adisetiawanuksw seminarfkip uns2011
PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM INFERENSI
PARAMETER POPULASI SERAGAM
Adi Setiawan
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, Indonesia
e-mail : adi_setia_03@yahoo.com
Abstrak
Misalkan dimiliki sampel yang dianggap diambil dari populasi yang berdistribusi
seragam U(0,θ). Dalam makalah ini akan dijelaskan tentang bagaimana menggunakan
metode Bayesian obyektif untuk melakukan estimasi titik, estimasi interval dan
pengujian hipotesis tentang parameter populasi berdasarkan sampel yang diambil dari
populasi U(0,θ). Studi simulasi dilakukan untuk memperjelas penggunaan metode
tersebut.
Kata Kunci : prior, posterior, deskrepansi intrinsik, statistik intrinsik
1. Pendahuluan
Misalkan dimiliki sampel yang dianggap diambil dari populasi yang berdistribusi
seragam U(0,θ) dan diinginkan untuk melakukan estimasi parameter θ maka dapat
digunakan metode Bayesian obyektif. Pada makalah terdahulu telah dijelaskan bagaimana
menggunakan metode Bayesian obyektif dalam melakukan estimasi titik, estimasi interval
dan pengujian hipotesis ( Setiawan, 2009; Setiawan, 2010 dan Setiawan, 2011 ). Dalam
makalah ini akan dijelaskan tentang bagaimana menggunakan metode Bayesian obyektif
untuk melakukan inferensi parameter populasi θ dan dianggap bahwa sampel diambil dari
populasi seragam.
2. Dasar Teori
Hasil dari sembarang masalah inferensi yang dinyatakan dalam distribusi posterior
merupakan gabungan dari informasi yang tersedia dalam data dan informasi prior relevan
yang tersedia. Akan tetapi apabila tidak tersedia informasi prior, akan dipilih fungsi prior
yang relatif uninformative artinya fungsi prior yang memberikan pengaruh minimum pada
inferensi fungsi posterior. Secara lebih formal, misalkan bahwa mekanisme probabilitas
yang membangkitkan data yang tersedia x dianggap sebagai p(x| θ) untuk suatu
θ ∈ Θ dan kuantitas yang menjadi perhatian adalah fungsi yang bernilai real φ(θ) dari θ.
Tanpa menghilangkan keumuman, hal itu juga dapat dijelaskan berikut ini.
1
Misalkan model probabilitas yang digunakan berbentuk { p ( x |θ , λ ) } dengan λ
adalah parameter nuisance yang dipilih. Dalam hal ini diperlukan untuk mengidentifikasi
fungsi prior bersama π(φ,λ) yang akan mempunyai pengaruh minimal pada distribusi
posterior marginal dengan kuantitas yang menjadi perhatian φ yaitu
π (φ | x) ∝ ∫ p( x |φ , λ ) π (φ , λ ) dλ .
Λ
Reference prior digunakan sebagai prior yang dapat memberikan pengaruh minimal
pada distribusi posterior. Dalam kasus dimensi satu, reference prior merupakan prior
Jeffry. Dengan menggunakan prior ini maka penyelesaian masalah estimasi hanya
tergantung pada model anggapan dan data pengamatan sehingga estimasi titik yang
menggunakan metode ini dinamakan sebagai estimasi titik Bayesian obyektif (Bernardo
dan Juarez, 2003).
Diskrepansi intrinsik (intrínsic discrepancy) δ(p1, p2) antara dua fungsi densitas
p1(x) dengan x ∈ X1 dan p2(x) dengan x ∈ X2 didefinisikan sebagai
δ ( p1 , p2 ) = min {K ( p2 ( x) | p1 ( x) ) , K ( p1 ( x) | p2 ( x) )}
dengan
K ( p1 ( x) | p2 ( x)) = ∫ p1 ( x) log
X
p1 ( x)
dx .
p2 ( x)
M 1 = {p1 ( x |φ ) , x ∈ Χ1 ( φ ) , φ ∈Φ}
Untuk dua keluarga fungsi densitas
dan
M 2 = {p2 ( x |ψ ) , x ∈ Χ 2 (ψ ) ,ψ ∈ Ψ }
δ * ( M 1 , M 2 ) = min δ ( p1 ( x |φ ) , p2 ( x |ψ ) ) .
dapat didefinisikan diskrepansi intrinsik
φ ∈Φ ,ψ ∈Ψ
Fungsi kerugian (loss function) dalam kasus ini adalah diskrepansi intrinsik.
Misalkan bahwa deskripsi yang sesuai dari tingkah laku probabilistik dari kuantitas
random x diberikan oleh model
{ p ( x |θ , λ ), x ∈ Χ, θ ∈ Θ, λ ∈ Λ } .
Diskrepansi intrinsik antara p ( x |θ , λ ) dan keluarga densitas
{ p ( x |θ 0 , λ ), λ ∈ Λ }
adalah
δ * (θ , λ ;θ 0 ) = inf δ (θ , λ ;θ 0 , λ0 )
λ0 ∈Λ
δ (θ , λ ;θ 0 , λ0 ) = min {K (θ 0 , λ0 |θ , λ ) , K (θ , λ |θ 0 , λ0 )} .
dengan
Misalkan { p ( x |θ , λ ), x ∈ Χ, θ ∈ Θ, λ ∈ Λ } adalah model parametrik yang dapat
digunakan untuk menggambarkan tingkah laku kuantitas random x. Didefinisikan intrinsik
d ( θ 0 | x) = Eπ δ * [ δ * | x] = ∫ ∫ δ * (θ , λ ;θ 0 ) π δ * (θ , λ | x) dθ dλ
statistik (intrinsic statistic) sebagai
ΛΘ
(1)
dengan π δ * (θ , λ | x) adalah posterior referensi untuk parameter dari model p ( x |θ , λ ) bila
δ * (θ , λ ;θ 0 ) adalah parameter yang menjadi perhatian. Estimator intrinsik (intrinsic
estimator) atau estimasi titik Bayesian obyektif didefinisikan sebagai yaitu parameter θ
yang meminimalkan statistik intrinsik
θ * = θ * ( x) = arg min d (θ | x) .
~
θ ∈Θ
~
Estimasi interval kredibel
Interval
kredibel
intrinsik 100q% (q-credible region intrinsic) adalah himpunan
bagian R*q = R*q( x, Θ) ⊆ Θ dari ruang parameter Θ sehingga memenuhi
(i)
∫π (θ ,θ
0
| x) dθ = q
R*q
(ii) Untuk setiap θi ∈R*q, θj ∉ R*q dan untuk setiap berlaku d(θi | x) ≤ d(θj | x).
dengan d(θi | x) adalah harapan fungsi kerugian reference posterior sebagai proxy untuk
nilai dari parameter yang diberikan pada persamaan (1).
Terlihat bahwa pernyataan pada persamaan (1) mempunyai bentuk yang sulit
sehingga perhitungannya tidaklah mudah namun dengan menggunakan integrasi numerik,
hal itu dengan mudah dapat dilakukan.
3
Pengujian Hipotesis
Apabila diinginkan untuk melakukan pengujian hipotesis H0 ≡ { θ = θ0 } maka
statistik intrinsik pada persamaan (1) merupakan ukuran dari kekuatan bukti melawan
penggunaan model M0 dengan
M 0 = { p ( x |θ 0 , λ ) , λ ∈ Λ } .
Hal itu berarti H0 akan ditolak jika dan hanya jika d(θ0 | x ) untuk suatu batas d*
(Juarez, 2004). Bernardo dan Rueda (2002) mengusulkan untuk menggunakan aturan
sebagai berikut : jika d* ≈ 1 maka tidak ada bukti untuk menolak H0, jika d* ≈ 2,5
maka terdapat bukti lemah (mild) untuk menolak dan jika d* > 5 maka terdapat bukti
kuat (strong) untuk menolak H0.
Populasi Seragam
Misalkan x1, x2, ...., xn sampel dari distribusi seragam dengan fungsi kepadatan
probabilitas
f ( x |θ ) =θ −1
untuk 0 ≤ x ≤ θ, θ > 0 dan misalkan t = Max{ x1, x2, ...., xn }. Deskrepansi intrinsik dari
distribusi eksponensial adalah
dengan
δ x (θ 0 ,θ ) = n min [ κ (θ |θ 0 ) , κ (θ 0 |θ ) ]
⎧⎪ θ j θ −1 ln (θ / θ ) dx = log(θ / θ ), θ ≤θ
j
i
j
i
j
j
i
, θ j >θ i .
⎪⎩∞
κ (θ i |θ j ) = ⎨ ∫0
Akibatnya
δ x (θ 0 ,θ ) = n | ln(θ / θ 0 ) | .
Karena ruang sampel dari X adalah [ 0, θ ] tergantung dari parameter θ maka hal ini
bukan masalah regular. Fungsi θ = t merupakan statistik cukup, estimator konsisten dari
^
yang mempunyai distribusi sampling
p(t |θ ) = n t n−1θ − n
untuk 0 < t < θ. Dapat dibuktikan bahwa reference prior dari parameter yang menjadi
perhatian θ adalah π(θ) = θ -1 dan reference posterior yang terkait adalah
π (θ | x1 , ...., x n ) = n t n θ − ( n +1) , θ ≥ t.
dan diperoleh statistik intrinsik
d (θ 0 | x1 , ...., xn ) = d (θ 0 | t , n) = n ∫ | ln(θ / θ 0 ) | t n θ −( n +1) dθ
∞
Estimasi
titik
θ*
d (θ 0 | x1 , ...., xn ) dan
t
ditentukan
estimasi
d (θ 0 | x1 , ...., x n ) < d (a | x1 ,...., x n )
sehingga
meminimalkan
interval
kredibel
dan
(a,b)
nilai
.
statistik
ditentukan
intrinsik
sehingga
d (θ 0 | x1 , ...., x n ) < d (a | x1 ,...., x n ) . Pengujian
hipotesis dilakukan dengan cara menghitung ukuran kekuatan bukti untuk menolak
hipotesis nol H0 : θ = θ0 dengan menggunakan statistik intrinsik
d (θ 0 | x1 , ...., xn )
berdasarkan pada sampel x1, x2, ...., xn atau statistik cukup t = Max{ x1, x2, ...., xn }
dan ukuran sampel n.
3. Studi Simulasi dan Pembahasan
Estimasi titik untuk parameter populasi θ berdasarkan sampel ditentukan dengan
cara memilih nilai θ yang meminimalkan nilai statistik intrinsik. Gambar 1 menunjukan
nilai statistik intrinsik bila digunakan nilai θ antara 0 dan 5 jika diberikan statistik
cukup sampel
t = Max{ x1, x2, ...., xn } = 1,806
dan n = 12. Terlihat bahwa nilai statistik intrinsik akan mencapai minimum jika θ = 1,913
sehingga 1,913 merupakan estimasi titik untuk parameter populasi θ. Interval kredibel
ditentukan sehingga θ mempunyai statistik intrinsik lebih kecil dari 2.150 dan diperoleh
interval kredibel 95 % yaitu (1,632 , 2,319 ).
5
40
30
0
10
20
Intrinsik Statistik
50
60
(a) n=12, t=1.806
0
1
2
3
4
5
Theta
Gambar 1. Nilai statistik intrinsik jika diberikan parameter θ dan statistik cukup t = Max{ x1, x2, ...., xn }.
Misalkan dimiliki sampel x1, x2, ...., xn berukuran n = 50 dari populasi berdistribusi
seragam dengan parameter populasi θ. Apabila diambil sampel dari distribusi seragam
pada (0,2) maka nilai-nilai statistik intrinsik yang diperoleh merupakan ukuran kekuatan
untuk menolak hipotesis nol H0 : θ = θ0 dan dinyatakan pada Gambar 2. Terlihat bahwa
nilai-nilai statistik intrinsik cenderung kecil dengan rata-ratanya 0,99 dan hanya 0,6 %
yang mempunyai nilai lebih dari 5.
0.0
0.5
Density
1.0
1.5
Histogram dari Statistik Intrinsik bila sampel dari U(0 , 2)
2
4
6
8
Statistik Intrinsik
Gambar 3. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel dengan ukuran 50 yang diambil
dari populasi seragam U(0,2).
Apabila sampel diambil dari populasi yang mempunyai parameter populasi berturutturut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2 maka nilai-nilai statistik intrinsik dinyatakan pada
Gambar 3. Terlihat bahwa seperti yang diharapkan, nilai-nilai statistik intrinsik cenderung
makin membesar jika parameter populasi yang digunakan jauh dari θ = 2. Gambar 4 dan
Gambar 5 menyatakan nilai-nilai statistik intrinsik masing-masing untuk ukuran sampel 50
dan 100. Seperti yang diharapkan makin besar ukuran sampel makin besar pula nilai-nilai
statistik intrinsik.
7
(b) Bila sampel dari U(0, 1,9)
0.0
0.4
Density
0.0
0.3
Density
0.6
(a) Bila sampel dari U(0 , 1,8)
1
2
3
4
5
6
1
3
4
5
Statistik Intrinsik
(c) Bila sampel dari U(0, 2,1)
(d) Bila sampel dari U(0, 2,2)
0.6
Statistik Intrinsik
0.0
0.3
Density
0.0 0.3 0.6
Density
2
2
4
6
8
10
4
6
Statistik Intrinsik
8
10
12
14
Statistik Intrinsik
Gambar 3. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel ukuran 50 yang diambil dari populasi
seragam dengan parameter θ berturut-turut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2.
(b) Bila sampel dari U(0, 1,9)
0.0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
Statistik Intrinsik
(c) Bila sampel dari U(0, 2,1)
(d) Bila sampel dari U(0, 2,2)
0.4
0.0
0.4
Density
0.8
0.8
Statistik Intrinsik
0.0
Density
0.4
Density
0.4
0.0
Density
0.8
(a) Bila sampel dari U(0 , 1,8)
2
4
6
Statistik Intrinsik
8
2
4
6
8
10
12
Statistik Intrinsik
Gambar 4. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel ukuran 30 yang diambil dari populasi
seragam dengan parameter θ berturut-turut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2.
4
5
6
7
8
0.6
9
1
2
3
4
5
(c) Bila sampel dari U(0, 2,1)
(d) Bila sampel dari U(0, 2,2)
0.2
0.0
0.4
0.4
Statistik Intrinsik
Density
Statistik Intrinsik
0.0
Density
0.3
0.0
0.4
Density
(b) Bila sampel dari U(0, 1,9)
0.0
Density
(a) Bila sampel dari U(0 , 1,8)
3
4
5
6
7
8
Statistik Intrinsik
6
8
10
12
14
16
Statistik Intrinsik
Gambar 5. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel ukuran 80 yang diambil dari populasi
seragam dengan parameter θ berturut-turut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2.
4. Kesimpulan dan Saran
Dalam makalah di atas telah dijelaskan bagaimana parameter populasi diestimasi dan
dilakukan uji hipotesis dengan menggunakan metode Bayesian obyektif jika dianggap
sampel diambil dari populasi berdistribusi seragam. Metode tersebut dapat juga diperluas
penggunaannya untuk parameter populasi yang berdistribusi seragam dengan 2 parameter.
5. Daftar Pustaka
Bernardo, J. dan R. Rueda, 2002, Bayesian Hypotesis Testing : A Reference Approach,
International Statistical Review 70, 351-372.
9
Juarez, M. A. , 2004, Objective Bayesian Methods for Estimation and Hypothesis Testing,
Valencia : University of Valencia.
Setiawan, A. , 2009, Estimasi Titik Bayesian Obyektif, Prosiding Seminar Sains dan
Pendidikan Sains IV FSM UKSW, Salatiga.
Setiawan, A. , 2010,
Interval Kredibel Bayesian Obyektif dari Parameter Populasi
Berdistribusi Poisson dan Eksponensial, Prosiding Seminar Sains dan Pendidikan Sains
No. 1 Tahun 1 , hal 703-708.
Setiawan, A. , 2011, Inferensi Parameter Mean Populasi Normal dengan Metode Bayesian
Obyektif, Prosiding Seminar Sains dan Pendidikan Sains No. 1 Tahun 2 hal 584-593
PARAMETER POPULASI SERAGAM
Adi Setiawan
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, Indonesia
e-mail : adi_setia_03@yahoo.com
Abstrak
Misalkan dimiliki sampel yang dianggap diambil dari populasi yang berdistribusi
seragam U(0,θ). Dalam makalah ini akan dijelaskan tentang bagaimana menggunakan
metode Bayesian obyektif untuk melakukan estimasi titik, estimasi interval dan
pengujian hipotesis tentang parameter populasi berdasarkan sampel yang diambil dari
populasi U(0,θ). Studi simulasi dilakukan untuk memperjelas penggunaan metode
tersebut.
Kata Kunci : prior, posterior, deskrepansi intrinsik, statistik intrinsik
1. Pendahuluan
Misalkan dimiliki sampel yang dianggap diambil dari populasi yang berdistribusi
seragam U(0,θ) dan diinginkan untuk melakukan estimasi parameter θ maka dapat
digunakan metode Bayesian obyektif. Pada makalah terdahulu telah dijelaskan bagaimana
menggunakan metode Bayesian obyektif dalam melakukan estimasi titik, estimasi interval
dan pengujian hipotesis ( Setiawan, 2009; Setiawan, 2010 dan Setiawan, 2011 ). Dalam
makalah ini akan dijelaskan tentang bagaimana menggunakan metode Bayesian obyektif
untuk melakukan inferensi parameter populasi θ dan dianggap bahwa sampel diambil dari
populasi seragam.
2. Dasar Teori
Hasil dari sembarang masalah inferensi yang dinyatakan dalam distribusi posterior
merupakan gabungan dari informasi yang tersedia dalam data dan informasi prior relevan
yang tersedia. Akan tetapi apabila tidak tersedia informasi prior, akan dipilih fungsi prior
yang relatif uninformative artinya fungsi prior yang memberikan pengaruh minimum pada
inferensi fungsi posterior. Secara lebih formal, misalkan bahwa mekanisme probabilitas
yang membangkitkan data yang tersedia x dianggap sebagai p(x| θ) untuk suatu
θ ∈ Θ dan kuantitas yang menjadi perhatian adalah fungsi yang bernilai real φ(θ) dari θ.
Tanpa menghilangkan keumuman, hal itu juga dapat dijelaskan berikut ini.
1
Misalkan model probabilitas yang digunakan berbentuk { p ( x |θ , λ ) } dengan λ
adalah parameter nuisance yang dipilih. Dalam hal ini diperlukan untuk mengidentifikasi
fungsi prior bersama π(φ,λ) yang akan mempunyai pengaruh minimal pada distribusi
posterior marginal dengan kuantitas yang menjadi perhatian φ yaitu
π (φ | x) ∝ ∫ p( x |φ , λ ) π (φ , λ ) dλ .
Λ
Reference prior digunakan sebagai prior yang dapat memberikan pengaruh minimal
pada distribusi posterior. Dalam kasus dimensi satu, reference prior merupakan prior
Jeffry. Dengan menggunakan prior ini maka penyelesaian masalah estimasi hanya
tergantung pada model anggapan dan data pengamatan sehingga estimasi titik yang
menggunakan metode ini dinamakan sebagai estimasi titik Bayesian obyektif (Bernardo
dan Juarez, 2003).
Diskrepansi intrinsik (intrínsic discrepancy) δ(p1, p2) antara dua fungsi densitas
p1(x) dengan x ∈ X1 dan p2(x) dengan x ∈ X2 didefinisikan sebagai
δ ( p1 , p2 ) = min {K ( p2 ( x) | p1 ( x) ) , K ( p1 ( x) | p2 ( x) )}
dengan
K ( p1 ( x) | p2 ( x)) = ∫ p1 ( x) log
X
p1 ( x)
dx .
p2 ( x)
M 1 = {p1 ( x |φ ) , x ∈ Χ1 ( φ ) , φ ∈Φ}
Untuk dua keluarga fungsi densitas
dan
M 2 = {p2 ( x |ψ ) , x ∈ Χ 2 (ψ ) ,ψ ∈ Ψ }
δ * ( M 1 , M 2 ) = min δ ( p1 ( x |φ ) , p2 ( x |ψ ) ) .
dapat didefinisikan diskrepansi intrinsik
φ ∈Φ ,ψ ∈Ψ
Fungsi kerugian (loss function) dalam kasus ini adalah diskrepansi intrinsik.
Misalkan bahwa deskripsi yang sesuai dari tingkah laku probabilistik dari kuantitas
random x diberikan oleh model
{ p ( x |θ , λ ), x ∈ Χ, θ ∈ Θ, λ ∈ Λ } .
Diskrepansi intrinsik antara p ( x |θ , λ ) dan keluarga densitas
{ p ( x |θ 0 , λ ), λ ∈ Λ }
adalah
δ * (θ , λ ;θ 0 ) = inf δ (θ , λ ;θ 0 , λ0 )
λ0 ∈Λ
δ (θ , λ ;θ 0 , λ0 ) = min {K (θ 0 , λ0 |θ , λ ) , K (θ , λ |θ 0 , λ0 )} .
dengan
Misalkan { p ( x |θ , λ ), x ∈ Χ, θ ∈ Θ, λ ∈ Λ } adalah model parametrik yang dapat
digunakan untuk menggambarkan tingkah laku kuantitas random x. Didefinisikan intrinsik
d ( θ 0 | x) = Eπ δ * [ δ * | x] = ∫ ∫ δ * (θ , λ ;θ 0 ) π δ * (θ , λ | x) dθ dλ
statistik (intrinsic statistic) sebagai
ΛΘ
(1)
dengan π δ * (θ , λ | x) adalah posterior referensi untuk parameter dari model p ( x |θ , λ ) bila
δ * (θ , λ ;θ 0 ) adalah parameter yang menjadi perhatian. Estimator intrinsik (intrinsic
estimator) atau estimasi titik Bayesian obyektif didefinisikan sebagai yaitu parameter θ
yang meminimalkan statistik intrinsik
θ * = θ * ( x) = arg min d (θ | x) .
~
θ ∈Θ
~
Estimasi interval kredibel
Interval
kredibel
intrinsik 100q% (q-credible region intrinsic) adalah himpunan
bagian R*q = R*q( x, Θ) ⊆ Θ dari ruang parameter Θ sehingga memenuhi
(i)
∫π (θ ,θ
0
| x) dθ = q
R*q
(ii) Untuk setiap θi ∈R*q, θj ∉ R*q dan untuk setiap berlaku d(θi | x) ≤ d(θj | x).
dengan d(θi | x) adalah harapan fungsi kerugian reference posterior sebagai proxy untuk
nilai dari parameter yang diberikan pada persamaan (1).
Terlihat bahwa pernyataan pada persamaan (1) mempunyai bentuk yang sulit
sehingga perhitungannya tidaklah mudah namun dengan menggunakan integrasi numerik,
hal itu dengan mudah dapat dilakukan.
3
Pengujian Hipotesis
Apabila diinginkan untuk melakukan pengujian hipotesis H0 ≡ { θ = θ0 } maka
statistik intrinsik pada persamaan (1) merupakan ukuran dari kekuatan bukti melawan
penggunaan model M0 dengan
M 0 = { p ( x |θ 0 , λ ) , λ ∈ Λ } .
Hal itu berarti H0 akan ditolak jika dan hanya jika d(θ0 | x ) untuk suatu batas d*
(Juarez, 2004). Bernardo dan Rueda (2002) mengusulkan untuk menggunakan aturan
sebagai berikut : jika d* ≈ 1 maka tidak ada bukti untuk menolak H0, jika d* ≈ 2,5
maka terdapat bukti lemah (mild) untuk menolak dan jika d* > 5 maka terdapat bukti
kuat (strong) untuk menolak H0.
Populasi Seragam
Misalkan x1, x2, ...., xn sampel dari distribusi seragam dengan fungsi kepadatan
probabilitas
f ( x |θ ) =θ −1
untuk 0 ≤ x ≤ θ, θ > 0 dan misalkan t = Max{ x1, x2, ...., xn }. Deskrepansi intrinsik dari
distribusi eksponensial adalah
dengan
δ x (θ 0 ,θ ) = n min [ κ (θ |θ 0 ) , κ (θ 0 |θ ) ]
⎧⎪ θ j θ −1 ln (θ / θ ) dx = log(θ / θ ), θ ≤θ
j
i
j
i
j
j
i
, θ j >θ i .
⎪⎩∞
κ (θ i |θ j ) = ⎨ ∫0
Akibatnya
δ x (θ 0 ,θ ) = n | ln(θ / θ 0 ) | .
Karena ruang sampel dari X adalah [ 0, θ ] tergantung dari parameter θ maka hal ini
bukan masalah regular. Fungsi θ = t merupakan statistik cukup, estimator konsisten dari
^
yang mempunyai distribusi sampling
p(t |θ ) = n t n−1θ − n
untuk 0 < t < θ. Dapat dibuktikan bahwa reference prior dari parameter yang menjadi
perhatian θ adalah π(θ) = θ -1 dan reference posterior yang terkait adalah
π (θ | x1 , ...., x n ) = n t n θ − ( n +1) , θ ≥ t.
dan diperoleh statistik intrinsik
d (θ 0 | x1 , ...., xn ) = d (θ 0 | t , n) = n ∫ | ln(θ / θ 0 ) | t n θ −( n +1) dθ
∞
Estimasi
titik
θ*
d (θ 0 | x1 , ...., xn ) dan
t
ditentukan
estimasi
d (θ 0 | x1 , ...., x n ) < d (a | x1 ,...., x n )
sehingga
meminimalkan
interval
kredibel
dan
(a,b)
nilai
.
statistik
ditentukan
intrinsik
sehingga
d (θ 0 | x1 , ...., x n ) < d (a | x1 ,...., x n ) . Pengujian
hipotesis dilakukan dengan cara menghitung ukuran kekuatan bukti untuk menolak
hipotesis nol H0 : θ = θ0 dengan menggunakan statistik intrinsik
d (θ 0 | x1 , ...., xn )
berdasarkan pada sampel x1, x2, ...., xn atau statistik cukup t = Max{ x1, x2, ...., xn }
dan ukuran sampel n.
3. Studi Simulasi dan Pembahasan
Estimasi titik untuk parameter populasi θ berdasarkan sampel ditentukan dengan
cara memilih nilai θ yang meminimalkan nilai statistik intrinsik. Gambar 1 menunjukan
nilai statistik intrinsik bila digunakan nilai θ antara 0 dan 5 jika diberikan statistik
cukup sampel
t = Max{ x1, x2, ...., xn } = 1,806
dan n = 12. Terlihat bahwa nilai statistik intrinsik akan mencapai minimum jika θ = 1,913
sehingga 1,913 merupakan estimasi titik untuk parameter populasi θ. Interval kredibel
ditentukan sehingga θ mempunyai statistik intrinsik lebih kecil dari 2.150 dan diperoleh
interval kredibel 95 % yaitu (1,632 , 2,319 ).
5
40
30
0
10
20
Intrinsik Statistik
50
60
(a) n=12, t=1.806
0
1
2
3
4
5
Theta
Gambar 1. Nilai statistik intrinsik jika diberikan parameter θ dan statistik cukup t = Max{ x1, x2, ...., xn }.
Misalkan dimiliki sampel x1, x2, ...., xn berukuran n = 50 dari populasi berdistribusi
seragam dengan parameter populasi θ. Apabila diambil sampel dari distribusi seragam
pada (0,2) maka nilai-nilai statistik intrinsik yang diperoleh merupakan ukuran kekuatan
untuk menolak hipotesis nol H0 : θ = θ0 dan dinyatakan pada Gambar 2. Terlihat bahwa
nilai-nilai statistik intrinsik cenderung kecil dengan rata-ratanya 0,99 dan hanya 0,6 %
yang mempunyai nilai lebih dari 5.
0.0
0.5
Density
1.0
1.5
Histogram dari Statistik Intrinsik bila sampel dari U(0 , 2)
2
4
6
8
Statistik Intrinsik
Gambar 3. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel dengan ukuran 50 yang diambil
dari populasi seragam U(0,2).
Apabila sampel diambil dari populasi yang mempunyai parameter populasi berturutturut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2 maka nilai-nilai statistik intrinsik dinyatakan pada
Gambar 3. Terlihat bahwa seperti yang diharapkan, nilai-nilai statistik intrinsik cenderung
makin membesar jika parameter populasi yang digunakan jauh dari θ = 2. Gambar 4 dan
Gambar 5 menyatakan nilai-nilai statistik intrinsik masing-masing untuk ukuran sampel 50
dan 100. Seperti yang diharapkan makin besar ukuran sampel makin besar pula nilai-nilai
statistik intrinsik.
7
(b) Bila sampel dari U(0, 1,9)
0.0
0.4
Density
0.0
0.3
Density
0.6
(a) Bila sampel dari U(0 , 1,8)
1
2
3
4
5
6
1
3
4
5
Statistik Intrinsik
(c) Bila sampel dari U(0, 2,1)
(d) Bila sampel dari U(0, 2,2)
0.6
Statistik Intrinsik
0.0
0.3
Density
0.0 0.3 0.6
Density
2
2
4
6
8
10
4
6
Statistik Intrinsik
8
10
12
14
Statistik Intrinsik
Gambar 3. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel ukuran 50 yang diambil dari populasi
seragam dengan parameter θ berturut-turut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2.
(b) Bila sampel dari U(0, 1,9)
0.0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
Statistik Intrinsik
(c) Bila sampel dari U(0, 2,1)
(d) Bila sampel dari U(0, 2,2)
0.4
0.0
0.4
Density
0.8
0.8
Statistik Intrinsik
0.0
Density
0.4
Density
0.4
0.0
Density
0.8
(a) Bila sampel dari U(0 , 1,8)
2
4
6
Statistik Intrinsik
8
2
4
6
8
10
12
Statistik Intrinsik
Gambar 4. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel ukuran 30 yang diambil dari populasi
seragam dengan parameter θ berturut-turut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2.
4
5
6
7
8
0.6
9
1
2
3
4
5
(c) Bila sampel dari U(0, 2,1)
(d) Bila sampel dari U(0, 2,2)
0.2
0.0
0.4
0.4
Statistik Intrinsik
Density
Statistik Intrinsik
0.0
Density
0.3
0.0
0.4
Density
(b) Bila sampel dari U(0, 1,9)
0.0
Density
(a) Bila sampel dari U(0 , 1,8)
3
4
5
6
7
8
Statistik Intrinsik
6
8
10
12
14
16
Statistik Intrinsik
Gambar 5. Histogram dari B = 10.000 nilai-nilai statistik intrinsik yang merupakan ukuran
kekuatan untuk menolak H0 : θ = θ0 jika diberikan sampel ukuran 80 yang diambil dari populasi
seragam dengan parameter θ berturut-turut (a) 1,8 (b) 1,9 (c) 2,1 dan (d) 2,2.
4. Kesimpulan dan Saran
Dalam makalah di atas telah dijelaskan bagaimana parameter populasi diestimasi dan
dilakukan uji hipotesis dengan menggunakan metode Bayesian obyektif jika dianggap
sampel diambil dari populasi berdistribusi seragam. Metode tersebut dapat juga diperluas
penggunaannya untuk parameter populasi yang berdistribusi seragam dengan 2 parameter.
5. Daftar Pustaka
Bernardo, J. dan R. Rueda, 2002, Bayesian Hypotesis Testing : A Reference Approach,
International Statistical Review 70, 351-372.
9
Juarez, M. A. , 2004, Objective Bayesian Methods for Estimation and Hypothesis Testing,
Valencia : University of Valencia.
Setiawan, A. , 2009, Estimasi Titik Bayesian Obyektif, Prosiding Seminar Sains dan
Pendidikan Sains IV FSM UKSW, Salatiga.
Setiawan, A. , 2010,
Interval Kredibel Bayesian Obyektif dari Parameter Populasi
Berdistribusi Poisson dan Eksponensial, Prosiding Seminar Sains dan Pendidikan Sains
No. 1 Tahun 1 , hal 703-708.
Setiawan, A. , 2011, Inferensi Parameter Mean Populasi Normal dengan Metode Bayesian
Obyektif, Prosiding Seminar Sains dan Pendidikan Sains No. 1 Tahun 2 hal 584-593