Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri

Kegiatan Belajar 3

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat

a. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri

b. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri

B. Uraian Materi 3

Persamaan Trigonometri

a. Sin x = sin p, cos x = Cos p, tan x = tan p

Pada dasarnya fungsi trigonometri adalah merupakan fungsi priodik, yaitu fungsi yang setiap satu priode, nilai-nilainya berulang, maka untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan sudut derajat dapat digunakan sifat-sifat:

Sin ax = sin p o maka x = p o + k. 360 o atau

x = (180 o –p ) + k. 360

Cos x = cos p o maka x = p o + k. 360 o atau

x=–p o + k. 360 x = (360 – p ) + k. 360

Tan x = Tan p o maka x = p + k. 180 Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat:

Sin ax = sin p o maka x = p o + k.2π atau

x = (π – p o ) + k. 2π

Cos ax = Cos p o maka x = p + k. 2π atau

x = (2π – p o ) + k.2π Tan x = tan p o maka x = p o + k. π

x=-p o + k.2π

Contoh

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45 o , untuk 0 ≤ x ≤ 360 Penyelesaian

Sin x = sin 45 o

atau Sin x = sin (180 – 45) o

x = 45 o + k. 360 atau x = (180 – 45 ) + k.360

Untuk k = 0 maka

x = 45 o + 0.(360 ) atau x = 135 + 0.(360 ) x = 45 o

Untuk k = 1, maka x = 45 o + 1(360 o )

atau

x = 135 o + 1 (360 o )

x = 405 o atau x = 495 untuk k = 1 tidak memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan sin x = sin 45 o adalah {45 , 135 }

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan cos = x

3 , untuk 0 o ≤ x ≤ 720 o

Untuk k = 0, maka

x = 30 o + 0 (360 ) atau x = - 30 + 0 (360 ) x = 30 o

oo

atau x = - 30 → (tidak memenuhi)

Untuk k = 1, maka

x = 30 o + 1 (360 ) atau x = - 30 + 360 x = 390 o

oo

atau x = 330 o

Untuk k = 2, maka x = 30 o + 2 (360 o )

atau x = - 30 o + 2 (360 o )

x = 30 o + 720 atau x = - 30 + 720

oo

x = 750 o (tidak memenuhi) atau x = 690 Untuk k = 3, maka

x = 30 o + 3 (360 ) atau x = - 30 + 3 (360 ) x = 1110 o (tidak memenuhi) atau x = 1050 o (tidak memenuhi)

Jadi nilai x yang memenuhi adalah {30 o , 330 , 390 , 690 }

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1, untuk 0 o ≤ x ≤ 360 Penyelesaian

2 sin x = 1 sin x = ½ sin x = sin 30 o

x = 30 o + k. 360 atau x = (180 – 30 ) + k. 360 Untuk k = 0, maka

oo

x = 30 o atau x = 150 Untuk k = 1, maka

x = 30 o + 360 atau x = 150 + 360 x = 390 o (tidak memenuhi) atau x = 510 o (tidak memenuhi)

oo

Jadi nilai x yang mmenuhi adalah {30 o , 150 }

4. Nilai dari sin 1.140 o adalah… Penyelesaian

sin 1.140 o = sin (60 o + 3 x 360 o ) = sin 60 o

5. Nilai dari sin − π adalah…

3 Penyelesaian

sin − π = − sin π

= − sin

= − sin

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan ( x − π ) = cot , untuk 0 ≤ x ≤ 2 π

Penyelesaian π

tan ( x − π ) = cot

tan ( x − π ) = tan −

Untuk k =0, maka x =

Untuk k =1, maka x =

( tidak memenuhi )

Jadi nilai x yang memenuhi adalah

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = cos x ; untuk − 2 π < x ≤ 2 π

Penyelesaian

1 π sin x = sin − x

Untuk k = - 2, maka

x = π + ( − 2 )( ) 2 π x = π − π + ( − 2 )( ) 2 π

8 atau 8

( tidak memenuhi )

( tidak memenuhi )

Untuk k = - 1, maka

x = − 2 π atau x =

x = atau x = −

Untuk k = 0, maka

x = atau x =

Untuk k = 1, maka

atau x =

( tidak memenuhi )

atau x =

( tidak memenuhi )

Jadi nilai x yang memenuhi adalah

c. Persamaan Trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk a sin x + b cos x = c adalah dengan cara menggubah bentuk a sin x + b cos x = c menjadi k cos (x – ) = c . Untuk menggubah bentuk tersebut tersebut menggunakan aturan berikut : Cos (x – ) = cosx. Cos + sin x. sin Sehingga:

a sin x + b cos x = k cos (x – )

= k (cos x. cos + sin x . sin ) = (k. cos ) cos x + (k. sin ) sin x

Maka

a = k sin dan b = k. cos kita telah mempelajari identitas trigonometri bahwa cos 2 + sin 2 = 1, maka a = k sin dan b = k. cos kita telah mempelajari identitas trigonometri bahwa cos 2 + sin 2 = 1, maka

2 2 2 2 a 2 +b =k (sin + cos )

a 2 +b 2 =k 2 karena a = k. sin

dan

b = k. cos maka

sin α =

dan

cos α = , maka berlaku

sin α a tan α =

= cos α b

Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa

1. untuk menentukan nilai k adalah =

2. untuk menentukan adalah − 1 a

α = tan

b Jadi untuk menyelesaikan persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan

persamaan k . cos ( x − α )

a − 1 a dengan syarat c ≤ k

2 tan 2 α = α = tan c ≤ k

Contoh

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 cos x + 2 sin x = 2; untuk 0 o ≤ x ≤ 360 o . Penyelesaian

Persamaan cos x + sin x = 1 diubah ke bentuk k.cos (x – ) = c

a = 1;

b = 1; c=1 =

α = tan

1 − α 1 = tan () 1

α o = 45 ∨ α = 225 α o = 45 ∨ α = 225

1 cos ( x − 45 ) = 2

cos o (

x − 45 ) = o

cos o 45 atau cos ( −

x o cos 315

x o − 45 = 45 atau x − 45 = cos 315

x o 90 atau x = cos 360 x o = 90 + k . 360 atau x = ( 360 − 360 ) + k . 360

k o = 0 x = 90 atau x = 0

450 o ( TM )

atau x =

360 o

Jadi himpunan penyelesaian adalah {0 o , 90 , 360 }

2. Tentukan batas-batas p agar persamaan sin x – p.cos x = p

2 dapat diselesaikan Penyelesaian

Agar persamaan sin x – p.cos x = p 2 dapat diselesaikan syaratnya adalah − k ≤ c ≤ k

( p + 1 )( p − 1 ) ≤ 0

− 1 ≤ p ≤ 1 Jadi agar persamaan di atas dapat diselesaikan syaratnya − 1 ≤ p ≤ 1

2 untuk 0 < x ≤ 360 Penyelesaian

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

3 cos x - sin x =

3 cos x − sin x = 2 k cos ( x − α ) = c

2 k 2 = () − 1 + ()

− 1 tan α =

α o = 150 ∨ α = 330

2 cos ( x − 330 ) = 2

cos ( x − 330 ) =

cos ( x − 330 o ) = cos 45 o

cos − 330 o = cos 315 atau o ( x )

− = o x o 330 45 atau x − 330 = 315

oo

x o = 375 x = 15 atau x = 645 x = 285

= x o 15 + k . 360 ∨ x = 285 + k . 360 k o = 0 x = 15 ∨ x = 285 k = 1 x = 375 ( TM ) ∨ x = 645 ( TM )

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {15 o , 285 }

c. Persamaan Trigonometri yang Dapat Diselesaikan Dengan Konsep Persamaan Kuadrat

Persamaan trigonometri yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat adalah persamaan trigonometri yang menggandung sudut rangkap. Untuk sudut rangkap yaitu:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 sin 2 x + sin x – 1 = 0; untuk 0 o ≤ x ≤ 2π Penyelesaian

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0 Kita mislakan sin x = p, maka

2p 2 +p–1=0 (2p -1)(p + 1) = 0

2p – 1 = 0 atau p + 1 = 0 2p – 1 = 0 atau p + 1 = 0

sin x = sin

atau sin x = sin

atau x =

Untuk p = - 1 sin x = − 1

3 π sin x = sin

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

2. Nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x − 5 cos x = 2 dengan 0 < x < 360 adalah… Penyelesaian cos 2x − 5 cos x = 2

Bentuk cos 2x = 2 cos 2 x–1 (2 cos 2 x – 1) – 5 cos x = 2

2 cos 2 x – 5 cos x -1 -2 = 0

2 cos 2 x – 5 cos x – 3 = 0 Missal cos x = m 2m 2 –5m–3=0 (2m + 1)(m – 3) = 0 2m + 1 = 0 atau m – 3 = 0 m=-½ atau m = 3

Untuk m = - ½ cos x = m cos x = - ½

cos x = cos 60 o x= 60 o

x = (180 o - 60 ) + k. 360 atau x = (180 + 60 ) + k. 360

oo

k= 0 o x = 120 atau x = 240

k=0 o x = 480 atau x = 600 Untuk m = 3

cos x = 3 (tidak ada x yang mmenuhi) Jadi himpunan penyelesaian adalah {120 o , 240 o }

3. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah Penyelesaian cos 2x + sin x = 1

Bentuk cos 2x = 1 – 2 sin 2 x

1 – 2 sin 2 x + sin x – 1 = 0

2 - 2 sin 2 x + sin x = 0 2 sin x – sin x = 0 Missal sin 2 x=y 2y 2 –y=0

y(2y – 1) = 0 y = 0 atau (2y – 1) = 0 y = 0 atau y = ½

Untuk y = 0 Sin x = 0

Sin x = sin 0 o atau sin x = sin 180

x=0 o + k. 360 atau x = 180 + k. 360

oo

x=0 o atau x = 180 Untuk y = ½

Sin x = sin 30 o atau sin x = sin 150

x = 30 + k. 360 o atau x = 150 + k. 360

x = 30 o atau x = 150 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0 o ,30 o , 150 o , 180 o }

Pertidaksamaan Trigonometri

Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri adalah sama seperti penyelesaian pada pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan kuadrat, yang sudah kita pelajari. Jadi untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri terlebih dahulu kita menentukan titik pembuat nol atau yang sering di sebut juga dengan titik kritis. Untuk menentukan titik kritis maka pertidaksamaan trigonometri kita ubah dahulu bentuknya menjadi persamaan trigonometri, setelah mendapatkan titik kritis maka langkah selanjutnya adalah mengmbil titik uji untuk menentukan daerah penyelesaiannya.

Contoh

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x < 1, untuk 0 o ≤ x ≤ 360 Penyelesaian

Daerah Negatif ( - )

titik uji/sampel

Daerah Negatif ( - )

• o x = 30 o sin 30 o − 1 = 0 30 90 120

− 1 = 0 menghasilk an negatif

• o x = 120 sin 120 − 1 = 0

3 − 1 = 0 menghasilk an negatif

jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x | 0 o < x < 90 o ∨ 90 o < x < 360 o }

2. Tentukan penyelesaian dari cos (x – 45 o )<½, 0 ≤ x ≤ 360

Penyelesaian kita tentukan titik pembuat nol/ titik kritis, sehingga kita ubah dahulu menjadi persamaan

cos (x – 45 o )=½

cos (x – 45 o )–½=0

cos (x – 45 o ) = cos 60 o atau cos (x – 45 o ) = cos 300 x – 45 o = 60 o

atau

x – 45 = 300

x = 60 0 + 45 o

atau

x = 300 o + 45 o

x = 105 o

atau

x = 345 o x = 345 o

Untuk x = 90 o kita subtitusikan ke dalam cos (x – 45 o ) – ½ =0

cos (90 o – 45 o )–½=0

2 − = 0 (menghasilkan positif)

Untuk x = 165 o kita subtitusikan ke cos (x – 45 o ) 0– ½ = cos (165 o – 45 o )–½=0

1 1 − − = 0 (menghasilkan negatif)

2 2 Untuk x = 360 o kita subtitusikan ke

cos (x – 45 o )–½=0 cos (360 o – 45 0 )–½=0

2 − (menghasilkan positif)

Karena tandanya kurang dari maka yang diambil adalah daerah yang bernilai negatif. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

{ o x | 105 < x < 345 }

≤ x ≤ 360 o Penyelesaian

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sin x + 3 cos x < 1 , untuk 0 o

sin x + 3 cos x < 1 sin x + 3 cos x = 1 k . cos( x − α ) = 1 k = 1 + 3

tan α =

3 α o = 30

2 o . cos( x − 30 ) = 1

cos( x − 30 ) =

cos ( x − 30 o ) = cos 60 o atau cos x − 30 o ( o ) = cos 300

x o − 30 = o

60 o atau x − 30 = 300

x o = 90 atau x = 330

Jadi titik kritisnya adalah x = 90 o dan x = 300

misalkan titik uji yang kita ambil adalah x = 60 0 , x = 150 o dan x = 360 o

Untuk x = 60 o disubtitusikan ke

cos 30 o – ½ = 0 (menghasilkan positif)

Untuk x = 150 o disubtitusikan ke cos (x – 30 o )–½=0 cos 120 o – ½ = 0 (menghasilkan negative)

Untuk x = 360 o disubtitusikan ke cos (x – 30 o )–½=0

cos 330 o – ½ = 0 (menghasilkan positif)

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah { x | 90 o

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x – 4 sin x – 3 < 0, untuk 0 < x < 2π Penyelesaian cos 2x – 4 sin x – 3 < 0

cos 2x – 4 sin x – 3 = 0

(1 – 2 sin 2 x) – 4 sin x – 3 = 0 - 2 sin 2 x – 4 sin x – 2 = 0 2 sin 2 x + 4 sin x + 2 = 0

misalkan sin x = m, maka

2m 2 + 4m + 2 = 0 (2m + 2) (m + 1) = 0 m=-1

atau

m=-1

Sin x = - 1

Sin x = sin

x=

3π

Jadi titik kritisnya adalah x =

5π

misalkan kita ambil titik ujinya adalah x =

Untuk x = disubtitusikan ke

3π

5π

2sin 2 x + 4sin x + 2 = 0

6 6 2 (½) 2 + 4 (½) + 2 = 0 → (menghasilkan positif)

5π Untuk x =

disubtitusikan ke

3 2sin 2 x + 4sin x + 2 = 0

3 + 2 = 0 → ( menghasilk an positif )

Sehingga jika kita gambarkan pada garis bilangan adalah Maka pertidaksamaan diatas tidak memiliki himpunan penyelesaian Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ∅

C. Rangkuman 3

1. Persamaan trigonometri, untuk sudut bersatuan derajat berlaku : Sin ax = sin p o maka x = p o + k. 360 o atau

x = (180 o –p ) + k. 360

Cos x = cos p o maka x = p o + k. 360 o atau

x=–p o + k. 360

Tan x = Tan p o maka x = p o + k. 180 o

2. Untuk sudut yang bersatuan radian, k adalah bilangan bulat berlaku sifat: Sin ax = sin p o maka

x=p o + k.2π atau x = (π – p o ) + k. 2π

Cos ax = Cos p o maka x=p + k. 2π atau

x=-p o + 2π

Tan x = tan p o maka x = p + k. π

3. Persamaan trigonometri a sin x + b cos x = c dapat diubah menjadi k cos (x – )

α = tan

3. Persamaan a sin x + b cos x = c adalah dengan menyelesaikan persamaan k.cos (x – ) dengan syarat c≤ k

D. Lembar Kerja 3

1. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut :

a. cos x = 1, untuk 0 o ≤ x ≤ 360

d. cos x = 0,5; untuk 0 ≤ x ≤ 2π

b. cos x = 0,5; untuk 0 o ≤ x ≤ 720

e. tan x =

3 ; untuk 0 ≤ x ≤ 2π

c. 2 sin x = 1; untuk 180 o

≤ x ≤ 360 o

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

E. Tes Formatif 3

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x −

3 = 0, 0 ≤ x ≤ π adalah π 2 π

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½

3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah

3. Himpunan penyelesaian sin ( 2x − 30 ) = ½ untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah

4. Penyelesaian dari cos 3 x = −

3 , untuk 0 o

≤ x ≤ 360 o adalah..

5. Nilai dari cos 1110 o adalah…

( o ) ≤ x ≤ 360 adalah..

6. Penyelesaian persamaan sin x − 45 o =

3 , untuk 0 o

7. Himpunan penyelesaian dari persamaan

2 untuk 0 < x ≤ 360 adalah

8. Batas-batas nilai p , agar persamaan ( p − 2 ) cos x + ( p − 1 ) sin x = p untuk x ∈ R, dapat diselesaikan adalah 8. Batas-batas nilai p , agar persamaan ( p − 2 ) cos x + ( p − 1 ) sin x = p untuk x ∈ R, dapat diselesaikan adalah

d. p ≤ 1 atau p ≥ 5

b. 1 ≤ p ≤ 5

e. p ≤ − 5 atau p ≥ 1

c. p ≤ 2 atau p ≥ 3

9. Agar persamaan 3 cos x − m sin x = 3 5 dapat diselesaikan maka nilai m adalah….

a. −3 6 ≤ m ≤ 3 6

d. m ≤ −3 6 atau m ≥ 3 6

b. −6 ≤ m ≤ 6

e. m ≤ −6 atau m ≥ 6

c. 0 ≤ m ≤ 36

10. Selisih dari anggota himpunan penyelesaian persamaan

3 cos x + sin x = 1, untuk

0 ≤x ≤ 360 , adalah:

11. Nilai tan x yang memenuhi persamaan cos 2x + 7 cos x − 3 = 0 adalah….

12. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2x sinx – cos 2x = 0 dalam interval

0 ≤x ≤ π , adalah.... π π π π

13. Nilai tan x° yang memenuhi persamaan cos 2x°– 5 cos x° - 2 = 0, untuk π < x < 3 2 π adalah …

14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos 2x ≤ ½

3 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah

15. Himpunan penyelesaian dari o sin x > untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…

a. 0 o < x < 30 d. 180 < x < 210

oo

b. 30 o < x < 150 e. 270 < x < 330

oo oo

16. Himpunan penyelesaian dari o 2 . sin 2 x 1 ,0 < x < 30 adalah…

a. o {

30 o x 150 }

d. { x | 15 ≤

x o ≤ 75 }

{ o x | x 45 75 ≤ x ≤ 150 }

≤ b. o ∪ o

e. { x | 195 ≤ x ≤ 225 }

{ o x | 15 ≤ x ≤ 75 ∪ 195 ≤ x ≤ 225 }

c. o

17. Himpunan penyelesaian dari 3 . sin 2 x − 3 cos 2 x < 2 ; untuk 0 ≤ x ≤ π adalah… π

a. 0 ≤ x < atau < x ≤ π

d. 0 ≤ x < atau

4 12 6 12

b. 0 ≤ x < atau

e. 0 ≤ x < atau

3 12 4 12

c. 0 ≤ x < atau < x ≤ π

18. Penyelesaian dari pertidaksamaan trigonometri 2 sin 2 x + 3 sin x ≥ 2; 0 ≤ x ≤ 2 π

19. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan o 3 tan 2x – 1 ≥ 0, 90 ≤ x ≤ 270 o adalah ….

a. {x | 90 o ≤ x ≤ 135 o atau 195 o ≤ x ≤ 270 o }

b. {x | 90 o ≤ x ≤ 105 o atau 135 o ≤ x ≤ 270 o }

c. {x | 105 o ≤ x ≤ 135 atau 195 ≤ x ≤ 225 }

oo

d. {x | 90 o ≤ x < 135 atau 195 < x ≤ 270 }

oo

e. {x | 105 o ≤ x < 135 o

atau 195 o ≤ x < 225 o }

20. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tan 2x ≤ 1 3 3 dengan π ≤ x ≤ 3 2 π adalah ….

a. {x|π ≤ x ≤ 7 π atau 5 π≤x≤ 3 }

d. {x| 7 π≤x< 6 5 4 2 6 4 π}

b. {x|π ≤ x ≤ 7 5 3 6 5 π atau 4 π<x≤ 7 2 } e. {x| 6 π≤x≤ 4 π}

c. {x|π ≤ x < 5 π atau 5 π<x≤ 4 3 4 2