DETEKSI GALAT MENGGUNAKAN SANDI REED-SOLOMON (7,3 ) BERBASIS DIGITAL
DETEKSI GALAT MENGGUNAKAN SANDI REED-SOLOMON (7,3 ) BERBASIS DIGITAL TUGAS AKHIR
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik pada
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Sanata Dharma
Disusun Oleh: YOACHIM SALA BONGO NIM : 005114094 PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SANATA DHARMA
ERROR DETECTING USING REED-SOLOMON
CODE (7.3) BASED ON DIGITAL CIRCUITS
FINAL PROJECT
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Teknik Degree in Electrical Engineering Study Program
By:
YOACHIM SALA BONGO Student Number : 005114094 ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM ELECTRICAL ENGINEERING DEPARTMENT ENGINEERING FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
DETEKSI GALAT MENGGUNAKAN SANDI REED-SOLOMON ( 7,3 ) BERBASIS DIGITAL
Disusun oleh:
YOACHIM SALA BONGO NIM : 005114094
Telah disetujui oleh : Dosen Pembimbing I,
HALAMAN MOTO
“
Buanglah kebodohan maka kamu akan hidup
dan ikutilah jalan pengertian ”
“ GUTTA CAVAT LAPIDEM NON VI SET SAEPE CADENDO ”
“ Homo proponit Deus disponit “
HALAMAN PERSEMBAHAN ..
Kupersembahkan karya ini untuk Yesus dan Bunda Maria yang telah memberiku anugerah yang begitu indah, ...Untuk kedua orang tuaku yang telah membesarkan aku dengan cinta dan kasih sayang mereka yang begitu besar,
...Kakak dan adikku, serta seluruh saudaraku yang menyayangiku, … Seluruh teman-temanku yang telah mengisi hari-hariku dengan kenangan indah…
Pernyataan Keaslian Karya
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Januari 2007 Penulis
Yoachim Sala Bongo
INTISARI
Sandi Reed-Solomon (7,3) merupakan sandi pendeteksi dan koreksi kesalahan berbasis blok, yang akan menyandikan runtun pesan sepanjang 3 simbol menjadi runtun kata sandi menjadi 7 simbol dengan 4 simbol paritas. Sandi RS (7,3) mampu mendeteksi galat lebih dari satu simbol dengan maksimal galat 3 bit persimbol tetapi hanya mampu mengoreksi 2 simbol.Penelitian ini hanya akan mengimplementasikan pendeteksi kesalahan saja.
Sistem deteksi sandi RS ( 7,3) terbagi menjadi 3 bagian besar, yaitu rangkaian penyandi, rangkaian pembuat galat dan rangkaian pendeteksi galat atau rangkaian sindrom. Tiga simbol pesan dimasukkan ke dalam rangkaian penyandi melalui saklar geser, selanjutnya diproses oleh rangkaian penyandi sehingga menghasilkan 4 simbol paritas. Hasil dari proses kerja rangkaian penyandi membentuk sebuah katasandi yang selanjutnya dikirimkan ke rangkain sindrom melalui sebuah rangkaian pembuat galat. Bila kita menginginkan bahwa kata sandi yang dikirimkan diberi galat, maka pemberian galat dilakukan pada rangkaian pembuat galat. Rangkaian sindrom akan mendeteksi kata sandi yang diterimanya, apakah ada galat atau tidak ada galat..
Hasil dari rancangan ini ditampilkan dengan LED. Bila LED pada rangkaian sindrom menyala, maka data yang terkirim mengandung galat dan sebaliknya bila semua LED mati, maka data yang terkirim tidak mengandung galat.
ABSTRACT
The Reed-Solomon (7.3) code is a block-based error detecting and correcting code which encodes the messages sequence consist of three codes to be the codeword. This codeword consist of seven codes with four parity symbols. The code can detect more than one error with its three bit error per code maximum, but capable to correct two codes only. This research implements only the error detection.
The framework of detection system of this code consist of three main parts namely the encoder circuit, error generator circuit and the error detector circuit or the syndrome circuit. Three messages are put into the encoder circuit trough the electric switch, then those codes are processed by the encoder circuit resulting in four parity symbols. The result of this process forms a codeword that will be sent to syndrome circuit trough an error generator circuit. Suppose that the codeword is put in with any errors, it should be done on the error generator circuit. The syndrome circuit will detect the codeword accepted whether it has any errors or not.
The result of this design is showed with LED. If the LED on the syndrome circuit is on, it means that the data sent contains any errors. On the contrary, if the LED is off, it means that the data sent have no any errors.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan berkat dan rahmat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini yang berjudul “ DETEKSI GALAT MENGGUNAKAN SANDI REED- SOLOMON (7,3) BERBASIS DIGITAL” dengan baik
Tugas akhir ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana pada jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknik Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam penyusunannya, banyak pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan pada penulis, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu Ir. Th. Prima Ari Setiyani, M.T. sebagai pembimbing I yang senantiasa membagikan ilmu-ilmu dan pengalaman yang dimilikinya dan membantu mengatasi masalah yang di hadapi dalam proses penyusunan tugas akhir ini.
2. Orang tuaku tersayang, bapak Petrus Lelo dan mama Paulina Wini yang tidak pernah berhenti memberikan doa, cinta, kasih sayang, semangat, dan dukungannya.
3. Kakak-kakak dan adikku : Krens Boo dan Eja Napoleon (Mboh Saleh), Ponaan
Agung kecil, Mersi Leni, Rini Deka Iko dan Eja Charles, Hans Don Bosco Bheda, terima kasih untuk doa, dukungan, dan semangatnya yang membuat aku bisa menyelesaikan semua ini dan membuat aku tetap berdiri tegar sampai tujuanku tercapai.
4.
Twins Vita dan Vira, Bang Harjono sekeluarga, Mba Wiwik dan Pak Hanes, Mas Joko, Mas Budoyo, Mba Siti, Mas Gunawan, Pa Kijan dan Bu Atun, Bu Tatik dan Pak Giono sekeluarga, Spesial thanks buat Mas Irwan (makasih atas segala bantuannya) dan semua saudaraku yang memberikan doa dan dukungannya.
5. Kekasihku Nur“Si Oneng”, terima kasih untuk semua kasih dan cintamu serta nasehat-nasehatnya.
6. Sahabat-sahabat dekatku : Marcelo Hala Boli, Sendy Limantara, Ignasio Leha, Pa Eko (Raja), Onsha, Enni,Wayan Santra, Hadi Sanjaya, Suryo(Mr.SS), Anan Sila Onang (Si Kambing), Bruno Wanggol, Ferdin Buu (Si Betu), Dus Kopa, Yenni Riwu, dan lain-lain yang telah memberikan doa dan semangatnya.
7. Teman–teman cah Kos Dwi Tunggal : Kak Will, Mas Kris Bucek, Mas Yuli Kajawen, Mas Jhoni , Mas Andri Yamto(Langganan First Blood), Mas Beni (Bentol), Mas Putra, Mas Tomi, Mas Dedi Dores, Mas Komang, Mas Putu, Mas Ardi (Artol), Si Danang Gokong , Mas Gatot , Mas Heston, Mas Koko, Thanks ya atas kebersamaannya (Hidup Dotha All Star…….).
8. Teman–teman seperjuangan angkatan 2000 di Prodi Teknik Elektro yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga Tuhan membalas semua kebaikan yang telah diberikan kepada penulis. Penulis sungguh sangat menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam pembuatan dan penyusunan Tugas Akhir ini, maka dari itu segala saran dan kritik yang bersifat membangun sangat diharapkan penulis.
Yogyakarta, Januari 2007
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………..……….i HALAMAN PERSETUJUAN ……………………………………………………..…… ii HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………………...iii HALAMAN MOTO ……………………………………………………………………..iv HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………................................ v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………...vi
INTISARI ……………………………………………………………………………….vii
ABSTRACT ………………………………………………………..................................viii
KATA PENGANTAR ……………………………………………...................................ix DAFTAR ISI ……………………………………………………………………………..x DAFTAR TABEL ……………………………………………….....................................xv DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………………………xx
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ……………………………………………………………….1
1.2 Tujuan Penelitian ……………………………………………………………..1
1.3 Manfaat Penelitian …………………………………………………………...2
1.4 Batasan Masalah ……………………………………………………………..2
1.5 Metodologi Penelitian ………………………………………………………...2
BAB II DASAR TEORI
2.1 Sandi Reed-Solomon …………………………………………………………4
2.1.1 Penyandian Sandi Reed-Salomon …………………………………….6
2.1.2 Pengawasandi Reed-Solomon…………………………………………7 2.1.2 1 Menghitung Nilai Sindrom …………………………………7
2.2 Gerbang Logika ……………………………………………………………...8
2.2.1 Gerbang AND ………………………………………………………...9
2.2.2 Gerbang OR …………………………………………………………12
2.2.3 Gerbang X-OR ……………………………………………………...10
2.2.4 Gerbang NAND ……………………………………………………..11
2.2.5 Gerbang NOT ……………………………………………………..12
2.3 Pencacah …………………...………………………………………………..12
2.4 Multiplexer …………………………………………………………………..14
2.5 Register ……………………………………………………………………...15
2.5.1 Register Geser ( Shift Register ) …………………………………….15
2.6 Saklar ………………………………………………………………………..17
2.7 LED ( Light Emiting Diode) ………………………………………………...17
2.8 Penambah ………………………………………………………………...….19
2.9 Penyandi BCD ke Tujuh Segmen …………………………………………...19
2.10 Tujuh Segmen ……………………………………………………………….20
2.11 Pembanding / Comparator …………………………………………………..22
2.12 Peta Karnaugh ……………………………………………………………….25
BAB III PERANCANGAN
3.5.1 Diagram Blok Rangkaian Sindrom ………………………….………43
4.1.4 Percobaan 4 ……………………………………………………..….. 56
4.1.3 Percobaan 3 ……………………….………………….…………….. 55
4.1.2 Percobaan 2 ……………………….……………………..…………..54
4.1.1 Percobaan 1 …………………………………………...…………….48
4.1 Analisa Hasil Penyandian ………………………………………….………. 48
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
3.5.3 Tampilan Rangkaian Sindrom……………………………………….46
3.5.2 Rangkaian Sindrom ………………………………………………….45
3.5 Perancangan Rangkaian Sindrom …………………………………...………43
3.1 Diagram Blok Penyandian Sandi Reed-Solomon ( 7,3 ) ……………………27
3.4.2 Rangkain Pembuat Galat …………………………………………….41
3.4.1 Tampilan Rangkaian Pembuat Galat ………………………………..41
3.4 Perancangan Rangkaian Pembuat Galat …………………………….………40
3.3 Perancangan Pencacah / Counter modulo 7 ……………………………..….39
3.2.3 Perancangan Rangkaian Komparator sebagai pengendali gate dan multiplexer ……………………………………………………. ……36
3.2.2 Perancangan Rangkaian Multiplexer ………………………………..34
3.2.1 Perancangan Rangkaian Gate ……………………………………….32
3.2 Perancangan Rangkaian Penyandi …………………………………………..29
4.1.5 Percobaan 5 ……………………………………………...…………. 57
4.2.1 Analisa Nilai Sindrom Tanpa Galat ………………………..……….58
4.2.2 Analisa Nilai Sindrom Dengan Galat ……………………..……….. 62
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ……………………………………………………….... 78
5.2 Saran ……………………………………………………….………. 78
DAFTAR TABEL
Tabel 2.9 Tabel kebenaran pembanding (comparator) …………………………….23Tabel 4.5 Hasil percobaan 5 ………………………………………………………..57Tabel 4.4 Hasil percobaan 4 ………………………………………………………..56Tabel 4.3 Hasil percobaan 3 …………………………………………………….….55Tabel 4.2 Hasil percobaan 2 ………………………………………….…………….54Tabel 4.1 Hasil percobaan 1 …………………………………………………….….53Tabel 3.4 Tabel kebenaran rangkaian pembuat galat……………………………….41Tabel 3.3 Urutan perhitungan modulo 7 …………………………………………...39Tabel 3.2 Tabel kebenaran Multiplexer ……………………………………………34Tabel 3.1 Tabel kebenaran Gate ………………………………………...…………33Tabel 2.8 Jalur segmen yang aktif …………………………… …………………...20Tabel 2.1 Tampilan himpunan dari GF( 2Tabel 2.7 Tabel operasi penjumlahan modulo 2 …………………………………...19Tabel 2.6 Tabel kebenaran multiplexer 4 ke 1 ………………………………..……15Tabel 2.5 Tabel Kebenaran Pencacah maju Modulus 7 ………………...…………13Tabel 2.4 Tabel kebenaran gerbang logika NOT ……………………...………….10Tabel 2.3 Tabel kebenaran gerbang logika AND, NAND, OR, XOR …………… 10Tabel 2.2 Daftar macam-macam polynomial ……………………………………….5………………………………….5
3
) yang dibangkitkan oleh polinomial primitive p(X) = 1 + X + X
3
Tabel 4.6 Hasil Pengamatan Nilai Sindrom Percobaan 1 tanpa galat …...…………59Tabel 4.8 Hasil Pengamatan Nilai Sindrom Percobaan 3 tanpa galat ..…………….60Tabel 4.9 Hasil Pengamatan Nilai Sindrom Percobaan 4 tanpa galat .……………..61Tabel 4.10 Hasil Pengamatan Nilai Sindrom Percobaan 5 tanpa galat .……………..61Tabel 4.11 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 1 bit galat pada posisi 1 …………………………………………………...………..63Tabel 4.12 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 2 bit galat pada posisi 1. ……………………………………………………………64Tabel 4.13 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 3 bit galat pada posisi 1…………………………………...…………………..65Tabel 4.14 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 1 bit galat pada posisi 4 …………………………………………….…………….…65Tabel 4.15 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 2 bit galat pada posisi 4 ……………………………………………………………..66Tabel 4.16 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 3 bit galat pada posisi 4 ………………………………..………………..67Tabel 4.17 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 1 bit galat pada posisi 7 …………………………………………..……..67Tabel 4.18 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan2 bit galat pada posisi 7 …………………………………………..……68
Tabel 4.19 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 1 simbol galat dengan 3 bit galat pada posisi 7 …………………………………...…………….69Tabel 4.20 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 2 simbol galat dengan 1 bit galatTabel 4.21 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 2 simbol galat dengan 2 bit galat pada posisi1 dan posisi 2 ………………………………………….……..72Tabel 4.22 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 2 simbol galat dengan 3 bit galat pada posisi 1 dan posisi 2 ………………………………………………..73Tabel 4.23 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 3 simbol galat dengan 1 bit galat pada posisi 1 ,2 dan 3 ………………………………………….………..75Tabel 4.24
Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 3 simbol galat dengan 2 bit galat
pada posisi 1 ,2 dan 3 …………………………………………………..76
Tabel 4.25 Hasil pengamatan nilai sindrom untuk 3 simbol galat dengan 3 bit galat pada posisi 1 ,2 dan 3 …………………………………...………………77
DAFTAR GAMBAR
Gamar 2.11 Saklar ………………………………………………………………….17
IC 74LS85 ……………………………………………………………..24
Gambar 2.18
Gambar 2.17 Rangkaian pembanding besaran ………………………………………23Gambar 2.16 Tujuh segmen dalam digit decimal ……………………………………22Gambar 2.15 Penampil tujuh segmen ………………………………………………..22Gambar 2.14 Untai penampil tujuh segmen …………………………………………21Gambar 2.13 Rangkaian LED …………………………………………………….…18Gambar 2.12 Simbol LED ……………………………………………...……………18Gambar 2.10 Register geser 4 bit masukan seri – keluaran parallel …………………16Gambar 2.1 Diagram Penyandian sandi RS (n,k) ………………..…………………..6Gambar 2.9 Multiplexer 4 ke 1 ……………………………………………………..14Gambar 2.8 Rangkaian Pencacah maju Modulus 7 ……………………………...…13Gambar 2.7 Simbol logika NOT ……………………………………………………12Gambar 2.6 Simbol gerbang logika NAND …………………………...……………11Gamabr 2.5 Simbol logika gerbang X-OR ……………………….…………………11
Gambar 2.4 Simbol gerbang OR …………………………………..………………10Gambar 2.3 Simbol gerbang AND ………………………………………………..…9Gambar 2.2 Rangkaian pembangkit sindrom sandi RS ……………………………...8Gambar 2.19 Gambar rangkaian dari komparator IC 74LS85 ……………………….24Gambar 3.1 Diagram kotak sistem Sandi RS (7,3) ………...………………………27Gambar 3.11 Rangkaian penyandi sandi RS (7,3) …………………………………...38Gambar 3.17 Rangkaian penghitung sindrom sandi RS (7,3) ……………………….46Gambar 3.16 Diagram Penghitung Sindrom sandi RS (7,3) …………………………44Gambar 3.15 Rangkaian pembuat galat ……………………………………………...42Gambar 3.14 Tampilan rangkaian Pembuat Galat ………………………………….41Gambar 3.13 Rangkaian pencacah maju modulo 7 ………………………………….40Gambar 3.12 Gelombang keluaran counter modulo 7 ……………………………….39Gambar 3.10 Rangkaian Komparator ………………………………………….…….37Gambar 3.2 Diagram kotak penyandi sandi RS(7,3) ……………...………………. 30Gambar 3.9 Diagram pewaktuan kendali sandi RS (7,3) …….…………………….36Gambar 3.8 Gambar Rangkaian lengkap multiplexer ………………………………36Gambar 3.7 Rangkaian multiplexer …………………………….. …………………35Gamabr 3.6 Rangkaian lengkap Gate …………………………………………...…33
Gambar 3.5 Rangkaian digital Gate ………………………………………………..33Gambar 3.4 Gambar bentuk rangkaian persamaan 3-5…………………………….32Gambar 3.3 Gambar bentuk rangkaian persamaan 3-4…………………………….31Gambar 3.18 Tampilan pendeteksi …………………………………………………..46BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Seiring dengan perkembangan teknologi yang kian pesat, dunia komunikasi juga mengalami perkembangan yang luar biasa. Dalam dunia komunikasi, manusia tidak lagi dibatasi oleh jarak dan waktu.
Untuk berkomunikasi, manusia menggunakan berbagai alat bantu, seperti telephone, faximile, hand phone, email dan lain sebagainya. Semua sistem ini melakukan proses transmisi data guna menyampaikan informasi. Proses perpindahan data terjadi pada banyak sistem. Pada saat data digital ditransmisikan melalui saluran dalam sebuah sistem komunikasi atau saat perekaman data oleh media penyimpan dalam sistem komputer, data digital berpindah dari sumber data ke tempat tujuan. Dalam proses transmisi data, sering terjadi kesalahan (galat) yang menyebabkan data yang diterima oleh penerima tidak sesuai dengan pesan dari sumber atau pengirim. Terjadinya kesalahan ini tergantung pada media transmisi yang sangat peka terhadap derau dan interferensi, sehingga perlu dicari suatu sandi yang dapat mendeteksi dan mengoreksi kesalahan tersebut sehingga data yang dikirim dapat diterima secara benar dan sesuai.
1.2 Tujuan Penelitian
1.3 Manfaat Penelitian
Dengan dilaksanakannya penelitian ini maka diharapkan dapat memberikan pengetahuan mengenai prinsip dasar dari pengkodean dengan menggunakan sandi Reed-Solomon. Hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai prototipe
3
dan dasar pengembangan implementasi sandi RS dari GF(2 ) dengan koreksi galat ganda baik yang bersifat acak maupun hamburan.
1.4 Batasan Masalah
Alat yang akan dibuat dibatasi : 1.
Sebuah rangkaian penyandi RS (7,3)
2. Sebuah rangkaian sindrom 3.
Sebuah rangkaian pembangkit galat
1.5 Metodologi Penelitian
Untuk dapat merencanakan dan membuat peralatan sistem ini, diperlukan langkah- langkah sebagai berikut :
1. Mencari dan mempelajari literatur tentang permasalahan yang ada, cara kerja dan sekaligus cara-cara merencanakan dalam membuat peralatan tersebut.
2. Perancangan peralatan menggunakan teori yang ada untuk mendapatkan karakteristik yang sesuai dengan spesifikasi yang ditentukan.
3. Pembuatan peralatan untuk setiap bagian sistem sesuai dengan fungsi masing-
1.6 Sistematika Penulisan
Penulisan laporan penelitian tugas akhir ini disusun dengan menggunakan sistematika sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUAN Pendahuluan berisi judul, latar belakang masalah, tujuan, manfaat, batasan masalah, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi dasar-dasar teori yang digunakan dalam pembuatan rangkaian digital pendeteksi galat menggunakan sandi Reed-Solomon (7,3) dan penjelasan masing- masingnya. BAB
III PERANCANGAN PERANGKAT KERAS
Bab ini berisi tentang penjelasan perancangan perangkat keras rangkaian digital pendeteksi galat menggunakan sandi Reed-Solomon (7,3) yang meliputi spesifikasi sistem dan cara kerja rangkaian.
BAB IV PENGUJIAN DAN PEMBAHASAN Pada bab ini berisi analisis dan pembahasan mengenai hasil penelitian yang telah dilaksanakan. BAB V PENUTUP Pada bab ini berisi kesimpulan hasil penelitian yang telah dilakukan dan saran yang berisi ide-ide untuk perbaikan atau pengembangan terhadap penelitian yang telah dilakukan.
BAB II DASAR TEORI
2.1 Sandi Reed-solomon
Sandi Reed-Solomon (RS) pertama kali dipublikasikan oleh Irving Reed dan Gustave Solomon sekitar tahun 1960. Sandi ini didasarkan pada perhitungan matematis yang dikembangkan oleh Evariste Galois, seorang ahli matematika dari Perancis pada tahun 1830. Pada tahun 1976, seorang ahli matematika E. Berlekamp menemukan metode pengawasan sandi yang efisien. Sandi RS digunakan pada sistem komunikasi modern, jaringan komputer dan sistem penyimpan magnetis karena keunggulannya dalam mengoreksi banyak galat , baik akibat gangguan yang bersifat random maupun hamburan.
Sandi Reed-Solomon merupakan sandi tak biner yang elemen-elemennya membentuk suatu medan hingga (finite field) yaitu medan yang anggota-anggotanya terbatas. Medan ini lebih dikenal sebagai medan Galois (GF). Setiap GF(q) mempunyai sedikitnya sebuah elemen primitif. Elemen primitif yang biasanya diberi simbol
α, mempunyai sifat adalah bahwa semua elemen lain dalam medan, kecuali nol, dapat diekspresikan sebagai bentuk pangkat dari α .
m m
GF(2 ) merupakan medan hingga yang terdiri dari 2 elemen dengan m adalah bilangan bulat positif dengan anggota himpunan F sebagai berikut : m
2
2
2 −F = {0,1, , ….., } …………….. ..(2-1)
α, α α penjumlahan. Tabel 2.1 juga memperlihatkan bentuk m-tuple untuk anggota F dari GF(2
3
8 8 4 3 2
20 20 3
X + +
1 X
9 9 4
X X X + + + +
1 X
19 19 5 2
X X X + + + +
1 X
X + +
X + +
1 X
18 18 7
X + +
1 X
7 7 3
X + +
1 X
17 17 3
X + +
1 X
1 X
10 10 3
X X X + + + +
1 X
1 X
24 24 7 2
X X X + + + +
1 X
13 13 4 3
X + +
1 X
23 23 5
X X X + + + +
12 12 6 4
1 X
X + +
1 X
22 22
X + +
1 X
11 11 2
X + +
1 X
21 21 2
X + +
6 6
1 X
) yang dibangkitkan oleh polinomial p(X) = 1 + X +X
α
1 + α
2
1 + α + α
2
1+ α α + α
2
α
1 α
6
5
( 0 0 0 ) ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 ) ( 1 1 0 ) ( 0 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 0 1 )
α
4
α
3
α
2
1 α α
Representasi m-tuple Simbol Oktal
Pangkat Representasi Polinomial
3 Tabel 2.1 Tampilan himpunan dari GF( 2 3 ) yang dibangkitkan oleh polinomial primitif p(X) = 1 + X + X 3 Representasi
2
1
16 16 12 3
1 X
X + +
1 X
5 5 2
X + +
1 X
15 15
X + +
1 X
4 4
X X X + + + +
14 14 10 6
2
X + +
1 X
3 3
m Polinomial M Polinomial
Tabel 2.2 Daftar polinomial primitif5 Daftar polinomial primitif untuk setiap tingkatan m dapat dilihat pada Tabel 2-2.
7
6
3
4
X X X + + + +
2.1.1 Penyandian Sandi Reed-Salomon
Penyandian merupakan proses penambahan sejumlah simbol paritas pada simbol
m
pesan. Sebuah sandi RS (n,k) dengan simbol dari GF(2 ) mempunyai parameter- parameter: :
m n = 2 – 1 : panjang sandi ( pesan + cek paritas ) k = n - 2t : panjang pesan ( t = galat yang dapat dikoreksi) n – k = 2t : panjang cek paritas d = 2t+1 : jarak minimum antara sandi min
Sandi RS merupakan sandi blok linear yang bersifat siklis. Pada sandi blok, runtun simbol pesan dibagi ke dalam blok-blok pesan dengan panjang yang tetap.
Masing –masing blok pesan dinyatakan dengan u(X) yang terdiri dari k simbol pesan
k
sehingga total ada 2 pesan berbeda. Penyandi kemudian akan menambah pesan u(X) tersebut dengan sejumlah simbol paritas sehingga menjadi kata sandi c(X) yang terdiri
m k
dari n-tuple simbol dari GF(2 ) dengan n>k. Dengan demikian jika ada 2 pesan, maka
k akan ada 2 kata sandi.
Penyandi RS (n,k) menggunakan rangkaian register geser dengan menggunakan flip-flop. Gambar rangkaian penyandi RS (n,k) secara umum bisa dilihat pada Gambar 2.1 . g g g − − 1 2 g g 2 t 2 2 t 1 b b 1 b 2 b 2 t − 2 b 2 t − 1
2.1.2 Pengawasandi Reed-Solomon 2.1.2.1 Menghitung Nilai Sindrom.
Saat proses pengiriman c(X) ada kemungkinan terjadi gangguan pada media transmisi dan timbul galat, sehingga symbol r(X) yang diterima menjadi tidak sama dengan c(X). Dengan demikian langkah pertama proses pengawasandi adalah menentukan apakah r(X) sama dengan c(X) atau tidak, dengan cara menghitung nilai sindrom S.
Sandi RS dengan kemampuan mengoreksi t galat akan mempunyai 2t sindrom yaitu S = (S
1 , S 2 , . . . . , S 2t ). Jika representasi polinomial c(X) dan r(X) dituliskan
sebagai berikut :
n-1
c(X) = c + c X + ……+c
X ………………...(2-2) 1 n-1 n-1 r(X)= r + r
1 X + …….+r n-1 X ………………...(2-3) i
maka sindrom dapat diperoleh dengan mensubtitusi kedalam r(X) sehingga diperoleh: α
i
S = r( )
i v α i (jl)
= e α
∑ l 1 jl =
i 2i (n-1)i
= r + r
1 + r 2 + ….+ r n-1 .……………..(2-4) α α α
untuk i = 1, 2, …, 2t
i
Sindrom S i juga bisa dihitung dari hasil pembagian antara r(X) dengan x + sebagai
α
berikut :
r(X) = C i (X) (X + i .……………..(2-5) α ) + b (X) adalah hasil bagi dan b merupakan sisa hasil bagi. Jika X disubsitusikan
dengan C i i
i
dengan akan diperoleh :
α i i i r( ) = C i ( ) + b i .……………..(2-6) α α) (α α
- + = b
i i
Jadi S i = r( ) = b i .……………..(2-7)
α r(X)
Sindrom merupakan sisa pembagian dari polinomial kata sandi yang diterima dengan polinomial pembangkit g(X). Idealnya, jika tidak ada kesalahan, maka hasil pembagian antara r(X) dengan g(X) menghasilkan nilai nol. Jika nilai sindrom tidak bernilai nol, maka hal ini mengindikasikan adanya galat pada data yang diterima.
Rangkaian sindrom secara umum digambarkan pada Gambar 2.2 .
j α x
Data yang diterima Sindrom S j
- +
Register
2.2 Gerbang Logika