S MAT 1100459 Chapter3
BAB III
PERMASALAHAN TRANSPORTASI FUZZYMENGGUNAKAN
METODE THORANI
3.1 MetodePerangkinganThorani
Padatahun 2012, Thorani, et al.dalamjurnalnya yang berjudul “Ordering
Generalized
Trapezoidal
Numbers “
memperkenalkansuatu
metodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesium.
Padaprinsipnya,
Thoranimembagitrapesiumtersebutmenjaditigabuahbidang.Bidangpertamaberupas
egitiga,
bidangkeduaberupapersegipanjangdanbidangketigaberupasegitiga.Selanjutnyadila
kukanpenghitunganterhadaptitikberat(centroid)untuksetiapbidang.
Titikberat(centroid) sebuah segitiga merupakan titik perpotongan antara ketiga
garis berat. Sedangkan garis berat sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari
suatu titik sudut sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian yang
sama panjang. Setelah titik berat setiap bidang diperoleh, langkah selanjutnya
adalah
menentukan
yang
incenter
merepresentasikantitikberatsecarakeseluruhandaribidangtrapesium.
Denganmenggunakannilaiincenter ,yaitu dengan mengalikan koordinat incenter
tersebut,
selanjutnya
dapatmenentukan
nilaihimpunanbilanganfuzzytrapesiumdalambentukhimpunantegasnya,
sehinggadapatdilakukanperangkinganterhadapbeberapabilanganfuzzytrapesium.
Diantarabeberapametodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesi
um,
metodeperangkinganThoranimemilikibeberapakeunggulandiantaranyabentuknya
yang sederhana, dan dapatmerangkingbeberapa bilanganfuzzytrapesiumdalam
bentukbilangantegas(Thorani, et al.2012, hlm. 555). Thorani memberikan contoh
empat
buah
bilangan
1
= (0.1 , 0.2, 0.3 ; 1),
4
= (0.6 , 0.7, 0.8 ; 1)kemudian
2
= (0.2 , 0.5, 0.8 ; 1),
merangking
yaitu
fuzzy
3
= (0.3 , 0.4, 0.9 ; 1)
bilangan
fuzzy
44
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dan
tersebut
45
menggunakan beberapa metode perangkingan seperti metode perangkingan
Yager, metode perangkingan Fortemps dan Roubens, metode perangkingan Liou
dan Wang,metode perangkingan Chen dan metode perangkingan Thorani. Hasil
pengurutan keempat bilangan fuzzy menggunakan beberapa metode perangkingan
dapat dilihat pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Hasil Perbandingan Beberapa Metode Perangkingan
�
Metode
Yager
Fortemps
dan
Roubens
=1
�
�
Urutan
Rangking
4 > 2 =
> 1
4 > 2 =
> 1
�
0,20
0,50
0,50
0,70
0,20
0,50
0,50
0,70
0,25
0,65
0,65
0,75
4
>
= 0,5
Liou
dan Wang
0,20
0,50
0,50
0,70
4
>
=0
0,15
0,35
0,35
0,65
4
>
=1
-0,20
0,00
0,00
-0,20
2
=
= 0,5
Chen
-0,20
0,00
0,00
-0,20
2
=
=0
-0,20
0,00
0,00
-0,20
2
=
0,0720
Thorani
0,1948
0,1683
0,2552
4
>
>
3
3
2
=
3
2
=
3
2
=
3
3
>
1
3
>
1
3
>
1
2
>
3
1
>
1
>
1
=
4
=
4
=
4
>
1
Berdasarkan Tabel 3.1 dapat dilihat bahwa metode perangkingan Yager,
metode perangkingan Fortemps dan Roubens, dan metode perangkingan Liou dan
Wang tidak dapat mengurutkan bilangan fuzzy
2
dan
3.
Begitupun dengan
metode perangkingan Chen, akan tetapi metode perangkingan Thorani berhasil
mengurutkan bilangan fuzzy
Thorani,
et
al.(2012,
1, 2, 3, 4.
hlm.
561-562)
memberikan
prosedur
memperolehrumusperangkingan Thorani, yaitu sebagai berikut :
Langkah 1
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
untuk
46
Perhatikan Gambar 3.1, pada langkah pertama ini yang dilakukan yaitu
membagitrapesiummenjaditigabuah
bidangyang
terdiri
dari
sebuahbidangpersegipanjang (BPQC) danduabuahbidangsegitiga (APB dan
CQD).
P(b,w)
w
Q(c,w)
))
C(c,0)
B(b,0)
A(a,0)
D(d,0)
domain
Gambar 3.1 KurvaBilanganFuzzyTrapesium
Langkah 2
Pada langkah kedua ini akan menentukantitikberatsetiapbidang.Misalkan �
merupakan titik berat untuk bidang ke i
dimana
dan
= 1, 2, 3 , dinotasikan sebagai berikut:
� =( , )
(3.1)
diperoleh dengan menggunakan konsep integral sebagai berikut:
−
=
=
−
1
2
2
(3.2)
−
( ) 2
(3.3)
− ( )
Selanjutnya akan menentukan titik berat dari setiap bidang dengan
menggunakan persamaan (3.2) dan persamaan (3.3).
a)
Titikberatbidang APB.
Misalkan titikberatbidang APB adalah�1 . Selanjutnya akan menentukan nilai
�1 = ( 1 ,
Misalkan
1 ).
1
adalah garis yang menghubungkan titik
dan misalkan pula ( 1 ,
1)
=
, 0 dan
− 1
=
2 − 1
2, 2
−
2−
, 0 dan
= ( , ), maka:
1
1
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
,
47
diperoleh
Diketahui
( 1− )
.
−
=
1
−0
−
=
−0
−
( − )
=
−
= 0merupakan garis yang menghubungkan titik
1
, 0 . Selanjutnya dengan mensubstitusikan
1
dan
persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), akan diperoleh:
1
1−
1
=
(
=
1
2
(
1
3
3
=
1
2
1
=
3
1
2
=
(
1
−
2
−
2
6
(2
2
−0
−
−
1)
− )
1
3
−
−
1
2)
+(
(
2
3
+2
2
1
2
( +
2 1
2
2
1
=
2
1−
−
1−
−
2
1
1
1
2
−
2
−3
−2 )
− 0
−0
1
−
1
)]
)
1
−
) + (−
( + ) + (− )
2
−
1 )]
2
1 (2 + )( − )
3
−
1
2
1
)
=
=
−
3
1
−
+
+2
1
(
−
2
+
( − )
1
3
1
3
− 3
3
2
1 2
− 2
2
2
3
=
1
−
1
)+ (
1
(
1
−
=
1
1
−
2
−
1
1
2
( − )
1
=
3
(
−0
−
1−
−3
1 2
3
1
2
=
2
2
2
)
)
−
−
−
2
2 +
3
1
1
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
, 0 dan
1
pada
48
2
−
2
=
−
2( − )
=
(
1
(
1
2
2
(
1
2( − )
=
3
(
3
1
( − )
6
1
=
2
2
−
−
2( − ) 3
1
=
−
2
3
)
1
1
2
+
1
]
2
2
1
=
1
2
+
1
− )
−
1
2( − ) 3
1
( 2
2
1
−2
1
3
1
− )
1
3
(
−
2( − ) 3 1
1
2 −
2 1
=
1
−
1
2
2
−
2
+
−3
2) +
1 )]
(
1
−
2
( − )3
1
3
3
−
2
2
2
+3
−
)
2
−
3
3
+
2
)
( + ) + (− )
( − )2
( − )2
= Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik
3
berat bidang APB adalah pada titik �1 =
+2
,
3
b) Titikberatbidang BPQC.
3
.█
Misalkan titikberatbidang BPQCadalah�2 . Selanjutnya akan menentukan
�2 = ( 2 ,
2 ).
Misalkan
diketahui
mensubstitusikan
2
2
=
dan
dan
= 0,
2
selanjutnya
pada persamaan (3.2) dan persamaan
2
(3.3), akan diperoleh:
2
2
=
1
=
−0
2
2
−0
−
−
2
2
2
2
=
2
1
=2
2
2
−
dengan
=
2
2
]
2]
( + )
( − )
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
49
1
( + )
2
1
+
=
2
=
2
1
2
=
2
2
1
=2
1
=2
2
=
2
2
− 0
− 0)
]
1
2
2
=
2
2
2
2
2
2]
−
−
Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat
c)
bidang BPQC adalah pada titik �2 =
+
2
Titikberatbidang CQD.
,
2
.█
Misalkan titikberatbidang CQDadalah�3 . Selanjutnya akan menentukan
nilai �3 = ( 3 ,
Misalkan
3
3 ).
adalah garis yang menghubungkan titik
( , 0) dan misalkan pula ( 1 ,
1)
=
,
dan
2, 2
diperoleh
3
=
dan
= ( , 0), maka:
− 1
=
2 − 1
−
=
0−
=
,
− 1
2− 1
−
−
( − )
− =−
−
( − )
(− + )
+
=
−
−
(− + + − )
( − )
=
−
−
( − 3)
.
−
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
50
Diketahui
= 0merupakan garis yang menghubungkan titik
3
( , 0). Selanjutnya dengan mensubstitusikan
dan
dan
3
persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), maka akan diperoleh:
3
− 3
3
=
−
− 3
3
=
1
=
3
(
2
1
2
=
3
2
1
(
−
3
1
3
−
3
1
−
2
=
(
2
−
=
(3
1
=
3
=
=
3
+(
2
2
1
−
2
−2
2
−2
3
3
−
1
2
−
3
2
3
3
)]
2 )]
2
2
−
3
)
)
1
) + (−
3
(− − ) +
2
1
3
3
1 3
3
1
−
(− − ) +
(− −
−
3
−
) + (−
3
2
(
−
−
3
−2
+2 )
−
−2
2
2
−
2
)
)
)
2
1 (2 + )( − )
3
( − )
2 +
3
1
3
1
)+ (
1
+3
2
−
−
2
3
2
−
(
2
1
2
( − )
2
+
+
1
−
2
1
1
3
=
+
2
=
(
3
−
3
−
=
3
3
2)
2
6
3
3
1
1
2
2
−
2
−0
2
( − )
1
3
−
2
=
−
−0
2
− 3 2
−
−
− 3
−0
−
0
2
2
3
=
3
2
− 2
−
( −
( −
3)
3)
2
3
3
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
( , 0)
3
pada
51
=
(
2( − )
(
=
3
1
3
2( − ) 3
(
=
=
2
−
3
3
3
3
1
2
2
=
=
3
=
2( − ) 3
1
( − )
6
1
−
2
1
2
−
1
2
+
−
3
2
3
2
3
)
3
3
3
3
2
+
2
+
3 )]
2 )]
−
3
2
−3
−
2
2
( − )3
1 3
−
3
1 2
−
−
+3
2
2
+
2
2
−
(− − ) +
2
−
6
1
2
( − )2
( − )2
2
3
−
−
1
=
−
−
3
1
−2
−
3
1
2( − )
2
− −
=
2
+2
3
3
Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat
bidang BPQC adalah pada titik �3 =
2 +
3
,
3
█
.
Berdasarkan langkah 2 diperoleh Gambar 3.2, dengan �1 merupakan
titikberatbidang APB, �2 merupakan titikberatbidangBPQC, dan �3 merupakan
titikberatbidangCQD.
w
P(b,w)
Q(c,w)
))
�2
.
�1 .
. �3
domain
D(d,0)
C(c,0)
A(a,0)
B(b,0)
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
52
�3
Langkah 3
Gambar 3.2 KurvaBilanganFuzzyTrapesium (Centroid � , � , � )
Berdasarkan langkah 2, telah diketahui titik berat dari masing-masing bidang
yaitu �1 , �2 , dan�3 . Pada langkah ini yang dilakukan yaitu menarik garis yang
menghubungkanketigatitikberattersebutsehinggaterbentuksebuahsegitiga�1 �2 �3 .
Dengan kata lain, �1 , �2 , �3 non-collinear danmembentuksuatu segitiga.
P(b,w)
w
Q(c,w)
))
�2
�3
�1
domain
C(c,0)
B(b,0) Fuzzy
D(d,0)
GambarA(a,0)
3.3 KurvaBilangan
Trapesium
Langkah 4
Pada
langkah
4
ini
yang
dilakukan
yaitu
akan
menentukan
titikberatdarisegitiga�1 �2 �3 . Misalkan G adalah titikberatdarisegitiga�1 �2 �3 . G
disebutjuga sebagai incenter atautitikpusatlingkarandalamsegitiga�1 �2 �3 .
Dengan
( 0,
0 )dari
0
0
=
=
mengunakan
rumus
untuk
memperoleh
pusat massa yaitu
�
�
=
=1
(3.4)
=1
=
=1
(3.5)
=1
akan dicari titik berat dari segitiga �1 �2 �3 .
Sebelumnya
2 +
3
3
,
3
koordinat-koordinat
telah
.Sehingga,
diketahui
1
=
+2
3
,
2
=
�1 =
+
2
,
+2
3
3
=
,
2 +
3
3
,
, �2 =
1
=
3
+
2
,
2
.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
,
=
2
2
dan�3 =
dan
3
=
53
�2
�
�1
�3
Gambar 3.4 Segitiga� � �
Kemudian, dengan menggunakan rumus jarak euclid dapat diperoleh
,
,
yang merupakanpanjanggaris�2 �3 , �1 �3 , �1 �2 seperti terlihat pada Gambar 3.4.
2 +
3
=
=
=
+
3
−
2
2
(4 + 2 − 3 − 3 )2 + (2 − 3 )2
6
( − 3 + 2 )2 +
6
2 +
3
=
2 +
=
=
=
2
+
2
−
+
−
2
−
3
(3.6)
2
+2
3
−
2
+
−2
3
2
−
3
(3.7)
2
+2
3
2
+
2
−
2
3
(3 + 3 − 2 − 4 )2 + (3 − 2 )2
6
=
Dengan
3 −2 −
6
2
+
mensubstitusi
2
(3.8)
= 1,2,3 ,
= 1,2,3 ,
,
dan
kedalam
persamaan (3.4) dan (3.5) diperolehincenter atau titik berat dari segitiga �1 �2 �3
sebagai berikut:
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
54
�=�
0, 0
+2
3
=
+
+
2
+
2 +
+
3
+
+
3
,
+
2
+
3
(3.9)
+
dengan
=
=
( − 3 + 2 )2 +
6
−
3
2 +
−2
2
sebagai
1
2
sebagai
2
(3 − 2 − )2 + 2
sebagai 3
=
6
Berdasarkan langkah-langkah diatas diperoleh definisi 3.1 yang merupakan
definisi perangkingan Thorani.
Definisi 3.1
=
Fungsirangkingdaribilanganfuzzy trapesium umum
, , , ;
yang
memetakan semua bilangan fuzzy ke himpunan bilangan real adalah:
=
0. 0
+2
3
=
+
2
+
+
2 +
3
.
+ +
3
+
2
+
3
(3.10)
+ +
Arti geometris dari perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dapat
digambarkan sebagai berikut:
P(b,w)
w
Q(c,w)
))
�2
0
A(a,0)
�3
�1
B(b,0)
0
C(c,0)
domain
D(d,0)
Gambar 3.5Rangking Thorani Secara Geometris
Perangkingan menggunakan metode Thorani merupakan perkalian antara
0
dengan
0,
yang tak lain merupakan luas daerah persegi panjang yang diarsir
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
55
seperti terlihat pada Gambar 3.5, dengan (
0
,
0)
merupakan koordinat dari
incenter segitiga �1 �2 �3 .
PadaperangkinganbilanganfuzzydenganmenggunakanmetodeThorani,langkah
yang
dilakukanadalahmenentukan
centroidatautitikberatdaritigabagianbidangtrapesium.Selanjutnya
(titikpusatlingkarandalamsegitiga)
incenter
menentukan
segitiga
yang
terbentukdengancaramenghubungkantitik-titikcentroid.
Denganmenggunakanincenter sebagaititikberatuntukbilanganfuzzytrapesium,
perangkingandenganmetodeThoranimampumerangkingberbagaibilanganfuzzy,
danmampu mengurutkanbilanganfuzzy (Thorani, et al.2012, hlm. 570).
Thoranitidakmemberikanperumusansecarakhususterkaitbilanganfuzzysegitiga,
tetapiThoranimemperolehbilanganfuzzysegitigadenganmereduksibilanganfuzzytrap
esiumketikanilai
segitiga
=
=
, ,
pada bilangan fuzzy =
;
, , , ;
. Bilangan fuzzy
dinyatakan dalambentukkurvasebagaiberikut :
P(b,w)
w
A(a,0)
B(b,0)
D(d,0)
Gambar 3.6KurvaBilanganFuzzySegitiga
Incenter untukbilanganfuzzysegitigadirumuskansebagai:
dengan
� ( 0,
=
0)
+2
3
=
+
+
2 +
3
+ +
(2 −2 )2 +
6
2
=
,
( − )2
3
3
+
2
+
3
(3.11)
+ +
=
(2 −2 )2 +
6
Definisi 3.2
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
2
56
Fungsi ranking dari bilangan fuzzysegitiga =
, , ;
yang memetakan
semua bilangan fuzzysegitigake himpunan bilangan real adalah
( )=
0. 0
+2
3
=
+
2 +
3
+
3
.
+ +
+
+
2
3
(3.12)
+ +
Metode perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dan (3.12) memenuhi
sifat linieritas. Konsep sifat linieritas pada bilangan fuzzy pada dasarnya sama
dengan konsep linieritas pada fungsi, seperti halnya kelinieran sebuah fungsi
terhadap perkalian dengan skalar juga berlaku pada bilangan fuzzy. Untuk lebih
lengkapnya dapat dilihat pada Proposisi 3.1.
Proposisi 3.1
Fungsi rangking merupakan fungsi linear dari bilangan fuzzy trapesium
=
, , , ;
2, 2 , 2 ,
2;
.
2
Misalkan,
1
=
1, 1 , 1,
1;
dan
1
yang merupakan bilangan fuzzy trapesium, dan
2
1,
=
2
berupa skalar maka berlaku :
1 1⨁ 2 2
(i).
=
1 1⨁ 2 2
(ii).
(iii).
−
1
1
1
1
+
+
(
2
2
(
2 ),
2 ),
jika
jika
=− ( )
⨁ −
=0
definisi
3.1,
1
1
=
≠
2
=1
2
Pembuktian Preposisi 3.1 dapat dilihat pada Lampiran 1 halaman 89-101.
Selain
terdapat
beberapadefinisilainnya
yang
dapatdigunakanuntukmelakukanperangkinganterhadapduabuahbilanganfuzzy
(Thorani,et al.2012, hlm.563):
Definisi 3.3
Mode ( ) dari bilangan fuzzy trapesium umum
=
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
=
1
2
+
0
=
2
+
Definisi 3.4
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
(3.13)
57
Spread ( ) atau sebaran dari bilangan fuzzy trapesium umum
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
−
=
0
Definisi 3.5
=
=
( − )
(3.14)
Left spread ( ) atau sebaran kiri dari bilangan fuzzy trapesium umum =
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
−
=
0
Definisi 3.6
−
=
(3.15)
Right spread ( ) atau sebaran kanan dari bilangan fuzzy trapesium umum =
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
−
=
0
−
=
(3.16)
Dengan menggunakan definisi-definisi yang telah disebutkan diatas, apabila
diberikanduabuahbilanganfuzzytrapesiumumum,
misalkan =
1,
1,
1,
1;
1
dan
=
2,
diurutkandengan terlebih dahulu mengkonversi
2,
2,
dan
2;
2
,
dan
dapat
menjadi bentuk crisp
melalui serangkaian langkah-langkah yang dikenal sebagai algoritma urutan
sebagai berikut (Thorani,et al.2012, hlm.564):
Langkah 1 :
Menentukan nilai ( ) dan ( )
Kasus (i)
: Apabila ( ) > ( ),maka
Kasus (ii) : Apabila ( ) <
Kasus (iii) : Apabila
Langkah 2 :
( ),maka
>
<
= ( )maka perbandingan tidak mungkin,
maka harus berlanjut pada langkah 2.
Menentukan nilai m ( ) dan m ( )
Kasus (i)
: Apabila ( ) >
( ),maka
>
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
58
Kasus (ii) : Apabila
( )<
Kasus (iii) : Apabila
=
Langkah 3 :
( ),maka
<
( ),maka perbandingan tidak
mungkin, maka berlanjut pada langkah 3.
Menentukan nilai ( ) dan ( )
: Apabila ( ) > ( ), maka
>
Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ), maka
<
Kasus (i)
Kasus (iii) : Apabila ( ) = ( ),maka perbandingan tidak mungkin,
maka berlanjut pada langkah 4.
Langkah 4 :
Menentukan nilai
( ) dan
( )
: Apabila ( ) >
( ), maka
>
Kasus (ii) : Apabila ( ) <
( ),maka
<
Kasus (i)
( )=
Kasus (iii) : Apabila
Langkah 5 :
mungkin, berlanjut pada langkah 5.
Melakukan uji nilai
Kasus (i)
( ),maka perbandingan tidak
1
dan
>
: Apabila
1
Kasus (ii) : Apabila
1
<
Kasus (iii) : Apabila
1
=
2
maka
>
2,
maka
<
2,
maka
≈
2,
3.2 Prosedur Penyelesaian Masalah Transportasi Fuzzy
Padatahun 2013, Thoranidan Shankar dalamjurnalnya yang berjudul “Fuzzy
Transportation Linear Programming Models based on L–R Fuzzy Numbers“
memperkenalkanmetodeuntukmencarisolusi
optimal
daripermasalahantransportasifuzzy. Metode tersebut kemudian dikenal sebagai
Metode Thorani.Metode Thorani dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan program linier. Permasalahantransportasi merupakan bagian dari
permasalahan
program
linier,
yangmemilikipolapengirimandarisejumlahsumberkesejumlahtujuan.Thoranimerep
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
59
resentasikanbiayapendistribusian,
nilaipenawarandannilaipermintaansebagaibilanganfuzzytrapesium.Thoranimempu
nyaifungsi perangkingan tersendiri yang dapat digunakan untuk mengubah
bilangan fuzzytrapesium menjadi bentuk crisp, yaitu menggunakan metode
perangkingan Thorani. Selanjutnya, untuk mencari solusi optimal dari
permasalahantransportasifuzzy,
Thorani
menggunakanmetode
yang
biasadigunakanuntukmenyelesaikan permasalahantransportasiklasik.
MisalkanpermasalahantransportasifuzzysepertidisajikandalamTabel
2.13,berikutadalahprosedurdarimetodeThoranidenganmenggunakanmetodeperang
kinganThoraniuntukmenyelesaikanpermasalahantransportasifuzzy
(Thorani,
et
al.,2012; Thoranidan Shankar, 2013) :
1. Periksakeseimbangan model transportasi fuzzy.
Keseimbangan model dapat diketahui dengancara menghitung total
penawaranfuzzy
( , , , )
dan total permintaanfuzzy
=1
= ( ′, ′, ′, ′),
dan
. Misalkan
=1
banyaknyasumberdan
=
mewakili
banyaknya tujuan.
Kasus (i)
Jika
=
=1
=1
, maka permasalahan transportasi fuzzysudahseimbang,
lanjutkankelangkahkedua.
Kasus (ii)
Jika
,
=1
,
=1
maka
permasalahan
transportasifuzzybelumseimbang.Konversi model tersebutsehinggamenjadi
model
transportasifuzzyseimbang.Langkah
yang
perludilakukanuntuk
menjadikan model transportasifuzzyyang seimbangsebagaiberikut:
′
i. Jika
′
, −
−
′
, −
tambahkan sebuah sumber dummy
,
′
− ,
′
− ,
′
−
′
−
+1
′
, dan
−
− ′, maka
dengan penawaran fuzzy
.Asumsikanbahwabiayadistribusi
komoditidarisumberdummy
′
+1 ke
setiaptujuansebagaibilanganfuzzytrapesium nol.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
per
′
−
unit
60
′
ii. Jika
′
, −
′
−
′
′
− ′,
maka
Asumsikanbahwabiayadistribusi
per
unit
, −
tambahkan sebuah tujuan dummy
′, − ′, − ′, − ′ .
′
−
, dan
−
−
dengan permintaanfuzzy
+1
komoditidarisetiap
sumberketujuandummy
+1 sebagaibilanganfuzzytrapesium
iii. Jikatidakmemenuhi
(i)
makatambahkansumberdummy
′
� {0, ( ′ −
+
�
{0, −
�
0,
�
−
dan
′
0,
′
′
}+
′
−
′
′
+
−
tidak
ada
)−
−
�
�
+
′
0,
′
′
0,
−
−
′
�
′
−
0,
+
−
−
sumberdummy
Asumsikan
′
−
+1 .
′
−
�
,
′
�
},
−
′
−
−
0,
�
�
−
′
′
′
−
−
+
′
−
′
,
per
unit
′
−
{0, −
0,
pada
+
−
�
�
,
−
′
0, −
+
′
}+
−
′
−
)padasumberdummy
0, −
)ditujuandummy
biayadistribusi
′
(ii)
+1 .
−
−
+
−
0, −
′
0,
permintaan
−
0,
�
′
0,
,
Permintaanfuzzysebesar(
′
�
−
−
−
atau
+1 dantujuandummy
(
Penawaranfuzzysebesar
nol.
−
+1
tujuandummy
,
�
′
�
+1
�
0,
0,
+
�
0, −
0, −
−
−
+1 .
−
′
+
−
�
dan tidak ada penawaran di
komoditidarisumberdummyke
setiaptujuan (termasuk tujuan dummy), dandari setiapsumber (termasuk
sumber dummy)ketujuandummysebagaibilanganfuzzytrapesium nol.
2. Gunakan
algoritma
urutanpada
metode
perangkingan
Thorani
untuk
mengkonversi permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama.
Permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama dapat ditulis sebagai:
Minimumkan
=
=1
=1
(
)
Denganpembatas:
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
61
= ( )
=1
= ( )
=1
Gunakanrumus
0, ∀ = 1,2, … ,
perangkingan
untukmenghitung (
),
dan
Thorani
( )
= 1,2, … ,
3.8
Sehingga
permasalahan
pada
.
dan
persamaan
transportasicrisppadalangkahpertamamenjadi:
Minimumkan
+ (
(
11 ) 11
22 ) 22
+
+ (
+ (
12 ) 12
+ (
2
2)
2
)
+
+
+ (
+
2
1
+ (
+ (
)
11
+ (
1)
21 ) 21
1
)
Denganpembatas :
11
+
12
+ …+
1
= ( 1)
21
+
22
+ …+
2
= (
2)
1
+
2
+ …+
11
+
21
+ …+
1
= ( 1)
12
+
22
+ …+
2
= ( 2)
1
+
2
+ …+
0, ∀ = 1,2, … ,
= (
)
= (
)
dan
= 1,2, … ,
Apabila terdapat bilangan fuzzy yang memiliki rangking atau nilai crisp
yang sama, maka berdasarkan algoritma urutan, bilangan fuzzy tersebut tidak
dapat dibandingkan sehingga harus dilakukan tahap selanjutnya pada algoritma
urutan yaitu menghitung modedari bilangan fuzzy yang memiliki nilai crisp
yang sama. Pada langkah kedua inilah algoritma urutan digunakan.
3. Selesaikanpermasalahantransportasicrisp
diperolehpadalangkahkeduauntukmemperolehsolusioptimal {
yang
}.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
62
4. Hitung total biayafuzzy minimum denganmensubstitusikansolusi optimal yang
diperolehdarilangkahketigakefungsitujuan =
=1
.
=1
Prosedur yang diuraikan di atas merupakan prosedur untuk mencari solusi
optimal dari permasalahan transportasi fuzzy (Thoranidan Shankar, 2013) dengan
menggunakan metode Thorani. Perangkingan Thorani digunakan pada langkah
kedua yaitu dengan menerapkan algoritma urutan untuk mengkonversi setiap
bilanganfuzzy
ke
dalam
bentuk
bilangan
crisp,
sehingga
diperoleh
permasalahantransportasidalam bentuk crisp. Secara umum, apabiladalam
penyelesaian
permasalahan
transportasi
fuzzyakan
digunakan
metode
perangkingan yang lain, maka prosedur yang dilakukan tetap sama mengikuti
prosedur dalam mencari solusi optimal dengan metode Thorani, hanya saja,
prosedur pada langkah kedua tidak lagi menggunakan algoritma urutan tetapi
menggunakan persamaan perangkingan yang diinginkan.Dengan kata lain,
penyesuaian hanya dilakukan pada rumus perangkingannya saja.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
PERMASALAHAN TRANSPORTASI FUZZYMENGGUNAKAN
METODE THORANI
3.1 MetodePerangkinganThorani
Padatahun 2012, Thorani, et al.dalamjurnalnya yang berjudul “Ordering
Generalized
Trapezoidal
Numbers “
memperkenalkansuatu
metodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesium.
Padaprinsipnya,
Thoranimembagitrapesiumtersebutmenjaditigabuahbidang.Bidangpertamaberupas
egitiga,
bidangkeduaberupapersegipanjangdanbidangketigaberupasegitiga.Selanjutnyadila
kukanpenghitunganterhadaptitikberat(centroid)untuksetiapbidang.
Titikberat(centroid) sebuah segitiga merupakan titik perpotongan antara ketiga
garis berat. Sedangkan garis berat sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari
suatu titik sudut sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian yang
sama panjang. Setelah titik berat setiap bidang diperoleh, langkah selanjutnya
adalah
menentukan
yang
incenter
merepresentasikantitikberatsecarakeseluruhandaribidangtrapesium.
Denganmenggunakannilaiincenter ,yaitu dengan mengalikan koordinat incenter
tersebut,
selanjutnya
dapatmenentukan
nilaihimpunanbilanganfuzzytrapesiumdalambentukhimpunantegasnya,
sehinggadapatdilakukanperangkinganterhadapbeberapabilanganfuzzytrapesium.
Diantarabeberapametodeperangkinganuntukmengurutkanbilanganfuzzytrapesi
um,
metodeperangkinganThoranimemilikibeberapakeunggulandiantaranyabentuknya
yang sederhana, dan dapatmerangkingbeberapa bilanganfuzzytrapesiumdalam
bentukbilangantegas(Thorani, et al.2012, hlm. 555). Thorani memberikan contoh
empat
buah
bilangan
1
= (0.1 , 0.2, 0.3 ; 1),
4
= (0.6 , 0.7, 0.8 ; 1)kemudian
2
= (0.2 , 0.5, 0.8 ; 1),
merangking
yaitu
fuzzy
3
= (0.3 , 0.4, 0.9 ; 1)
bilangan
fuzzy
44
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dan
tersebut
45
menggunakan beberapa metode perangkingan seperti metode perangkingan
Yager, metode perangkingan Fortemps dan Roubens, metode perangkingan Liou
dan Wang,metode perangkingan Chen dan metode perangkingan Thorani. Hasil
pengurutan keempat bilangan fuzzy menggunakan beberapa metode perangkingan
dapat dilihat pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Hasil Perbandingan Beberapa Metode Perangkingan
�
Metode
Yager
Fortemps
dan
Roubens
=1
�
�
Urutan
Rangking
4 > 2 =
> 1
4 > 2 =
> 1
�
0,20
0,50
0,50
0,70
0,20
0,50
0,50
0,70
0,25
0,65
0,65
0,75
4
>
= 0,5
Liou
dan Wang
0,20
0,50
0,50
0,70
4
>
=0
0,15
0,35
0,35
0,65
4
>
=1
-0,20
0,00
0,00
-0,20
2
=
= 0,5
Chen
-0,20
0,00
0,00
-0,20
2
=
=0
-0,20
0,00
0,00
-0,20
2
=
0,0720
Thorani
0,1948
0,1683
0,2552
4
>
>
3
3
2
=
3
2
=
3
2
=
3
3
>
1
3
>
1
3
>
1
2
>
3
1
>
1
>
1
=
4
=
4
=
4
>
1
Berdasarkan Tabel 3.1 dapat dilihat bahwa metode perangkingan Yager,
metode perangkingan Fortemps dan Roubens, dan metode perangkingan Liou dan
Wang tidak dapat mengurutkan bilangan fuzzy
2
dan
3.
Begitupun dengan
metode perangkingan Chen, akan tetapi metode perangkingan Thorani berhasil
mengurutkan bilangan fuzzy
Thorani,
et
al.(2012,
1, 2, 3, 4.
hlm.
561-562)
memberikan
prosedur
memperolehrumusperangkingan Thorani, yaitu sebagai berikut :
Langkah 1
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
untuk
46
Perhatikan Gambar 3.1, pada langkah pertama ini yang dilakukan yaitu
membagitrapesiummenjaditigabuah
bidangyang
terdiri
dari
sebuahbidangpersegipanjang (BPQC) danduabuahbidangsegitiga (APB dan
CQD).
P(b,w)
w
Q(c,w)
))
C(c,0)
B(b,0)
A(a,0)
D(d,0)
domain
Gambar 3.1 KurvaBilanganFuzzyTrapesium
Langkah 2
Pada langkah kedua ini akan menentukantitikberatsetiapbidang.Misalkan �
merupakan titik berat untuk bidang ke i
dimana
dan
= 1, 2, 3 , dinotasikan sebagai berikut:
� =( , )
(3.1)
diperoleh dengan menggunakan konsep integral sebagai berikut:
−
=
=
−
1
2
2
(3.2)
−
( ) 2
(3.3)
− ( )
Selanjutnya akan menentukan titik berat dari setiap bidang dengan
menggunakan persamaan (3.2) dan persamaan (3.3).
a)
Titikberatbidang APB.
Misalkan titikberatbidang APB adalah�1 . Selanjutnya akan menentukan nilai
�1 = ( 1 ,
Misalkan
1 ).
1
adalah garis yang menghubungkan titik
dan misalkan pula ( 1 ,
1)
=
, 0 dan
− 1
=
2 − 1
2, 2
−
2−
, 0 dan
= ( , ), maka:
1
1
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
,
47
diperoleh
Diketahui
( 1− )
.
−
=
1
−0
−
=
−0
−
( − )
=
−
= 0merupakan garis yang menghubungkan titik
1
, 0 . Selanjutnya dengan mensubstitusikan
1
dan
persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), akan diperoleh:
1
1−
1
=
(
=
1
2
(
1
3
3
=
1
2
1
=
3
1
2
=
(
1
−
2
−
2
6
(2
2
−0
−
−
1)
− )
1
3
−
−
1
2)
+(
(
2
3
+2
2
1
2
( +
2 1
2
2
1
=
2
1−
−
1−
−
2
1
1
1
2
−
2
−3
−2 )
− 0
−0
1
−
1
)]
)
1
−
) + (−
( + ) + (− )
2
−
1 )]
2
1 (2 + )( − )
3
−
1
2
1
)
=
=
−
3
1
−
+
+2
1
(
−
2
+
( − )
1
3
1
3
− 3
3
2
1 2
− 2
2
2
3
=
1
−
1
)+ (
1
(
1
−
=
1
1
−
2
−
1
1
2
( − )
1
=
3
(
−0
−
1−
−3
1 2
3
1
2
=
2
2
2
)
)
−
−
−
2
2 +
3
1
1
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
, 0 dan
1
pada
48
2
−
2
=
−
2( − )
=
(
1
(
1
2
2
(
1
2( − )
=
3
(
3
1
( − )
6
1
=
2
2
−
−
2( − ) 3
1
=
−
2
3
)
1
1
2
+
1
]
2
2
1
=
1
2
+
1
− )
−
1
2( − ) 3
1
( 2
2
1
−2
1
3
1
− )
1
3
(
−
2( − ) 3 1
1
2 −
2 1
=
1
−
1
2
2
−
2
+
−3
2) +
1 )]
(
1
−
2
( − )3
1
3
3
−
2
2
2
+3
−
)
2
−
3
3
+
2
)
( + ) + (− )
( − )2
( − )2
= Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik
3
berat bidang APB adalah pada titik �1 =
+2
,
3
b) Titikberatbidang BPQC.
3
.█
Misalkan titikberatbidang BPQCadalah�2 . Selanjutnya akan menentukan
�2 = ( 2 ,
2 ).
Misalkan
diketahui
mensubstitusikan
2
2
=
dan
dan
= 0,
2
selanjutnya
pada persamaan (3.2) dan persamaan
2
(3.3), akan diperoleh:
2
2
=
1
=
−0
2
2
−0
−
−
2
2
2
2
=
2
1
=2
2
2
−
dengan
=
2
2
]
2]
( + )
( − )
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
49
1
( + )
2
1
+
=
2
=
2
1
2
=
2
2
1
=2
1
=2
2
=
2
2
− 0
− 0)
]
1
2
2
=
2
2
2
2
2
2]
−
−
Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat
c)
bidang BPQC adalah pada titik �2 =
+
2
Titikberatbidang CQD.
,
2
.█
Misalkan titikberatbidang CQDadalah�3 . Selanjutnya akan menentukan
nilai �3 = ( 3 ,
Misalkan
3
3 ).
adalah garis yang menghubungkan titik
( , 0) dan misalkan pula ( 1 ,
1)
=
,
dan
2, 2
diperoleh
3
=
dan
= ( , 0), maka:
− 1
=
2 − 1
−
=
0−
=
,
− 1
2− 1
−
−
( − )
− =−
−
( − )
(− + )
+
=
−
−
(− + + − )
( − )
=
−
−
( − 3)
.
−
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
50
Diketahui
= 0merupakan garis yang menghubungkan titik
3
( , 0). Selanjutnya dengan mensubstitusikan
dan
dan
3
persamaan (3.2) dan persamaan (3.3), maka akan diperoleh:
3
− 3
3
=
−
− 3
3
=
1
=
3
(
2
1
2
=
3
2
1
(
−
3
1
3
−
3
1
−
2
=
(
2
−
=
(3
1
=
3
=
=
3
+(
2
2
1
−
2
−2
2
−2
3
3
−
1
2
−
3
2
3
3
)]
2 )]
2
2
−
3
)
)
1
) + (−
3
(− − ) +
2
1
3
3
1 3
3
1
−
(− − ) +
(− −
−
3
−
) + (−
3
2
(
−
−
3
−2
+2 )
−
−2
2
2
−
2
)
)
)
2
1 (2 + )( − )
3
( − )
2 +
3
1
3
1
)+ (
1
+3
2
−
−
2
3
2
−
(
2
1
2
( − )
2
+
+
1
−
2
1
1
3
=
+
2
=
(
3
−
3
−
=
3
3
2)
2
6
3
3
1
1
2
2
−
2
−0
2
( − )
1
3
−
2
=
−
−0
2
− 3 2
−
−
− 3
−0
−
0
2
2
3
=
3
2
− 2
−
( −
( −
3)
3)
2
3
3
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
( , 0)
3
pada
51
=
(
2( − )
(
=
3
1
3
2( − ) 3
(
=
=
2
−
3
3
3
3
1
2
2
=
=
3
=
2( − ) 3
1
( − )
6
1
−
2
1
2
−
1
2
+
−
3
2
3
2
3
)
3
3
3
3
2
+
2
+
3 )]
2 )]
−
3
2
−3
−
2
2
( − )3
1 3
−
3
1 2
−
−
+3
2
2
+
2
2
−
(− − ) +
2
−
6
1
2
( − )2
( − )2
2
3
−
−
1
=
−
−
3
1
−2
−
3
1
2( − )
2
− −
=
2
+2
3
3
Berdasarkan penurunan rumus tersebut di atas, diketahui bahwa titik berat
bidang BPQC adalah pada titik �3 =
2 +
3
,
3
█
.
Berdasarkan langkah 2 diperoleh Gambar 3.2, dengan �1 merupakan
titikberatbidang APB, �2 merupakan titikberatbidangBPQC, dan �3 merupakan
titikberatbidangCQD.
w
P(b,w)
Q(c,w)
))
�2
.
�1 .
. �3
domain
D(d,0)
C(c,0)
A(a,0)
B(b,0)
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
52
�3
Langkah 3
Gambar 3.2 KurvaBilanganFuzzyTrapesium (Centroid � , � , � )
Berdasarkan langkah 2, telah diketahui titik berat dari masing-masing bidang
yaitu �1 , �2 , dan�3 . Pada langkah ini yang dilakukan yaitu menarik garis yang
menghubungkanketigatitikberattersebutsehinggaterbentuksebuahsegitiga�1 �2 �3 .
Dengan kata lain, �1 , �2 , �3 non-collinear danmembentuksuatu segitiga.
P(b,w)
w
Q(c,w)
))
�2
�3
�1
domain
C(c,0)
B(b,0) Fuzzy
D(d,0)
GambarA(a,0)
3.3 KurvaBilangan
Trapesium
Langkah 4
Pada
langkah
4
ini
yang
dilakukan
yaitu
akan
menentukan
titikberatdarisegitiga�1 �2 �3 . Misalkan G adalah titikberatdarisegitiga�1 �2 �3 . G
disebutjuga sebagai incenter atautitikpusatlingkarandalamsegitiga�1 �2 �3 .
Dengan
( 0,
0 )dari
0
0
=
=
mengunakan
rumus
untuk
memperoleh
pusat massa yaitu
�
�
=
=1
(3.4)
=1
=
=1
(3.5)
=1
akan dicari titik berat dari segitiga �1 �2 �3 .
Sebelumnya
2 +
3
3
,
3
koordinat-koordinat
telah
.Sehingga,
diketahui
1
=
+2
3
,
2
=
�1 =
+
2
,
+2
3
3
=
,
2 +
3
3
,
, �2 =
1
=
3
+
2
,
2
.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
,
=
2
2
dan�3 =
dan
3
=
53
�2
�
�1
�3
Gambar 3.4 Segitiga� � �
Kemudian, dengan menggunakan rumus jarak euclid dapat diperoleh
,
,
yang merupakanpanjanggaris�2 �3 , �1 �3 , �1 �2 seperti terlihat pada Gambar 3.4.
2 +
3
=
=
=
+
3
−
2
2
(4 + 2 − 3 − 3 )2 + (2 − 3 )2
6
( − 3 + 2 )2 +
6
2 +
3
=
2 +
=
=
=
2
+
2
−
+
−
2
−
3
(3.6)
2
+2
3
−
2
+
−2
3
2
−
3
(3.7)
2
+2
3
2
+
2
−
2
3
(3 + 3 − 2 − 4 )2 + (3 − 2 )2
6
=
Dengan
3 −2 −
6
2
+
mensubstitusi
2
(3.8)
= 1,2,3 ,
= 1,2,3 ,
,
dan
kedalam
persamaan (3.4) dan (3.5) diperolehincenter atau titik berat dari segitiga �1 �2 �3
sebagai berikut:
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
54
�=�
0, 0
+2
3
=
+
+
2
+
2 +
+
3
+
+
3
,
+
2
+
3
(3.9)
+
dengan
=
=
( − 3 + 2 )2 +
6
−
3
2 +
−2
2
sebagai
1
2
sebagai
2
(3 − 2 − )2 + 2
sebagai 3
=
6
Berdasarkan langkah-langkah diatas diperoleh definisi 3.1 yang merupakan
definisi perangkingan Thorani.
Definisi 3.1
=
Fungsirangkingdaribilanganfuzzy trapesium umum
, , , ;
yang
memetakan semua bilangan fuzzy ke himpunan bilangan real adalah:
=
0. 0
+2
3
=
+
2
+
+
2 +
3
.
+ +
3
+
2
+
3
(3.10)
+ +
Arti geometris dari perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dapat
digambarkan sebagai berikut:
P(b,w)
w
Q(c,w)
))
�2
0
A(a,0)
�3
�1
B(b,0)
0
C(c,0)
domain
D(d,0)
Gambar 3.5Rangking Thorani Secara Geometris
Perangkingan menggunakan metode Thorani merupakan perkalian antara
0
dengan
0,
yang tak lain merupakan luas daerah persegi panjang yang diarsir
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
55
seperti terlihat pada Gambar 3.5, dengan (
0
,
0)
merupakan koordinat dari
incenter segitiga �1 �2 �3 .
PadaperangkinganbilanganfuzzydenganmenggunakanmetodeThorani,langkah
yang
dilakukanadalahmenentukan
centroidatautitikberatdaritigabagianbidangtrapesium.Selanjutnya
(titikpusatlingkarandalamsegitiga)
incenter
menentukan
segitiga
yang
terbentukdengancaramenghubungkantitik-titikcentroid.
Denganmenggunakanincenter sebagaititikberatuntukbilanganfuzzytrapesium,
perangkingandenganmetodeThoranimampumerangkingberbagaibilanganfuzzy,
danmampu mengurutkanbilanganfuzzy (Thorani, et al.2012, hlm. 570).
Thoranitidakmemberikanperumusansecarakhususterkaitbilanganfuzzysegitiga,
tetapiThoranimemperolehbilanganfuzzysegitigadenganmereduksibilanganfuzzytrap
esiumketikanilai
segitiga
=
=
, ,
pada bilangan fuzzy =
;
, , , ;
. Bilangan fuzzy
dinyatakan dalambentukkurvasebagaiberikut :
P(b,w)
w
A(a,0)
B(b,0)
D(d,0)
Gambar 3.6KurvaBilanganFuzzySegitiga
Incenter untukbilanganfuzzysegitigadirumuskansebagai:
dengan
� ( 0,
=
0)
+2
3
=
+
+
2 +
3
+ +
(2 −2 )2 +
6
2
=
,
( − )2
3
3
+
2
+
3
(3.11)
+ +
=
(2 −2 )2 +
6
Definisi 3.2
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
2
56
Fungsi ranking dari bilangan fuzzysegitiga =
, , ;
yang memetakan
semua bilangan fuzzysegitigake himpunan bilangan real adalah
( )=
0. 0
+2
3
=
+
2 +
3
+
3
.
+ +
+
+
2
3
(3.12)
+ +
Metode perangkingan Thorani pada persamaan (3.10) dan (3.12) memenuhi
sifat linieritas. Konsep sifat linieritas pada bilangan fuzzy pada dasarnya sama
dengan konsep linieritas pada fungsi, seperti halnya kelinieran sebuah fungsi
terhadap perkalian dengan skalar juga berlaku pada bilangan fuzzy. Untuk lebih
lengkapnya dapat dilihat pada Proposisi 3.1.
Proposisi 3.1
Fungsi rangking merupakan fungsi linear dari bilangan fuzzy trapesium
=
, , , ;
2, 2 , 2 ,
2;
.
2
Misalkan,
1
=
1, 1 , 1,
1;
dan
1
yang merupakan bilangan fuzzy trapesium, dan
2
1,
=
2
berupa skalar maka berlaku :
1 1⨁ 2 2
(i).
=
1 1⨁ 2 2
(ii).
(iii).
−
1
1
1
1
+
+
(
2
2
(
2 ),
2 ),
jika
jika
=− ( )
⨁ −
=0
definisi
3.1,
1
1
=
≠
2
=1
2
Pembuktian Preposisi 3.1 dapat dilihat pada Lampiran 1 halaman 89-101.
Selain
terdapat
beberapadefinisilainnya
yang
dapatdigunakanuntukmelakukanperangkinganterhadapduabuahbilanganfuzzy
(Thorani,et al.2012, hlm.563):
Definisi 3.3
Mode ( ) dari bilangan fuzzy trapesium umum
=
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
=
1
2
+
0
=
2
+
Definisi 3.4
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
(3.13)
57
Spread ( ) atau sebaran dari bilangan fuzzy trapesium umum
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
−
=
0
Definisi 3.5
=
=
( − )
(3.14)
Left spread ( ) atau sebaran kiri dari bilangan fuzzy trapesium umum =
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
−
=
0
Definisi 3.6
−
=
(3.15)
Right spread ( ) atau sebaran kanan dari bilangan fuzzy trapesium umum =
, , , ;
didefinisikan dalam perumusan sebagai berikut:
−
=
0
−
=
(3.16)
Dengan menggunakan definisi-definisi yang telah disebutkan diatas, apabila
diberikanduabuahbilanganfuzzytrapesiumumum,
misalkan =
1,
1,
1,
1;
1
dan
=
2,
diurutkandengan terlebih dahulu mengkonversi
2,
2,
dan
2;
2
,
dan
dapat
menjadi bentuk crisp
melalui serangkaian langkah-langkah yang dikenal sebagai algoritma urutan
sebagai berikut (Thorani,et al.2012, hlm.564):
Langkah 1 :
Menentukan nilai ( ) dan ( )
Kasus (i)
: Apabila ( ) > ( ),maka
Kasus (ii) : Apabila ( ) <
Kasus (iii) : Apabila
Langkah 2 :
( ),maka
>
<
= ( )maka perbandingan tidak mungkin,
maka harus berlanjut pada langkah 2.
Menentukan nilai m ( ) dan m ( )
Kasus (i)
: Apabila ( ) >
( ),maka
>
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
58
Kasus (ii) : Apabila
( )<
Kasus (iii) : Apabila
=
Langkah 3 :
( ),maka
<
( ),maka perbandingan tidak
mungkin, maka berlanjut pada langkah 3.
Menentukan nilai ( ) dan ( )
: Apabila ( ) > ( ), maka
>
Kasus (ii) : Apabila ( ) < ( ), maka
<
Kasus (i)
Kasus (iii) : Apabila ( ) = ( ),maka perbandingan tidak mungkin,
maka berlanjut pada langkah 4.
Langkah 4 :
Menentukan nilai
( ) dan
( )
: Apabila ( ) >
( ), maka
>
Kasus (ii) : Apabila ( ) <
( ),maka
<
Kasus (i)
( )=
Kasus (iii) : Apabila
Langkah 5 :
mungkin, berlanjut pada langkah 5.
Melakukan uji nilai
Kasus (i)
( ),maka perbandingan tidak
1
dan
>
: Apabila
1
Kasus (ii) : Apabila
1
<
Kasus (iii) : Apabila
1
=
2
maka
>
2,
maka
<
2,
maka
≈
2,
3.2 Prosedur Penyelesaian Masalah Transportasi Fuzzy
Padatahun 2013, Thoranidan Shankar dalamjurnalnya yang berjudul “Fuzzy
Transportation Linear Programming Models based on L–R Fuzzy Numbers“
memperkenalkanmetodeuntukmencarisolusi
optimal
daripermasalahantransportasifuzzy. Metode tersebut kemudian dikenal sebagai
Metode Thorani.Metode Thorani dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan program linier. Permasalahantransportasi merupakan bagian dari
permasalahan
program
linier,
yangmemilikipolapengirimandarisejumlahsumberkesejumlahtujuan.Thoranimerep
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
59
resentasikanbiayapendistribusian,
nilaipenawarandannilaipermintaansebagaibilanganfuzzytrapesium.Thoranimempu
nyaifungsi perangkingan tersendiri yang dapat digunakan untuk mengubah
bilangan fuzzytrapesium menjadi bentuk crisp, yaitu menggunakan metode
perangkingan Thorani. Selanjutnya, untuk mencari solusi optimal dari
permasalahantransportasifuzzy,
Thorani
menggunakanmetode
yang
biasadigunakanuntukmenyelesaikan permasalahantransportasiklasik.
MisalkanpermasalahantransportasifuzzysepertidisajikandalamTabel
2.13,berikutadalahprosedurdarimetodeThoranidenganmenggunakanmetodeperang
kinganThoraniuntukmenyelesaikanpermasalahantransportasifuzzy
(Thorani,
et
al.,2012; Thoranidan Shankar, 2013) :
1. Periksakeseimbangan model transportasi fuzzy.
Keseimbangan model dapat diketahui dengancara menghitung total
penawaranfuzzy
( , , , )
dan total permintaanfuzzy
=1
= ( ′, ′, ′, ′),
dan
. Misalkan
=1
banyaknyasumberdan
=
mewakili
banyaknya tujuan.
Kasus (i)
Jika
=
=1
=1
, maka permasalahan transportasi fuzzysudahseimbang,
lanjutkankelangkahkedua.
Kasus (ii)
Jika
,
=1
,
=1
maka
permasalahan
transportasifuzzybelumseimbang.Konversi model tersebutsehinggamenjadi
model
transportasifuzzyseimbang.Langkah
yang
perludilakukanuntuk
menjadikan model transportasifuzzyyang seimbangsebagaiberikut:
′
i. Jika
′
, −
−
′
, −
tambahkan sebuah sumber dummy
,
′
− ,
′
− ,
′
−
′
−
+1
′
, dan
−
− ′, maka
dengan penawaran fuzzy
.Asumsikanbahwabiayadistribusi
komoditidarisumberdummy
′
+1 ke
setiaptujuansebagaibilanganfuzzytrapesium nol.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
per
′
−
unit
60
′
ii. Jika
′
, −
′
−
′
′
− ′,
maka
Asumsikanbahwabiayadistribusi
per
unit
, −
tambahkan sebuah tujuan dummy
′, − ′, − ′, − ′ .
′
−
, dan
−
−
dengan permintaanfuzzy
+1
komoditidarisetiap
sumberketujuandummy
+1 sebagaibilanganfuzzytrapesium
iii. Jikatidakmemenuhi
(i)
makatambahkansumberdummy
′
� {0, ( ′ −
+
�
{0, −
�
0,
�
−
dan
′
0,
′
′
}+
′
−
′
′
+
−
tidak
ada
)−
−
�
�
+
′
0,
′
′
0,
−
−
′
�
′
−
0,
+
−
−
sumberdummy
Asumsikan
′
−
+1 .
′
−
�
,
′
�
},
−
′
−
−
0,
�
�
−
′
′
′
−
−
+
′
−
′
,
per
unit
′
−
{0, −
0,
pada
+
−
�
�
,
−
′
0, −
+
′
}+
−
′
−
)padasumberdummy
0, −
)ditujuandummy
biayadistribusi
′
(ii)
+1 .
−
−
+
−
0, −
′
0,
permintaan
−
0,
�
′
0,
,
Permintaanfuzzysebesar(
′
�
−
−
−
atau
+1 dantujuandummy
(
Penawaranfuzzysebesar
nol.
−
+1
tujuandummy
,
�
′
�
+1
�
0,
0,
+
�
0, −
0, −
−
−
+1 .
−
′
+
−
�
dan tidak ada penawaran di
komoditidarisumberdummyke
setiaptujuan (termasuk tujuan dummy), dandari setiapsumber (termasuk
sumber dummy)ketujuandummysebagaibilanganfuzzytrapesium nol.
2. Gunakan
algoritma
urutanpada
metode
perangkingan
Thorani
untuk
mengkonversi permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama.
Permasalahan transportasi fuzzy pada langkah pertama dapat ditulis sebagai:
Minimumkan
=
=1
=1
(
)
Denganpembatas:
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
61
= ( )
=1
= ( )
=1
Gunakanrumus
0, ∀ = 1,2, … ,
perangkingan
untukmenghitung (
),
dan
Thorani
( )
= 1,2, … ,
3.8
Sehingga
permasalahan
pada
.
dan
persamaan
transportasicrisppadalangkahpertamamenjadi:
Minimumkan
+ (
(
11 ) 11
22 ) 22
+
+ (
+ (
12 ) 12
+ (
2
2)
2
)
+
+
+ (
+
2
1
+ (
+ (
)
11
+ (
1)
21 ) 21
1
)
Denganpembatas :
11
+
12
+ …+
1
= ( 1)
21
+
22
+ …+
2
= (
2)
1
+
2
+ …+
11
+
21
+ …+
1
= ( 1)
12
+
22
+ …+
2
= ( 2)
1
+
2
+ …+
0, ∀ = 1,2, … ,
= (
)
= (
)
dan
= 1,2, … ,
Apabila terdapat bilangan fuzzy yang memiliki rangking atau nilai crisp
yang sama, maka berdasarkan algoritma urutan, bilangan fuzzy tersebut tidak
dapat dibandingkan sehingga harus dilakukan tahap selanjutnya pada algoritma
urutan yaitu menghitung modedari bilangan fuzzy yang memiliki nilai crisp
yang sama. Pada langkah kedua inilah algoritma urutan digunakan.
3. Selesaikanpermasalahantransportasicrisp
diperolehpadalangkahkeduauntukmemperolehsolusioptimal {
yang
}.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
62
4. Hitung total biayafuzzy minimum denganmensubstitusikansolusi optimal yang
diperolehdarilangkahketigakefungsitujuan =
=1
.
=1
Prosedur yang diuraikan di atas merupakan prosedur untuk mencari solusi
optimal dari permasalahan transportasi fuzzy (Thoranidan Shankar, 2013) dengan
menggunakan metode Thorani. Perangkingan Thorani digunakan pada langkah
kedua yaitu dengan menerapkan algoritma urutan untuk mengkonversi setiap
bilanganfuzzy
ke
dalam
bentuk
bilangan
crisp,
sehingga
diperoleh
permasalahantransportasidalam bentuk crisp. Secara umum, apabiladalam
penyelesaian
permasalahan
transportasi
fuzzyakan
digunakan
metode
perangkingan yang lain, maka prosedur yang dilakukan tetap sama mengikuti
prosedur dalam mencari solusi optimal dengan metode Thorani, hanya saja,
prosedur pada langkah kedua tidak lagi menggunakan algoritma urutan tetapi
menggunakan persamaan perangkingan yang diinginkan.Dengan kata lain,
penyesuaian hanya dilakukan pada rumus perangkingannya saja.
Tika Kartikasari, 2015
APLIKASI METODE THORANI DALAM PENYELESAIAN MASALAH TRANSPORTASI FUZZ
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu