TM-ALJABAR DAN ASPEK-ASPEK TERKAIT - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)
TM-ALJABAR DAN ASPEK-ASPEK TERKAIT
Neni Oktaviani1, Suryoto2, Solichin Zaki31,2,3Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
[email protected] [email protected]
ABSTRACT. Theory of TM-algebra is a generalization of BCK-algebra and have
some relation withother algebra structures such BCH -algebra, BCI -algebra and
Q -algebra. -part of TM -algebra and a p-semisimple TM-algebra are a class of
TM -algebra who have special conditions. As well as in the other algebra structure, TM -algebra also has the concept of TM-subalgebra, TM-ideal and TM -algebra homomorphism.
Keywords : BCH-algebra, BCI-algebra, BCK-algebra, -algebra and TM -algebra.
I. PENDAHULUAN
Suatu struktur aljabar merupakan himpunan tidak kosong dengan satu atau lebih operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Selama ini mungkin hanya diketahui grup dan ring saja yang merupakan salah satu contoh dari struktur aljabar, ternyata masih banyak sekali struktur aljabar baru salah satunya yaitu TM -aljabar. TM-aljabar merupakan generalisasi dari BCK-aljabar. BCK-aljabar pertama kali diperkenalkan ke dalam matematika oleh Zahra M.Samaei, Mohammad Ali N. Azadani dan Leila N. Ranjbar pada tahun 2011. TM-aljabar pertama kali diperkenalkan ke dalam matematika oleh Megalai, K and Dr.A.Tamilarasi pada tahun 2011 [6].
II. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 2.1[6] Misalkan X himpunan tidak kosong dengan operasi biner dan 0 sebagai elemen khusus. Triple disebut TM-aljabar jika untuk setiap
memenuhi aksioma-aksioma berikut (TM1)
(2)
Contoh :
Diberikan dengan 0 sebagai elemen khusus dan dilengkapi dengan operasi biner sebagaimana diberikan oleh Tabel Cayley berikut ini.
Dari tabel di atas merupakan TM-aljabar.
Teorema2.2[6] Jika adalah BCK-aljabar, maka juga merupakan TM-aljabar.
Bukti :
Diketahui suatu BCK-aljabar. Akan dibuktikan bahwa aksioma (TM1) dan (TM2) yang dimiliki oleh TM-aljabar juga berlaku pada BCK-aljabar.
Diambil sebarang , maka : (TM1)
Aksioma (TM1) terpenuhi.
(TM2) Aksioma (TM2) terpenuhi
Kedua aksioma TM-aljabar telah terpenuhi, maka benar bahwa setiap BCK-aljabar adalah TM-aljabar.
Proposisi 2.3[6] Misalkan suatu TM-aljabar. Untuk setiap
berlaku :
(i)
(ii) (iii)
* 0 3
0 0 1
0 2
0 3
(3)
Bukti :
Misalkan adalah suatu TM-aljabar.
(i) Akan dibuktikan Diambil sebarang sedemikian sehingga :
dengan Aksioma (TM1)
dengan Aksioma (TM2) dengan Aksioma (TM1) (ii) Akan dibuktikan Diambil sebarang ,
sedemikian sehingga :
dengan Aksioma (TM1) dengan Aksioma (TM2) (iii)Akan dibuktikan Diambil sebarang , sedemikian
sehingga :
dengan Aksioma (TM1) dengan Aksioma (TM2) dengan Aksioma (TM1). Proposisi 2.4[6] Jika adalah suatu TM-aljabar, maka untuk setiap
berlaku .
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar.
Akan dibuktikan bahwa Diambil sebarang maka :
Definisi 2.5[6] Misalkan adalah TM-aljabar dan merupakan himpunan bagian tidak kosong dari , dikatakan TM-subaljabar dari jika untuk setiap
berlaku .
(4)
Definisi2.6[6] Misalkan adalah TM-aljabar. -bagian dari X didefinisikan oleh .
Teorema2.7 Jika TM-aljabar dan adalah -bagian dari TM-aljabar,maka merupakan TM-subaljabar.
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar dan Kemudian akan dibuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar.
Himpunan dikatakan TM-subaljabar jika untuk setiap maka berlaku atau dengan kata lain akan dibuktikan bahwa . Diambil sebarang dan , sehingga diperoleh :
Dengan demikian benar bahwa merupakan TM-subaljabar.
Definisi 2.8 [6] Misalkan adalah suatu TM-aljabar, himpunan bagian tak kosong dari . Himpunan disebut ideal dari jika memenuhi :
i)
ii) jika dan maka untuk setiap .
Teorema2.9 Jika TM-aljabar dan adalah ideal dari , maka merupakan TM-subaljabar.
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar dan adalah ideal dari Himpunan adalah ideal dari maka :
1. .
2. Jika dan maka
Kemudian akan dibuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar.
Berdasarkan Definisi 3.16 (ii) dapat disimpulkan bahwa untuk setiap berlaku . Dengan begitu himpunan merupakan TM-subaljabar.
(5)
Definisi 2.10 [6] Misalkan adalah TM-aljabar, maka himpunan bagian dari X yang didefinisikan oleh disebut p-radikal dari . Jika , maka adalah TM-aljabar p-semisederhana.
Proposisi 2.11[6] Misalkan adalah suatu TM-aljabar. Himpunan adalah ideal dari
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar. Kemudian akan dibuktikan bahwa adalah ideal dari .
dapat dikatakan ideal dari bila memenuhi Definisi ideal.
1. .
Menurut Definisi 3.19, didefinisikan sehingga jika diambil maka akan selalu memenuhi atau dengan kata lain . Dengan begitu benar bahwa .
2. Jika dan maka
Karena dan , maka dan Selanjutnya,
Karena , sehingga benar bahwa .
Proposisi 2.12 Misalkan TM-aljabar. adalah -bagian dari TM-aljabar dan merupakan TM-aljabar p-semisederhana, maka berlaku kondisi berikut, .
Bukti :
Diketahui TM-aljabar dan , . Akan ditunjukkan berlakunya kondisi .
(6)
Berdasarkan Proposisi, kita tahu bahwa dan menurut yang diketahui . Dengan demikian kondisi terpenuhi.
Teorema 2.13 Misalkan adalah suatu TM-aljabar. Himpunan merupakan TM-subaljabar.
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar. Kemudian akan dibuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar.
Untuk membuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar maka untuk setiap berlaku atau dengan kata lain akan dibuktikan bahwa . Dengan menggunakan Proposisi 3.5 (v) pada TM-aljabar maka benar bahwa merupakan TM-subaljabar.
Definisi 2.14[6] Misalkan dan adalah TM-aljabar. Suatu pemetaan disebut homomorfisma jika :
Definisi 2.15[6] Misalkan adalah suatu homomorfisma dari TM-aljabar, maka dapat didefinisikan dari yaitu dan peta balik .
Proposisi 2.16[6] Misalkan adalah suatu homomorfisma dari TM-aljabar, maka berlaku :
i)
ii) Jika maka .
Bukti :
i) Misalkan adalah suatu homomorfisma TM-aljabar. Akan dibuktikan bahwa , maka :
dengan Proposisi 3.2 (i)
(7)
dengan Proposisi 3.2 (i)
ii) Misalkan adalah suatu homomorfisma TM-aljabar dan berlaku Diambil sebarang maka :
dengan Definisi 3.24
yang diketahui
dengan Proposisi 3.26 (i)
Proposisi 2.17[6] Misalkan dan adalah TM-aljabar dan adalah ideal dari . Jika adalah homomorfisma TM-aljabar, maka
adalah ideal dari . Bukti :
Diketahui dan adalah suatu TM-aljabar dan adalah homomorfisma TM-aljabar serta adalah ideal dari . Akan dibuktikan bahwa adalah ideal dari
Karena ideal dari maka :
i)
ii) Jika dan maka
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa adalah ideal dari dimana: .
Himpunan dikatakan ideal dari jika memenuhi Definisi 3.16 : 1. .
sebab maka .
2. Jika dan maka sehingga berlaku dan . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
.
(8)
Kedua aksioma ideal TM-aljabar terpenuhi dengan demikian terbukti bahwa ideal dari
III.KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah diuraikan dapt disimpulakan bahwa teori TM -aljabar merupakan perumuman BCK-aljabar. TM-aljabar juga berkaitan dengan struktur aljabar yang lain seperti BCH-aljabar, BCI-aljabar, dan Q-aljabar. Beberapa konsep dalam TM-aljabar masing-masing saling mempunyai keterkaitan.Seperti halnya yaitu TM-aljabar p-semisederhana yang juga merupakan TM-subaljabar. Konsep yang merupakan -bagian dari TM -aljabar juga mempunyai kaitan dengan konsep yang lain seperti TM-subaljabar dan ideal TM-aljabar. Kaitan antara dengan TM-subaljabar dan ideal TM -aljabar bisa dijadikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap juga merupakan TM-subaljabar, begitu pula kaitan antara dengan ideal TM -aljabar.
IV.UCAPAN TERIMA KASIH
Banyak pihak yang telah membantu dalam penyelesaianTugasAkhir ini. Oleh karena itu, rasa hormat dan terima kasih penulis ingin sampaikan kepada :
1. Bapak Suryoto, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat-nasehatnya selama ini,
2. Bapak Drs. Solichin Zaki, M.Kom, selaku dosen pembimbing II yang juga telah membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya Tugas Akhir ini,
3. Semua pihak yang telah membantu hingga selesainya tugas akhir ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan yang telah Anda berikan
(9)
V. DAFTAR PUSTAKA
[1] Dar. K.H and Akram, Muhammad. 2006. On Endomorphisms of BCH algebas. Annals of University of Craiova, Math. Comp. Sci. Ser.
[2] Deffyana Prastya Arifani. 2010. SkripsiSemi-Homomorfisma BCK-Aljabar. UNDIP. Semarang.
[3] Desrimarolisa Dwi Anggrainy. 2010. Q-Aljabar. UNDIP. Semarang. [4] Dewi Yunitasari. 2010. Skripsi BCK-Aljabar hiper. UNDIP.Semarang.
[5] Gilbert, Jimmie and Linda Gilbert. Elements Of Modern Algebra. Third Edition, PWS-KENT Publishing Company. Boston.
[6] Megalai, K and Dr.A.Tamilarasi. TM-algebras-An Introduction, IJCA (2010), hal : 1-7.
[7] Lipschutz, Seymour, 1981 , Schaum’s Outline of Theory and Problems of Set Theory and Related Topics , McGraw-Hill Book Company,Singapore.
(1)
Definisi2.6[6] Misalkan adalah TM-aljabar. -bagian dari X didefinisikan oleh .
Teorema2.7 Jika TM-aljabar dan adalah -bagian dari TM-aljabar,maka merupakan TM-subaljabar.
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar dan Kemudian akan dibuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar.
Himpunan dikatakan TM-subaljabar jika untuk setiap maka berlaku atau dengan kata lain akan dibuktikan bahwa . Diambil sebarang dan , sehingga diperoleh :
Dengan demikian benar bahwa merupakan TM-subaljabar.
Definisi 2.8 [6] Misalkan adalah suatu TM-aljabar, himpunan bagian tak kosong dari . Himpunan disebut ideal dari jika memenuhi :
i)
ii) jika dan maka untuk setiap .
Teorema2.9 Jika TM-aljabar dan adalah ideal dari , maka merupakan TM-subaljabar.
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar dan adalah ideal dari Himpunan adalah ideal dari maka :
1. .
2. Jika dan maka
Kemudian akan dibuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar.
Berdasarkan Definisi 3.16 (ii) dapat disimpulkan bahwa untuk setiap berlaku . Dengan begitu himpunan merupakan TM-subaljabar.
(2)
Definisi 2.10 [6] Misalkan adalah TM-aljabar, maka himpunan bagian dari X yang didefinisikan oleh disebut p-radikal dari . Jika , maka adalah TM-aljabar p-semisederhana.
Proposisi 2.11[6] Misalkan adalah suatu TM-aljabar. Himpunan adalah ideal dari
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar. Kemudian akan dibuktikan bahwa adalah ideal dari .
dapat dikatakan ideal dari bila memenuhi Definisi ideal. 1. .
Menurut Definisi 3.19, didefinisikan sehingga jika diambil maka akan selalu memenuhi atau dengan kata lain . Dengan begitu benar bahwa .
2. Jika dan maka
Karena dan , maka dan Selanjutnya,
Karena , sehingga benar bahwa .
Proposisi 2.12 Misalkan TM-aljabar. adalah -bagian dari TM-aljabar dan merupakan TM-aljabar p-semisederhana, maka berlaku kondisi berikut, .
Bukti :
Diketahui TM-aljabar dan , . Akan ditunjukkan berlakunya kondisi .
(3)
Berdasarkan Proposisi, kita tahu bahwa dan menurut yang diketahui . Dengan demikian kondisi terpenuhi.
Teorema 2.13 Misalkan adalah suatu TM-aljabar. Himpunan merupakan TM-subaljabar.
Bukti :
Diketahui adalah TM-aljabar. Kemudian akan dibuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar.
Untuk membuktikan bahwa merupakan TM-subaljabar maka untuk setiap berlaku atau dengan kata lain akan dibuktikan bahwa . Dengan menggunakan Proposisi 3.5 (v) pada TM-aljabar maka benar bahwa merupakan TM-subaljabar.
Definisi 2.14[6] Misalkan dan adalah TM-aljabar. Suatu pemetaan disebut homomorfisma jika :
Definisi 2.15[6] Misalkan adalah suatu homomorfisma dari TM-aljabar, maka dapat didefinisikan dari yaitu dan peta balik .
Proposisi 2.16[6] Misalkan adalah suatu homomorfisma dari TM-aljabar, maka berlaku :
i)
ii) Jika maka . Bukti :
i) Misalkan adalah suatu homomorfisma TM-aljabar. Akan dibuktikan bahwa , maka :
dengan Proposisi 3.2 (i) dengan Definisi 3.24
(4)
dengan Proposisi 3.2 (i)
ii) Misalkan adalah suatu homomorfisma TM-aljabar dan berlaku Diambil sebarang maka :
dengan Definisi 3.24 yang diketahui
dengan Proposisi 3.26 (i)
Proposisi 2.17[6] Misalkan dan adalah TM-aljabar dan adalah ideal dari . Jika adalah homomorfisma TM-aljabar, maka
adalah ideal dari . Bukti :
Diketahui dan adalah suatu TM-aljabar dan adalah homomorfisma TM-aljabar serta adalah ideal dari . Akan dibuktikan bahwa adalah ideal dari
Karena ideal dari maka :
i)
ii) Jika dan maka
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa adalah ideal dari dimana: .
Himpunan dikatakan ideal dari jika memenuhi Definisi 3.16 : 1. .
sebab maka .
2. Jika dan maka sehingga berlaku dan . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
.
(5)
Kedua aksioma ideal TM-aljabar terpenuhi dengan demikian terbukti bahwa ideal dari
III.KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah diuraikan dapt disimpulakan bahwa teori TM-aljabar merupakan perumuman BCK-aljabar. TM-aljabar juga berkaitan dengan struktur aljabar yang lain seperti BCH-aljabar, BCI-aljabar, dan Q-aljabar. Beberapa konsep dalam TM-aljabar masing-masing saling mempunyai keterkaitan.Seperti halnya yaitu TM-aljabar p-semisederhana yang juga merupakan TM-subaljabar. Konsep yang merupakan -bagian dari TM-aljabar juga mempunyai kaitan dengan konsep yang lain seperti TM-subaljabar dan ideal TM-aljabar. Kaitan antara dengan subaljabar dan ideal TM-aljabar bisa dijadikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap juga merupakan TM-subaljabar, begitu pula kaitan antara dengan ideal TM-aljabar.
IV.UCAPAN TERIMA KASIH
Banyak pihak yang telah membantu dalam penyelesaianTugasAkhir ini. Oleh karena itu, rasa hormat dan terima kasih penulis ingin sampaikan kepada :
1. Bapak Suryoto, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat-nasehatnya selama ini,
2. Bapak Drs. Solichin Zaki, M.Kom, selaku dosen pembimbing II yang juga telah membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya Tugas Akhir ini,
3. Semua pihak yang telah membantu hingga selesainya tugas akhir ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan yang telah Anda berikan
(6)
V. DAFTAR PUSTAKA
[1] Dar. K.H and Akram, Muhammad. 2006. On Endomorphisms of BCH algebas. Annals of University of Craiova, Math. Comp. Sci. Ser.
[2] Deffyana Prastya Arifani. 2010. Skripsi Semi-Homomorfisma BCK-Aljabar. UNDIP. Semarang.
[3] Desrimarolisa Dwi Anggrainy. 2010. Q-Aljabar. UNDIP. Semarang. [4] Dewi Yunitasari. 2010. Skripsi BCK-Aljabar hiper. UNDIP.Semarang.
[5] Gilbert, Jimmie and Linda Gilbert. Elements Of Modern Algebra. Third Edition, PWS-KENT Publishing Company. Boston.
[6] Megalai, K and Dr.A.Tamilarasi. TM-algebras-An Introduction, IJCA (2010), hal : 1-7.
[7] Lipschutz, Seymour, 1981 , Schaum’s Outline of Theory and Problems of Set Theory and Related Topics , McGraw-Hill Book Company,Singapore.