Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial
DOI: JURNAL FOURIER | Oktober 2017, Vol. 6, No. 2, 55-68 E-ISSN 2541-5239 ISSN 2252-763X Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial Malahayati
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Email: malahayati_01@yahoo.co.id Abstrak
Perkembangan teori integral khususnya integral Henstock yang terbaru berhasil dikemukakan oleh Laramie Paxton,
yaitu integral Henstock Sekuensial. Pendefinisian Integral Henstock Sekuensial hampir sama seperti mendefinisikan
integral Henstock, bedanya pada integral Henstock Sekuensial partisinya melibatkan barisan fungsi positif yang
disebut partisi tag δ . Laramie membuktikan bahwa fungsi yang terintegral Henstock juga terintegral Henstock
n -fineSekuensial begitupun sebaliknya, sehingga sifat-sifat yang berlaku pada integral Henstock juga belaku pada integral
Henstock Sekuensial. Di dalam tulisan ini dibuktikan beberapa sifat integral Henstock Sekuenisial dan teorema-
teorema dasar seperti yang berlaku pada integral Henstock. Kata KunciIntegral Henstock; Integral Henstock Sekuensial; partisi tag δ
Abstract
The development of integral theories, in particular the latest Henstock integral, was succeeded by Laramie Paxton,
the Sequential Henstock integral. The definition of a Sequential Henstock Integral is almost the same as defining
the integral of Henstock, the difference in the Henstock integral Sequential partition involves a sequence of positive
functions called the δ tag partition. Laramie proves that Henstock's integral function is also integral to
n -fineSequential Henstock as well as vice versa, so that the properties that apply to the integral Henstock also apply to
the Sequential Henstock integral. In this paper some of the attributes of Henstock Sekuenisial integrals and basic
theorems such as those that apply to the integral Henstock.Keywords Integral Henstock; Sequential Henstock Integral; tag partition δ
Pendahuluan
Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang terus mengalami perkembangan, dan memungkinkan untuk terus diteliti dan dikembangkan. Pada tahun 1854, teori integral dengan penggunaan partisi sebagai dasar pengembangannya telah disusun oleh Riemann. Teori Integral Riemann merupakan teori integral yang mudah dipelajari dan dimengerti dalam mempelajarinya. Namun demikian, seiring jalannya waktu teori Integral Riemann juga mengalami perkembangan. Ralph Henstock (1957) seorang ahli matematikawan, mencermati ada fungsi yang tidak terintegral Riemann. Sebagaimana diketahui pendefinisian integral yang dilakukan Riemann hanya membahas fungsi yang terbatas, namun demikian tidak semua fungsi yang terbatas terintegralkan secara Riemann, contoh fungsi yang tidak terintegral Riemann adalah fungsi Dirichlet. Dengan menggunakan partisi, Henstock menyusun teori integral baru yang dikenal dengan nama Integral Henstock.
Baru-baru ini, tepat di tahun 2016 perkembangan teori integral yang terbaru berhasil dikemukakan oleh Laramie Paxton, yaitu perkembangan dari integral Henstock menjadi integral Henstock Sekuensial melalui penggunaan urutan umum atau biasa disebut barisan, yaitu, integral Henstock didefinisikan melalui pendekatan barisan. Lebih lanjut, Laramie membuktikan bahwa fungsi yang terintegral Henstock juga terintegral Henstock Sekuensial begitupun sebaliknya, sehingga sifat-sifat yang berlaku pada integral Henstock juga belaku pada integral Henstock Sekuensial. Oleh karena itu, menarik untuk dipelajari sifat-sifat apa saja yang berlaku pada integral Henstock Sekuensial serta mengkaji lebih dalam bukti-bukti yang tidak diberikan oleh Laramie Paxton.
Malahayati Landasan Teori
Pada bagian ini, akan diberikan definisi partisi, yang telah dikenal ketika mendefinisikan integral non-overlapping terlebih dahulu. Riemann maupun integral Henstock. Namun akan diberikan definisi
Dua interval terbuka pada Definisi 2.1. (Bartle, 2001:4)
ℝ dikatakan tidak tumpang tindih (non- overlapping) apabila irisan dari kedua interval tersebut kosong atau dua interval tertutup pada ℝ dikatakan tidak tumpang tindih (non-overlapping) apabila irisan dari kedua interval tersebut paling banyak satu titik.
Berikut akan diberikan contoh agar lebih mudah dalam memahami definisi dua interval yang tidak tumpang tindih ( non-overlapping). Contoh 2.2. Diberikan masing-masing dua pasang interval pada
ℝ: a. = [0,2] dan = [2,5]
Dua interval tersebut dikatakan tidak tumpang tindih ( non-overlapping), karena ∩ = {2}.
b.
= (2,4) dan = (5,7) Interval dan dikatakan tidak tumpang tindih (non-overlapping), karena ∩ = ∅.
c.
= [1,3] dan = [2,4] Dua interval tersebut dikatakan tumpang tindih ( overlapping), karena ∩ = [2,3].
Definisi 2.3. (Bartle, 2000:145) Partisi pada suatu interval = [ , ] adalah koleksi interval-interval tertutup yang non-overlapping sehingga . Ditulis
= ∪ … ∪ = { , … , } dengan = [ , ]
1 1 −1
dimana = < ⋯ < < < ⋯ < < = .
−1 −1
Titik-titik dipilih dari setiap interval
( = 0, … , ) disebut titik-titik partisi . Jika titik , ∀ = disebut tag dan himpunan pasangannya disebut partisi tag pada 1, … , , maka dapat ditulis
= {([ , ], )}
−1 =1
Dengan .
≤ ≤
−1
Berikut akan diberikan contoh partisi dan partisi tag agar lebih mudah dalam memahami definisi partisi di atas. Contoh 2.4. Diberikan interval
= [0,12] dibentuk = {[0,3], [3,6], [6,9], [9,12]}
1
= {[0,2], [2,4], [4,6], [6,8], [8,10], [10,12]}
2 maka dan disebut partisi.
1
2 Dapat dipilih dari setiap , sehingga dapat dibentuk partisi tag pada
: = {([0,3], 1), ([3,6], 5), ([6,9], 7), ([9,12], 11)}
1
= {([0,2], 1), ([2,4], 3), ([4,6], 5), ([6,8], 7), ([8,10], 9), ([10,12], 11)}
2 Selanjutnya, akan diberikan definisi partisi − yang menjadi dasar terbentuknya integral Riemann.
Diberikan Definisi 2.5. (Paxton, 2016:3)
> 0, partisi tag P pada = [ , ] dikatakan -fine apabila setiap subinterval [ , ] ⊂ [ , ], memenuhi
−1 − < , ∀ = 1, 2, … , .
−1
Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial …
Berikut akan diberikan contoh partisi − agar lebih mudah dalam memahami definisi partisi − .
Contoh 2.6. Diberikan = 3. Berdasarkan Contoh 2.4. dapat disimpulkan bahwa:
bukan merupakan partisi − karena ada subinterval [0,3] ⊂ tetapi 3 − 0 > = 3
1
merupakan partisi − .
2 Definisi integral Riemann, memotivasi Henstock memodifikasi partisi yang digunakan oleh Riemann
sehingga terbentuk integral Henstock dengan definisi partisi ( ) − berikut. Definisi 2.7. (Wells, 2011:10) Diberikan
= [ , ] dan ( ): → ℝ merupakan fungsi positif sehingga ( ) > 0, ∀ ∈ . Himpunan dikatakan partisi ( )-fine pada apabila memenuhi
[ , ] ⊆ ( − ( ), + ( ))
−1
dikatakan ∀ = 1, … , , atau dengan kata lain, partisi tag = {([ , ( )-fine apabila
], )}
−1 =1
setiap subinterval ] memenuhi:
[ ,
−1
− < ( ), ∀ = 1, 2, … , ,
−1
−1
dengan ≤ ≤ .
Berikut akan diberikan contoh partisi ( ) − agar lebih mudah dalam memahami definisi partisi
( ) − . Contoh 2.8. Diberikan interval
= [0,1] dan didefinisikan fungsi: = 0
( ) = {1/4, 2 , 0 < ≤ 1 dapat dibentuk yang merupakan partisi ( ):
1
1
1
2
1
2
3
2
3
7 = {([0, 4] , 4) , ([ 4 , 4] , 4) , ([ 4 , 4] , 4) , ([ 4 , 1] , 8)}.
Definisi 2.9. (Paxton, 2016: 3) Diberikan fungsi : → ℝ dengan ( ) > 0, ∈ , yang kemudian
( ) disebuat gauge pada I. Definisi-definisi diatas sangat bermanfaat dalam pendefinisian integral Henstock sekuensial serta pembuktian beberapa sifatnya. Lemma berikut ini akan digunakan dalam pembuktian teorema-teorema pada integral Henstock Sekuensial.
Diberikan fungsi positif Lemma 2.10. (Wells, 2011:14)
( ) yang didefinisikan pada [ , ], dan interval tag ( , [ , ]). Interval ( , [ , ]) merupakan partisi tag ( )-fine pada [ , ] jika dan hanya jika
{( , [ , ]), ( , [ , ])} merupakan partisi tag ( ) –fine pada [ , ]. Selanjutnya, ( )( − ) = ( )( − ) + ( )( − ).
Malahayati
Bukti: (Syarat perlu)
Diketahui bahwa ( , [ , ]) merupakan partisi tag ( ) − pada [ , ] dengan [ , ] ⊆ [ , ] dan
[ , ] ⊆ [ , ] serta [ , ] ⊆ ( − ( ), + ( )). Akibatnya, {( , [ , ]), ( , [ , ])} merupakan partisi tag ( ) − pada [ , ]. (Syarat cukup)
Diketahui bahwa {( , [ , ]), ( , [ , ])} merupakan partisi tag ( ) − pada [ , ] berarti
[ , ] ⊆ ( − ( ), + ( )) Dan
[ , ] ⊆ ( − ( ), + ( )) Sehingga diperoleh
[ , ] ∪ [ , ] = [ , ] dan [ , ] ⊆ ( − ( ), + ( ))
Oleh karena itu, ( , [ , ]) merupakan partisi tag ( ) − pada [ , ]. Selanjutnya,
( )( − ) = ( ) − ( ) + ( ) − ( ) = ( )( − ) + ( )( − ). ∎ Berikut ini diberikan definisi integral Henstock, dapat digunakan dalam memahami integral Henstock
Sekuensial. Pendefinisian integral Henstock menggunakan partisi tag ( )-fine.
Fungsi Definisi 2.11. (Bartle, 2001:12)
: = [ , ] → ℝ dikatakan terintegral Henstock pada apabila terdapat bilangan positif ∈ ℝ dan untuk setiap > 0, ( ) > 0 sehingga untuk setiap yang merupakan partisi tag
= {([ , ( )-fine pada berlaku ], )}
−1 =1
|∑ ( − | < , )( ) −
−1 =1
atau dapat ditulis | ( , ) − | < .
Bilangan , kemudian fungsi terintegral disebut nilai integral Henstock fungsi pada ditulis = ∫
∗
Henstock pada dapat ditulis ∈ ℛ ( ).
Berikut diberikan contoh fungsi terintegral Henstock, agar lebih mudah dalam memahami definisi diatas. Contoh 2.12. Diberikan fungsi Dirichlet,
∀ ∈ [0,1] didefinisikan ∈ ℚ
( ) = {1, 0, ∉ ℚ
1 Akan dibuktikan bahwa
( ) terintegral Henstock pada [0,1] dan ∫ ( ) = 0
Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial …
Penjelasan: Ambil sebarang
> 0, didefinisikan = { ∈ ℚ, ∈ [0,1]}, = 1, 2, 3, … , , selanjutnya didefinisikan fungsi ( ) pada [0,1] dengan
, ∈ ⁄ +1
2 ( ) = { 0, ∉ .
Untuk sebarang partisi ( ) − pada [0,1] berlaku
) |∑ ( )( − ) − 0 | = |∑ ( )( − |
−1 −1 =1 =1
) = | ∑ ( )( − ) + ∑ ( )( − |
−1 −1 ∈ ∉
≤ |∑ ( )( − ) | + |∑ ( )( − ) |
−1 −1 ∈ ∉
= | ∑ 1 ( − ) | + |∑ 0 ( − ) |
−1 −1 ∈ ∉
= | ∑( − ) | + 0
−1
∈) = | ∑( − |
−1
∈< ∑ ( ) < ⁄
- 1
∑ 2
∈ ∈
1
1 =
⁄ ⁄
- 1
= ∑ 1 2
2 2 ∑
∈ ∈
1
1 = 2 . 1 = 2 < .
1 Dengan kata lain, terbukti bahwa .
( ) terintegral Henstock pada [0,1] dan ∫ ( ) = 0
Hasil dan Pembahasan
Berikut diberikan definisi integral Henstock Sekuensial, agar mudah dalam memahaminya dapat dilihat kembali definisi tentang partisi yang telah diberikan sebelumnya. Definisi 3.1 (Paxton, 2016:9) Fungsi
: = [ , ] → ℝ dikatakan terintegral Henstock Sekuensial pada
∞
=1
sehingga untuk apabila terdapat bilangan positif dan suatu barisan fungsi positif { ( )}
setiap yang merupakan partisi tag ( )-fine, berlaku
Malahayati
) ) |∑ ( ( − − | < ,
−1 =1
atau dapat ditulis | ( , ) − | < .
Bilangan , kemudian disebut nilai integral Henstock Sekuensial fungsi pada dengan = ∫
∗
fungsi terintegral Henstock Sekuensial pada , dapat ditulis: ∈ ( ).
Berikut akan diberikan contoh fungsi terintegral Henstock Sekuensial, agar dapat memberi gambaran tentang definisi integral Henstock Sekuensial. Contoh 3.2. (Paxton, 2016:9) Diberikan fungsi Dirichlet,
∀ ∈ [0,1] didefinisikan ( ) = { 1, ∈ ℚ
0, ∉ ℚ
1 Akan dibuktikan bahwa fungsi .
terintegral Henstock Sekuensial pada [0,1] dan ∫ ( ) = 0 Penjelasan: Didefinisikan keluarga bilangan rasional { } untuk setiap ∈ ℕ.
∞
Ambil sebarang bilangan merupakan fungsi gauge yang turun pada [0,1] > 0, dan {
( )}
=1
artinya , dengan
∈ = [ − ( ) < ( ), ∀ ∈ akibatnya, untuk setiap ], =
- 1
−1
yang merupakan partisi 1, 2, 3, … , , dan = {([ − )}
], ( ) − juga turun,
−1 =1
didefinisikan
1
1
- ⊆ [ −
( ), ( )] , ∀ = 1, 2, 3, … , .
2
2 Jika merupakan titik tag, maka kita dapat memilih yang cukup besar dari barisan fungsi gauge tadi, dan didefinisikan:
, = ( ) = {
2 , ∉ ℚ . Diberikan merupakan partisi dan
( ) − pada [0,1] untuk setiap ≥ . Jika ∈ ∉ dan ℚ, maka ( ) = 0, akibatnya jumlahan Riemannya bernilai 0. Jika ∈ ∈ ℚ, maka ( ) = 1, perhatikan dua kondisi berikut terlebih dahulu: 1. merupakan tag pada interval , maka:
Jika
1
1 ⊆ [ − ( ), ( )] +
2
2 sehingga − = ( ) ≤ ( ) ≤ ( ).
−1
2
2. merupakan tag pada dua interval yang berurutan, maka: Jika
− − , ( ) + ( ) ≤
−1 +1
2 karena
1
1 ⊆ [ − ( ), ] ⟹ − ≤ ( ),
−1
2
2 Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial …
dan
1
1
- ⊆ [ , ( ), ] ⟹ − ≤ ( )
−1
2
2 maka, ( )( − ) ≤
−1
2 sehingga,
∞
) − 0| = |∑ ( )( − ) − 0 | | ( ,
−1 =1 ∞
= |∑ ( )( − ) |
−1 =1 ∞
≤ ∑
2
=1 ∞
1 = ∑ = . 1 = .
2
=1
1 Dengan kata lain, terbukti bahwa .
( ) terintegral Henstock Sekuensial pada [0,1] dan ∫ ( ) = 0 Berikut akan ditunjukan bahwa integral Henstock ekuivalen dengan integral Henstock Sekuensial.
Fungsi Teorema 3.3. (Paxton, 2016:11)
: [ , ] → ℝ terintegral Henstock pada [ , ] jika dan hanya jika fungsi terintegral Henstock Sekuensial pada [ , ].
Bukti:
∗ ∗ ∞
Akan dibuktikan bahwa ∈ ℛ ( ) jika dan hanya jika ∈ ( ). Asumsikan bahwa { ( )}
=1
adalah barisan fungsi gauge yang turun, sehingga berlaku ( ) < ( ), ∀ ∈
- 1
(Syarat perlu) Diketahui
: → ℝ merupakan fungsi yang terintegral Henstock, artinya untuk setiap > 0, terdapat ( ) > 0 sehingga untuk setiap yang merupakan partisi ( ) − , berlaku
(3.1) | ( , ) − | < . Untuk setiap merupakan bilangan rasional
= 1,2,3 … , diberikan sehingga 0 < < 1. Karena fungsi f terintegral Henstock, maka terdapat yang memenuhi ( ) untuk setiap | ( , ) − | < .
∞
Jika adalah barisan. Untuk
ℚ adalah himpunan bilangan rasional yang terhitung, maka { ( )}
=1 ∞
setiap sehingga untuk setiap yang merupakan > 0, terdapat ( ) ∈ { ( )} ≥ dan
=1
barisan partisi ( ) − pada , berlaku | ( , ) − | < .
∗
Jadi, dengan kata lain terbukti bahwa ∈ ( ).
Malahayati
(Syarat cukup) Diketahui
: → ℝ merupakan fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial, artinya, untuk setiap >
∞
=1
sehingga untuk setiap yang merupakan barisan partisi 0 terdapat barisan fungsi gauge { ( )}
( ) − pada , berlaku
1 | ( , ) − | < .
∞
Diberikan sehingga untuk setiap > 0, dipilih ( ) ∈ { ( )} ( ) > 0, berlaku
=1
| ( ) − ( )| < ∀ ∈ Jika diberikan merupakan partisi
→ 0, maka ( ) menjamin bahwa ( ) − dan juga merupakan partisi
( ) − , sehingga untuk yang merupakan partisi ( ) − , kita dapat membentuk jumlahan Riemann untuk secara acak, sehingga &
| ( , ) − ( , )| < 2 . Selanjutnya, untuk setiap
> 0, terdapat ( ) sehingga dapat ditemukan ( ) yang memenuhi ( )| < ∀ ∈ ,
| ( ) −
1 ∞ ∗ ∗
dan barisan merupakan barisan turun dimana . untuk { ( )} ≥ , ∀ ∈ ℕ sehingga < ∗
=1
2
setiap yang merupakan partisi ( ) − berlaku ∗ ∗ | ( , ) − | = | ( , ) − ( , ) + ( , ) − | ∗ ∗
≤ | ( , ) − ( , )| + | ( , ) − |
1 < <
∗
2 + 2 + 2 = . ∎ Teorema diatas secara tidak langsung mengatakan bahwa semua sifat-sifat dan teorema yang berlaku pada integral Henstock berlaku pula di integral Henstock Sekuensial. Berikut akan dibuktikan beberapa sifat yang telah berlaku di integral Henstock berlaku pula di integral Henstock Sekuensial. Diantaranya, apabila diberikan fungsi non negative maka nilai integral Henstock Sekuensial dari fungsi tersebut juga bernilai non negative. Selain itu pula nilai integral Henstock Sekuensial dari perkalian scalar dan suatu fungsi sama dengan scalar tersebut dikalikan dengan nilai dari integral Henstock sekuensial fungsi tersebut.
Diberikan Teorema 3.4. (Paxton, 2016:15)
, ∶ → ℝ merupakan fungsi-fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada = [ , ] ⊂ ℝ , ∈ ℝ. i) ≥ 0.
Jika ≥ 0 pada maka ∫
terintegral Henstock Sekuensial pada dan ∫ = ∫
ii) .
iii) .
Jika + terintegral Henstock Sekuensial pada maka ∫ ( + ) = ∫ + ∫
iv) Jika ( ) ≤ ( ), ∀ ∈ , maka ∫ ≤ ∫ .
Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial …
Bukti:
∗
i) dan maka untuk setiap terdapat Diberikan ≥ 0 ∈ ( ), > 0,
∞
sehingga untuk setiap yang merupakan partisi ( ) ∈ { ( )} ≥ dan ( ) − ,
=1
berlaku | ( , | ≤ .
) − ∫ Artinya,
|∑ ( )( − ) − ∫ | ≤
−1 =1
sehingga, − ≤ ∑ ( )( − ) − ∫ ≤
−1 =1
(3.2) − ≤ ∑ ( )( − ) ≤ + ∫ ,
∫
=1 −1
dengan dan ( ∈ −
) ≥ 0, untuk setiap ( ) ≥ 0, maka diperoleh
−1
0 ≤ ∑ ( )( − ) = ( , ),
−1 =1
sehingga jika dikombinasikan dengan (3.2) menjadi 0 ≤ ( , ) ≤ ∫ + ∀ ≥ .
> 0 berlaku ∫
Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap ≥ 0.
∗
ii) artinya untuk setiap terdapat Diberikan ∈ ( ),
> 0,
∞
sehingga untuk setiap yang merupakan partisi ( ) ∈ { ( )} ≥ dan ( ) −
=1
berlaku | ( , | ≤
) − ∫ | | ,
Sehingga untuk setiap ≥ berlaku
| ( , | ) − ∫
= |∑ ( )( − ) − ∫ |
−1 =1
= | (∑ ( − )| )( ) − ∫
−1 =1
= | | |∑ ( )( − ) − ∫ |
−1 =1
= | | | ( , | ) − ∫ Malahayati
< | | | | = ,
∗
( ) dan ∫ = ∫
sehingga ∈ .
∗ ∞
iii) sehingga untuk
Ambil sebarang > 0, karena ∈ ( ) maka terdapat ( ) ∈ { ( )}
=1
setiap yang merupakan partisi ≥ ∈ ℕ dan
( ) − , berlaku: | ( , ) − ∫ | < 2 ,
∞ ∗
dan karena sehingga untuk setiap
∈ ( ), maka terdapat ( ) ∈ { ( )} ≥ ∈ ℕ dan
=1
yang merupakan partisi ( ) − , berlaku:
| ( , ) − ∫ | < 2 .
∞ ∞
Selanjutnya, untuk setiap dan , dipilih ( ) ∈ { ( )}
( ) ∈ { ( )} ( ) =
=1 =1
min{ ( ), ( )} dengan , , = 1,2,3 … ∀ ∈ . Jelas, ( ) merupakan barisan fungsi gauge pada merupakan partisi merupakan partisi . Jika ( ) − , maka ( ) − dan juga merupakan partisi
( ) − .
∞
Perhatikan bahwa untuk setiap sehingga untuk setiap > 0, terdapat ( ) ∈ { ( )} ≥
=1
dan yang merupakan partisi , berlaku ( ) −
| ( + , ∫ )| ) − (∫
= |∑( + )( )( − ) − (∫ ∫ )|
−1 =1
= |∑ ( )( − + ∑ ( )( − | ) − ∫ ) − ∫
−1 −1 =1 =1
≤ |∑ ( )( − ) − ∫ | + |∑ ( )( − ) − ∫ |
−1 −1 =1 =1
< 2 + 2 = ,
∗
sehingga,
- ∈ ( ) dan ∫ + = ∫ + ∫ .
∗
iv) Diketahui , ∈ ( ) dan ( ) ≤ ( ) ∀ ∈ . Diberikan ℎ = − ≥ 0 berdasarkan Teorema
3.3. bagian iii) maka berlaku
∗
ℎ = − ∈ ( ) dan ∫ ( − ) = ∫ + ∫ − = ∫ − ∫
Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial …
Selanjutnya, berdasarkan Teorema 3.3. bagian i), ≥ 0, sehingga
∫ ℎ 0 ≤ ∫ ℎ = ∫ ( − ) = ∫ − ∫ , artinya, 0 ≤ ∫ − ∫ , sehingga, ∫ ≤ ∫ .
Berikut akan diberikan sifat penambahan interval yang menyatakan bahwa “Apabila suatu fungsi terintegral Henstock Sekuensial pada dua subinterval tertutup yang dimuat oleh suatu interval tertutup, maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock Sekuensial pada interval tertutup tersebut, dan nilai integral dari fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada interval tertutup tersebut merupakan penjumlahan dari nilai integral fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada dua subinterval tersebut.
Diberikan fungsi Teorema 3.5. (Paxton, 2016:18)
: [ , ] → ℝ dan ∈ ( , ). Jika fungsi merupakan fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada [ , ] [ , ], maka fungsi terintegral Henstock
Sekuensial pada [ , ] dan ∫ = ∫ + ∫ .
Bukti:
∗ ∞
Ambil sebarang sehingga untuk
> 0, karena ∈ ([ , ]) maka terdapat ( ) ∈ { ( )}
=1
setiap yang merupakan partisi ≥ ∈ ℕ dan ( ) − , berlaku
| ( , ) − ∫ | < 2 ,
∗ ∞
dan juga karena sehingga untuk setiap
∈ ([ , ]), maka terdapat ≥ ∈ ℕ
( ) ∈ { ( )}
=1
dan yang merupakan partisi ( ) − , berlaku
| ( , ) − ∫ | < 2 .
∞
Didefinisikan gauge sehingga untuk setiap yang merupakan ( ) ∈ { ( )} ≥ ∈ ℕ dan
=1
partisi dapat dipecahkan menjadi: ( ) − , setiap partisi
1 ∈ [ , ) min {
( ), ( − )} , untuk ≥ dan ≥ . ( )
2 = min {
= ( ), ( )},
1 min { ( ), ( − )} , ∈ ( , ]
{
2 Malahayati
Diberikan merupakan partisi merupakan barisan
( )-fine, untuk setiap ≥ , karena partisi pada merupakan barisan partisi pada
[ , ] yang terdiri atas ∩ [ , ], dan [ , ] yang terdiri atas ∩ [ , ] dengan , , = 1,2,3 … maka diperoleh
( , ) = ( , ) + ( , ).
∞
Untuk setiap sehingga untuk setiap > 0, terdapat ( ) ∈ { ( )} ≥ berlaku
=1
| ( , ∫ ) − (∫ +
)| = |∑ ( )( − ) − (∫ + ∫ )|
−1
=1= |∑ ( )( − ) ∑ ( )( − ) − (∫ + ∫ )|
−1 −1 =1 =
= | ( , ( , | ) − ∫ + ) − ∫
≤ | ( , ) − ∫ | + | ( , ) − ∫ | < 2 + 2 = .
∗
Sehingga, terbukti bahwa ∈ . ∎
([ , ]) dan ∫ = ∫ + ∫ Berikut akan diberikan sifat yang menyatakan bahwa “Apabila suatu fungsi terintegral Henstock pada suatu interval, maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock Sekuensial pada setiap subintervalnya.
∗ ∗
Teorema 3.6. (Paxton, 2016:19) Diberikan : ⊆ ℝ → ℝ. Jika ∈ ( ) dengan
( ), maka ∈ = 1,2,3, … ∈ ℕ Bukti:
∗
Akan dibuktikan bahwa ∈ ( ) artinya fungsi terintegral Henstock Sekuensial pada setiap subinterval
, ∀ = 1,2,3, … ∈ ℕ dengan menggunakan induksi matematika.
∞
Pertama, akan dibuktikan benar untuk = 2. Diberikan > 0, maka terdapat ( ) ∈ { ( )}
=1
sehingga untuk setiap yang merupakan partisi )}
≥ dan = {( , ( ) − pada ,
=1
berlaku | ( , ) − ∫ | < 2 .
Selanjutnya, diberikan interval dan dengan ∩ ≠ ∅ dan ∪ = . Diberikan pula ( )
1
2
1
2
1
2
1
dan dan , sehingga untuk sebarang yang
( ) berturut-turut merupakan gauge pada
2
1
2
1
merupakan partisi yang merupakan partisi ( ) − dan ( ) − berlaku
1
2
2
2
( , )( − ) ) = ∑ (
−1 =1
= ( − ) + ( )( − ) )(
1
1
2
2
1
= ( , ) + ( , ).
1
2
Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial …
Perhatikan bahwa jika merupakan partisi merupakan partisi ( ) − dan ( ) −
16
1
2
2
1
2
∞
merupakan partisi maka = ∪ ( ) − , untuk setiap = 1,2,3 …. Selanjutnya
diberikan sehingga untuk setiap
> 0, maka terdapat ( ) ∈ { ( )} ≥ dan ,
=1
1
1
merupakan partisi ( ) − pada , berlaku
1
)| | ( , ) − ( ,
1
1
= | ( , ) − ( , ) + ( , ) − ( , ) + ∫ − ∫ |
1
1
2
2
≤ | ( , ) + ( , ) − ∫ | + | ( , ) + ( , ) − ∫ |
1
2
1
2
= | ( , ) − ∫ | + | ( , ) ∫ | ≤ 2 + 2 = .
Selanjutnya, diasumsikan benar untuk = , sehingga akan dibuktikan benar untuk = + 1.
∞
Diberikan sebarang sehingga untuk setiap
> 0, maka terdapat ( ) ∈ { ( )} ≥ dan
=1
yang merupakan partisi , berlaku , − pada
( +1) ( +1) ( +1) ( +1)
| ( , ) − ( , )|
( +1) ( +1)
≤ | ( , ) + [ ( , ) + ( , ) + ⋯ + ( , ] − ∫ |
( +1)
1
2
- | ( , + [ ( , |
) + ( , ) + ⋯ + ( , )] − ∫
( +1)
1
2
= | ( , | + | ( , | ) − ∫ ) ∫
≤ 2 + 2 = ,
∗
sehingga terbukti bahwa fungsi ∈ ( ) dengan = 1,2,3, … ∈ ℕ. ∎
Kesimpulan
Pendefinisian Integral Henstock Sekuensial hampir sama seperti mendefinisikan integral Henstock, bedanya pada integral Henstock Sekuensial partisinya melibatkan barisan fungsi positif yang disebut partisi tag δ . Sifat-sifat yang berlaku pada integral Henstock berlaku pula pada integral Henstock
δ
Sekuensial, beberapa diantaranya berikut ini. Apabila suatu fungsi terintegral Henstock Sekuensial pada dua subinterval tertutup yang dimuat oleh suatu interval tertutup, maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock Sekuensial pada interval tertutup tersebut, dan nilai integral dari fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada interval tertutup tersebut merupakan penjumlahan dari nilai integral fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada dua subinterval tersebut. Selanjutnya apabila suatu fungsi terintegral Henstock pada suatu interval, maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock Sekuensial pada setiap subintervalnya. Selain itu, apabila diberikan fungsi non negative maka nilai integral Henstock Sekuensial dari fungsi tersebut juga bernilai non negative. Sifat lainnya mengatakan bahwa nilai integral Henstock Sekuensial dari perkalian scalar dan suatu fungsi sama dengan scalar tersebut dikalikan dengan nilai dari integral Henstock sekuensial fungsi tersebut.
Malahayati [1] Intrduction to Real Analysis , Third Edition, John Wiley and Sons, Inc, USA. Referensi
[2] A Modern Theory of Integration , Graduate Studies in Mathematics, Vol. 32. American
Bartle Robert G., 2000,[3] Multipliers for Generalized Riemann Integrals in the Real Line , Mathematica Bohemica,
Bartle Robert G., 2000, Mathematical Society, Providence, RI. [4] Lee Tuo Yeong, 2006, Singapore Henstock-Kurzweil Integration on Euclidean Spaces , Series in Real Analysis, Vol.12, World [5] Lee Tuo Yeong, 2011, Scientific. A Sequential Approach to the Henstock Integral , Washington State University.[6] Generalizations of the Riemann Integral:An Investigation of the Henstock Integral , diakses
Paxton Laramie, 2016, Wells Jonathan, 2011, tanggal 16 Agustus 2017. https://www.whitman.edu/Documents/Academics/Mathematics/SeniorProject_JonathanWells.pdf