Metode Iterasi Tiga Langkah dengan Orde Konvergensi Tujuh
Metode Iterasi Tiga Langkah dengan Orde
Konvergensi Tujuh
1
2 Wartono , Mayumi Istiqomah
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau
Jl. Subrantas km 16, Simpang Baru, Pekanbaru
1
e-mail: wartono@uin-suska.ac.id
Abstrak
Metode Potra-Ptak dan varian Newton merupakan salah satu metode iterasi yang digunakanuntuk menentukan akar-akar persamaan nonlinear dengan orde konvergensi tiga. Pada Tugas Akhir ini
penulis melakukan modifikasi komposit metode Potra-Ptak dan varian Newton dengan melibatkan
parameter θ1 dan θ 2 dan menambahkan langkah ketiga yang mana fꞌ(z n )diaproksimasi menggunakan
interpolasi Lagrange orde dua. Berdasarkan hasil kajian, diperoleh metode iterasi baru berorde
konvergensi tujuh dengan1 =3 dan
2 n ),
θ θ = ‒2. Setiap iterasi memerlukan empat evaluasi fungsi f yaitu, f(x 1/4
fꞌ(x n ),f(y n ) danf(z n ) dengan indeks effisiensi 7 ≈1,6265. Simulasi numerik dan perbandingan terhadap
metode lain dilakukan untuk menunjukkan keefektifan metode baru dalam menyelesaikan persamaan
nonlinear.
Kata kunci: indeks effisiensi, interpolasi Lagrange, komposit metode potra-ptak dan varian newton, orde
konvergensi persamaan nonlinear
Abstract
Potra- Ptak method and Newton’s variant are one of iteration method which it uses for determineroot of nonlinear similarity with third order convergence. In this Final Task, the writer has done modified
composite of Potra-1 2 parameter and adding the Ptak method and Newton’s variant by enganging θ and θ n ) using second order Lagrange interpolation. Based on the research third step which approximation fꞌ(z result new iteration method have seventh order convergence with θ
1 =3 and θ 2 =−2. Each of iteration needs 1/4
four f evaluation function which they are f(x n ), n ), f(y n ) and f(z n ) with efficiency index of 7 ≈1,6265.
fꞌ(x Numerical simulation is given to show the performance of composite Potra-Ptak method and Newton’s variant.
Keywords: composite of potra-pta k method and newton’s variant, efficiency index, Lagrange interpolation, nonlinear equation, order convergence
1. Pendahuluan
Persamaan nonlinear merupakan representasi dari fenomena bidang sains dan
rekayasa yang hampir sebagain besar tidak dapat ditentukan penyelesaiannya secara analitik.
Oleh karena itu, alternatif penyelesaian dilakukan secara numerik dengan perhitungan berulang
atau disebut iterasi.Salah satu metode iterasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode Newton yang ditulis sebagai berikut.
( ) f x n x x
(1) n
1 n
' ( ) f x n
Metode Newton merupakan metode iterasi dengan orde konvergensi kuadratik dan
menggunakan dua evaluasi fungsi f(x n ) dan f'(x n ) pada setiap iterasinya. Oleh karena itu, indeks
1/2 1.414213. efisiennya sebesar 2 Indeks efisiensi merupakan salah satu parameter untuk mengukur kinerja dari suatumetode terasi, dan parameter tersebut bergantung kepada orde konvergensi dan banyaknya
evaluasi fungsi yang dilibatkan pada setiap iterasi.Beberapa peneliti melakukan usaha-usaha untuk mengembangan metode Newton
dengan menggunakan berbagai pendekatan, seperti : integral Newton (Weerakoon dan
Fernando (2003)), titik tengah (Jisheng, dkk (2007)), rataan harmonik
(Kalyanasundaram(2013), Nedzhibov (2002)), kuadratur Newton-Cote (Hasanov dkk (2002),
Ozban (2004)), selisih terbagi maju (Sharma (2005)).Selain memodifikasi, beberapa metode iterasi dengan orde konvergensi tiga juga dapat
dihasilkan dengan mengkountruksi kembali berdasarkan beberapa pendekatan. Salah satunya
yang dilakukan oleh Chun (2005) memodifikasi metode Newton menghasilkan metode Potra-
Ptak berorde konvergensi tiga dengan rumusan sebagai berikut: f ( x ) f ( y ) n n(2) x x
n 1 n f ' ( x ) f ' ( x ) n n
Selanjutnya Chun (2008) memodifikasi kembali metode Newton dengan cara menyetarakan
dua metode untuk menghilangkan fungsi f ' ( y ) sehingga menghasilkan varian metode
nNewton berorde konvergensi tiga sebagai berikut: f ( x ) 2 f ( y ) f ( x ) n n n x x
(3) n
1 n
f ( x ) f ( y ) f ' ( x ) n n n Berbagai macam cara dilakukan untuk meningkatkan orde konvergensi metode iterasi.
Salah satunya adalah dengan menambah langkah dari metode iterasi. Selanjutnya lakukan
pendekatan tertentu sehingga menjadi metode iterasi tiga langkah, sebagaimana yang
dilakukan oleh Yasmin (2013) yang memodifikasi metode Steffensen menggunakan interpolasi
Lagrange menghasilkan orde konvergensi tujuh, Khattri (2012) yang menggunakan pendekatan
Gauss Kuadratur, Zhao (2012) yang menggunakan interpolasi Hermite sebagai langkah ketiga
saat mengimprovisasi metode Potra-Ptak dengan metode Ostrowski dan Wang (2010) yang
memodifikasi metode Ostrowski dengan interpolasi Hermite.2. Metode yang Dikembangkan
Pertimbangkan kembali metode Potra-Ptak dan Varian Newton yang dikembangkan oleh Chun [ ] dengan orde konvergensi tiga yang masing-masing ditulis sebagai berikutit f ( x ) f ( y ) n n
(4) x x n 1 n
' ( ) ' ( ) f x f x n n dan f ( x ) 2 f ( y ) f ( x ) n n n x x
(5) n
1 n
f ( x ) f ( y ) f ' ( x ) n n n dengan yn di definisikan pada persamaan (1).
Selanjutnya Persamaan (4) dan Persamaan (5) akan dijumlahkan menggunakan cara komposit
yang dilakukan oleh Ezzati (2011) dalam bentuk: f ( x ) f ( y ) f ( x ) 2 f ( y ) f ( x ) n n n n n x x x (6) n
1 1 n 2 n
f ' ( x ) f ' ( x ) f ( x ) f ( y ) f ' ( x )
n n n n n
Kemudian Persamaan (4.4) disederhanakan sehingga menghasilkan bentuk:
f ( x ) f ( y ) f ( x )( f ( x )
2 f ( y )) n n n n n x ( ) x (7) n
1
1 2 n
1
2
f ' ( x ) f ' ( x )( f ( x ) f ( y )) n n n n
Persamaan (7) adalah metode iterasi dua langkah yang merupakan hasil komposit dari f ( x )
metode Potra-Ptak dan varian Newton yang menggunakan tiga evaluasi fungsi yaitu ,
n f ' ( x ) dan f ( y ) pada setiap iterasinya. n nUntuk meningkatkan orde konvergensi, selanjutnya akan ditambahkan langkah ketiga dalam bentuk Newton dalam z , sehingga Persamaan (1) didefinisikan kembali n f ( z ) n x z
(8) n 1 n f ' ( z ) n dengan zn didefinisikan pada Persamaan (7). Bentuk f ' ( z ) pada Persamaan (8) akan diaproksimasikan menggunakan interpolasi n
Lagrange orde dua dalam bentuk f ( z ) f ( x ) f ( z ) f ( y ) f ( y ) f ( x ) n n n n n n f ' ( z ) n
z x z y y x n n n n n n atau ' ( ) [ , ] [ , ] [ , ] (9) f z f x z f y z f x y n n n n n n n dengan
f ( z ) f ( x ) n n
f [ x , z ]
(10) n n
z x n n
f ( z ) f ( y ) n n
f [ y , z ]
(11) n n
z y n n
f ( y ) f ( x ) n n
f [ x , y ]
(12) n n
y x n n
Oleh karena itu, metode iterasi komposit metode Potra-Ptak dan varian Newton iterasi tiga langkah secara lengkap ditulis sebagai berikut: f ( x ) n
y x
(13) n n
' ( ) f x n
f ( x ) f ( y ) f ( x )( f ( x ) 2 f ( y )) n n n n n z ( ) x
(14) n
1 2 n
1
2
' ( ) ' ( )( ( ) ( )) f x f x f x f y n n n n f ( z ) n
x z
(15) n
1 n
[ , ] [ , ] [ , ] f x z f y z f x y n n n n n n
Persamaan ( ) merupakan metode iterasi tiga langkah yang melibatkan empat evaluasi fungsi,
yaitu f (x ), f(y ), f(z ) dan f'(x ).n n n n
3. Hasil dan Diskusi
3.1. Analisa Konvergensi
Berdasarkan persamaan (13)
- – (15), akan ditentukan orde konvergensi dengan menggunakan ekspansi deret Taylor pada teorema berikut.
f (x ) f : D R Teorema 4.1: Asumsikan D adalah akar dari fungsi yang terdiferensial
D pada interval terbuka . Jika x cukup dekat ke , maka Persamaan (15) memiliki eror:
2
2
4
7
8
( 7 ) ( ) (16) e c c c c e O e n
1
2
3
2 3 n n
f (x ) f ( ) x e
Bukti: Misalkan adalah akar dari fungsi . Asumsikan dan .
n n
Selanjutnya diaproksimasikan fungsi f (x ) disekitar x dengan menggunakan deret Taylor,
n sehingga diperoleh:2
3
4
f ( x ) f ' ( ) e c e c e O ( e ) (17) n n
2 n 3 n n
f ' ( x ) x
Kemudian untuk fungsi diekspansi disekitar menggunakan deret Taylor sehingga
n n diperoleh:2
3
f ' ( x ) f ' ( ) 1 2 c e 3 c e O ( e )
(18) n
2 n 3 n n
Dengan menggunakan Persamaan (17) dan Persamaan (18), kemudian substitusikan ke
x e Persamaan (13) dengan menggunakan maka diperoleh: n n
2
2
3
4
y c e ( 2 c 2 c ) e O ( e ) (20) n
2 n
2 3 n n
f ( y )
Berdasarkan ekspansi deret Taylor disekitar , maka selanjutnya menghasilkan
n bentuk:( ) ' ( )( (
2 2 ) (
5
7 3 ) ( )) f y f c e c c e c c c c e O e (21) n
2 n
2 3 n
2
2
3 4 n n
Kemudian dengan menggunakan persamaan (17), (18) dan (21), maka diperoleh f ( x ) f ( y )
2
3
3
4
5
n n e 2 c e ( 7 c c 9 c ) e O ( e ) (22)
1 1 n
1 2 n
1
2
3
1 2 n n
f ' ( x ) n dan
( f ( x ) 2 f ( y )) f ( x ) n n n
2
3
3
4
e 3 c e ( 11 c c 17 c ) e
2 2 n
2 2 n
2
2
3
2 2 n
( ( ) ( )) ' ( ) f x f y f x n n n
4
2
2
2
2
2
4
2
2
3
( 322 c 6 c c 68 c c
2
5
6
2 3 n n
4 c ) e O ( e ) (23)
Substitusikan Persamaan (22) dan (23) ke dalam Persamaan (14), maka diperoleh z sebagai
n berikut:2
2
3
3
3
4
z ( 2 c 3 c ) e ( 7 c c 17 c 11 c c 9 c ) e
1 2
2 2
1
2 3
2 2
2
2 3
1
2
n n n
2
4
4
2
2
5
6
2
2
3
1
2
2
2
2
2
4
1
2
3
2 3 n
n Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor f disekitar , maka diperoleh
( 68 c c 38 c 322 c 6 c c 24 c c 4 c ) e O ( e ) (24)
2
2
3
3
3
4
( ) ' ( )(
2 3 ) (
7
17
11 9 ) f z f c c e c c c c c c e n
1
2
2 2 n
1
2
3
2
2
2
2
3
1 2 n
2
4
4
2
5
6
( 68 c c 38 c 322 c 6 c c 24 c c 4 ) e O ( e ) (25)
2
2 3
1 2
2 2
2
2 4
1
2 3
2
n n
' ( )
Selanjutnya, sebelum mengaproksimasikan f z pada Persamaan (25) terlebih dahulu akan
nditentukan nilai-nilai dari fungsi f [ x , z ], f [ x , y ] dan f [ y , z ] dengan menggunakan
n n n n n nekspansi deret Taylor. Substitusikan Persamaan (21) dan (22) ke Persamaan (10), (11) dan
(12), maka masing-masing diperoleh:2
3
3
3
2
4
[ , ] ' ( )( 1 (
2 3 ) (
9
9 f x z f c e c e c c c e c c c n n
2 n 3 n
4
1
2
2 2 n
1
2
3
1
2
4
2
4
2
3
5
5
17 c 14 c c ) e ( 9 c c 33 c c 322 c 38 c
2 2
2
2 3
2
2 4
1
2 3
2 2
1
2
n
3
2
2
2
5
6
2
2
3
1
2
3
2
2
3
1
2
4
2 2 n
n
85 c c 7 c c
11 c c
2 c c 4 c ) e O ( e ) (26)2
2
3
3
f [ x , y ] f ' ( )( 1 c e ( c c ) e ( c 3 c c 2 c ) e
2
3
2
4
2
3
2
n n n n n
2
4
2
4
5
(
2
3
3
2
2
3
2 4 n n
8 4 ) ( )) c c c c c c e O e (27)
dan
2
2
3
3
3
3
4
[ , ] ' ( )( 1 (
2
2
3 2 ) (
12 f y z f c e c c c c c e c n n
2 n
1
2
2
3
2
2 2 n
2
2
2
4
4
4
4
4
4
2
4
2
4 96 c 3 c c 58 c c
16 c
16 c c 81 c 216 c 96 c
3
2
4
2
3
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
4
2
2
2
2
2
2
3
2 288 c 299 c c 199 c c 216 c 96 c 64 c c
1
2
2
2
2
3
1
2
3
2
3
1
3
3
2
3
4
3
4
4
4
2
2
4
3
4
216 c 64 c 73 c 113 c 216 c 216 c
2 2
1 2
1 2
2 2 1
2 2 1
2
2
3
4
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
2
3
96 432 288 576 288
c c c c c c c c2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
4 192 c 64 c c 64 c c 216 c c 96 c c 288 c
1
3
1
2
3
1
3
2
2
2
3
2
3
2
1
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
5
1
2
2
2
2
3
1
2
3
1
2 3 n n
432 c 432 c c 192 c c 288 c ) e O ( e ))
(28) Selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (25), (26), (27), (28) dan disubstitusikan kep Persamaan (15), maka diperoleh
3
3
3
4
2
2
4
4
f ' ( z ) 1 ( c c 6 c 4 c ) e ( 15 c 98 c c c 66 c c 16 c
2
3
2
2
1
2
2
3
2
4
2
3
1
2
n n
4
4
4
4
2
4
2
4
4
2
2
16 c c 81 c 216 c 96 c 288 c 313 c c 208 c c
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
3
4
3
4
208 216
96 64 216
2
3
1
2
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
64 c c c c c c c c c c
4
2
2
4
3
4
3
4
2
2
130 c 216 c 216 c 96 c 432 c c
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
3
288 576 288 192
1
2
2
3
1
2
2
3
2
3
1
3
1
2
3
64
c c c c c c c c
3
2
3
2
3
2
2
4
2
4
64 c c 216 c c 96 c c 288 c 432 c
1
3 2
2
2 3
2
3 2 1
2 2 1
2
2
2
2
2
2
2
4
5
2
2
3
1
2
3
1
2 3 n n
432 192 288 ) ( ) c c c c c e O e (29)
Kemudian Persamaan (25) dibagi dengan Persamaan (29) sehingga menghasilkan f ( z )
2
2
3
3
3
4
n ( 2 c 3 c ) e ( 7 c c 17 c 11 c c 9 c ) e
1
2
2 2 n
1
2
3
2
2
2
2
3
1 2 n
f ' ( z ) n
2
4
4
2
5
6
(
68 38 322
6
2
2
3
1
2
2
2
2
2
4
1
2
3 2 n n
24 4 ) ( ) c c c c c c c c e O e (30)
Substitusikan Persamaan (30) ke Persamaan (15) dan dengan menggunakan x e n n maka diperoleh galat dari metode iterasi (13)
- – (15) sebagai berikut:
3
2
2
5
6
2
4
e (( 2 3 ) c c ( 12
4
9 ) c ) e (( 864 240 1
1
2
2
3
1
2
1
2
2
2
1
2
1
n n
4
2
3
2
3
2
3
2
810 1296 628 1080 768 720 492
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
3
4
5
3
2
3
1728 648 648 243 45 192 200 1728
2 1 2 2 2 2 1 1 2
1
4
5
6
2
2
3
3
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
30 128 32 ) ( 1336 1728 1728 768 c
2
3
3
4
2
4
1728 384 215 1296 648 2592 128
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
4
3
2
444 141 1005 ) (
1
1
2
3
2
2
1
4
2
2
1
2
3
2 ) ( 864 1152 c c c c
3
2
3
2
2
2
2
192 305 864 648 203 384 1296 ) c c ( 192
1 2 2 1 2 1 1 2
1
3 2
2
2
2
3
4
2
7
288 128 384 128 ) (
2
1
1
2
1
3
2
1
3 2 n
Persamaan (31) merupakan orde konvergensi dari metode iterasi (13)
48 32 ) c c c e (31)
- – (15) yang
masih memuat dua parameter dan .Oleh karena itu, untuk meningkatkan orde konvergensi
1
2
6
dapat dilakukan dengan menghilangkan koefisien dari e , atau secara matematis ditulis n
3
2
2
5
( 2 3 ) c c ( 4 12 9 ) c (32)
1
2
2
3
1
1
2
2
2 Berdasarkan Persamaan (32), diperoleh hubungan hubungan
2 3 = 0, (33)
1
2
dan
1
2
1
(34) dengan dan . Berdasarkan Persamaan (33) dan Persamaan (34)
1
2
diperoleh penyelesaian untuk 3 dan 2 , sehingga dengan mensubstitusikan 1 dan
1
2
2 ke Persamaan (31) menjadi:
2
2
7
8
e c c ( 7 c c ) e O ( e ) (35) n
1
2
3
2 3 n n
Persamaan (35) merupakan orde konvergensi dari metode iterasi (13)
- – (15) yang
f ( ) ' ( ) ( ) ( )
melibatkan empat evaluasi fungsi yaitu f x , f x , f y dan f z sehingga indeks
n n n n1
4
effisiensinya sebesar 7 1 , 626577 .
Selanjutnya, indeks efisien metode iterasi baru akan dibandingkan dengan beberapa
metode diantaranya metode Newton yang disingkat dengan NM, metode Potra-Ptak (Chun,
2005) yang disingkat dengan PPM, Komposit metode Potra-Ptak dan metode Newton-
Steffensen (KMPNS) (Jisheng, 2006), dekomposit metode Newton (Chun, 2005) yang disingkat
dengan DNM, modifikasi metode Ostrowski (Singh, 2014) yang disingkat dengan MON. Hasil
perbandingan indeks efisiensi ditunjukkan pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1. Perbandingan Indeks Effisiensi
No. Metode Iterasi Orde ( p )Simulasi numerik dilakukan untuk menguji performa metode iterasi baru dengan
menentukan banyaknya jumlah iterasi yang diperlukan, galat mutlak pada iterasi ke-n dan orde
konvergensi yang dihitung secara komputasi. Semua perhitungan dilakukan dengan
menggunakan menggunakan software Maple 13 dan ketelitian 800 digit Adapun fungsi-fungsi
yang akan diujiadalah sebagai berikut.2
( 1 )
x x x x f , = 1,347428098968
1
5
4
2
15 ( 4 )
1 .
2
4
7
1
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa metode dengan orde konvergensi yang besar dan
evaluasi fungsi yang sedikit akan memiliki indeks effisiensi yang besar. Seperti hasil komposit
metode Potra-Ptak dan varian Newton (KMPVN) yang memiliki orde konvergensi tujuh dengan
empat evaluasi fungsi f sehingga menghasilkan indeks effisiensi 6265 ,1
4
7
1
2
7
x x x f , = 1,365230013414
(b) (c) (d)
x x x f , = 1,404491648215 Untuk melihat karakteristik dari fungsi-fungsi dapat ditunjukkan dengan menggunakan ploting grafik berikut.
7
2
2
, = 0,739085133215 ) 1 sin (
6
x x x f cos ) (
5
x x e x f , = 1,000000000000
3
2
10 ( 4 )
xe x f , = 1,679630610428
x
3
2
1 ( 10 )
4 6265 ,
6. KMPVN
Evaluasi Fungsi ( w
1
3
3
1
3 4224 ,
3
2. Potra-Ptak (PPM)
1
4
2
2
1
2 4142 ,
2
1. Newton (NM)
I )
) Indeks Effisiensi (
3. KMPNS
3 5874 ,
1
1
4
6
1
4 5651 ,
6
Modifikasi metode Ostrowski (MON)
5.
5
1
5
1
5 3797 ,
5
4. Dekomposit Newton (DNM)
1
3
4
3.2. Simulasi Numerik
(e) (f) (g)
Gambar 1. Grafik dari Fungsi-fungsi Nonlinear: a) ) (3
4
3 f 3 (x) 1,8
9
6
5
4
3
3 f 4 (x)
1,5
9
6
4
4
3 f
6
5 (x) 1,7
9
6
5
4
3
3 f 6 (x)
2
10
6
6
4
4
3 Berdasarkan Tabel 3 dapat dilihat bahwa metode iterasi dengan orde konvergensi yang
lebih tinggi memiliki jumlah iterasi yang lebih sedikit dibanding dengan metode dengan orde
konvergensi yang lebih rendah. Oleh karena itu, metode dengan orde konvergensi yang lebih
tinggi akan lebih baik untuk menghampiri akar dari suatu persamaan nonlinear.5
11
1
) ( n x f
x f , b) ) (
2
x f , c) ) (
3
x f , d) ) (
4
x f , e) ) (
5
x f , f) ) (
6
x f Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh jumlah iterasi, galat mutlak pada iterasi ke-n,
nilai fungsi pada iterasi ke-n dan orde konvergensi yang dihitung secara komputasi yang
hasilnya ditampilkan dalam Tabel 2 berikut:Tabel 2. Jumlah Iterasi Komposit metode Potra-Ptak dan varian Newton
Fungsi x n
n x
COC f 1 (x)
10
1,6 3 4,288730485959.E-219 1,588808243766.E-218 6,999992021395 f 2 (x)
0,5 3 5,608045595125.E-127 1,682413678537.E-126 6,999992021395 f 3 (x) 1,8 3 3,351927506838.E-245 9,264366354839.E245 6,999982239341 f
4 (x) 1,5 3 1,865757465811.E-429 3,080999761177.E-428 6,999999999531 f 5 (x)
1,7 3 6,091026293118.E-261 1,019401487423.E-260 6,999999496938 f 6 (x)
2 3 6,489013200822.E-155 1,610879884539.E-154 6,999015789199 Selanjutnya, banyaknya iterasi yang diperlukan pada metode baru akan dibandingkan
dengan beberapa metode iterasi lainnya sebagaimana yang telah disebutkan sebelumnya.
Hasil perbandingan jumlah iterasi diberikan pada Tabel 3 berikut:Tabel 3. Perbandingan Jumlah Iterasi
) (x f x
Jumlah Iterasi NM PPM KMPNS DNM MON KMPVN f 1 (x)
1,6
10
6
11
5
3
3 f 2 (x) -0,5
Selain membandingkan jumlah iterasi, perbandingan juga dilakukan terhadap COC yang hasilnya ditunjukkan pada Tabel 4 berikut.
Tabel 4. Perbandingan Nilai COC
f (x) xCOC NM PPM KMPNS DNM MON KMPVN f
1 (x) 1,6 1,999999 2,999999 3,999999 4,999999 5,999996 6,999992
f2 (x) 0,5 1,999999 2,999999 3,999999 5,000000 5,999999 6,999992 f 3 (x)
1,8 1,999999 3,000000 3,999999 5,000000 5,999999 6,999982 f 4 (x)
1,5 1,999999 2,999999 3,999999 4,999999 5,999999 6,999999 f 5 (x)
1,7 1,999999 2,999999 3,999999 4,999999 5,999998 6,999999 f 6 (x) 2 1,999999 3,000000 3,999999 4,999999 5,999999 6,999015
Berdasarkan Tabel 4 terlihat perbandingan nilai orde konvergensi secara komputasi
(COC) dari metode baru adalah tujuh, yang mana hal ini menegaskan bahwa orde konvergensi
dari metode iterasi baru lebih tinggi dibandingkan dengan orde konvergensi metode iterasi
lainnya.4. Kesimpulan
Hasil dari komposit metode Potra-Ptak dan varian Newton menghasilkan orde konvergensi tujuh dan empat evaluasi fungsi yaitu ) ( n x f ,
C. “Iterative Methods Improving Newton’s Method by The Decomposition Method ”,Computers & Mathematics with Application. Vol.50, hal.1559-1568,2005.
677-682, 2004.
[12] Ozban, A.Y., Some New Variants of Newton’s Method, Applied Mathematics Letter, Vol. 17, hal.
Mathematics in Engineering and Economics XXVIII, in: Proceeding of the XXVIII Summer school Sozopol’ 02, pp.1-8, Heron press, Sofia, 2002.
[9] Kalyanasundaram, J. J., Modified Newton's method using harmonic mean for solving