Model inventori economic order quantity probabilistik studi kasus pada Optik Yogya - USD Repository

  

MODEL INVENTORI ECONOMIC ORDER QUANTITY

PROBABILISTIK

STUDI KASUS PADA OPTIK YOGYA

SKRIPSI

Ditujukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  

Program Studi Matematika

Oleh:

Vincentius Prabowojati Wicaksana

  

NIM: 053114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

  

2009

  

ECONOMIC ORDER QUANTITY PROBABILISTIC INVENTORY MODELS

CASE STUDY OF YOGYA OPTIK

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the SARJANA SAINS Degree

  

In mathematics

By:

Vincentius Prabowojati Wicaksana

  

Student Number: 053114013

Study Program of Mathematics Science Department of Mathematics

Faculty of Science and Technology

Sanata Dharma University

  

Yogyakarta

2009

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 12 Agustus 2009 Penulis,

Vincentius Prabowojati Wicaksana

  ! " # ! " # ! " # ! " # ! $% # & $ ' ( ! $% # & $ ' ( ! $% # & $ ' ( ! $% # & $ ' (

  ( ' ( ' ( ' ( ' )))) ( $ * ( $ * ( $ * ( $ * " %

  " % " % " %

& $ " # + $ ) & $ " # + $ ) & $ " # + $ ) & $ " # + $ )

  ! ! ! ! " " " " " " " "

  # # # # " " " " $$$$

  """" % # &' % # &' % # &' % # &'

  

ABSTRAK

Dalam proses penjualan yang dilakukan oleh toko Optik Yogya, terdapat be- berapa barang yang harus tersedia untuk memenuhi kebutuhan konsumen. Ada per- masalahan yang terjadi ketika barang yang dibutuhkan tidak tersedia dan juga jika barang yang tersedia melebihi kapasitas atau over.

  Kedua masalah yang dihadapi dapat dimodelkan dengan model inventori Eco-

nomic Order Quantity merupakan sebuah model dalam bidang riset operasi dan sta-

tistika yang berguna untuk membuat keputusan dalam masalah persediaan barang.

  

Model inventori Economic Order Quantity dapat dibedakan menjadi dua, yaitu model

deterministik dan probabilistik berdasar ada tidaknya data yang tersedia. Pada studi

kasus Optik Yogya, hasil yang diperoleh dengan menggunakan perhitungan model

inventori Economic Order Quantity lebih baik jika dibandingkan dengan keadaan

sebenarnya.

  

ABSTRACT

In the selling process carried out by Yogya Optik, few goods must be availa-

ble in order to meet the need of the consument. The problems occurs when the goods

that the customer want are not available and when the available goods are exceeding

its maximum capasity.

  Both problems can be modeled using Economic Order Quantity model. inventory

used in operation research and statistics. This model is very useful in making decision

to solve problems in goods stocking. Economic Order Quantity model inventory can

be classified into two types, namely deterministic model and probabilistic model

based on the availabity of the data. In the case study of Yogya Optik, the results ob-

tained by using Economic Order Quantity inventory model better than the actual situ-

ation.

KATA PENGANTAR

  Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus,

sehingga karena kasih, izin dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan dengan

baik.

  Dalam penyusunan skripsi ini penulis memiliki banyak hambatan sehingga

membutuhkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala

kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

  

1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi

Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu, pikiran, nasehat dan penuh kesabaran telah membimbing penulis selama penyusunan skripsi.

  2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan FST-USD.

  3. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji.

  4. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen penguji.

  5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.

  

6. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Sc., yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik

bagi penulis.

  

7. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., yang telah banyak membantu penulis.

  

8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan bekal

ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  

9. Bapak Tukija dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administraasi dan

urusan-urusan akademik selama penulis kuliah serta Karyawan Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

  

10. Kedua orang tuaku serta kakakku Ignas dan adik-adikku Hendrikus dan Dion

yang selalu memberikan dukungan kepadaku dalam segala hal, kasih sayang, pengorbanan, doa, motivasi dan kepercayaan yang sangat berarti.

11. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

  

Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran serta

kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini, dan

akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

  Yogyakarta, Agustus 2009 Penulis, Vincentius Prabowojati Wicaksana

  

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

  HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………………………….... vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ..................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ..................................................................................... x

DAFTAR ISI .................................................................................................... xi

  BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1 A. Latar Belakang Masalah .......................................................................

  1 B. Perumusan Masalah ..............................................................................

  3 C. Batasan Masalah ...................................................................................

  4 D. Tujuan Penulisan ..................................................................................

  4 E. Metode Penulisan .................................................................................

  4 F. Manfaat Penelitian ................................................................................

  5 G. Sistematika Penulisan ...........................................................................

  5

  

BAB II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI PROBABILITAS 7

A. Diferensial...............................................................................................

  7 B. Fungsi konveks ............................................................................. 11

  C. Teori Probabilitas........................................................................... 12

  BAB III MODEL INVENTORI.................................................................. 31 A. Parameter-parameter Persediaan....................................................... 31

B. Model Economic Order Quantity Deterministik Satu Barang............. 23

C. Model Economic Order Quantity Deterministik Banyak Barang......... 34

D. Model Economic Order Quantity Deterministik Diskon......................

  36 E. Model Economic Order Quantity Deterministik Back Order................

  38 F. Model Economic Order Quantity Probabilistik...................................

  52 BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PROBABILISTIK...................... 67 PADA OPTIK YOGYA............................................................. ..... 67

  A. Analisis dengan Data yang tersedia......................................................... 67

  B. Simulasi ................................................................................................... 73

  

BAB V PENUTUP...................................................................................... ...... 100

A. Kesimpulan............................................................................................ 100 B. Saran.............................................................................................. 101

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 102

BAB I Pendahuluan A. Latar Belakang Masalah Dalam dunia perekonomian kita sering mengenal berbagai

  permasalahan yang nyata dalam hidup. Permasalahan itu ada dari zaman dahulu hingga sekarang. Salah satu permasalahan yang sangat penting dan hampir dihadapi oleh semua bidang usaha adalah inventori atau yang lebih kita kenal persediaan.

  Inventori (Persediaan) adalah setiap sumberdaya yang disimpan (stored resource) yang digunakan untuk memuaskan kebutuhan pelanggan pada saat ini atau masa depan. Bagi banyak perusahaan dan toko, inventori mencerminkan sebuah investasi, dan investasi ini sering lebih besar daripada yang seharusnya. Hal ini dikarenakan perusahaan-perusahaan atau toko-toko lebih mudah untuk memiliki inventori just-in-case (berjaga-jaga kalau ada apa-apa) daripada inventori just-in-time (persediaan seperlunya) karena berbagai pertimbangan dan kondisi yang ada.

  Setiap perusahaan atau toko saat ini tentunya memiliki manager operasi yang bertugas dalam bidang inventori. Setiap manager operasi tentunya harus menyadari bahwa mengatur inventori yang baik dan tepat sangatlah penting. Hal itu dikarenakan stok (jumlah barang) inventori, berpengaruh besar terhadap kelangsungan aktivitas keseharian perusahaan dan toko. Jika stok inventori mengalami gangguan, maka dapat dimungkinkan perusahaan ataupun toko tersebut mengalami kerugian yang besar. Selain itu juga, jika perusahaan atau toko ingin mengurangi biaya pengeluaran dengan membatasi stok inventori di tangan, sebaliknya konsumen akan merasa tidak puas bila suatu produk stok inventorinya habis. Oleh karena itu, perusahaan atau toko harus mencapai keseimbangan antara inventori dan tingkat layanan konsumen.

  Setelah mengetahui beberapa permasalahan di ataas, dalam skripsi ini akan dibahas tentang inventori Toko Optik Jogja yang berada di kota Jogja dan Ambon. Optik Jogja merupakan salah satu toko yang menjual dan menyalurkan kaca mata, soft lens, lensa kacamata serta lap kacamata. Untuk mendukung proses penjualannya, Optik Jogja memiliki manager yang mempunyai wewenang dan tugas untuk mengontrol, mendata dan mengendalikan stok inventori bingkai kacamata, lensa, lap kacamata dan lainnya.

  Meskipun mempunyai manager yang bertugas mengontrol stok inventori, namun sering kali stok inventori tidak berada pada level yang telah ditetapkan sebelumnya. Stok inventori sering berada jauh di atas maksimum stok, bahkan sering juga mengalami kehabisan. Hal ini sering mengakibatkan konsumen kecewa, karena barang yang diinginkannya tidak tersedia. Selain itu juga, jumlah pesanan kacamata dan lensa yang berlebihan kadang menjadi sia-sia karena tidak digunakan dan tidak jarang mengakibatkan kerugian.

  Menyadari kenyataan tersebut penulis akan menganalisa faktor-faktor apa sajakah yang sebenarnya sangat berpengaruh dalam penentuan banyaknya stok inventori. Selain itu, Penulis juga akan menganalisa banyaknya barang yang ada, jenis dan tingkat penjualannya, yang selama ini kurang maksimal.

  Setelah faktor-faktor yang berkaitan dengan proses inventori selesai dikumpulkan, faktor-faktor tersebut akan dianalisa lebih lanjut dengan menggunakan model inventori.

  Model inventori yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah model

  

Economic Order Quantity (EOQ). Dalam masalah nyata, permasalahan

  ekonomi sangatlah tidak pasti. Masalah tersebut dapat muncul dan berubah setiap saat seturut perkembangan kondisi yang terjadi. Oleh karena ketidak pastian tersebut,model EOQ nantinya akan dianalisa juga dengan cara probabilistik yaitu dengan mempertimbangakan kemungkinan-kemungkinan yang terjadi.

  Hasil dari analisa dan perhitungan tersebut, nantinya diharapkan dapat dijadikan suatu landasan dan acuan dalam menggambil keputusan untuk proses inventori selanjutnya dengan mempertimbangkan faktor-faktor yang mungkin akan terjadi pada masa yang akan datang. Sehingga, nantinya Toko Optik Jogja mendapatkan keuntungan yang maksimal.

A. Perumusan Masalah

  Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan dalam latar belakang, pokok permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Apakah yang dimaksud model inventori?

  2. Parameter-parameter apa sajakah yang dibutuhkan dalam Inventori?

  3. Bagaimana menganalisa persamaan EOQ secara deterministik dan probabilistik?

  4. Bagaimana menerapkan model inventori dalam kasus nyata pada Toko Optik Jogja?

B. Batasan Masalah

  Batasan masalah dalam skripsi ini adalah:

  1. Teori probabilitas hanya dibahas sebatas yang terkait langsung dengan permasalahan, sedangkan hal-hal yang sifatnya elementer tidak dibahas

  2. Data-data yang digunakan hanya pada Toko Optik Jogja pada tahun 2007 dan 2008.

  3. Model inventori yang akan dibahas pada skripsi ini hanya model Economic Order Quantity (EOQ).

  4. Pada simulasi hanya dipakai proses pengunaannya saja, tanpa membahas dasar teorinya.

  5. Pada simulasi data bilangan random didapatkan menggunakan excel.

  C. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk: 1. Mengetahui dasar-dasar Model Inventori.

  2. Mengetahui model inventori Economic Order Quantity (EOQ).

  3. Mengaplikasikan model inventori EOQ pada kasus nyata toko optik Jogja.

  D. Metode Penulisan

  Metode penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang telah dipublikasi- kan. Untuk aplikasi dan penerapan pada Toko Optik Jogja, data-data berupa stok inventori dan jumlah penjualannya diperoleh langsung dari Toko Optik Jogja.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat penulisan skripsi ini adalah: 1. Dapat mengetahui dasar model inventori.

  2. Dapat mengetahui parameter-parameter yang berpengaruh dalam model inventori.

  3. Dapat mengetahui model EOQ secara detail.

  4. Dapat mengetahui cara pengaplikasian langsung model inventori.

  F. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Perumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Maanfaat Penulisan G. Sistematika Penulisan

  Bab

II DIFERENSIAL, FUNGSI KONVEKS DAN TEORI PROBABILITAS

  A. Diferensial

  B. Fungsi konveks

  C. Teori Probabilitas

BAB III MODEL INVENTORI A. Parameter-parameter inventori B. Economic Order Quantity (EOQ) Deterministik C. Economic Order Quantity (EOQ) Probabilistik BAB IV APLIKASI MODEL INVENTORI PADA TOKO OPTIK JOGJA A. Data data parameter yang dibutuhkan B. Perhitungan dengan Economic Order Quantity (EOQ) BAB V KESIMPULAN A. Kesimpulan B. Saran

Bab II, Diferensial, Fungsi Konveks dan Teori Probabilitas

2.1 Diferensial Definisi 2.1.1

  Andaikan y=f(x) terdeferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx merupakan diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan sembarang dari x.

  Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy di definisikan oleh = ( )

  Berikut merupakan grafik peraga dari diferensial

Gambar 2.1.1 Fungsi

  = ( ) Andaikan P(x ,y ) adalah titik tetap pada grafik fungsi

  = ( ), seperti terlihat pada gambar 2.1.1. Pandang P sebagai titik asal, dx dan dy merupakan sumbu-sumbu koordinat baru yang sejajar dengan sumbu koordinat.

  Dalam sistem koordinat yang baru, garis singgung di P persamaannya adalah sebagai berikut , dimana adalah kemiringan garis, =

  = ( ). Sehingga persamaan garis singgung ini dapat ditulis menjadi =

  ( ) . Dari persamaan tersebut dx disebut diferensial dari x dan dy disebut differensial dari y.

  Maksimum dan minimum fungsi Definisi 2.1.2

  Andaikan S adalah daerah asal fungsi f, yang memuat titik c. Dikatakan bahwa: 1. ( )adalah nilai maksimum pada , jika ( ) ≥ ( )untuk semua di

  2. ( )adalah nilai minimum pada , jika ( ) ≤ ( )untuk semua di 3.

  ( ) adalah nilai ekstrim f pada S, jika ( ) adalah nilai maksimum atau minimum Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.2

Gambar 2.1.3 Gambar 2.1.4Gambar 2.1.5 Gambar 2.1.6Gambar 2.1.3 dan 2.1.4 masing-masing menunjukkan sketsa sebagian grafik yang mempunyai maksimum di c. Sedangkan gambar 2.1.5 dan 2.1.6

  masing-masing menunjukan sebagian grafik yang mempunyai nilai minimum di c.

  Untuk menentukan daerah asal S agar fungsi f terdefinisi dan dapat menghasilkan prasyarat nilai ekstrim dan titik kritis yang digunakan untuk menentukan kemungkinan nilai-nilai c yang memberikan nilai ekstrim, digunakan definisi berikut

  Definisi 2.1.3

  Andaikan S, adalah daerah asal f yang memuat titik c, dikatakan bahwa 1. f(c) adalah nilai maksimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b).

  2. f(c) adalah nilai minimum relatif f, jika terdapat interval terbuka (a,b), yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b).

  3. f(c) adalah nilai ekstrim relatif f, jika terdapat f(c) sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum relatif atau minimum relatif .

  Berikut ini merupakan grafik ilustrasi dari Definisi 2.1.3

Gambar 2.1.7 Gambar 2.1.8

  Gambar 2.1.9

Gambar 2.1.7 memperlihatkan fungsi yang tidak memiliki nilai ekstrim relatif, walaupun berlaku

  ( ) = 0. Sedangkan gambar 2.1.8 dan 2.1.9 masing-masing memperlihatkan grafik fungsi dengan ekstrim maksimum dan ekstrim minimum.

  Dari gambar 2.1.8 dan 2.1.9 juga, pada saat ( ) merupakan nilai ekstrim fungsi

  ( ), maka terlihat bahwa ( ) = 0 dan disekitar x=c, ( ) berubah nilainya dari positif ke negatif untuk ekstrim maksimum, serta berubah dari negatif ke positif untuk ekstrim minimum.

  Teorema 2.1.1 Uji turunan pertama ekstrim relatif Andaikan fungsi f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

  1. Jika ( ) > 0 untuk semua nilai x pada a<x<c, dan ( ) < 0 untuk semua nilai x pada c<x<b, maka

  ( ) adalah nilai maksimum relatif dari f.

  2. Jika ( ) < 0 untuk semua nilai x pada a<x<c, dan ( ) > 0 untuk semua nilai x pada c<x<b, maka

  ( ) adalah nilai minimum relatif dari f.

  3. Jika ( ) bertanda sama untuk semua nilai x pada a<x<c dan c<x<b, maka ( )adalah bukan nilai ekstrim f.

  Teorema 2.1.2 Teorema titik kritis

  Andaikan fungsi f didefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu dari: 1. Titik ujung interval I.

  2. Titik stationer dari f, yakni ( ) = %.

  3. Titik singular dari f, yakni ( )tidak ada. Dari teorema 2.1.1 dapat ditarik kesimpulan bahwa persyaratan yang harus dipenuhi untuk terjadinya nilai ekstrim di c adalah f kontinu dan S adalah interval tertutup.

2.2 Fungsi Konveks Definisi 2.2.1

  S adalah suatu himpunan, dan S disebut himpunan konveks jika

  ∀ * maka

  ' ,' ( ) semua kombinasi konveks dari juga berada dalam S.

  dan

  , +

  Misalkan fungsi f yang bernilai real tersebut didefinisikan paada himpunan

  n

  konveks C di R . Fungsi tersebut dikatakan fungsi konveks jika untuk setiap di C dan dan - ≥ 0, . ≥ 0, - + . = 1, maka

  , +

• . ) (- , ) ≤ - ( ) + . ( + + ,

  Sedangkan fungsi f disebut konveks tegas bila )

  (- + . ) < - ( ) + . (

• , , + Untuk setiap di C dengan .

  dan ≠

  , + , + Jika akan diinterpretasikan secara geometris, fungsi konveks f adalah

  n

  , +

  fungsi sedemikian sehingga jika , sembarang titik di R pada grafik f , dan

  maka titik-titik segmen garis ] yang menghubungkan terletak [ , dan

  , + , + pada atau di atas grafik f.

2.3 Teori Probabilitas

  A. Peubah Acak Kontinu Misalkan terdapat sebuah ruang contoh dari pelamparan uang logam sebanyak tiga kali dapat dituliskan sebagai berikut

  = 2333, 334, 343, 433, 344, 434, 443, 4445 Dengan G menunjukan sisi gambar, dan A menunjukan sisi angka.

  Jika dari hasil pelemparan tersebut ditanyakan berapa kali sisi gambar muncul, maka nilai numerik 0,1,2, atau 3 dapat diberikan.

  Dari hasil yang diberikan tersebut, sebenarnya merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Nilai-nilai tersebut dapat dipandang sebagai nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah acak atau variabel acak X tertentu yang dalam hal ini menyatakan berapa kali sisi gambar muncul bla sekeping uang logam dilempar tiga kali.

  Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa peubah acak merupakan suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam contoh. Kemudian, digunakan huruf kapital misalkan X untuk melambangakan suatu peubah acak, dan huruf kecilnya x untuk menyatakan satu di antara nilai-nilainya.

  Pada kenyataannya, banyaknya kemungkinan dari suatu percobaan mungkin saja tidak terhingga atau tidak tercacah. Misalkan, akan menghitung jumlah barang yang terjual dalam sebuah toko dalam waktu tertentu. Dengan mengasumsikan waktu dalam hal ini hari, maka sangatlah jelas bahwa didapat tak hingga banyaknya kemungkinan barang terjual dalam interval waktu tertentu yang tidak dapat di dapatkan secara pasti. Oleh karena itu, bila suatu ruang contoh mengandung takhingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu.

  Peubah acak yang didefinisikan dalam ruang contoh kontinu disebut peubah acak kontinu. Dalam hal ini, peubah acak kontinu digunakan untuk data yang diukur, misalnya jumlah barang yang dibutuhkan, jarak dan lain sebagainya.

B. Fungsi kepekatan

  Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva biasa disebut fungsi kepekatan. Kebanyakan fungsi kepekatan yang mempunyai penerapan praktis dalam analisis data statistik bersifat kontinu untuk semua nilai X. Karena luas daerah akan digunakan untuk menyatakan peluang, dan nilai dari peluang itu sendiri adalah positif, maka fungsi kepekatan teletak seluruhnya di atas sumbu-x.

  Fungsi kepekatan didefinisikan sedemikian sehingga luas di daerah bawah kurva dan di atas sumbu-x sama dengan satu. Bila suatu fungsi kepekatan dinyatakan oleh kurva diantara batas x

  

1 dan x 2 seperti pada gambar dibawah ini maka peluang X men engambil nilai antara x

  1 dan x 2 sama dengan lu n luas daerah yang

  diaksir yang terletak a k antara x

  1 dan x 2 di bawah fungsi kepekatannya nya.

  Oleh karena na itu, fungsi f disebut fungsi kepekatan ba bagi peubah acak kontinu X bila luas d s daerah dibawah kurva dan di atas sumbu-x sam sama dengan satu, dan bila luas daerah d di bawah kurva antara x

  1 =a dan x 2 =b menyat yatakan peluang X

  terletak antara a dan b b.

C. Distribusi Norm rmal

  Distribusi norm ormal merupakan distribusi kontinu yang palin ling penting dalam bidang statistika dan an banyak dipakai dalam memecahkan per ersoalan. Berikut merupakan gambar ku kurva distribusi normal:

Gambar 2.3.1 distribusi normal Dari gambar d r di atas, suatu peubah acak kontinu x yang m memiliki sebaran genta disebut peubah ah acak normal. Persamaan matematik untuk s k sebaran peluang peubah acak normal al tergantung pada dua parameter yaitu nilai tengah 8 dan 9, ya dan simpangan bakun kunya. Oleh karena itu dapat dilambangkan n nilai-nilai fungsi kepekatan bagi x den engan

  ; ; 8, 9 . Dari keterang ngan di atas, dapat didefinisikan kurva norm rmal, yaitu bila x

  ,

  adalah suatu peubah ah acak normal dengan nilai tengah ragam , maka 8 dan ra 9 persamaan kurva norm ormalnya adalah:

  

)

'?A

  1

  ?+,@ B C

  6( ; 8, 9 9 > , D6EDF G ∞ $ $ $ ∞ 9√2=

  Bila nilai-nilai i l itu telah dapat 8 dan 9 diketahui, maka kurva normal ditentukan dengan pas pasti.

  Luas daerah dibawa wah kurva Normal

  Kurva dengan se sembarang sebaran peluang kontinu atau me merupakan fungsi kepekatan yang dibu ibuat sedemikian sehingga luas daerah di ba bawah kurva itu dibatasi oleh dan sama dengan peluang peubah aca acak x mengambil

  , +

  nilai antara da dan . Berikut merupakan ilustrasi grafi rafik kurva normal

  , +

  dengan diaksir

  : $ 8 $ yang dinyatakan oleh luas daerah yang di

  , + Kemudian unt ntuk mengetahui nilai dari daerah yang diaksir sir tersebut, dapat ditransformasikan sem sembarang peubah acak x menjadi satu nil nilai peubah acak normal z dengan nilai lai tengah nol dan ragam satu. Dimana

  G 8

  I

  9 Nilai tengah z ada adalah nol, karena:

  1

  1 J I

9 J G 9

  9 J 9 G 9 Sedangkan ragam amnya adalah

  ,

  1

  9

  , , ,

  9

  9

  9

  1 K '

  '?A , , L B

  9

  9 Bila x berada di diantara dan . Maka peubah ah acak z berada

  , +

  diantara nilai-nilai: G 8 G 8

  , +

  I I

  , +

9 M6 I

  9 Contoh 2.3.1: Untuk sebaran n normal dengan hitunglah peluang 8 300 dan 9 50 hitu peubah acak x bernila ilai lebih besar dari 362. Jawab:

  Sebaran peluang ng normal yang menunjukan luas daerah y yang diinginkan diberikan dalam gamb mbar berikut

  Untuk menghitung : > 362), harus dihitung luas daerah aksiran disebelah kanan nilai

  = 362. Ini dapat dilakukan dengan mentransformasikan = 362 menjadi nilai z sehingga didapatkan luas daerah di sebelah kiri z dari tabel normal, dan kemudian mengurangkan daerah tersebut dengan satu. Sehingga diperoleh

  − 8 362 − 300

  ,

  I = = 1.24 9 =

  50 Dengan demikian :( > 362) = :(I > 1.24)

  = 1 − :(I > 1.24) = 1 − 0.8925

  = 0.1075

BAB III MODEL INVENTORI Model inventori merupakan suatu strategi bidang perekonomian yang

  menggunakan model matematika untuk menentukan banyak persediaan barang yang disimpan dan yang harus disediakan oleh perodusen itu sendiri. Hal ini diperlukan agar produsen barang dapat menyuplai barang dengan baik kepada konsumen tanpa harus kehabisan barang sehingga kebutuhan pasar dapat dipenuhi dan keuntungan dapat diperoleh.

  Model inventori dapat dibedakan menjadi dua, yakni model inventori deterministik dan inventori probabilistik. Model inventori deterministik ditandai oleh karakteristik tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan dapat diketahui sebelumnya secara pasti. Apabila salah satu ataupun kedua parameter tersebut tidak dapat diketahui secara pasti sebelumnya, harus didekati dengan distribusi probabilitas, maka hal tersebut memberikan suatu model inventori probabilistik.

3.1. Parameter-Parameter persediaan

  Seperti yang telah diketahui, pada umumnya produsen memproduksi barang serta menjualnya kembali kepada konsumen. Hal ini tentunya memerlukan proses yang panjang. Berdasarkan proses tersebut, terdapat dua karakteristik utama parameter-parameter masalah inventori, yaitu tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan.

  Tingkat permintaan dan periode kedatangan sangat berpengaruh dalam penentuan jumlah barang produksi maupun yang disimpan dan pendapatan produsen. Hal itu dikarenakan di dalam tingkat permintaan dan periode kedatangan terdapat beberapa parameter yang sangat bepengaruh. Para meter- parameter tersebut diantaranya adalah:

a. Biaya Pesan (Ordering cost)

  Biaya pesan merupakan biaya yang muncul saat terjadi proses pemesanan barang. Biaya-biaya pembuatan surat, telepon, fax, dan beberapa lainnya yang muncul karena proses pemesanan barang merupakan contoh biaya pesan.

  Biaya pesan akan dilambangkan dengan BP. Biaya ini dapat diperoleh dengan:

  YZ[\]^]_`a b`c`d e`^] f[ghib[(j)k(li^`c \h`m` f[g h^[d m`an bhZ[c]`gZ`a(o)) UVM M W>XM6 = p]dc`_ \`g`an e[^h`fZ`ch bhf[e`a(q)

  atau dapat ditulis sebagai bentuk r U: = s (3.1.1)

  Dari bentuk di atas, diasumsikan bahwa jika semakin banyak pesanan, maka biaya yang dikeluarkan semakin kecil. Berikut ini merupakan ilustrasi dengan kurva biaya pesan.

  BP q

Gambar 3.1.1. kurva biaya pesan

b. Biaya Simpan (Carrying cost) Biaya simpan muncul jika terdapat proses penyimpanan suatu barang.

  Beberapa contoh biaya simpan diantaranya adalah sewa gudang, keamanan, asuransi, dan biaya-biaya lain yang muncul karena proses penyimpanan.

  Sedangkan biaya-biaya lain yang tetap ada meski persediaan tidak ada bukanlah termasuk kategori biaya penyimpanan.

  Biaya simpan per periode dilambangkan dengan BS, yang dapat diperoleh dengan UVM M XV WM6

  :>tV% > = u

  UVM M XV WM6

  VFvDX w u

  VFvDX W>tV% >w

  Dalam model ini, pada umumnya akan melakukan pemesanan secara bertahap dan kontinu atau dengan kata lain pemesanan dilakukan dalam beberapa kali pemesanan dan dalam waktu tertentu, hal ini yang disebut suatu siklus. Jika

Gambar 3.1.2. kurva biaya simpan

  Sehingga UVM M XV WM6

  BS q

  2 ℎ (3.1.2) Apabila semakin banyak barang yang dipesan, maka biaya penyimpanan semakin tinggi. Berikut ini merupakan bentuk kurva biaya pesan. Diasumsikan kurva berbentuk linear terhadap q

  2 Atau dapat ditulis sebagai fungsi U = s

  ℎs

  ℎ 2r u r sw =

  ,

  = s

  ℎ 2r

  diasumsikan rata-rata inventori dalam suatu siklus adalah

  ,

  = s 2 @ s rC ℎ = s

  u UVM M XV WM6 W>tV% > w = (tMEM − tMEM W>XM6M6 1 XVFvDX)(WM6xM6y XVFvDX)(biaya simpan per barang)

  , maka

  q j

  unit dan panjang siklus

  q ,

• MFED

  c. Biaya Pembelian (Purchase cost)

  e

  XVFvDX = (tMEM − tMEM F>FDtM6yM6 €MtM6y )

  . Dari hal tersebut dapat dituliskan, UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6

  q?q „ j

  , dengan panjang interval ∆E adalah

  

,

  

q?q

„

  , maka rata-rata kekurangan barang dalam interval waktu ∆E adalah

  Misalkan jumlah unit yang tidak tersedia s

  Biaya pembelian muncul pada saat dilakukan pembelian suatu barang. Biaya Pembelian dilambangkan dengan BP yang dapat dinyatakan sebagai berikut

  VFvDX :>tV% >w

  VFvDX w u

  UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6 :>tV% > = u UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6

  Biaya kehabisan persedian dalam suatu siklus dapat dinyatakan sebagai berikut.

  Biaya kehabisan persediaan muncul pada saat persediaan barang habis ataupun tidak tersedia lagi sehingga peluang untuk mendapatkan keuntungan tidak tercapai. Hal ini dapat diakibatkan karena mesin rusak, karyawan tidak bekerja, terlambatnya pengiriman barang dan lainnya.

  d. Biaya Kehabisan Persediaan (Stockout cost)

  Atau dapat ditulis sebagai fungsi U: € = W × r (3.1.3)

  UVM M W> €>vVM6 = ℎMtyM W> €>vVM6(W) × ‚>€DEDℎM6 MvM 1 W>tV% >(r)

  (WM6xM6y V6E>t…Mv) (biaya simpan per barang)

  2

  s − s s − s Y s − s k ℎ

  

X

X

  X = u w ℎ =

  2 r 2r

  j

  Jika terdapat siklus per tahun maka,

  q

  2

  2 Y s − s k ℎ Y s − s k ℎ UVM M ‚>ℎM€VXM6 W>tX> VMM6 r

  X X = † ‡

  =

  EMℎD6 2r s 2s ,

  ) ℎ (s − s e

  U‚: = (3.1.4) 2s

3.2 Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik satu barang

  Model Economic Order Quantity (EOQ) deterministik merupakan model inventori yang dalam perhitungannya memperhitungkan dua macam biaya persediaan paling dasar, yaitu biaya pesan dan biaya simpan. Selain itu juga, model EOQ deterministik bergantung pada tarif dasar harga barang dan tenggang waktu pemesanan barang.

  Untuk memperoleh suatu model awal yang baik, tentunya dibutuhkan beberapa asumsi dan syarat awal. Berikut ini merupakan asumsi-asumsi yang dibutuhkan dalam model EOQ deterministik yang harus dicapai.

  1. Permintaan saat memesan barang dan tarif dasar harga barang tetap atau tidak berubah dalam jangka waktu tertentu.

  2. Jeda pemesanan antara periode yang satu dan yang lainnya bernilai nol atau dapat dikatakan tidak boleh terjadi jeda antara waktu pemesanan periode satu dan berikutnya sehingga pemesanan bersifat kontinu.

  3. Persediaan akan dipesan sebesar q unit dan datang secara serentak.

• :r +
• ℎ 2 = 0 atau r s

  ,

  2 tidak memberikan arti apa-apa karena tidak ada jumlah

  Persamaan q

  ,jo _

  = −Š

  ,

  atau s

  

,jo

_

  ℎ Sehingga diperoleh, s

  = 2r

  2 s

  = ℎ

  ,

  ,

  ˆ‰ (s) = 0, sehingga menghasilkan ˆ‰ (s) = − r s

  ℎ Untuk meminimumkan total biaya tahunan (TC(q)), maka ditentukan

  q ,

  j q

  ˆ‰(s) =

  ˆ‰ s UVM M W>XM6 + UVM M W> €>vVM6 + UVM M XV WM6 Kemudian rumusan tersebut dikombinasikan dengan parameter-parameter yang telah dibahas sebelumnya sehingga menghasilkan

  Misalkan ˆ‰ s adalah total biaya tahunan yang dikeluarkan jika dipesan q unit barang dengan jeda periode sama dengan nol dan dinotasikan sebagai berikut

• = Š

  barang yang bernilai negatif. Sehingga didapatkan sebuah persamaan dalam q yang digunakan dalam mencari jumlah q yang maksimum, yakni

  2r s = ‹

  d`Ze

  ℎ (3.2.1) Untuk mendapatkan gambar kurva EOQ deterministik, persamaan

  ˆ‰ (s) diturunkan sekali lagi dan diperoleh.

  jo

  ˆ‰ ′(s) = 2 ≥ 0 untuk semua s > 0

• q

  sehingga ˆ (s) merupakan fungsi cekung. Berikut ini merupakan gambar dari fungsi

  ˆ‰(s)

   biaya Tc(q) h(q/2) Sd/q

   0 q jumlah barang

Gambar 3.2.1 kurva biaya TC(q)

  Seperti yang disebutkan di atas, model dasar EOQ deterministik lebih memperhitungkan dua macam biaya yang utama, yaitu biaya pesan dan biaya simpan. Oleh karena itu biaya total persediaan (BTP) dapat ditulis sebagai berikut.

  Biaya Total persediaan=Biaya Pesan+ Biaya Simpan

  atau dapat ditulis dengan,

   BTP=BP+BS

  dan dinotasikan sebagai berikut: r s Uˆ: = s + 2 ℎ (3.2.2)

  Dengan nilai q yang maksimum, dapat dicari biaya total persediaan, yaitu dengan memasukan nilai q yang didapatkan pada persamaan awal BTP sehingga r s

  Uˆ: = s + 2 ℎ

  2 ℎ

= 2r + s

  2s ,

  ℎ 2r + †Š2rℎ ‡

  = 2Š2rℎ

  2r + 2r =

  2Š2rℎ 2r

  = Š2rℎ perhatikan bahwa

  , ,

  4r

  ,

  Uˆ: 2r

  ℎ

  , ,

  4r ℎ =

  2r = 2r ℎ sehingga

  Uˆ:

  dha = √2r ℎ (3.2.3)

3.2.1 Siklus Pesan Ulang (Reorder Cycle)

  Salah satu hal yang juga penting dalam model inventori adalah mengetahui siklus pemesanan ulang barang. Model EOQ yang secara matematis dinyatakan pada persamaan

  (3.2.1) merupakan gabungan antara model sistem periodik dan sistem pemesana tetap. Model sistem periodik merupakan model inventori dimana pembelian dilakukan secara periodik. Interval waktu yang digunakan dalam pembelian selalu sama, misalkan dalam satu minggu, satu bulan, dan seterusnya.

  Sebagai konsekuensinya pembelian persediaan selalu menyesuaikan dengan kebutuhan, sehingga jumlah persediaan yang dibeli belum tentu sama pada setiap periode pembelian. Berikut ini merupakan kurva model sistem periodik

  persediaan || || || waktu

Gambar 3.2.2 kurva sistem periodik

  Sedangkan model sistem pemesanan tetap adalah model inventori dimana pembelian dilakukan dengan jumlah yang tetap sehingga menjelaskan bagaimana penambahan persediaan yang selalu sama dalam interval waktu kedatangan yang berbeda. Berikut merupakan kurva model sistem pemesanan tetap

   Persediaan q waktu

Gambar 3.2.3 Kurva sistem pemesanan tetap

  Dari model di atas, diketahui bahwa kebutuhan dalam periode perencanaan adalah D dan penambahan persediaan adalah q. Sehingga, siklus pemesanan ulang dapat ditulis dengan

  ‚>€DEDℎM6 MvM W>tV% > W>t>6 M6MM6

  VFvDX W>XM6 DvM6y = ŽD vMℎ €MtM6y M6y VW>XM6 X>EVMW W> >XM6M6

  Atau dinotasikan sebagai r : = s (3.2.1.1)

  Selanjutnya, untuk menentukan periode waktu pemesanan ulang didapatkan dari membagi periode waktu perencanaan (W) misalkan 12 bulan, 56 minggu, atau 356 hari dengan siklus pesan ulang (P) atau dapat ditulis:

  W>tV% > •MFED W>t>6 M6MM6 :>tV% > •MFED W> >XM6M6 DvM6y =

  XVFvDX W>XM6 DvM6y

  atau dinotasikan sebagai

• =

  : (3.2.1.2) Dari persamaan