Bab I - 08 a bab1 dinamika

DINA MIKA

  Dikta t Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo Ba b I G A Y A G A Y A S T A - T

  I S P A D A M E K A N

  I S M E A Y A - G G A Y A S T A T

  I S P A D A M E K A N

  I S M E

  1.1 De finisi

  G a ya a d a la h b e sa ra n ve kto r ya ng d ite ntuka n o le h a ra h, ha rg a ve kto rnya d a n titik ta ng ka p nya . G a ya sta tis a d a la h g a ya d ima na b a ik a ra h d a n ha rg a ve kto rnya te ta p se p a nja ng wa ktu, a ta u ko nsta n.

  1.2 Ke se im b a ng a n Sta tis Tra nsla si

  Ke se imb a ng a n sta tis a d a la h ko nd isi te rte ntu d a ri ko n d isi d ina m is ya ng me me nuhi p e rsa ma a n d a ri Hukum Ne wto n II :

  

F = m . a ( 1 – 1 )

Σ

  ya itu b a hwa p e rc e p a ta nya , a = 0, b e ra rti me rup a ka n ko nd isi ya ng d ia m a ta u b e rg e ra k d e ng a n ke c e p a ta n ko nsta n. Se hing g a p e rsa ma a n me nja d i :

  

F = 0 ( 1 – 2 )

Σ

   F : jumla h d a ri ve kto r g a ya -g a ya lua r ya ng d ike na ka n (b e ke rja ) p a d a Σ

  b e nd a , d a la m ha l ini p a d a b a ta ng a ta u link. G a ya lua r te rm a suk g a ya a ksi d a n g a ya re a ksi, g a mb a r 1a

  ( a ) ( b ) ( c ) G a m b a r-1.1, G a ya-g a ya lua r ( a ksi d a n re a ksi ) b e nd a ya ng d a la m ke se imb a ng a n.

  Ad a la h b e nd a ya ng me nd a p a t g a ya a ksi F ^{1 d a n F 2 , g a m b a r-1b , re a ksi} ya ng te rja d i p a d a b e nd a untuk me nd a c a p a i ke se imb a ng a n sta tis, d a n g a m b a r-1c p o lig o n g a ya ya ng me lukiska n ke se imb a ng a n g a ya , d a ri p e rsa ma a n (1 -2). G a ya re sulta n a d a la h jumla h ve kto r d a ri g a ya -g a ya (

  Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

DINA MIKA

  Dikta t Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo

  g a ya lua r), b e ra rti ke se imb a ng a n sta tis te rja d i b ila g a ya re sulta n a d a la h no l.

1.3 Ke se im b a ng a n Sta tis Ro ta si

  Ke se imb a ng a n ro ta si d a ri Hukum Ne wto n II :

   M = I . ( 1 – 3 ) Σ α

  Sta tis ro ta si te rc a p a i b ila b e nd a d ia m a ta u b e rg e ra k d e ng a n p uta ra n ko nsta n, p e rsa ma a n (1 -3) me nja d i :

   M = 0 ( 1 – 4 ) Σ

  mo me n sta tis ya ng d iha silka n o le h g a ya -g a ya lua r te rha d a p titik p uta r a d a la h no l.

   F

  1 a b F F F

  2

  

1

  2 A B B

  L R

  A

  ( a ) ( b ) F F F F

  1

  2

  1

  2 A R R R B A B

  ( c ) ( d ) G a mb a r-1.2, G a ya-g a ya lua r ( a ksi d a n re a ksi ) b e nd a ya ng d a la m ke se imb a ng a n ro ta si.

  F

  Pa d a g a m b a r-1.2a , me nunjukka n b a ta ng ya ng d ike na i g a ya a ksi ¹ F d a n ^{2 , b a ta ng d ip e n d i A d a n d i tum p u ro l d i B. Ilustra si d a ri p e rsa ma a n} (1-4) a d a la h: b ila titik p uta r d i B, ma ka ke se imb a ng a n sta tis ro ta si

  R

  me nd a p a tka n re a ksi A , g a m b a r-1.2b . Untuk titik p uta r d i A ke se imb a ng a n sta tis ro ta si me nd a p a tka n re a ksi d i B, g a m b a r-1.2c . Da la m ha l ini b a ta ng jug a se imb a ng d a la m tra nsla si, ya ng me me nuhi p e rsa ma a n (1 -2), g a mb a r 1.2d .

  Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

DINA MIKA

  Dikta t

1.4. Gaya -G a ya Ta k Se ja ja r

1.4.1 Tig a g a ya ta k se ja ja r.

  l

  F

  

1

  o

  f

  F

  1

  3 l

  1 l

  , g a m b a r-1.4a . Siste m b a ta ng a ka n se imb a ng b ila ke tig a nya me mb e ntuk se g itig a ve kto r te rtutup . o

  1 F

  3 F

  2 l

  3 ( a ) ( b ) ( c ) G a m b a r-1.4, Siste m tig a g a ya ta k se ja ja r Ka sus-2 d a la m ke se imb a ng a n.

  Pe nye le sa ia nnya a d a la h : 1) Te ntuka n titik kutub g a ya , o f ; 2) d a ri o f lukis ve kto r F ^{1 ya ng sud a h d ike ta hui a ra h d a n b e sa rnya ( d iska la ); 3)}

  f

  3

  Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

  1 F

  G a mb a r 1.1 me rup a ka n ilustra si d a ri g a ya -g a ya ta k se ja ja r, b ila te rja d i ke se imb a ng a n , g a ya -g a ya te rse b ut b e rte mu p a d a sa tu titik. Be rikut a ka n d ip e rje la s g a ya -g a ya ta k se ja ja r ya ng b e ke rja p a d a b a ta ng .

  1 .

  Ka sus-1. Bila p a d a b a ta ng b e ke rja tig a g a ya : F ^{1 , F 2 , d a n F 3 . Ara h d a n} b e sa rnya

  F _{1 ,} F _{2 , d ike ta hui, m a ka siste m b a ta ng a ka n se im b a ng b ila} F ₃ ve kto r p e nutup d a ri d ua ve kto r g a ya se b e lumnya .

  F

  1 F

  2 F

  2 F

  l

  1 F

  3 F

  3 ( a ) ( b ) ( c ) G a m b a r-1.3, Siste m tig a g a ya ta k se ja ja r Ka sus-1 d a la m ke se imb a ng a n.

  2. Ka sus-2 Bila p a d a b a ta ng b e ke rja tig a g a ya :

  F _{1 ,} F _{2 , d a n} F _{3 . Ara h d a n}

  b e sa rnya F ^{1 d ike ta hui, F 2 , F 3 ha nya a ra hnya sa ja , m a sing -ma sing l}

  2

  d a n

2 F

DINA MIKA

  Dikta t

  ; 2) Hub ung ka n titik

  m . m

  F

  2 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) G a m b a r-1.4, Siste m tig a g a ya ta k se ja ja r Ka sus-2 d a la m ke se imb a ng a n.

  Pe nye le sa ia nnya a d a la h : 1) Bua t g a ris a ra h g a ya

  F _{1 : l} 1 , p e rp a nja ng

  sa mp a i me mo to ng g a ris l

  2

  , d i titik

  n

  d a n titik

  n

  3 F

  m

  me nja d i se b ua h g a ris untuk a ra h g a ya

  F

_{3 : l}

  3

  , g a m b a r-1.5b ; 3) Susun g a ya

  F _{1 d a n ke d ua g a ris a ra h g a ya l} 2 , l 3, d ima na ke d ua nya a ka n

  b e rp o to ng a n, g a m b a r-1.5c ; 4) Te ntuka n a ra h g a ya F ^{2 d a n F 3 ,} se d e mikia n me mb e ntuk se g itig a ve kto r te rtutup , g a mb a r-1.5d .

  Emp a t g a ya ta k se ja ja r me rup a ka n p e ng e mb a ng a n d a ri ka sus- ka sus tig a g a ya ta k se ja ja r. Ba nya k ke mung kina n d a ri ka sus e mp a t g a ya , d a la m ha l ini, d ip ilih m o d e l d a ri ka sus ya ng se ring m unc ul. 1 .

  Ka sus-1

  1 .

  2 F

  Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

  b e sa rnya F ^{1 d ike ta hui,}

  p ind a hka n a ra h ve kto r g a ya

  F _{2 : l} 2 , d a n a ra h ve kto r g a ya

  F _{3 : l} 3 ,

  se hing g a ke d ua a ra h g a ya te rse b ut b e rp o to ng a n, g a mb a r-1.4b ; 4) Te ntuka n a ra h g a ya

  F

  2

  d a n

  F _{3 , se d e mikia n me mb e ntuk se g itig a ve kto r} te rtutup , g a m b a r-1.4c .

  3. Ka sus-3 Bila p a d a b a ta ng b e ke rja tig a g a ya :

  F _{1 ,} F _{2 , d a n} F _{3 . Ara h d a n}

  F _{2 , ha nya a ra hnya sa ja : l} 2 , d a n

  3 l

  F _{3 titik}

  ta ng ka p nya : m , g a m b a r-1.5a . Siste m b a ta ng a ka n se imb a ng b ila ke tig a nya me mb e ntuk se g itig a ve kto r te rtutup . l

  2

  l

  1

   l

  

2

F

  1 F

  1

  n l

1.4.2 Em pa t g a ya ta k se ja ja r.

DINA MIKA

  2 ( a ) ( b ) ( c ) G a mb a r 1.6. Siste m Emp a t G a ya Ta k se ja ja r Ka sus -3.

  4 l

  3

  l

  4 l

  3 F

  2 F

  3 F

  4 .

  1

  Ka sus-4. Bila d ua g a ya F ^{1 , F 2 d ike ta hui b e sa r d a n a ra hnya , se d a ng F 3} d ike ta hui a ra hnya : l

  3

  d a n F ^{4 , titik ta ng ka m nya m , g a mb a r-1.7a . Untuk} p e nye le sa ia n ke se imb a ng a n a d a la h : 1). Susun d ua g a ya ya ng sud a h d ike ta hui F ^{1 , d a n F 2 me nja d i se b ua h g a ya R 1 , g a m b a r-1.7b ; 2). G a ris} a ra h g a ya R ^{1 : p}

  1

  , d ip o to ng ka n d e ng a n g a ris a ra h l

  3

  d i titik n , g a m b a r- 1.7c ; 3) Te ntuka n a ra h (p a na h) ve kto r g a ya

  F _{3 d a n} F _{4 , se hing g a}

  l

  Dikta t

  Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

  ; 2). Le ta kka n g a ris a ra h g a ya F ^{4 : l}

  Bila ke e mp a t g a ya d ike ta hui, d a n siste m d iha ra p ka n d a la m ke se imb a ng a n, ma ka ke e mp a t g a ya te rse b ut a ka n me mb e ntuk se g ie mp a t ve kto r g a ya ya ng te rtutup , g a mb a r-1.1.

  2 .

  Ka sus-2. Bila tig a d a ri ke e mp a t g a ya d ike ta hui a ra h d a n b e sa rnya , ma ka g a ya ya ng ke -e mp a t se b a g a i p e nutup , untuk me mb ua t se g ie mp a t ve kto r g a ya te rtutup , sup a ya te rja d i ke se imb a ng a n.

  3. Ka sus-3. Bila d ua g a ya F ^{1 , F 2 d ike ta hui b e sa r d a n a ra hnya , se d a ng d ua la innya} d ike ta hui a ra hnya : l

  3 d a n l 4 , g a m b a r-1.6a . Untuk p e nye le sa ia n

  ke se imb a ng a n a d a la h : 1). Susun d ua g a ya ya ng sud a h d ike ta hui

  F _{1 , d a n} F

  2

  4

  1 F

  p a d a p a ng ka l F ^{1 , d a n g a ris a ra h} g a ya F ^{3 : l}

  3

  d i ujung F ^{2 , se hing g a b e rp o to ng a n, g a mb a r-1.6b ; 3) Te ntuka n} a ra h (p a na h) ve kto r g a ya

  F _{3 d a n} F 4 , se hing g a me mb e ntuk se g ie mp a t ve kto r ya ng te rtutup , g a m b a r-1.6c .

  F

  2 F

  1

  o f o f F

  4 F

DINA MIKA

  Dikta t Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo

  me mb e ntuk se g itig a ve kto r ya ng te rtutup , g a mb a r-1.6c . [ liha t 1.4.1, ka sus 3 ]. 4). Ura ika n ke mb a li R ^{1 m e n} F

2 F

  r

  1

  1

  l l

  1

  2 n

   l

  3

   l F

  3

  1 m

  . m l .

  3 . m

  F

  2 R

  1 R

  1 ( a ) ( b ) ( c ) G a mb a r 1.7. Siste m Emp a t G a ya Ta k se ja ja r Ka sus -3.

  Ja d i F ^{1 d a n F 2 , se hing g a te rb e ntuk se g ie mp a t ve kto r te rtutup se p e rti} 1.4.2, ka sus 3.

1.4.3 Siste m le b ih da ri e m pa t g a ya .

  Pe nye le sa ia n le b ih d a ri tig a a ta u e mp a t g a ya se c a ra g ra fis untuk me nd a p a tka n ke se imb a ng a n a d a la h d e ng a n me me ne hi d ua va ria b e l ve kto r ya ng tid a k d ike ta hui. Umumnya ka sus-ka sus ya ng te rja d i a ka n c e nd e rung se rup a d e ng a n ka sus-3 p a d a 1.4.1 d a n 1.4.2.

1.5 Siste m G a ya Pa ra le l (Se ja ja r)

  Siste m g a ya p a ra le l, d a la m p e nye le sa ia n ke se imb a ng a n a ka n d itinja u d a la m siste m d ua g a ya d a n siste m le b ih d a ri d ua g a ya . Ke d ua nya ha rus me me nuhi ke se imb a ng a n tra nsla si lurus d a n ro ta si :

  F = 0 d a n M = 0 Σ Σ

  Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

DINA MIKA

  Dikta t

  a b ke se imb a ng a n g a ya (b ).

  1. Dua g a ya b e rim pit.

  F

  1 Bila d ua g a ya p a ra le l, ke d ua g a ris

  g a ya nya b e rim p it ,ma ka b ila te rja d i ke se imb a ng a n b e sa r (m a g nitud e ) ke d ua g a ya sa ma b e sa rnya , te ta p i a ra h ve kto rnya b e r la wa na n. Ja d i :

  F

  2 F 1 = F

  2 F

  1 F ^{1 = - F 2} F

  2

  ( 1 – 5 )

  G a mb a r 1.7. Siste m d ua g a ya p a ra le l , (a ) Siste m d ua g a ya , (b ). p o lig o n g a ya

  Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

1.5.1 Siste m dua g a ya pa ra le l.

2.Dua g a ya ta k b e rim pit.

  d a n F ^{1 = - F 2 . Siste m d ua} g a ya ta k b e rimp it d e ng a n b e sa r ya ng sa ma d a n b e rla wa n ke se im b a ng a n g a ya (b ). a ra h ve kto r g a ya nya a ka n me nimb ulka n

  ko p e l

  , ya ng c e nd e rung a ka n me muta r siste m, g a mb a r-1.8. Ko p e l id e ntik d e ng a n b e sa ra n m o m e n .

  K = F . d

  …………. ( 1 – 6 ) Ditinja u d a ri titik ma na p un b e sa rnya ko p e l te ta p , ya itu g a ya d ika lika n d e ng a n ja ra k a nta ra ke d ua g a ya ya ng p a ra le l. Sup a ya siste m se imb a ng te rha d a p ro ta si ma ka a ka n d ib e rika n ko p e l la wa n, ya ng

  2

  Dua g a ya b e rim p it (a ). G a m b a r 1.8

  1 = F

  F

  Pa d a siste m d ua g a ya b e rimp it me ng a kib a t ke c e nd e rung a n siste m untuk b e rg e ra k tra nsla si Bila d ua g a ya ta k b e rim p it, syste m c e nd e rung b e ro ta si a kib a t ke d ua g a ya me mp unya i ja ra k a nta r ke d ua g a ris g a ya nya . Sya ra t ke se imb a ng a n tra nsla si te ta p ha rus te rp e nuhi, se hin g g a :

DINA MIKA

  Dikta t Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo

  a ra hnya te n tunya b e rla wa na n d e ng a n ko p e l ya ng d ia kib a tka n o le h d ua g a ya p a ra le l ta d i. ma ka : M = 0

  Σ K – T = 0

  L F.d = T ( 1 – 7 )

  L

  Dima na a ra h ve kto r to rsi la wa n b e rla wa n d e ng a n a ra k ko p e l d a ri d ua g a ya ta k b e rim p it

  m F .

  2 T F F L

  1

  2 F R

1 G a mb a r 1.9. Ke se imb a ng a n ro ta si. G a mb a r 1.10. Re sulta n

  g a ya p a ra le l 3.Re sulta n dua g a ya se a ra h.

  Dua g a ya se a ra h ya ng tid a k b e rimp it d a p a t d ig a nti me nja d i g a ya tung g a l. G a ya tung g a l me rup a ka n jumla h ve kto r ke d ua g a ya

  R se b a g a i g a ya re sulta n, .

  ma ka :

  R = F + F _{1 2 ( 1 – 8 )}

  Le ta k re sulta n d ite ntu ka n b e rd a sa rka n te o re ma Va rig no n, ya ng me nya ta ka n b a hwa mo me n d a ri g a ya -g a ya te rha da p sua tu titik sa ma

  de ng a n mo me n ya ng dia kib a tka n o le h re sulta n da ri g a ya -g a ya ta d i. Bila m F m

  d itinja u d a ri titik , a ja ra k ^{1 te rha d a p , d a n d ja ra k ke d ua g a ya , se rta r} ja ra k se b a g a i lo ka si R te rha d a p m .( g a m b a r-1.10 ) d id a p a t p e rsa m a a n :

  R.r = F .a + F .( a + d ) _{1 1 ( 1 – 9 )} F . a F ( a d )

  1

  2

  ma ka : r ( 1 – 10 )

  = R

  se hing g a p a d a b a ta ng b e ke rja g a ya tung g a l R te rha d a p titik m, g a m b a r-1.11 ya ng c e nd e rung a ka n me ng a kib a tka n b a ta ng b e rg e ra k, a ta u b a ta ng ta k sta b il. Bila d iing in

  Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

DINA MIKA

  Dikta t Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo R m 2 m . m

  . r r

  R R G a mb a r 1.11 R m 1

  R m G a mb a r 1.12. Tra nfo rma si ke titik

  ka n ke se im b a ng a n, a ta u ke sta b ila n, m a ka p a d a titik m d ib e rika n d ua b ua h g a ya ya ng sa m a b e sa rnya d a n a ra h ve kto rnya b e rla wa na n, g a m b a r-1.12.

  R = R = R m 1 m 2

  R m 1 m 2 , m 1 = - R R = R

  R = - R m 2

  Da ri g a ya -g a ya d a n R m 2 te rja d i ko p e l K m , d id a p a tka n :

  R K m m2 . r = R se a ra h ja rum ja m = R . r , .

  R _m m . K m T _{m . m} F ¹ F ₂ R m 1 = R G a m b a r 1.14. Siste m ya ng te la h se im b a ng m R= F K

  G a mb a r 1.13. Be b a n d i titik : ^{1 + F 2 dan m .} m

  F

  Ja d i se ka ra ng p a d a titik b e ke rja b e b a n a kib a t d ua g a ya se ja ja r ¹ d a n F ^{2 a d a la h R m 1 = R d a n ko p e l se a ra h ja rum ja m, K m , g a m b a r-1.13.}

  Sup a ya te rja d i ke se imb a ng a n, ma ka p a d a titik m te rd a p a t g a ya d a n

  R T

  ko p e l ya ng sa m a b e sa rnya d a n b e rla w a na n a ra h, ya itu m d a n m , g a m b a r-1.14.

  Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin

DINA MIKA

  Dikta t Oleh : I r. Endi Sut ikno – I r. Erw in Sulistyo

  Se hing g a :

  R = R = R = F + F m m 1

  1

  

2

R = R = F + F ^{m m1 - ( 1 2 )}

• T m = K m = R . r = ( F

  1 + F 2 ) T m = - K m 1.5.2 Siste m tig a a ta u le b ih g a ya -g a ya p a ra le l.

  `Untuk me nye le sa ika n b a ta ng ya ng me ne rima b e b a n g a ya -g a ya se ja ja r, tig a b ua h a ta u le b ih, re sulta n g a ya d a ri g a ya-g a ya ta d i, me nurut p e rsa ma a n (1 -8), ya ng d ike mb a ng ka n me nja d i :

  R = F + F + F + ……+ F …… + F , a ta u + k

  1 _n

  2 3 n R F

  ∑ ( 1 – 11 ) = k _{k 1}

  =

  d a n le ta k g a ya re sulta n ya ng d itinja u te rha d a p sua tu titik te rte ntu, me nurut p e rsa ma a n (1-10) ya ng d iturunka n d a ri te o re ma Va rig na n, me nja d i : .

• + 1 . a

  R .r = F

  1 + F 2 . a 2 + … ……+ F k a k …… + F n . a n , a ta u F . a F . a ........ F . a .......... F . a _{1 1 2 2 k k n n}

• + + + + +

  r =

  F F ......... F .......... . F ₁

_{2 k n}

  ya ng d ise d e rha na ka n me nja d i p e rsa ma a n : _n

  F . a _k ∑ _{1 k k} = r

  ( 1 – 12 )

  = _n F _k ∑ k ₁

  =

  d im a na :

  F : me wa kili g a ya se c a ra umum k

a : me wa kili ja ra k g a ya se c a ra umum te rha d a p titik

k p e ninja ua n.

  Program Semi Que I V Fakultas Teknik Jurusan Mesin