BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF Kn Km

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 47 – 52

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF

_{n m}

⊙

  

K K

RINA WALYNI, ZULAKMAL

Program Studi Matematika,

  

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.

  

Rinawalyni@gmail.com

Abstract. Bilangan Kromatik Lokasi dari G adalah minimum dari banyaknya warna

yang digunakan pada pewarnaan lokasi dari graf G. Misalkan G = (V, E) adalah graf

_i

terhubung dan c suatu pewarnaan dari G. Untuk 1 ≤ i ≤ k, kita definisikan S

merupakan himpunan semua titik-titik yang diberi warna i. Kode warna c Π (v) dari

_{1 2}

v ∈ V (G) didefinisikan sebagai vektor-k c Π (v) = (d(v, S ), d(v, S ), · · · , d(v, S k )) di-

_{i i}

mana d(v, S ) adalah jarak antara v dan S . Misalkan G dan H adalah dua buah graf

_{1 2 n 1 2 m}

dengan V (G) = {x , x , · · · , x } dan V (H) = {a , a , · · · , a }. Salinan adalah graf

dengan himpunan titik dan himpunan sisi yang sama dari graf G. Hasil kali korona

pada graf G terhadap graf H yang dinotasikan dengan G ⊙ H didefinisikan sebagai graf

yang diperoleh dengan mengambil satu salinan graf G dengan |V (G)| = n dan n salinan

_{1 2 n}

H , H , · · · , H dari graf H, kemudian menghubungkan titik ke-i dari G ke setiap titik

_i

di H , untuk 1 ≤ i ≤ n. Pada tulisan ini, akan dibahas kembali makalah [2] tentang

_{n m}

bilangan kromatik lokasi untuk graf K ⊙ K . Kata Kunci : Bilangan Kromatik Lokasi, graf lengkap, operasi korona

1. Pendahuluan

  Misalkan c adalah suatu pewarnaan titik pada graf G dengan menggunakan warna- warna 1, 2, · · · , k untuk suatu bilangan bulat positif k. Jika titik u dan v berte- tangga di G, maka c(u) 6= c(v). Secara ekuivalen, c merupakan suatu partisi Π dari V (G) ke dalam kelas-kelas warna yang saling bebas S , S , · · · , S k , dimana S i

  1

  2

  merupakan himpunan semua titik-titik yang diberi warna i, 1 ≤ i ≤ k. Misalkan Π = {S , S , · · · , S k } merupakan partisi dari V (G) berdasarkan suatu pewarnaan

  1

  2

  titik, maka representasi v terhadap Π disebut kode warna (color code). Kode warna c (v) dari titik v dalam G didefinisikan sebagai vektor-k:

  Π

  c

  Π (v) = (d(v, S

1 ), d(v, S

2 ), · · · , d(v, S k ))

  dimana d(v, S i ) = min{d(v, x) | x ∈ S i } untuk 1 ≤ i ≤ k. Jika setiap titik yang berada di G memiliki kode warna yang berbeda terhadap Π, maka c disebut pe- warnaan lokasi (locating coloring) dari G.

  Kajian tentang pewarnaan lokasi adalah suatu kajian yang cukup baru dalam bidang teori graf. Konsep pewarnaan lokasi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. [6] pada tahun 2002 dengan menentukan bilangan kromatik lokasi dari beberapa

  Rina Walyni, Zulakmal

  48 Lema berikut digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada penelitian ini.

  Lema 1.1.

  [6] Misalkan G suatu graf terhubung. Misal c adalah suatu pewarnaan

  lokasi untuk graf G dan u, v

  ∈ V (G). Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈

  V (G) − (u, v) sedemikian sehingga u dan v adalah dua titik dengan warna berbeda. Bukti.

  Misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan , S , misal-kan Π = {S · · · , S k } adalah partisi dari titik-titik S ke dalam kelas

  1

  2

  warna S i . Untuk suatu titik u, v ∈ V (G), andaikan c(u) = c(v) sedemikian sehingga titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama, namakan S i dari Π.

  Akibatnya d(u, S i ) = d(v, S i ) = 0. Karena d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈

  V (G) − {u, v} maka d(u, S j ) = d(v, S j ) untuk setiap j 6= i, 1 ≤ j ≤ k. Akibatnya, c

  

Π (u) = c Π (v) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Ini kontradiksi dengan pemisalan

  bahwa c(u) = c(v). Dengan demikian, haruslah diperoleh c(u) 6= c(v) yaitu u dan v merupakan suatu pewarnaan yang berbeda. _{n m} ⊙

  2. Bilangan Kromatik Lokasi untuk Graf K K Misalkan terdapat graf lengkap K n dengan himpunan titik V (K n ) =

  , x , {x

  1 2 · · · , x n }. Misalkan terdapat graf komplemen dari graf lengkap dengan

  m titik K , yang dinotasikan dengan K dengan himpunan titik V (K ) =

  m m m

  {a , a , · · · , a }. Graf K ⊙ K adalah graf yang diperoleh dari K dan kom-

  1 2 m n m n

  plemen graf lengkap K dengan m titik, dengan cara menghubungkan setiap m

  m

  titik di salinan ke-i dari K m ke titik x i di K n , untuk i = 1, 2, · · · , n. Dalam bab ini akan dibahas kembali makalah [2] mengenai bilangan kromatik lokasi untuk graf K n ⊙ K m dengan n ≥ 1, m ≥ 1.

  n m

Gambar 1. Graf K ⊙ K , n, m ≥ 1

  , x , n m Bilangan Kromatik Lokasi Untuk K ⊙ K

  49

  graf K , untuk i = 1, 2, · · · , n. Maka

  im _[ n

  V , x ,

  V (K n ⊙ K m ) = {x · · · , x n } ∪ (K im ),

  1

  2

i

=1 _[ n E (K n ⊙ K m ) = E(K n ) ∪ E (K im ) ∪ {x i a ij |1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}. i =1

  Dapat dilihat bahwa: |V (K n ⊙ K m )| = |V (K n )| + |V (K n )| · |V (K m )|, |E(K n ⊙ K m )| = |E(K n )| + |V (K n )| · |E(K m )| + |V (K n )| · |V (K m )|.

  Dalam makalah [2] diperoleh bilangan kromatik lokasi dari graf dari graf K ⊙

  n

  K m untuk n, m ≥ 1, seperti yang dilihat pada Teorema 2.1 berikut: Teorema 2.1.

  adalah

  [2] Untuk n, m ≥ 1, bilangan kromatik lokasi dari K n ⊙ K m

  sebagai berikut:

  m + 1, jika n ≤ m + 1; χ L (K n ⊙ K m ) = n, jika n > m

• 1. Bukti. Kasus 1.

  Perhatikan Graf K n ⊙ K m untuk n, m ≥ 1, dan n ≤ m + 1. Untuk menunjukkan bahwa χ L (K n ⊙ K m ) = m + 1 cukup dengan menunjukkan bahwa graf yang diberikan memenuhi pewarnaan lokasi tersebut. Pandang pewar- naan c untuk titik x i yang berdekatan dengan setiap titik pada K im , maka x i mempunyai pewarnaan yang berbeda selain warna pada V (K ). Berdasarkan atu-

  im

  ran pewarnaan lokasi pada graf yaitu, setiap dua titik yang bertetangga tidak boleh memiliki kode warna yang sama. Misalkan x i ∈ K n maka pada V (K n ⊙ K m ) = x i bertetangga dengan semua titik di K m . Maka x i haruslah memiliki kode warna yang berbeda dari semua titik di V (K im ) maka χ L (K n ⊙ K m ) ≥ m + 1.

  Definisikan suatu pemetaan c pada V (K n ⊙ K m ) sedemikian sehingga c(x ) = i

  i )

  dan c(V (K im )) = [1, m + 1] − {i} untuk setiap i ≤ m + 1. Pemetaan c ini adalah pewarnaan lokasi. Dari Pemetaan c tersebut maka semua titik pada V (K im ) memi- liki kode warna yang berbeda satu sama lain dengan | V (K im ) |= m sehingga banyaknya kode warna pada V (K im ) adalah m.

  Pada (K n ⊙ K m ) , x i memiliki kode warna yang berbeda dengan semua titik pada V (K im ) sehingga banyaknya kode warna pada graf (K n ⊙ K m ) adalah m + 1. Pewarnaan dengan m + 1 warna pada graf (K n ⊙ K m ) merupakan suatu pewarnaan lokasi karena setiap titik pada graf (K n ⊙ K m ) memiliki kode warna yang berbeda terhadap Π.

  Kasus 2.

  Perhatikan Graf K n ⊙ K m untuk n, m ≥ 1, dan n > m + 1. Untuk menunjukkan bahwa χ L (K n ⊙ K m ) = n cukup dengan menunjukkan bahwa graf yang diberikan memenuhi pewarnaan lokasi tersebut. Pandang pewar- naan c untuk x i yang berdekatan dengan setiap titik K im , maka x i mempunyai warna yang berbeda dengan titik-titik di V (K im ).

  Pandang n > m + 1. Karena setiap dua buah x berada di kelas warna yang

  i

  berbeda, maka: χ

  Rina Walyni, Zulakmal

50 Didefinisikan pemetaan c dengan mengkonstruksikan pewarnaan titik c(x i ) = i,

  c (V (K im )) = [1, m + 1] − {i} untuk i ≤ dan c(V (K im )) = [1, m] untuk i yang lainnya. Jika d(u, x ) = d(v, x ) , maka berlaku tiga kasus berikut ini:

  1

1 Kasus 2.1 Untuk u, v ∈ V (K n ).

  Pandang u = x k dan v = x l untuk suatu k, l dan u, v mempunyai warna yang berbeda. Jika x k ∈ V (K n ) dan x l ∈ V (K n ) pada graf K n ⊙ K m . Akibatnya d , x , x

  (x k ) = d(x l ) = 1 karena d(u, x ) = d(v, x ) maka u dan v berada dalam

  1

  1

  

1

  1 kelas warna yang berbeda.

  Kasus 2.2 Untuk u ∈ V (K n ) dan v ∈ V (K m )

  Pandang pewarnaan titik untuk u = x i dan v = a 1k untuk suatu i 6= 1 dan i , x

  6= k. Jika x i ∈ V (K n ) dan a 1k ∈ V (K m pada graf K n ⊙ K m Akibatnya d(x i

  1 ) =

  d , x (x lk

  1 ) = 1 karena d(u, x 1 ) = d(v, x 1 ) maka u dan v berada dalam kelas warna yang berbeda.

  Kasus 2.3 Untuk u ∈ V (K ) dan v ∈ V (K ) , i 6= j

  

im jm

Pada kasus ini, pewarnaan titik untuk u = a dan v = a untuk suatu i, j, t, s. it js

  Jika a it ∈ V (K im ) dan a js ∈ V (H j ) pada graf K n ⊙ K m . Akibatnya d(a it , x ) =

  1

  d (a js , x ) = 2 karena d(u, x ) = d(v, x ) maka u dan v berada dalam kelas warna

  1

  1

  1 yang berbeda.

  Dari ketiga kasus diatas dapat disimpulkan bahwa c adalah suatu lokasi pewar- naan dan χ L (K n ⊙ K m ) = n untuk n, m ≥ 1. Sebagai contoh akan ditentukan bilangan kromatik lokasi untuk graf K ⊙

  5 K

  , x , x , x , x

  4 sebagai berikut. Misalkan V (K 5 ) = {x

  1

  2

  3

  4 5 } dan V (K i 4 ) =

  , a , a , a {a i

  1 i 2 i 3 i 4 } maka pada graf hasil korona, himpunan titik dan himpunan sisinya

  adalah: V , x , x , x , x (K ⊙ K ) = {x } ∪ V (K ) ∪ V (K ) ∪ V (K ) ∪ V (K ).

  5

  4

  1

  2

  3

  4

  5

  14

  24

  34

  44

  dimana V (K im ) = {a ij |1 ≤ i ≤ 5, 1 ≤ j ≤ 4} adalah himpunan titik dari salinan ke-i dari graf K .

4 Berdasarkan Teorema 2.1, maka bilangan kromatik lokasi dari graf V (K ⊙

  5 K ) adalah 4 + 1 = 5. Berikut adalah pewarnaannya, dengan mengkonstruksikan

  4

  pewarnaan titik terhadap V (K ⊙ K ) dengan

  5

  4

  c (x i ) = i, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, c (V (K im )) = [1, 5] − {i}, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Dengan pewarnaan tersebut, diperoleh bahwa χ (K ⊙K ) = 5 yaitu dengan mem-

  L

  5

  4

  bagi himpunan titik K ⊙ K menjadi lima kelas warna sebagai berikut:

  5

  4

  , a , a , a , a

• S

  1 = {x

  1

  21

  31

  41 51 },

  , a , a , a , a

• S

  2 = {x

  2

  11

  32

  42 52 },

  , a , a , a , a

• S

  3 = {x

  3

  12

  22

  43 53 },

• S = {x , a , a , a , a },

  4

  4

  13

  23

  33

  54 • S = {x , a , a , a , a }.

  5

  5

  14

  24

  34

  44 n m Bilangan Kromatik Lokasi Untuk K ⊙ K

  51 K ⊙ K berbeda, sebagai contoh:

  5

  4

  c (x ) = (d(x , S ), d(x , S ), d(x , S ), d(x , S ), d(x , S )) = (0, 1, 1, 1, 1), dan

  Π

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  3

  1

  4

  1

  5

  c (a ) = (d(a , S ), d(a , S ), d(a , S ), d(a , S ), d(a , S )) = (2, 1, 2, 2, 0)

  Π

  24

  24

  1

  24

  2

  24

  

3

  24

  4

  24

  5 Pada Gambar 2 diberikan pewarnaan lokasi terhadap K ⊙ K sesuai konstruksi

  5

  4 di atas.

  

L

^{5 4} Gambar 2. χ (K ⊙ K ) = 5

  3. Kesimpulan Pada tulisan ini telah dikaji kembali makalah [2] bahwa untuk K n ⊙ K m untuk n, m

  ≥ 1, diperoleh: m + 1, jika n ≤ m + 1; χ L (K n ⊙ K m ) = n, jika n > m + 1.

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Narwen, M.Si, Bapak Dr. Admi Nazra dan Bapak Syafruddin, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam penyempurnaan penulisan artikel ini.

  Daftar Pustaka [1] Asmiati, H. Assiyatun and E. T. Baskoro. The Locating-Chromatic Number for

52 Rina Walyni, Zulakmal

  [2] E. T. Baskoro dan Ira A. Purwasih. 2012. The Locating-Chromatic Number For Corona Product Of Graphs. Southeast Asian Journal of Sciences 1(1): 124 – 134 [3] F. Buckey dan M. Lewinder.2003. A Friendly Introduction to Graph Theory.

  Prentice Hall, New Jersey [4] J. A. Bondy dan U.S.R Murty. 1976. Graph Theory with Applications. London [5] G. Chartand dan O.R. Oellermann.1993. Applied and Algorihmic Graph Theory.

  McGraw-Hill,Inc.Unites States [6] G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slaster, P. Zhang. The Locating-

  Chromatics Number of a Graph,Bull. Inst. Combin. Apll. 36 (2002): 89 – 101 [7] G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slaster, P. Zhang, Graph of Order n With Locating-Chromatic Number n-1, Discrete Math 269 (2003) (1 – 3): 65

• – 79 [8] G. Chartrand and P. Zhang, The Theory and Application of Resolvability in

  Graph, Congressus Numerantium 160 (2003), 47 – 68