PELABELAN PRIME CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF YANG TERKAIT DENGAN GRAF SIKEL - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

PELABELAN PRIME CORDIAL PADA BEBERAPA GRAF

YANG TERKAIT DENGAN GRAF SIKEL

Nindita Yuda Hapsari1, R.Heri Soelistyo U2, Luciana Ratnasari3 1,2,3

Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

ninditayuda@gmail.com

ABSTRACT. Prime cordial labeling of a graph is a bijective mapping of the set vertex to the set and is the number of vertex . While the edge labeling induced the vertex labeling, which is obtained by finding the great common divisor (gcd) of the

label of vertex which it’s adjacent. If gcd of the adjacent vertex label is 1 then the label of edge is

1, while if gcd of the adjacent vertex label value other than 1 then the label of edge is 0, and the absolute value of the difference between the number of edges labeled 0 and the number of edges labeled 1 is less than same 1. A graph admits prime cordial labeling is called prime cordial graph. This paper, we study about for edge duplication cycle graph (except for ), vertex duplication cycle graph , path union union of cycle the graph and friendship graph that one point union of copies of cycle .

Keywords: Prime Cordial Labeling, cycle graph, path union, friendship graph

I. PENDAHULUAN

Ada banyak jenis pelabelan yang telah dikembangkan, salah satunya adalah pelabelan prime. Pelabelan prime sebelumnya telah dibahas oleh Erisia Ratna Yuanti [ 3 ] untuk beberapa graf hasil operasi dari graf sikel yaitu pemadatan (fusion), duplikat (duplication), pertukaran titik (vertex switching), gabungan path (path union), dan penggabungan dua salinan (path joining two copies) dari graf sikel. Pada pelabelan prime terdapat hubungan pada syarat pelabelan prime cordial. Pelabelan Prime Cordial merupakan suatu bentuk pelabelan pada titik yang label sisinya mengikuti (induced) label titiknya, yang definisinya adalah

II. HASIL DAN PEMBAHASAN Teorema 2.1

Sebuah graf yang diperoleh dengan menduplikasi sisi oleh sebuah titik pada sikel merupakan pelabelan prime cordial, kecuali untuk

Bukti :

Misalkan adalah graf yang diperoleh dari graf dengan menduplikasi setiap sisinya, himpunan titik – titik graf adalah , sedangkan himpunan titik – titik untuk mendapatkan graf adalah . Didefinisikan pelabelan titik , dalam dua kasus sebagai berikut.

Kasus ganjil

Subkasus 1:

v1

v2

V2'

v3

V3'

V1'

2

4 6

1 5

3 1

1

1 1

1

0

0 0

0

V5'

v1

v2

v3

v4

v5

V1'

V2'

V3'

V4'

2

4

6 1

7

8

10

3 5

9

0 0 0

0 0

0

0 1

1 1 1 1

1 1

1

Gambar 2.1 Graf Prime Cordial dan Subkasus 2:

Kasus genap Subkasus 1: 2 3 6 4 5 8 7 1

Gambar 2.3 Graf bukan graf prime cordial

Subkasus 2: v1 v2 v3 v4 v5 v6

V1'

V2'

V3'

V4'

V5'

V6' 2 4 3 5 9 8 10 12 1 7 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 6 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8

V1'

V8'

V7'

V6'

V5' V4'

V3'

V2'

2 4 8 3 5 1 13 16 10 14 12 1 7 11 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v1 v2 v4 v3 v5 v6 v7 v8 v9 v10

V1'

V2'

V3'

V4'

V5' V6'

V8' V9'

V10'

V7'

2 4 8 10 6 3 9 13 17 20 14 16 18 12 1 7 11 15 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Gambar 2.4 Graf Prime Cordial , dan Subkasus 3:

Teorema 2.2

Sebuah graf yang diperoleh dengan menduplikasi sebuah titik oleh sebuah sisi pada sikel merupakan pelabelan prime cordial.

Bukti :

Misalkan graf adalah graf yang diperoleh dari graf dengan menduplikasi setiap titiknya, himpunan titik – titik graf adalah , sedangkan himpunan untuk mendapatkan graf adalah . Didefinisikan untuk dalam dua kasus sebagai berikut.

Kasus 1 : Ganjil Subkasus 1:

v1

v2

v3

V1' V2'

V3'

V4'

V5'

V6'

2

3 1

8 4

6

9 5

7

0

0 0

0

0 0 1

1 1

1

1 ₁

v1

v2

v3

v4

v5

V1' V2'

V3'

V4'

V5'

V6' V7' V8'

V9'

V10' 2

4

3 1

11

8 10

12

14

6 9

5 7

13 15

0

0 0

0 0

0 0

0

0 0

1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

Gambar 2.6 Graf Prime Cordial dan Subkasus 2:

Kasus 2 : Genap Subkasus 1 :

v

v′ v′ v′ v′

v′ v′

v′ v′

v

v v

2 6

3 7

4 8 10 12

1 5

9 11

0

0 0 0

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1 1

v1

v2

v3

v4 v5

v6

V1' V2' V3'

V4' V5'

V6' V7' V8'

V9' V10' V11'

V12'

2 4

6 3 7 13

8 10

12

14 16

1 5

9 11

15 17

0 0

0 0 0

0 0

0

18

0 0 0

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 ₁

0

Gambar 2.8 Graf Prime Cordial dan Subkasus 2 :

Gambar 2.8 Graf Prime Cordial

Teorema 3.9 [ 10 ]

Kasus 1 : genap, genap 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 6 10 12 14

16 1 5 9 13

3 7 11 15

Gambar 2.9 Graf Prime CordialPath Union

Kasus 2 : ganjil, genap

2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Gambar 2.10 Graf Prime CordialPath Union

Kasus 3 : genap, ganjil

8 17 4 10 12 14 16 2 18 6 ₃ 1 5 7 9 11 15 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

Gambar 2.11 Graf Prime CordialPath Union

Kasus 4 : ganjil, ganjil

2 4 8 10 12 14 6 3 5 7 9 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 11 13 15 1 1 1

Gambar 2.12 Graf Prime cordialPath Union

4 8 10 12 14 0 0 0 0 0 2 6 3 1 5 0 0 1 1 1 7 9 11 13 15 1 1 1 1 1 0 1

Teorema 2.4

Graf Friendship adalah graf prime cordial untuk

Bukti :

Diberikan sebagai titik bersama untuk semua sikel. Tanpa menghilangan sifat asliya, dimulai untuk penetapan label titik dari

Didefinisikan pelabelan titik untuk adalah , yang dibagi dalam dua kasus sebagai berikut

Kasus 1 : Genap

Diberikan adalah bilangan prima terbesar sehingga dan pelabelan titiknya didefinisikan sebagai berikut.

Selanjutnya untuk titik yang menghasilkan label , maka titik tersebut tidak dilabelkan terlebih dahulu dan dilanjutkan dengan pelabelan selanjutnya. Setelah semua titik dilabelkan kecuali titik yang menghasilkan label , maka titik yang belum dilabelkan tersebut dilabelkan dengan nilai sisa yang belum dilabelkan pada titik titik dari graf tersebut.

Contoh :

v2 v3

v8

v9

v1

v4

v6

v7

v10

v11

v12

v13

e1 _e3

e4

e5

e6

e7

e8

e9

e10

e12

e13

e14

e15

e16

e17

e18

0

1

2 4

3 5

6

8

12

1 7

9 11

13

0 ₀

0 0

0 0

1 1

0

1 1 1

0 1 1

1

10

Gambar 2.14 Graf dan Graf Prime Cordial

III.KESIMPULAN

Dari pembahasan tentang Pelabelan Prime Cordial pada beberapa graf yang terkait dengan graf sikel diperoleh bahwa:

1. Graf baru yang merupakan hasil duplikasi sisi oleh sebuah titik pada graf adalah graf prime cordial ( Kecuali ).

2. Graf baru yang merupakan hasil duplikasi titik oleh sebuah sisi pada graf adalah graf prime cordial.

3. Graf baru yang merupakan hasil Path Union dari m salinan sikel adalah graf prime cordial pada path union .

4. Graf friendship adalah graf prime cordial.

IV.UCAPAN TERIMA KASIH

Banyak pihak yang telah membantu dalam penyelesaianTugasAkhir ini. Oleh karena itu, rasa hormat dan terima kasih penulis ingin sampaikan kepada :

1. Bapak Robertus Heri S U, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini.

2. Ibu Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing II yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini.

3. Semua pihak yang telah membantu hingga selesainya tugas akhir ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan yang telah Anda berikan

V. DAFTAR PUSTAKA

[1] Bartle, Robert G. And Donald R. Sherbert. 2000. “Introduction to Real Analysis Third Edition”. John Wiley and Sons: New York .

[2] Baskar Babujee and L.Shobana, Prime and Prime Cordial Labeling For Some Special graph. Int. j. Contemp. Sciences, Vol. 5, 2010, no. 47, 2347-2356

[3] Erisia Yuanti Ratnasari. 2011. “Pelabelan Prim Untuk Beberapa Graf

Hasil Operasi Dari Graf Sikel”. Semarang : Universitas Diponegoro, Skripsi.

[4] Ghodasara, Gaurang V., 2008, “Some Investigations in the Theory of

[10] Vaidya, S.K and P.L Vihol. Prime Cordial Labeling For Some Cycle Related Graphs. Int. J. open Problems Comp. Math., Vol.3 No.,. 2010. ISSN 1998-6262

[11] Wilson, J. Robin and John J. Watkins. 1990. “Graphs An Introductory Approach”. John Willey & Sons : Canada.

Kasus 2 : Genap Subkasus 1 :

v

v′ v′ v′ v′

v′ v′ v′ v′ v v v 2 6 3 7

4 8 10 12

1 5

9 11

0

0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 v1 v2 v3 v4 v5 v6

V1' _V2' V3' V4' V5' V6' V7' V8' V9' V10' V11' V12' 2 4 6 3 7 13 8 10 12 14 16 1 5 9 11 15 17 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ₁ 0

Gambar 2.8 Graf Prime Cordial dan Subkasus 2 :

Gambar 2.8 Graf Prime Cordial

Teorema 3.9 [ 10 ]

Path union dari salinan sikel adalah graf prime cordial.

Bukti :

Misalkan graf adalah path union dari salinan sikel dengan himpunan titiknya adalah . Didefinisikan pelabelan titik untuk adalah

Kasus 1 : genap, genap 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 6 10 12 14

16 1 5 9 13

3 7 11 15

Gambar 2.9 Graf Prime CordialPath Union

Kasus 2 : ganjil, genap 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Gambar 2.10 Graf Prime CordialPath Union

Kasus 3 : genap, ganjil

8 17 4 10 12 14 16 2 18 6 ₃ 1 5 7 9 11 15 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

Gambar 2.11 Graf Prime CordialPath Union

Kasus 4 : ganjil, ganjil 2 4 8 10 12 14 6 3 5 7 9 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 11 13 15 1 1 1

Gambar 2.12 Graf Prime cordialPath Union

4 8 10 12 14 0 0 0 0 0 2 6 3 1 5 0 0 1 1 1 7 9 11 13 15 1 1 1 1 1 0 1

Teorema 2.4

Graf Friendship adalah graf prime cordial untuk

Bukti :

Diberikan sebagai titik bersama untuk semua sikel. Tanpa

menghilangan sifat asliya, dimulai untuk penetapan label titik dari

Didefinisikan pelabelan titik untuk adalah , yang dibagi dalam dua kasus sebagai berikut

Kasus 1 : Genap

Diberikan adalah bilangan prima terbesar sehingga dan pelabelan titiknya didefinisikan sebagai berikut.

Selanjutnya untuk titik yang menghasilkan label , maka titik tersebut tidak dilabelkan terlebih dahulu dan dilanjutkan dengan pelabelan selanjutnya. Setelah semua titik dilabelkan kecuali titik yang menghasilkan label , maka titik yang belum dilabelkan tersebut dilabelkan dengan nilai sisa yang belum dilabelkan pada titik titik dari graf tersebut.

Kasus 2 : Ganjil

Diberikan adalah bilangan prima terbesar sehingga dan pelabelan titiknya didefinisikan sebagai berikut.

Contoh :

v2 v3

v8 v9

v1

v4

v6

v7 v10

v11 v12

v13

e1 _e3

e4 e5

e6

e7

e8 e9 e10 e12 e13 e14

e15 e16 e17

e18

0

1

2 4

3 5

6

8

12

1 7

9 11

13

0 ₀

0 0

0

0

1 1 0 1 1 1

0 1 1

1

10

Gambar 2.14 Graf dan Graf Prime Cordial

III.KESIMPULAN

Dari pembahasan tentang Pelabelan Prime Cordial pada beberapa graf yang terkait dengan graf sikel diperoleh bahwa:

1. Graf baru yang merupakan hasil duplikasi sisi oleh sebuah titik pada graf adalah graf prime cordial ( Kecuali ).

2. Graf baru yang merupakan hasil duplikasi titik oleh sebuah sisi pada graf

adalah graf prime cordial.

3. Graf baru yang merupakan hasil Path Union dari m salinan sikel adalah graf prime cordial pada path union .

4. Graf friendship adalah graf prime cordial.

IV.UCAPAN TERIMA KASIH

Banyak pihak yang telah membantu dalam penyelesaianTugasAkhir ini. Oleh karena itu, rasa hormat dan terima kasih penulis ingin sampaikan kepada :

1. Bapak Robertus Heri S U, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini.

2. Ibu Lucia Ratnasari, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing II yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan penulis hingga selesainya penyusunan Tugas Akhir ini.

3. Semua pihak yang telah membantu hingga selesainya tugas akhir ini, yang

tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan yang telah Anda berikan

V. DAFTAR PUSTAKA

[1] Bartle, Robert G. And Donald R. Sherbert. 2000. “Introduction to Real Analysis Third Edition”. John Wiley and Sons: New York .

[2] Baskar Babujee and L.Shobana, Prime and Prime Cordial Labeling For Some Special graph. Int. j. Contemp. Sciences, Vol. 5, 2010, no. 47, 2347-2356

[3] Erisia Yuanti Ratnasari. 2011. “Pelabelan Prim Untuk Beberapa Graf Hasil Operasi Dari Graf Sikel”. Semarang : Universitas Diponegoro, Skripsi.

[4] Ghodasara, Gaurang V., 2008, “Some Investigations in the Theory of Graphs”, thesis PhD, Saurashtra University

[5] http://id.wikipedia.org/wiki/Faktor_persekutuan_terbesar

[6] http://parjono.files.wordpress.com/.../rumus-matematika-barisan-deret.doc

[7] Lipschutz, Seymour. 1964. “Set Theory and Related Topics”. McGRAW

-HILL BOOK COMPANY : New York.

[8] Munir, Rinaldi. 2007. “Matematika Diskrit”. Bandung: Informatika Bandung.

[9] Rosen, Kenneth H. 2007. “Discrete Mathematics and Its Applications Sixth Edition”. McGRAW-HILL BOOK COMPANY : New York.

[10] Vaidya, S.K and P.L Vihol. Prime Cordial Labeling For Some Cycle Related Graphs. Int. J. open Problems Comp. Math., Vol.3 No.,. 2010. ISSN 1998-6262

[11] Wilson, J. Robin and John J. Watkins. 1990. “Graphs An Introductory Approach”. John Willey & Sons : Canada.