Matriks Ruang Vektor Determinan Matriks
DETERMINAN
DEFINISI
• Untuk setiap matriks persegi (bujur sangkar), ada satu
determinan bilangan tertentu yang disebut
• Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer
bertanda dari suatu matriks bujur sangkar.
Disimbolkan dengan: det
A A
Jika |A|
0 disebut matriks non singular
- Metode untuk menghitung determinan matriks:
1. Metode Sarrus
2. Ekspansi Kofaktor (Teorema Laplace)
METODE SARRUS
Determinan Orde Dua Determinan Orde Tiga
Contoh:
MINOR & KOFAKTOR
Yang dimaksud dengan MINOR unsur a ij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
11 a a a a a a a a a a a a A
31
24
23
22
21
14
13
12
44
33
43
42
34
33
32
24
23
22
11 a a a a a a a a a M
32
34
Dinotasikan dengan M ij
21
Contoh Minor dari elemen a ₁₁
33
32
31
23
22
13
12
11 a a a a a a a a a A
33
32
23
22
11 a a a a
M
Minor
Minor
Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3) Kofaktor Matriks
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan
dengan Contoh :11 Kofaktor dari elemen a
1
1 ( 1 ) c M M
11
11
11 Kofaktor dari elemen a
23
2
3 ( 1 ) c M M
23
23
23
Kofaktor Matrik
- Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda
- – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke
- – i dan kolom ke – j dari susunan :
.. .. .. .. .... .
.. .. .. .. ..
Misalnya C
11 = M
11 , C
21 = -M
21 , C
44 = M
44 , C
23 = -M
23
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor
• Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung
dari jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor pada Baris
Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor baris pertama |A|13
21
13
33
31
23
21
12
33
32
23
22
11
13
31
12
12
11
11
13
13
12
12
11
11
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a
22
32
31
33
32
31
23
22
21
13
12
11 a a a a a a a a a A
) ( ) ( ) (
22
11
32
21
13
31
23
33
21
12
32
23
33
22
Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua
|A| Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga
|A|) ( ) ( ) (
11
32
11
13
21
23
33
12
22
21
22
) ( ) ( ) (
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a
21
21
23
13
22
33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a
31
31
32
32
33
12
31
31
32
32
33
33
31
22
23
31
22
32
21
12
33
13
32
11
12
33
13
31
13
11
32
12
31
11
23
12
21
21
22
22
23
23
21
13
23
32
33
22
11
13
31
33
Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
kofaktor kolom pertama |A|
31
31
33
32
13
12
21
33
32
23
22
11
31
13
21
21
11
11
31
31
21
21
11
11
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a
12
22
12
33
32
31
23
22
21
13
12
11 a a a a a a a a a A
) ( ) ( ) (
22
23
23
12
31
32
13
33
12
21
32
23
33
22
11
Determinan Matrik dengan Ekspansi
Kofaktor pada Kolom
Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua
|A| Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga12
11
12
31
32
33
11
21
32
22
) ( ) ( ) (
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a
12
12
22
23
31
32
33
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a c a c a c a13
13
23
23
33
13
22
13
23
23
33
33
13
21
22
32
|A| ) ( ) ( ) (
11
12
21
33
23
31
22
33
21
13
31
32
11
13
13
21
23
13
12
23
12
22
22
32
32
12
21
31
11
33
22
11
13
31
33
32
- Misalkan kita punya matriks A =
4
2
4
1
3
16 6 * 4 8 *
5
8
6
6
5 16 16 *
1
8
4
6
5 ) 1 (
1
1
5
1
4
Contoh 1
- – Tentukan minor entri a
11 , a
12 , dan a
13
- – Tentukan juga kofaktor entri M
11 , M
12 dan M
13 !
11 adalah M
11
11 adalah C
11
8
- Penyelesaian :
- – minor entri a
- – kofaktor a
- A =
- – minor entri a
2
1 (
8
1
6
2 ) 1 (
2
1
3 1 * 5 4 *
4
6
1
5
2 3 3 *
1
4
1
5
2 ) 1 (
3
1
2 10 ) 10 *
1
Contoh 2
Contoh 1
12 adalah M
12
12 adalah C
12
13 adalah M
13
13 adalah C
13
8
8
4
1
6
5
2
4
1
3 10 1 *
6 8 *
2
- – kofaktor a
- – minor entri a
- – kofaktor a
Contoh:
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
= 3 + 0 = (3)(-4)
2 Hitung Det(A) bila A =
4
- 1
5
4
2
3
5
2
4
3
2
4
3
1
2
4
3
5
4
2
- – (1)(-11) = -12 + 11 = -1
Matriks dijadikan segitiga atas atau segitiga bawah
Solusi Det A= -1/5
SOAL LATIHAN
Hitung determinan matriks diatas dengan metoda Sarrus
Minor & Kofactor dan eliminasi gauss
11
5
4
9
3
2
10
2
1 A
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
• Apabila semua unsur dalam 1 baris atau 1 kolom = 0, maka
• Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah
menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.
1
B
1 det
2
3
2
3
7
3
5
9
2
harga determinan matriks = 0
3
2
3
7
3
5
9
Contoh:
T
A A 1 B
- Nilai determinan tidak berubah jika dilakukan operasi
elementer matriks D2=A2-( 2x A1)
Jadi, determinan D = determinan A SIFAT-SIFAT DETERMINAN
- Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua
barisnya atau kolomnya, maka: A C
Contoh: Baris 1 ditukar dengan baris 3 SIFAT-SIFAT DETERMINAN
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
- Jika dua baris atau kolomya dari A adalah identik, maka :
• Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom
dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan nol), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut.
A Contoh:
B2=3 x A2
1 A
3 B
Jadi, determinan B = 3 x determinan A
• Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah,
maka determinan dari matriks A adalah hasil kali dari elemen –elemen diagonalnya.
Contoh:
• Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar, maka:
AB A B
Contoh:8
- Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka:
- Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang
berbeda di salah satu baris atau kolomnya, misal di baris ke-r
yang berbeda. Pada baris ke-r matriks C merupakan
penjumlahan dari matriks A dan B maka:Contoh:
- Definisi:
- – Jika A sebarang matriks n x n dan C
2
12
1
21
22
2
1
... ... ... ... ... ...
C C C C C C C C C ...
nn n n n n
, maka matriks dinamakan matriks kofaktor A
ij adalah kofaktor a ij
Adjoint
11
- – Transpose dari matriks kofaktor adalah adjoint (sering ditulis adj(nama_matriks)
- – Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A
- Matriks Kofaktor A • Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A))
2
1
3 A
Adjoint
- Contoh:
4
12
16
10
12
16
2
4
16
6
6
16
16
16
10
2
6
12
4
12 ) ( A Adj
1
3
- – Cari nilai kofaktor
- C
- – 3*(-4)) = 12
11 = (-1)
1+1 (6*0
1+2 (1*0
- C
- – 3*2) = 6
- C
- – 6*2) = -16
- C
- – (-1)*(-4)) = 4
12 = (-1)
13 = (-1)
1+3 (1*(-4)
21 = (-1)
2+1 (2*0
- C
22 = (-1)
- – (-1)*2) = 2
- C
- – 2*2) = 16
2+3 (3*(-4)
2+2 (3*0
23 = (-1)
- C
- – (-1)*6) = 12
31 = (-1)
3+1 (2*3
32 = (-1)
3+2 (3*3
33 = (-1)
3+3 (3*6
2
- C
- – (-1)*1) = -10
- C
- – 2*1) = 16