = 0, maka kumpulan vektor { 1 2 } adalah bebas linear.} ̅ , ̅

  b) ^{1 = ( 1, 2, 4 ), 2 = ( 2, 2, 8 ) dan 3 = (1, 0, 4). Apakah vektor} Diketahui vektor ̅ ̅ ̅

  { ^{1 2 3 } bebas linear?} ̅ , ̅ , ̅

  Jawab Harus memenuhi hubungan berikut: s ^{1 1 + s 2 2 + s 3 3 = 0}

  ̅ ̅ ̅

  1

  2

  1 s ^{1 (1, 2, 4) + s 2 3 1 2} (2, 2, 8) + s (1, 0, 4)= 0 atau s [ ] + s [ ] + s3 [ ] = [ ]

  2

  2

  4

  8

  4 akan diperoleh 3 persamaan: s ^{1 + 2s 2 3 = 0 (1)}

• s 2s ^{1 + 2s 2 = 0 (2)}
• 0 4s ^{1 + 8s}
² 3 = 0 (3)<
• 4s Dengan jalan subtitusi: 1 + 2 2 + 3 = 0 (1)

  Nilai s ^{1 bergantung dengan s 3} 2 1 + 2 2 + 0 = 0 (2) −

  − 1 + 0 + 3 = 0 1 = 3 4s ^{1 + 8s 2 3 = 0 (3)}

• 4s 4s ^{3 + 8s}
² 3 = 0<
• 4s

  Nilai s ^{2 bergantung dengan s 3} 8s ^{2 3}

  = -8s s ^{2 = -s 3}  _{1 2 3 }}

  Jadi, karena tidak semua sklar nilainya = 0, maka vaktor set vaktor { ̅ , ̅ , ̅ merupakan bergantung linear. Penyelesaian dengan OBE

• – s3= 0, berarti s1 = s3 LATIHAN 4: 1.

    

    

         

    

     

    

    

    

    

   

    

   

  Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū ^{1 ,} ū ²

  2

  1

  1 ,

  4

  12

  8 ,

  1

  1 ,

  6

  3

  6

  , … , ū ^{n } merupakan himpunan} berhingga dari vektor

  Basis dan Dimensi

  3 M

  3 ] ̅3 = [

  Matriks lengkap ( 1 2 1 0

  2 2 0 0 4 8 4 0 ) dengan eliminasi gauss didapat ( 1 0 −1 0

  0 1

  1 0 0 )

  Dengan subtitusi diperoleh s2 + s3 = 0, berarti s2= -s3 s1

  tentukan apakah vektor-vektor dari R ⁿ berikut, bebas atau tidak bebas linear! ̅1 = [

  1

  2 −1

  2 ] ̅2 = [

  −2 −5

  1

  0 1 0 0 0 0 1 0 ) karena nilai k1 = k2 = k3 = 0 maka vektor tersebut adalah bebas linear

  1

  10 ] 2.

  Diketahui vektor ̅ ^{1 = ( -1, 0, 1 ),} ̅ ^{2 = ( -2, 1, 1 ) dan} ̅ ^{3 = (2, 3, 1). Apakah vektor {} ̅ ¹ ₂ , ̅ ² , ̅ ^{3 } bebas linear?}

  Jawaban 1.

  ( 1 −2 1 0 2 −5 0 0

  −1 3 1 0 2 10 0 ) ( 1 0 5 0

  0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  ) karena nilai k1, k2 dan k3 tidak sama 0 maka vektor tersebut tidak bebas linear

  2.

  ( −1 −2 2 0 1 3 0

  1 1 1 0 ) ( 1 0 0 0

• – vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V. Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V • S bebas linear Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
Jawab : Tulis kombinasi linear :

  3 6  1 

  8 1 a b           k  k  k  k 

  1

  2

  3

  4           3 

  6  1  12  4 

  1 2 c d          

  Atau 3 k  k 6 k  k  8 k a b

      _{1 4 1 2 3} 

      3 k  k  _{1 2} 12 k  k  _{3 4} 6 k  ₁ 4 k  ₃ 2 k c d ₄     dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL :

  

  3 1   k   a  ₁         k

  6

  1 8 b     ₂       

    3  1  12  1 k c ₃  

        k d

  6

  4

  2    ^{4   }

  Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48

• det(MK)  0  SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, • Det(MK)  0 SPL homogen punya solusi tunggal.

  Jadi, M bebas linear. Karena M bebas linear dan membangun M 2 x 2 maka M merupakan basis bagi M 2 x 2 . Ingat… Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.

  Contoh :

  Untuk ruang vektor dari M 2 x 2 , himpunan matriks :  

  1

  1        

  , , ,  

         

  1

  1

  1        

   

  Contoh :

  Diberikan SPL homogen : 2 p + q

• – 2r – 2s = 0 p
• – q + 2r – s
• –p + 2q – 4r + s = 0 3 p
• – 3s = 0 Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas

  Jawab :

  SPL dapat ditulis dalam bentuk :

  2 1  2 

  2     1 

  1 2 

  1    

  

  1 2 

  4

  1   3 

  3   dengan melakukan OBE diperoleh :

  1 

  1     1 

  2        

  Solusi SPL tersebut adalah

  p

  1            

  q

  2      

  a b

         

  r

  1      

  s

  1       dimana a dan b adalah parameter

  Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :  

   1       

   

  2      

  ,  

     

  1  

       

  1    

    Sedang Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.