MAKALAH MATE MATIKA SEJARAH ALJABAR
MAKALAH MATEMATIKA
SEJARAH ALJABAR
Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas
Nama Guru Pembimbing : Haris Robani
Disusun oleh :
Yunita Andella
SMA N 5 DEPOK
Bab 1
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau
permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan
telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang
mereka sendiri.
Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu
diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga
tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika
belajar di kelas.
Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang
materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang
menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran
ini.
Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk
yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru
memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap
aljabar.
Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah,
maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang didapat dari
perahan sapi adalah sebanyak 9 liter, berapakah sapi yang dimiliki
peternakan itu?
Segelintir pertanyaan di atas hanyalah secuil dari banyaknya permasalahan
atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih
menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswa bisa lebih terpacu dalam
mengerjakan soal-soal aljabar.
Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan
Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga
bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.
B. Perumusan Masalah
1.
Apakah pengertian dari aljabar? Bagaimana juga suku-suku
pembentuknya?
2.
Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai aljabar?
3.
Bagaimanakah cara melakukan pengoperasian dalam aljabar?
4.
Bagaimanakah cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar?
5.
Apakah trik-trik yang bisa digunakan untuk mengoperasikan aljabar?
C. Tujuan
1.
Mengetahui pengertian dari aljabar serta suku-suku yang membentuk
aljabar.
2.
3.
4.
5.
Mengetahui asal usul mengenai aljabar.
Mengetahui cara melakukan operasi dalam aljabar.
Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar.
Memahami trik-trik yang bisa digunakan untuk memanipulasi soal pada
aljabar.
Bab 2
Pembahasan
A. 1. Pengertian Aljabar
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”,
“hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat
dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga
merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam
sebuah bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari
struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini, dalam
aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan
bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu
memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y
bilangan yang ingin diketahui.
A.2. Suku-suku pembentuk dalam aljabar
Koefisien = adalah bilangan yang diikuti variabel dibelakangnya pada
tiap-tiap suku.
Contoh:
5x , artinya 5 adalah koefisien x
8y , artinya 8 adalah koefisien y
a2, artinya 1 adalah koefisien a2
Variabel = adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui
nilainya. Variabel disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya; a, b, c,
…. , x, y, z.
Contoh:
3p, artinya p adalah variabel dari 3
4q, artinya q adalah variabel dari 4
Konstanta = merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki variabel.
Contoh konstanta dari operasi berikut:
5x + 2xy2 + y – 35
Konstanta dari operasi diatas adalah (-35).
Suku = adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh
operasi jumlah atau selisih. Memuat variabel beserta koefisiennya atau
hanya konstanta.
Bentuk aljabar dengan dua suku disebut suku dua.
Contoh: 5x – 2y, a + b2
Bentuk aljabar dengan lebih dari dua suku disebut suku banyak (polinom).
Contoh: a2 + 4b – c, 6x + 1 – 3y + xy2
B. Sejarah dan Asal Usul Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno
yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini
mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang
ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan
rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas
masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier,
Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa
Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium
pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri
untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan
dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid’s Elements’,
dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani
dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka
berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus
dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk
menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika
Deduksi.
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclid menulis
buku yang berjudul “Elements”. Dalam buku itu ia mencantumkan
beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia
kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui,
orang-orang Yunani kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara
lengkap jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan
tersebut dengan menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian
menjadikan kemampuan mereka untuk memecahkan permasalahanpermasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3, Diophantus of
Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia
menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui
dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya
tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid
dan apa yang digunakan sekarang ini.Lambat laun bangsa Arab mulai
mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut.
Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai
penemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi , seorang muslim keturunan
Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194 Hijriah menurut
kalender islam. Dibidan pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang
tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran alKhawarizmi bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang
falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu
kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya
menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan
trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah
pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. alKhawarizmi bekerja dalam sebuah observatory atau tempat ilmu matematik
dan astronomi yang ia gali lebih dalam. Al-Khawarizmi juga dipercayai
memimpin perpustakaan khalifah.
Sedikit tambahan dari penulis Sumbangsih terbesar al-Khawarizmi adalah
karya yang terangkum dalam buku bukunya yang berjudul sebagai berikut.
Al-Jabr wa’l Muqabalah : Penciptaan pemakaian secans dan tangens
dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.
Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Sebuah buku yang merangkum
pemecahan dari permasalan masalah matematika yang sebagian telah
dikemukakan bangsa Babilonia kuno. Dan Kebenarannya diakui oleh alKhawarizmi .
Sistem Nombor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia
penting dalam sistem nombor pada zaman sekarang.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab “aljabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti
“The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”), yang
ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata
‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion).
Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara
tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang
masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut
Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi
menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih
digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang
rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang
mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr
adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam
‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar
Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum
geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan
Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan
berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat
tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari
aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang
dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti
oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk
memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan
menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya
tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak
dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan
pada masalah keterkonstruksian (constructibility)
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan
riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang
membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbolsimbol.
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang
diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika
apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika,
di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga
dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan
simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita
menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a
untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk
penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara
langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang
mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan
x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10″). Hal ini juga mengijinkan kita
untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut
(sebagai contoh “Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat
untung 3x – 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x – 10, dimana f
adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.
2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang
mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang
didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor
(termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua
Struktur aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring,
Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari
bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan
Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
C. Menyelesaikan Operasi Aljabar
Pada dasarnya, sifat – sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku
pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada
bentuk – bentuk aljabar, sbb:
a. Sifat Komutatif
a+b=b+a, dengan a dan b bilangan riil.
b. Sifat Asosiatif
(a+b) + c= a+ (b+c), dengan a,b dan c bilangan riil.
c. Sifat Distributif
a(a+c)=ab+ac, dengan a,b dan c bilangan riil.
Pengurangan pada Aljabar
Berikut adalah contoh operasi pengurangan dalam aljabar
a. (4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15)
Jawab :
(4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15) = 4p² – 8p² – 10p – 10p – 5 -15
= 4p² – 20p -20
b. (10p – 8) – (8p -10)
Jawab :
10p – 8 – 8p + 10 = 2p + 2
c. 7x – 3x = 4x
d. 5pq – 3pq = 2pq
Penjumlahan pada Aljabar
Berikut adalah contoh soal-soal penjumlahan yang diterapkan kepada
bentuk aljabar.
a. (10x² + 6xy – 12) + (-4x²- 2xy + 10)
Jawab :
10x2 + (-4x2) + 6xy – 2xy -12 + 10 = 6x2 + 4xy -2
b. 7x + 3x = 10x
c. 8x + 5x2 = 13 x2
d. –y2 + 7y2 = 6y2
2
Perkalian Aljabar
1. Perkalian suku satu dengan suku dua
Contoh soal:
a. 2(x + 3)
c. x(y + 5)
b. –4(9 – y)
d. –9p(5p – 2q)
Jawab:
a. 2(x + 3) = 2x + 6
b. –4(9 – y) = –36 + 4y
c. x(y + 5) = xy + 5x
d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq
2. Perkalian suku dua dengan suku dua
Contoh soal :
a. (2x + 1)2 =
b. (3x + 2)(3x + 1) =
c. (x-5)(2x-3) =
d. (x – 2)(x – 2) =
e. (x + 1)(x + 1) =
Jawab :
a. (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 4x + 1
b. (3x +2)(3x + 1) = 9x2 + 3x + 6x + 1 = 9x2 + 9x + 1
c. Sesuai dengan contoh penyelesaian dibawah :
d. (x – 2)(x – 2) = x2 – 2x – 2x + 4 = x2 – 4x + 4
e. (x + 1)(x+1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1
Pembagian Aljabar
Contoh soal :
a. 3x : 3 =
c. 8xyz : 4x =
Jawab :
a. 3x : 3 = x
b. 6x2 : 2x = 3x
c. 8xyz : 4x = 2yz
d. 10pqr : 2p = 5qr
b. 6x2 : 2x =
d. 10pqr : 2p =
D. Memfaktorkan bentuk Aljabar
Berikut adalah beberapa contoh gambar yang menunjukkan penyelesaian
dari pemfaktoran bentuk-bentuk aljabar.
a. x2 + 5x + 6 =
b. 2x2 + 5x + 2 =
c. 3x2 - x – 10 =
d. x2 – 3x + 2 =
E. Trik-trik Aljabar
Di bagian ini, kita akan membahas tentang beberapa trik-trik dalam aljabar.
Biasanya, trik digunakan untuk mempermudah cara kita mengerjakan
sesuatu soal. Dengan demikian, trik-trik yang tersajikan ini bisa membantu
kita menyelesaikan soal dengan lebih cepat.
1.
1.
Menggunakan selisih kuadrat
Contoh soal :
a. 942 – 62 = …
b. 1052 – 52 = …
c. 902 – 102 = …
Jawab :
a. 942 – 62 = (94 + 6)(94 – 6) = 100 x 88 = 8.800
b. 1052 – 52 = (105 – 5)(105 + 5) = 100 x 120 = 12.000
c. 902 – 102 = (90 + 10)(90 – 10) = 100 x 80 = 8.000
Daripada harus mencari kuadratnya, sebaiknya kita menggunakan
selisih kuadrat agar lebih mudah.
1.
2.
Menggunakan rumus umum
Rumus umumnya adalah :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Contoh soal :
a. (3x + 2)2 =
b. (5x – 1)2 =
c. (9x – 3)2 =
Jawab :
a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3x.2 + (2)2 = 9x2 + 12x + 4
b. (5x – 1)2 = 25x2 – 10x + 1
c. (9x – 3)2 = 81x2 – 54x + 9
1.
3.
Menganalisa soal
Contoh soal :
a. Dua buah bilangan berjumlah 30. Jika bilangan pertama 2 kali lebih besar
dari bilangan kedua, berapakah bilangan kedua?
b. Sebuah bilangan jika dikalikan 30 ditambah 5 dan dikurangi 2, maka
hasilnya adalah 63. Berapakah bilangan tersebut?
Jawab :
a. a + b = 30, a = 2b
Berarti, 2b + b = 30
3b = 30, b = 10
b. X . 30 + 5 -2 = 63, 30x + 3 = 63
Berarti, 30x = 63 -3
30x = 60 dan x = 2
Bab 3
Penutupan
Kesimpulan :
Mempelajari aljabar bukanlah sesuatu yang sulit, melainkan sesuatu yang
bisa menantang kita bagaimana cara menyelesaikan suatu soal. Dengan
mempelajari aljabar, kita bisa lebih mengetahui banyak hal dalam
menyelesaikan pertanyaan demi pertanyaan sulit dari berbagai aspek.
Saran :
Sebaiknya, proyek setiap semester bisa terus diadakan. Selain untuk
bisa lebih memahami dan mempelajari materi, kita bisa ikut membagikan
ilmu kepada orang lain.
Daftar Pustaka
http://www.blajar-pintar.blogspot.com
http://astutisetyoningsih.blogspot.com/p/sejarah-aljabar.html
Buku Matematika Erlangga kelas 8
http://pancaur.blogspot.com/2013/04/cara-mudah-menghitung-aljabar.html
http://aryrindasholu.blogspot.com/2013/03/bagaimana-cara-menyelesaikanoperasi.html
http://bljrmatematika.blogspot.com/2012/12/operasi-hitung-aljabar.html
Terima Kasih
SEJARAH ALJABAR
Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas
Nama Guru Pembimbing : Haris Robani
Disusun oleh :
Yunita Andella
SMA N 5 DEPOK
Bab 1
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau
permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan
telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang
mereka sendiri.
Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu
diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga
tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika
belajar di kelas.
Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang
materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang
menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran
ini.
Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk
yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru
memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap
aljabar.
Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah,
maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang didapat dari
perahan sapi adalah sebanyak 9 liter, berapakah sapi yang dimiliki
peternakan itu?
Segelintir pertanyaan di atas hanyalah secuil dari banyaknya permasalahan
atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih
menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswa bisa lebih terpacu dalam
mengerjakan soal-soal aljabar.
Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan
Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga
bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.
B. Perumusan Masalah
1.
Apakah pengertian dari aljabar? Bagaimana juga suku-suku
pembentuknya?
2.
Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai aljabar?
3.
Bagaimanakah cara melakukan pengoperasian dalam aljabar?
4.
Bagaimanakah cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar?
5.
Apakah trik-trik yang bisa digunakan untuk mengoperasikan aljabar?
C. Tujuan
1.
Mengetahui pengertian dari aljabar serta suku-suku yang membentuk
aljabar.
2.
3.
4.
5.
Mengetahui asal usul mengenai aljabar.
Mengetahui cara melakukan operasi dalam aljabar.
Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar.
Memahami trik-trik yang bisa digunakan untuk memanipulasi soal pada
aljabar.
Bab 2
Pembahasan
A. 1. Pengertian Aljabar
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”,
“hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat
dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga
merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam
sebuah bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari
struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini, dalam
aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan
bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu
memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y
bilangan yang ingin diketahui.
A.2. Suku-suku pembentuk dalam aljabar
Koefisien = adalah bilangan yang diikuti variabel dibelakangnya pada
tiap-tiap suku.
Contoh:
5x , artinya 5 adalah koefisien x
8y , artinya 8 adalah koefisien y
a2, artinya 1 adalah koefisien a2
Variabel = adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui
nilainya. Variabel disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya; a, b, c,
…. , x, y, z.
Contoh:
3p, artinya p adalah variabel dari 3
4q, artinya q adalah variabel dari 4
Konstanta = merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki variabel.
Contoh konstanta dari operasi berikut:
5x + 2xy2 + y – 35
Konstanta dari operasi diatas adalah (-35).
Suku = adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh
operasi jumlah atau selisih. Memuat variabel beserta koefisiennya atau
hanya konstanta.
Bentuk aljabar dengan dua suku disebut suku dua.
Contoh: 5x – 2y, a + b2
Bentuk aljabar dengan lebih dari dua suku disebut suku banyak (polinom).
Contoh: a2 + 4b – c, 6x + 1 – 3y + xy2
B. Sejarah dan Asal Usul Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno
yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini
mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang
ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan
rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas
masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier,
Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa
Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium
pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri
untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan
dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid’s Elements’,
dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani
dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka
berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus
dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk
menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika
Deduksi.
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclid menulis
buku yang berjudul “Elements”. Dalam buku itu ia mencantumkan
beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia
kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui,
orang-orang Yunani kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara
lengkap jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan
tersebut dengan menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian
menjadikan kemampuan mereka untuk memecahkan permasalahanpermasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3, Diophantus of
Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia
menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui
dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya
tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid
dan apa yang digunakan sekarang ini.Lambat laun bangsa Arab mulai
mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut.
Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai
penemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi , seorang muslim keturunan
Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194 Hijriah menurut
kalender islam. Dibidan pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang
tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran alKhawarizmi bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang
falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu
kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya
menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan
trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah
pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. alKhawarizmi bekerja dalam sebuah observatory atau tempat ilmu matematik
dan astronomi yang ia gali lebih dalam. Al-Khawarizmi juga dipercayai
memimpin perpustakaan khalifah.
Sedikit tambahan dari penulis Sumbangsih terbesar al-Khawarizmi adalah
karya yang terangkum dalam buku bukunya yang berjudul sebagai berikut.
Al-Jabr wa’l Muqabalah : Penciptaan pemakaian secans dan tangens
dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.
Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Sebuah buku yang merangkum
pemecahan dari permasalan masalah matematika yang sebagian telah
dikemukakan bangsa Babilonia kuno. Dan Kebenarannya diakui oleh alKhawarizmi .
Sistem Nombor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia
penting dalam sistem nombor pada zaman sekarang.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab “aljabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti
“The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”), yang
ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata
‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion).
Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara
tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang
masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut
Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi
menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih
digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang
rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang
mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr
adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam
‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar
Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum
geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan
Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan
berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat
tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari
aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang
dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti
oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk
memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan
menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya
tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak
dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan
pada masalah keterkonstruksian (constructibility)
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan
riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang
membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbolsimbol.
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang
diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika
apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika,
di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga
dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan
simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita
menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a
untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk
penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara
langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang
mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan
x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10″). Hal ini juga mengijinkan kita
untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut
(sebagai contoh “Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat
untung 3x – 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x – 10, dimana f
adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.
2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang
mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang
didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor
(termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua
Struktur aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring,
Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari
bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan
Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
C. Menyelesaikan Operasi Aljabar
Pada dasarnya, sifat – sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku
pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada
bentuk – bentuk aljabar, sbb:
a. Sifat Komutatif
a+b=b+a, dengan a dan b bilangan riil.
b. Sifat Asosiatif
(a+b) + c= a+ (b+c), dengan a,b dan c bilangan riil.
c. Sifat Distributif
a(a+c)=ab+ac, dengan a,b dan c bilangan riil.
Pengurangan pada Aljabar
Berikut adalah contoh operasi pengurangan dalam aljabar
a. (4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15)
Jawab :
(4p²-10p-5) – (8p² + 10p + 15) = 4p² – 8p² – 10p – 10p – 5 -15
= 4p² – 20p -20
b. (10p – 8) – (8p -10)
Jawab :
10p – 8 – 8p + 10 = 2p + 2
c. 7x – 3x = 4x
d. 5pq – 3pq = 2pq
Penjumlahan pada Aljabar
Berikut adalah contoh soal-soal penjumlahan yang diterapkan kepada
bentuk aljabar.
a. (10x² + 6xy – 12) + (-4x²- 2xy + 10)
Jawab :
10x2 + (-4x2) + 6xy – 2xy -12 + 10 = 6x2 + 4xy -2
b. 7x + 3x = 10x
c. 8x + 5x2 = 13 x2
d. –y2 + 7y2 = 6y2
2
Perkalian Aljabar
1. Perkalian suku satu dengan suku dua
Contoh soal:
a. 2(x + 3)
c. x(y + 5)
b. –4(9 – y)
d. –9p(5p – 2q)
Jawab:
a. 2(x + 3) = 2x + 6
b. –4(9 – y) = –36 + 4y
c. x(y + 5) = xy + 5x
d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq
2. Perkalian suku dua dengan suku dua
Contoh soal :
a. (2x + 1)2 =
b. (3x + 2)(3x + 1) =
c. (x-5)(2x-3) =
d. (x – 2)(x – 2) =
e. (x + 1)(x + 1) =
Jawab :
a. (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 4x + 1
b. (3x +2)(3x + 1) = 9x2 + 3x + 6x + 1 = 9x2 + 9x + 1
c. Sesuai dengan contoh penyelesaian dibawah :
d. (x – 2)(x – 2) = x2 – 2x – 2x + 4 = x2 – 4x + 4
e. (x + 1)(x+1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1
Pembagian Aljabar
Contoh soal :
a. 3x : 3 =
c. 8xyz : 4x =
Jawab :
a. 3x : 3 = x
b. 6x2 : 2x = 3x
c. 8xyz : 4x = 2yz
d. 10pqr : 2p = 5qr
b. 6x2 : 2x =
d. 10pqr : 2p =
D. Memfaktorkan bentuk Aljabar
Berikut adalah beberapa contoh gambar yang menunjukkan penyelesaian
dari pemfaktoran bentuk-bentuk aljabar.
a. x2 + 5x + 6 =
b. 2x2 + 5x + 2 =
c. 3x2 - x – 10 =
d. x2 – 3x + 2 =
E. Trik-trik Aljabar
Di bagian ini, kita akan membahas tentang beberapa trik-trik dalam aljabar.
Biasanya, trik digunakan untuk mempermudah cara kita mengerjakan
sesuatu soal. Dengan demikian, trik-trik yang tersajikan ini bisa membantu
kita menyelesaikan soal dengan lebih cepat.
1.
1.
Menggunakan selisih kuadrat
Contoh soal :
a. 942 – 62 = …
b. 1052 – 52 = …
c. 902 – 102 = …
Jawab :
a. 942 – 62 = (94 + 6)(94 – 6) = 100 x 88 = 8.800
b. 1052 – 52 = (105 – 5)(105 + 5) = 100 x 120 = 12.000
c. 902 – 102 = (90 + 10)(90 – 10) = 100 x 80 = 8.000
Daripada harus mencari kuadratnya, sebaiknya kita menggunakan
selisih kuadrat agar lebih mudah.
1.
2.
Menggunakan rumus umum
Rumus umumnya adalah :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Contoh soal :
a. (3x + 2)2 =
b. (5x – 1)2 =
c. (9x – 3)2 =
Jawab :
a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3x.2 + (2)2 = 9x2 + 12x + 4
b. (5x – 1)2 = 25x2 – 10x + 1
c. (9x – 3)2 = 81x2 – 54x + 9
1.
3.
Menganalisa soal
Contoh soal :
a. Dua buah bilangan berjumlah 30. Jika bilangan pertama 2 kali lebih besar
dari bilangan kedua, berapakah bilangan kedua?
b. Sebuah bilangan jika dikalikan 30 ditambah 5 dan dikurangi 2, maka
hasilnya adalah 63. Berapakah bilangan tersebut?
Jawab :
a. a + b = 30, a = 2b
Berarti, 2b + b = 30
3b = 30, b = 10
b. X . 30 + 5 -2 = 63, 30x + 3 = 63
Berarti, 30x = 63 -3
30x = 60 dan x = 2
Bab 3
Penutupan
Kesimpulan :
Mempelajari aljabar bukanlah sesuatu yang sulit, melainkan sesuatu yang
bisa menantang kita bagaimana cara menyelesaikan suatu soal. Dengan
mempelajari aljabar, kita bisa lebih mengetahui banyak hal dalam
menyelesaikan pertanyaan demi pertanyaan sulit dari berbagai aspek.
Saran :
Sebaiknya, proyek setiap semester bisa terus diadakan. Selain untuk
bisa lebih memahami dan mempelajari materi, kita bisa ikut membagikan
ilmu kepada orang lain.
Daftar Pustaka
http://www.blajar-pintar.blogspot.com
http://astutisetyoningsih.blogspot.com/p/sejarah-aljabar.html
Buku Matematika Erlangga kelas 8
http://pancaur.blogspot.com/2013/04/cara-mudah-menghitung-aljabar.html
http://aryrindasholu.blogspot.com/2013/03/bagaimana-cara-menyelesaikanoperasi.html
http://bljrmatematika.blogspot.com/2012/12/operasi-hitung-aljabar.html
Terima Kasih