Kuliah 6 Kontrol Digital Bab 13 buku-ajar

  Kestabilan Kuliah 6

  Kontrol Digital

Materi

• Pendahuluan • Ketabilan Sistem Digital dlm Bidang-z
• Pemodelan & Kestabilan • Selang Pencuplikan utk Kestabilan • Transformasi Bilinear • Kestabilan Sistem Digital dlm Bidang-s

  

Pendahuluan {1}

• Perbedaan menyolok di antara
• – sistem kontrol umpan-balik analog
• – sistem kontrol umpan-balik digital (lih gbr)

  adalah efek laju pencuplikan pd tanggapan transien

• Perubahan laju pencuplikan dpt mengubah
• – Watak tanggapan: overdamped  underdampd
• – Kestabilan: stabil  tidak stabil

  Pendahuluan {2}

  

Pendahuluan {3}

• Kestabilan sistem digital dpt ditinjau dr 2 cara-pandang:
• – bidang-z  koordinat polar
• – bidang-s

   koordinat rectangular

>Kriteria Routh-Hurwitz dpt diterapkan hanya pd analisis & desain dlm bidang-s
• Transformasi antara bidang-z & bidang-s dpt dilakukan dgn transformasi bilinear

  

Kestabilan dlm Bidang-z {1}

• • Dlm bidang-s, wilayah kestabilan = sisi kiri

  sumbu imajiner

• • Jk fungsi transfer G(s) dpt diubah mjd G(z),

  wilayah kestabilan dlm bid-z dpt dijabarkan dr definisi z = e

  Ts & s = α + jω :

  T e T j T e e e e z T T T j T j T

  ω ∠ = ω + ω = = =

  α α ω α ω + α

) sin (cos

  ) (

• Tiap wilayah bidang-s dpt dipetakan mjd wilayah yg sesuai dlm bidang-z:

  Kestabilan dlm Bidang-z {2}

  

Kestabilan dlm Bidang-z {3}

_{2 2 αT} dgn α > 0 dlm bidang-s dgn e > 1

• Titik

   titik dlm bidang-z (wilayah C)

• – sisi kanan sumbu imajiner  wilayah di luar lingkaran satuan
₂ 2 αT<
• Titik dgn α = 0 dlm bidang-s dgn e = 1  titik dlm bidang-z (wilayah B)
_{2 2}
• – titik pd sumbu imajiner pd lingkaran satuan
₂  titik 2 αT<
• Titik dgn α &lt; 0 dlm bidang-s dgn e &lt; 1  titik dlm bidang-z (wilayah A)
• – sisi kiri sumbu imajiner  wilayah di dalam lingkaran satuan

  

Kestabilan dlm Bidang-z {4}

• Oleh karena itu, sistem kontrol digital disbt
• – Stabil jk semua pole kalang-tertutup T(z) brada di dalam lingkaran satuan

• – Tdk stabil jk ada pole di luar lingkaran satuan

  dan/atau ada pole dgn multiplisitas &gt; 1 pada lingkaran satuan
• – Marginally stable jk ada pole bermultiplisitas 1 pd lingkaran satuan &amp; semua pole lainnya di dalam lingkaran satuan

  

Pemodelan &amp; Kestabilan {1}

• Rudal dpt dikontrol scr aerodinamik oleh

  2

torka yg dihasilkan dr defleksi permukaan

kontrol
• Perintah defleksi berasal dr komputer yg menerima data pelacakan &amp; menghitung

  2 berdasarkan persamaan guidance

  

Pemodelan &amp; Kestabilan {2}

• Model sederhana dr sistem kontrol rudal:
• Komputer melakukan fungsi pengontrol:
• – Menggunakan informasi pelacakan
• – Menghasilkan perintah masukan utk rudal
• Akselerometer rudal mengukur percepatan aktual yg diumpankan ke komputer

  

Pemodelan &amp; Kestabilan {3}

• Tentukan fungsi transfer kalang-tertutup

  T(z) &amp; tentukan kestabilan pada K = 20 &amp; K = 100 dgn T = 0,1 detik

• Komputer dapat dimodelkan sbg sample-

  and-hold:

  

Pemodelan &amp; Kestabilan {4}

• Fungsi transfer umpan-maju G(s):
• Transformasi-z dr fungsi transfer G(s):
• Suku z{…} dikenakan ekspansi pecahan

  parsial &amp; lalu stp sukunya ditransformasi-z

  27 dgn ) ( 1 ) (

  =

  =

  − a a s s

  Ka s e G s

  Ts ( )

• −
• − =

     

     

  − ) ( ( 1 )

  2

  

1

a s s Ka

  G z z z

  

Pemodelan &amp; Kestabilan {5}

     

  Ka a

  1 1 a 1 a

       

  = = −      

• z Kz Kz

  2

  2 s s a s ( s a ) s ( s a ) s

• 2

       

   

  Tz z a z a

   

  = − 

• K

  

  2 aT − z

  1

  −

  ( z 1 ) z e

  − − 

  

  aT −

   

  Tz 1 e z

  − 

  

  ( ) K

  = − 

  

  2 aT

  − ( z 1 ) a ( z 1 ) z e

  − − − 

  

  ( ) Pemodelan &amp; Kestabilan {6}

• Jadi,
• Dgn memasukkan nilai

  2 T &amp; a:

( )

( )

        

        

  − −    

      −

  − − − =

  − − − aT aT aT e z z a e T z e z

  K z G ) 1 (

  1 ) 1 ( ) (

• =

  ) 0672 , )( 1 ( ) 02783 , 0655 , ( ) (

  − −

  

z z

K z G z

  

Pemodelan &amp; Kestabilan {7}

• Pemindahan sampler ke seb kanan simpul penjumlahan  sistem umpan-balik satuan
• Fungsi transfer kalang-tertutup:
• G ( z ) K ( , 0655 z , 02783 ) T ( z )

  = =

• 2

  z ( , 0655 K 1 , 0672 ) z ( , 02783 K , 0672 ) − + +

• 1 G ( z )

  

Pemodelan &amp; Kestabilan {8}

  2 polinom penyebut T(z) atau pers karakteristik:

• Kestabilan sistem ditentukan akar
• – Utk K = 20, akar
² adl 0,12 ± j0,78  sistem stabil krn semua pole di dalam lingkaran s
• – Utk K = 100, akar
² adl –0,58 &amp; –4,9  sistem tdk stabil krn ada pole di luar lingkaran satuan
• Metode penentuan kestabilan ini berdasar pd penentuan akar

  2 pers karakteristik

• – Sulit diterapkan pd sistem
² yg berorde-tinggi

  

Selang Pencuplikan {1}

• • Tentukan rentang T yg membuat sistem mjd

  stabil &amp; tidak stabil:
• Krn H(s) = 1 maka FT kalang-tertutup:

  G ( z ) T ( z ) =

• 1 G ( z )

  

Selang Pencuplikan {2}

• Utk menentukan G(z), ekspansikan G(s):

  Ts −

  1 e

  1

  1

  −

  Ts   −

  G ( s )

  10

  10 1 e

  = = − −  

  ( )

  s ( s 1 ) s s

  1

   

  T −

  10 ( z 1 ) z z 1 e

    −

  −

  ( ) G ( z )

  10

  = − =  

  T T − − z z

  1

  −

  z e z e

  − −  

  ( )

• Dgn demikian,

  T −

  10 1 e

  −

  ( ) T ( z )

  =

  T − z 11 e

  10

  − −

  ( )

  

Selang Pencuplikan {3}

• Akar pers karakteristik atau pole dr T(z):

  T −

  11 e

  10 −

  ( )

• – Menurun terus dr +1 ke –1 utk 0 &lt; T &lt; 0,2 

  pole di dalam lingkaran satuan  sistem stabil

• – Menurun terus dr –1 ke –10 utk 0,2 &lt; T &lt;

  ∞  pole di luar lngkaran satuan

   sistem tdk stabil

• Scr frekuensi, f = 1 / T, sistem akan stabil slm frekuensi pencuplikan 1/0,2 = 5 Hz atau lebih besar

  

Transformasi Bilinear {1}

• Transf ini memungkinkan utk menerapkan

  2 teknik analisis &amp; desain bidang-s pd sistem digital

  Ts z e s (

  1 T ) ln z

• Transf yg tepat: = ⇔ =
2<
• – Transf ini menghasilkan fungsi transedental yg

  diurus melalui transformasi-z yg agak ruwet

• Transf yg sederhana  transform bilinear
• – Menghasilkan argumen linear ketika disulihkan
• – Hanya tepat bagi penerapan yg dimaksudkan

  

Transformasi Bilinear {2}

as b dz b
• −

  z s

  = ⇔ =

• Bentuk umum:
• cs d cz a

  −

• • Utk stp penerapan tertentu, perlu dijabarkan

  2 nilai a, b, c &amp; d yg berbeda-beda.

  

2

• Contoh: pilihan nilai

₂

  a, b, c &amp; d tertentu

• – akan memetakan titik pd lingkaran satuan mjd
₂ titik pd sumbu imajiner

₂

di luar (dalam) lin
• – akan memetakan titik
₂ satuan mjd titik di sisi kanan (kiri) sumbu-jω
• Transf bilinear yg memenuhi contoh tsb:
• Bukti:
• =
• = ⇔

  2

  = → ω + α =

  = ω + − α ω + + α

  ω + − α ω + + α

  &lt; α &lt; →

  = α = &gt; α &gt;

  2

  2

  2

  1 ( ) 1 (

  

Transformasi Bilinear {3}

  1 ( ) 1 ( )

  1 ketika 1 ketika 1 )

  z z s s s z ketika

  −

  −

  1

  1

  1

  1

  z z z z j j z j s

  

Kestabilan dlm Bidang-s {1}

  3

• Diberikan T(z) = N(z)/D(z) dgn D(z) = z –

  2 z – 0,2z + 0,1; gunakan kriteria Routh- Hurwitz utk menentukan cacah pole T(z) yg berada di dalam, luar &amp; pd lingkaran satuan

  1

• s
• Sulihkan transf pd poli D(z) = 0

  z

  =

  s

  1

  −

  3

  2 s 1 s 1 s

  1

•      

  2 ,

  1

  − − =      

• ,

  s 1 s 1 s

  1

  − − −      

  3

  2 s 19 s 45 s

  17

  − − − =

  

Kestabilan dlm Bidang-s {2}

• Tabel Routh:
• – 1 akar di sisi kanan &amp; 2 akar di sisi kiri sumbu imajiner
• – 1 pole T(z) di luar &amp; 2 pole di dalam lingkaran satuan  sistem tidak stabil